Cours et exercices corrigés de mathématiques - TS - document gratuit disponible sur JGCUAZ.FR TS - LOGARITHMES

Transcription

1 Cours et eercices corrigés de mathématiques - TS - documet gratuit dispoible sur JGCUAZ.FR TS - LOGARITHMES Ce documet totalemet gratuit (dispoible parmi bie d'autres sur la page JGCUAZ.FR rubrique mathématiques) a été coçu pour aider les élèves de Termiale S e mathématiques. Coforme au programme, il cotiet le cours (défiitios, théorèmes, démostratios), 46 eercices corrigés das le moidre détail, des éocés d'eames et/ou de cocours, aisi qu'ue fiche méthode "toutes situatios". La progressio proposée est celle que je pratique das mes classes. Au fur et à mesure, j'ai iséré des remarques, coseils et poits méthode, sur la base de mo epériece d'eseigat e lycée. Ce documet 'a pas la prétetio de se substituer à l'assiduité écessaire au cours, mais pourra permettre au lecteur de rattraper ue absece, de réviser ue otio et/ou de préparer ue évaluatio, le temps de recherche des eercices (et o pas ue lecture immédiate du corrigé, même si celuici est écrit "juste e dessous"!) état ue coditio écessaire à la réussite. La avigatio peut s'effectuer de maière iteractive pour ceu qui utiliset la versio PDF de ce documet. Pour toute remarque, merci de vous redre sur la page JGCUAZ.FR où vous trouverez mo adresse électroique (qui est JGCUAZ@HOTMAIL.COM à la date du 5/9/6) Egalemet dispoible ue page facebook Motpellier, le 5/9/6 Jea-Guillaume CUAZ, professeur de mathématiques, Lycée Clemeceau, Motpellier depuis 3 Lycée Militaire de Sait-Cyr, de à 3 TS - logarithmes Page /6 Versio du 5/9/6

2 Cours et eercices corrigés de mathématiques - TS - documet gratuit dispoible sur JGCUAZ.FR LOGARITHMES - PROGRAMME OFFICIEL() Coteus Capacités attedues Commetaires Foctio logarithme épérie Foctio l Coaître le ses de variatio, les limites et la représetatio graphique de la foctio logarithme épérie. Relatio foctioelle, dérivée. Utiliser, pour a réel strictemet positif et b b réel, l équivalece l a = b a = e Utiliser la relatio foctioelle pour trasformer ue écriture. ( + ) l Coaître et eploiter lim = O peut itroduire la foctio logarithme épérie grâce au propriétés de la foctio epoetielle ou à partir de l équatio foctioelle. O soulige das les cadres algébrique et graphique que les foctios logarithme épérie et epoetielle sot réciproques l ue de l autre. Tout développemet théorique sur les foctios réciproques est eclu. O fait le lie etre le ombre dérivé de la foctio logarithme e et la ( + ) l limite e de O évoque la foctio logarithme décimal pour so utilité das les autres disciplies. [SI] Gai lié à ue foctio de trasfert. [SPC] Itesité soore, magitude d u séisme, échelle des ph. AP Équatios foctioelles. TS - logarithmes Page /6 Versio du 5/9/6

3 Cours et eercices corrigés de mathématiques - TS - documet gratuit dispoible sur JGCUAZ.FR SOMMAIRE Eemples de foctios réciproques Foctio logarithme épérie Relatio foctioelle Limites de la foctio logarithme épérie Eercices d'études de foctios logarithmes Logarithmes et compositio Logarithme décimal Eercices de sythèse TS - logarithmes Page 3/6 Versio du 5/9/6

4 Cours et eercices corrigés de mathématiques - TS - documet gratuit dispoible sur JGCUAZ.FR EXEMPLE DE FONCTIONS RECIPROQUES : LES FONCTIONS CARRE ET RACINE CARREE Si a est u ombre positif, la racie carrée de a est l'uique ombre positif b = a tel que b = a O a doc l'équivalece : b = a b= a a >, b> a >, b> Si o ote f la foctio défiie sur [ ;+ [ par f = et g la foctio défiie sur [ [ g =, o a doc l'équivalece : = = f b a b g a a >, b> a >, b> ;+ par Défiitio : O dit que les foctios f et g sot réciproques l'ue de l'autre Propriété Das u repère, les courbes représetatives des foctios f et g sot symétriques par rapport à la droite d équatio y = Preuve : L'équivalece = = f b a b g a a >, b> a >, b> symétriques par rapport à la droite d'équatio y traduit le fait que les poits M( ab ; ) et ( ; ) =, appartieet respectivemet à C f et N ba, TS - logarithmes Page 4/6 Versio du 5/9/6 C g

5 Cours et eercices corrigés de mathématiques - TS - documet gratuit dispoible sur JGCUAZ.FR FONCTION LOGARITHME NEPERIEN ) Foctio logarithme épérie O a vu, das le chapitre sur la foctio epoetielle, que celle-ci était cotiue et strictemet croissate sur. De plus lim e = et lim e = +. + D après le corollaire du théorème des valeurs itermédiaires, quel que soit le réel strictemet positif k, l équatio e = k admet ue uique solutio a das Défiitios : ) Soit k u réel strictemet positif. O appelle logarithme épérie de k, l uique solutio de l équatio e = k. O ote l k cette solutio (ou l ( k )) et o lit «logarithme épérie de k») ) La foctio logarithme épérie est la foctio qui, à tout réel strictemet positif associe y = l O retiedra : y = > l y e = ou ecore l ep y l e e 3 e l ( ) - l ( ) 3 ep O dit que la foctio l est la foctio réciproque de la foctio epoetielle TS - logarithmes Page 5/6 Versio du 5/9/6

6 Cours et eercices corrigés de mathématiques - TS - documet gratuit dispoible sur JGCUAZ.FR La plupart des logarithmes "e tombet pas juste". O utilise la touche l de la calculatrice pour les détermier (pas la touche log qui a ue autre sigificatio, voir paragraphe "logarithme décimal") Propriété : Das u repère, les courbes représetatives des foctios l et epoetielle sot symétriques par rapport à la droite d équatio y = Propriétés : ) La foctio l est défiie et cotiue sur ] ;+ [ ) Pour tout ombre réel, l ( ep ) =, ce qui s écrit l ( e ) ep( l ) tadis que pour tout réel strictemet positif 3) l = et l ( e ) = = 4) La foctio l est dérivable sur ] ;+ [ et l 5) La foctio l est strictemet croissate sur ] ;+ [ 6) < < équivaut à l ( ) < tadis que 7) Pour tous réels a et b strictemet positifs, a b équivaut à l ( a) < l ( b) = =, ce qui s écrit l e > équivaut à l ( ) > = équivaut à l ( a) l ( b) = = tadis que a< b TS - logarithmes Page 6/6 Versio du 5/9/6

7 Cours et eercices corrigés de mathématiques - TS - documet gratuit dispoible sur JGCUAZ.FR Preuves : ) Par défiitio, o e peut calculer l ( k ) que si et seulemet si k ] ; + [ ) Par défiitio des foctios ep et l qui sot réciproques l'ue de l'autre. 3) l = car e = et l e = car e = e 4) Soit a et h deu réels strictemet positifs. O cherche r h l lim h ( a+ h) l ( a). Notos r( h) h ( a+ h) l ( a) ( a+ h) ( a) ( a+ h) ( a) ( a+ h) ( a) l =. O écrit successivemet : h l l l l l l = = = = h a+ h a e e e e l E posat X = l ( a+ h) o a lim X = l ( a) h ( a+ h) ( a) ( a+ h) ( a) l l l l ( a+ h) l ( a) La foctio epoetielle état dérivable sur, doc e particulier e l ( a ) o a : ( + ) l a h l a X l a e e e e lim = lim = ep ( l ( a) ) = ep( l ( a) ) = a h l a+ h l a X l a X l a ( a+ h) ( a) l l Puisque lim =, o obtiet le résultat. h h a 5) Puisque pour tout ] ; + [, croissate sur ] ;+ [ doc lim r( h) h =. a l = >, o e déduit que la foctio l est strictemet 6) Puisque la foctio l est strictemet croissate sur ] ;+ [ et puisque l =, o obtiet les résultats aocés. 7) a b < équivaut à l ( a) < l ( b) traduit la stricte croissate de l sur ] [ Si a = b il est bie évidet que l ( a) l ( b) ;+. =. Réciproquemet, supposos que l ( a) l ( b) =. O calcule l epoetielle das chaque membre. O obtiet e l ( a) l( b) = e, c est-à-dire a = b TS - logarithmes Page 7/6 Versio du 5/9/6

8 Cours et eercices corrigés de mathématiques - TS - documet gratuit dispoible sur JGCUAZ.FR FONCTION LOGARITHME NEPERIEN EXERCICES Eercice (correctio) ) Résoudre chacue des équatios ou iéquatios suivates : a) l = b) 5 e) l( 5 + 3) = l( 9 ) f) ( ) e = c) l l l 3 + > 3 d) 5 e ) Résoudre chacue des équatios ou iéquatios suivates : a) e b) 3 e = 7 c) 4 e d) e = Eercice (correctio) La tesio (e volts) au bores d'u codesateur e foctio du temps t (e s) écoulé depuis le début de la décharge est doée par V = 5 8,3t e Au bout de combie de temps la tesio iitiale sera-t-elle divisée par? Eercice 3 (correctio) Résoudre le système l + l y = 3l 5l y = Eercice 4 (correctio) l l > Résoudre chaque iéquatio : a) ( ) l ( + 3) > b) Eercice 5 (correctio) Détermier le sige de chacue des foctios suivates sur ] ;+ [ a) f l = e b) g = ( l )( 3 l ) Eercice 6 (correctio) Le ombre de bactéries présetes das ue culture après t jours est doé par : bt ae N t = où a et b sot deu costates réelles. TS - logarithmes Page 8/6 Versio du 5/9/6

9 Cours et eercices corrigés de mathématiques - TS - documet gratuit dispoible sur JGCUAZ.FR ) Calculer a et b sachat qu'iitialemet, il y a bactéries et qu'au bout de deu jours, il y a 5 bactéries. ) Quel sera le ombre de bactéries au bout de 6 jours? 3) Au bout de combie de jours, la culture dépassera-t-elle 4 bactéries? Eercice 7 (correctio) ) Etudier les variatios de la foctio f défiie sur ] ;+ [ par f = l 3 ) Etudier les variatios de la foctio g défiie sur par g = 4 e + 3 Eercice 8 (correctio) La capacité pulmoaire (eprimée e litres) d'ue persoe peut être modélisée par la foctio f défiie sur [ ; ] par : f ( ) A quel âge a-t-o ue capacité pulmoaire maimale? l = où représete l'âge eprimé e aées. Eercice 9 (correctio) f est la foctio défiie sur ] ;+ [ par = l l a) Etudier le ses de variatio de f f b) E déduire les ombres etiers aturels tels que TS - logarithmes Page 9/6 Versio du 5/9/6

10 Cours et eercices corrigés de mathématiques - TS - documet gratuit dispoible sur JGCUAZ.FR FONCTION LOGARITHME NEPERIEN CORRECTION Correctio de l'eercice (retour à l'éocé) ) O utilise la stricte croissace de la foctio l sur ] ;+ [ l = = e a) b) e = 5 = l ( 5) e e l 3+ > 3 3+ > e > ; c) 5 l l d) e 5 l ( ) ; 5 5 e) L'équatio est défiie pour toutes les valeurs de telles qu'o ait simultaémet > ; ; + ] 3;3 [ = ;3 3 3 Pour tout de la forme 5 ;3 3, a b c et 9 ] 3;3[ >, c'est-à-dire pour l 5 3 l = + = + =, équatio qui est + + = avec a =, b = 3 et c = 4. = = 5. O calcule so discrimiat : Puisque >, l'équatio b 3 5 b = = = 4 et = = =. a a 5 Mais puisque ;3 3 l ( 5 3) = l( 9 ) + est S = { } + 3 4= admet deu solutios distictes : 5 et ;3 3, l'esemble des solutios de l'équatio f) L'iéquatio est défiie pour toutes les valeurs de telles qu'o ait simultaémet ; ; > + ] [ ; ; + ; + = ; + Pour tout ; +, et ] ; [ l l Notos P = qui est u triôme de la forme c =. O calcule so discrimiat : = ( ) 4 ( ) = 9. > +, c'est-à-dire pour P = a + b + c avec a =, b = et TS - logarithmes Page /6 Versio du 5/9/6

11 Cours et eercices corrigés de mathématiques - TS - documet gratuit dispoible sur JGCUAZ.FR Puisque >, le triôme P admet deu racies distictes : b = = =. a Puisque a >, o e coclut que le sige de P est doé par le tableau suivat : b 9 = = = a et Aisi, P si et seulemet si [ ; ] L'esemble des solutios de l'iéquatio ( ) est [ ] l l ) a) e e e [ ; + [ 3 l ( 7) + 3 b) e = 7 3 = l ( 7) = c) 4 e 4 ; d) Pour tout réel, e l = = = l Correctio de l'eercice (retour à l'éocé) La tesio iitiale (c'est-à-dire pour t = ) est égale à S = ; ; + = ; V e e t t O doit résoudre l'équatio V = 5 5e = 5 e = 8,3 = 5 = 5 = 5 = 5 V 8,3 8,3 8,3t l,5 O a : e = 8,3t = l t =,84 à, près 8,3 La tesio iitiale sera doc divisée par au bout de,84 s soit 84 millisecodes Correctio de l'eercice 3 (retour à l'éocé) E posat X = l et Y = l y, le système l + l y = deviet équivalet à : 3l 5l y = X + Y = L X = Y L X = Y L X = L. 3X 5Y = L 3 ( Y) 5Y = L Y = L Y = L O "reviet" au icoues et y : = l = = et Y l ( y) y e X e = = =. l + l y = La solutio du système est doc le couple ( e ; e ) 3l 5l y = TS - logarithmes Page /6 Versio du 5/9/6

12 Cours et eercices corrigés de mathématiques - TS - documet gratuit dispoible sur JGCUAZ.FR Correctio de l'eercice 4 (retour à l'éocé) a) L'iéquatio est défiie pour toutes les valeurs de telles qu'o ait + 3 > ] 3; + [ O dresse le sige de l'epressio A = ( ) l ( + 3) sur ] 3; + [ : L'esemble des solutios de l'iéquatio ( ) l ( + 3) > est doc S = ] ;[ ( ) > > ] e + [ l l l ; b) Correctio de l'eercice 5 (retour à l'éocé) e a) Pour tout ] ; + [, f l e [ e; + [ Le tableau de siges de f l = e sur ] ;+ [ e est doc : b) O étudie séparémet : pour tout ] ; + [, l l [ e; + [ Pour tout ] ; + [, 3 l l 3 ; e 3 Le tableau de siges de g = ( l )( 3 l ) sur ] ;+ [ est doc : Correctio de l'eercice 6 (retour à l'éocé) ) Puisqu'il y a iitialemet bactéries, cela sigifie que : b N = ae = ae = a = a = Puisqu'au bout de deu jours il y a 5 bactéries, cela sigifie que : b b = 5 = 5 = 5 = l ( 5) = l ( 5) N e e b b O a aisi : Pour tout t [ ; + [, N( t) = e l ( 5 ) t TS - logarithmes Page /6 Versio du 5/9/6

13 Cours et eercices corrigés de mathématiques - TS - documet gratuit dispoible sur JGCUAZ.FR ) Au bout de 6 jours, le ombre de bactéries sera égal à l 5 6 3l 5 N 6 = e = e = 5 3) O résout : l( 5) t l( 5) t l 4 N t 4 e 4 e 4 l 5 t l 4 t l 5 Puisque l 4 l 5 dépasse 4 4,58 à, près, il faudra attedre 5 jours pour que le ombre de bactéries Correctio de l'eercice 7 (retour à l'éocé) ) La foctio f est dérivable sur ] ;+ [ comme produit et somme de foctios qui le sot et pour tout ] ; + [, Pour tout ] ; [ f = l + 3 = l + 3 = l f l l e +, La foctio f est doc strictemet décroissate sur ;e puis strictemet croissate sur e ; + ) La foctio g est dérivable sur comme somme de foctios qui le sot et pour tout, g = 4 e. La foctio g est doc strictemet Pour tout, 4 g e e l croissate sur ;l puis strictemet décroissate sur l ; + Correctio de l'eercice 8 (retour à l'éocé) La foctio f est dérivable sur [ ; ] comme somme et quotiet (avec déomiateur o ul) de foctios qui le sot et pour tout [ ;] : ( l ) l 33 l ( 3 l ) f + = = = =, >, le sige de f sera doé par celui de 3 l. 3, f 3 l l 3 e Puisque pour tout [ ;] Aisi : Pour tout [ ;] La foctio f est doc strictemet croissate sur Elle atteit doc so maimum pour Puisque = e 3 ;e 3 puis strictemet décroissate sur e 3 ; 3 e, la capacité pulmoaire est maimale à as eviro. TS - logarithmes Page 3/6 Versio du 5/9/6

14 Cours et eercices corrigés de mathématiques - TS - documet gratuit dispoible sur JGCUAZ.FR Correctio de l'eercice 9 (retour à l'éocé) a) La foctio f est dérivable sur ] ;+ [ comme somme de foctios qui le sot et pour tout ] ; + [, f Puisque ] ; [ l = l = +, le sige de f O e coclut doc : Pour tout ] ; + [, est doé par l f l l La foctio f est doc strictemet décroissate sur ; + l b) L'iégalité est successivemet équivalete à : ; l ( ) ( ) ( ) ( ) f ( ) l l l l l l Puisque f = l l = et puisque f est strictemet décroissate sur strictemet croissate sur ; + l puis strictemet croissate sur ; l ( ), o e coclut que f ( ) si et seulemet si ] ;] O e coclut que les ombres etiers aturels tels que sot = et =, auquels o peut rajouter = (bie que la foctio f e soit pas défiie e!) puis TS - logarithmes Page 4/6 Versio du 5/9/6

15 Cours et eercices corrigés de mathématiques - TS - documet gratuit dispoible sur JGCUAZ.FR FONCTION LOGARITHME NEPERIEN ) Relatio foctioelle Propriété : Pour tous réels a et b strictemet positifs, l ( a b) = l( a) + l( b) O retiedra que la foctio l trasforme les produits e sommes Preuve : Soit a et b deu réels strictemet positifs. D ue part e l ( a b) = a b et d autre part e l ( a ) + l( b) l( a ) l ( b) = e e foctio epoetielle et la défiitio du logarithme épérie. = a b d après les propriétés de la Eemples : ( 5) = l( 3 5) = l( 3) l( 5) l + l( ) l( 4) = l( 5) l( 7) = l + l( 5) ( l + l( 7) ) = l( 5) l( 7) Pour tout ] ;+ [, l( ) + l( + ) = l( ( ) ( + ) ) = l( ) = l( ) Propriétés : ) Pour tout etier et tout réel > ) Pour tout réel > b b, l = l( b) a, o a l ( a ) = l( a) a b 3) Pour tous réels a et b strictemet positifs, l = l( a) l( b) 4) Pour tout réel > Preuves : a, o a l ( a ) = l( a) ) O peut motrer cette propriété par récurrece sur ou utiliser ue propriété de la foctio epoetielle : l D ue part, par défiitio de la foctio l, o a a = e doc a D autre part, par défiitio de la foctio l, o a D où l égalité l ( a ) = l( a) a ( a ) l( a = e ). = l( a ) l( a ) ( e ) = e TS - logarithmes Page 5/6 Versio du 5/9/6

16 Cours et eercices corrigés de mathématiques - TS - documet gratuit dispoible sur JGCUAZ.FR ) O a b = b résultat. doc l b = b, o e déduit le b b. Mais puisque l b = l + l( b) 3) Il suffit d écrire que résultat. a a b b a b 4) D après la propriété ), o a l( a ) l ( a ) b b = doc l = l a = l( a) + l = l( a) + ( l( b) ) = l( a) = d où le résultat. d où le Eemples : l 6 3 ( 36) l( 9) = l( 6 ) l( 3 ) = l( 6) l( 3) = l = l Si o ote = l 7 ( l + l5) E = l 7 E, o aura : 49 ( l + l5 ) = l 49 l 5 = l 49 l5 = l Puisque < <, o e déduit que l < 5 5 5, c est-à-dire E < 7 3 Pour a ] ;+ [, l a + l( a ) = 7l a + ( 3) l a = 7l a 6l a = l a. TS - logarithmes Page 6/6 Versio du 5/9/6

17 Cours et eercices corrigés de mathématiques - TS - documet gratuit dispoible sur JGCUAZ.FR FONCTION LOGARITHME NEPERIEN EXERCICES Eercice (correctio) Eprimer e foctio de l5 les ombres réels suivats : l 5 l 65 l l 55 l l 5 5 4l5 l 8 5 Eercice (correctio) ) O pose a = l et b = l 3. Eprimer e foctio de a et b chacu des ombres suivats : l 6 l 9 l l ) a) Simplifier l epressio A = l ( 3 + 5) + l ( 3 5) b) Pour >, o pose B l ( ) l ( ) =. Ecrire B sous la forme du logarithme d u quotiet. l 7 3e l Eercice (correctio) Simplifier l'écriture des ombres suivats : Eercice 3 (correctio) l e e l ( e ) l ( e ) + l ( e) l e Calculer 5 6 S = l + l l + l Eercice 4 (correctio) ) Résoudre chacue des équatios suivates : a) l ( + 8) = l 3 b) l + l ( + 8) = l 3 c) ( ) ( ) ) Résoudre chacue des iéquatios suivates : a) l ( ) + l ( + 4) l ( 3+ ) b) l ( + 3) l ( + ) l l 3 = Il faut chercher les coditios d'eistece d'ue epressio de la forme l ( u ) l ( v ) + AVANT de la trasformer TS - logarithmes Page 7/6 Versio du 5/9/6

18 Cours et eercices corrigés de mathématiques - TS - documet gratuit dispoible sur JGCUAZ.FR Eercice 5 (correctio) Résoudre chacue des iéquatios suivates : a),7 3 b) 3,99 7 c), 5 Eercice 6 (correctio) La suite u est géométrique de premier terme u = 4 et de raiso,5. A partir de quel rag les termes de la suite serot-ils strictemet supérieurs à 4? Eercice 7 (correctio) La probabilité d'obteir au mois u double si e laçat fois deu dès o truqués est p 35 = 36. Détermier le ombre miimal de lacers pour que cette probabilité soit supérieure à,99. Eercice 8 (correctio) O tire successivemet et avec remise boules d'ue ure coteat 3 boules blaches et 7 boules oires. Combie faut-il effectuer de tirages pour que : ) La probabilité d'obteir aucue boule blache soit iférieure à, ) La probabilité d'obteir au mois boule blache soit supérieure à,99 Eercice 9 (correctio) a) Résoudre l'équatio X X 6= b) E déduire les solutios de l'iéquatio l l 6 = Eercice (correctio) a) Résoudre l'iéquatio X 3X 4 b) E déduire les solutios de l'iéquatio l 3l 4 TS - logarithmes Page 8/6 Versio du 5/9/6

19 Cours et eercices corrigés de mathématiques - TS - documet gratuit dispoible sur JGCUAZ.FR FONCTION LOGARITHME NEPERIEN CORRECTION Correctio de l'eercice (retour à l'éocé) ( 4 = ) = l 5 l 5 l 5 l 65 = l 5 = 4l 5 l l l 5 l 5 5 = = 55 l 55 l = l = l 5 5 l 5 5 = l 5 + l 5 = l ( 5 ) + l 5 = l 5 + l 5 = l 5 4 4l5 l8 = 4l 3 5 l 3 = 4 l 3 + l 5 4l 3 = 4l 3 + 4l 5 4l 3 = 4l 5 Correctio de l'eercice (retour à l'éocé) ) l 6 = l ( 3) = l + l 3 = a+ b l 9 = l 3 = l 3 = b l = l l 3 = a b 3 l = l l = ( l ( 4 3) ) = ( l 4 + l 3) = l ( ) l 3 = l l 3 = a b 3 l 7 = l 8 9 = l8 + l 9 = l + l 3 = 3l + l 3 = 3a+ b 3e = = + = + = + l l 3e l l 3 l e l l 3 l a b ) a) A = l ( 3 + 5) + l ( 3 5) = l ( 3 + 5) ( 3 5 ) = l ( 3 + 5) ( 3 5) = = = = 7l 3 5 7l 9 5 7l 4l b) Pour tout >, + = l l = l l + = l B Correctio de l'eercice (retour à l'éocé) ( e e) ( e) ( e) ( e) l = l + l = + l = + = 3 ( e ) ( e ) l + l = + = l ( e) l = ( l l e) = ( ) = e TS - logarithmes Page 9/6 Versio du 5/9/6

20 Cours et eercices corrigés de mathématiques - TS - documet gratuit dispoible sur JGCUAZ.FR Correctio de l'eercice 3 (retour à l'éocé) 3 5 S = l = l = l Correctio de l'eercice 4 (retour à l'éocé) ) a) L'équatio est défiie pour tout réel tel que ( + 8) > Le tableau de siges de A = ( + 8) est : L'équatio est doc défiie pour tout ] 8[ ] ; + [ Pour tout ] 8[ ] ; + [ : ( ) ( ) l 8 l 3 l 8 l de la forme + = + = + = + = qui est ue équatio + + = avec a =, b = 8 et c = 9. a b c = =. O calcule so discrimiat : Puisque >, l'équatio b 8 b = = = 9 et = = =. a a + et ] [ ] [ Puisque ] 8[ ] ; [ l ( ( + 8) ) = l 3 est S = { 9;} + 8 9= admet deu solutios distictes : 8 ; +, l'esemble des solutios de l'équatio b) L'équatio est défiie pour toutes les valeurs de telles qu'o ait simultaémet > ] ; + [ et + 8 > ] 8; + [, doc sur ] ; [ ] 8; [ ] ; [ Pour tout ] ; + [, l l ( 8) l 3 l ( 8) l = = + =, équatio qui a été résolue das la questio ) : b 8 b O a trouvé = = = 9 et = = =. a a l l 8 l 3 Mais puisque ] [ ; +, l'esemble des solutios de l'équatio + ( + ) = est S = { } c) L'équatio est défiie pour toutes les valeurs de telles qu'o ait simultaémet > ] ; + [ et 3 > ] 3; + [, doc sur ] ; [ ] 3; [ ] 3; [ Pour tout ] 3; + [, l l 3 l l = +. ( ) ( ) = = e = e = e( ) TS - logarithmes Page /6 Versio du 5/9/6

21 Cours et eercices corrigés de mathématiques - TS - documet gratuit dispoible sur JGCUAZ.FR 3e = e 3e e = 3e ( e) = 3e = e 3e e Puisque ] 3; + [, des solutios de l'équatio ( ) ( ) l l 3 = est S 3e = e ) a) L'iéquatio est défiie pour toutes les valeurs de telles qu'o ait simultaémet > ] ; + [, 4 ] 4; [ ] ; + [ ] 4; + [ ; + = ] ; + [ 3 + > + et Pour tout ] ; + [, l ( ) + l ( + 4) l ( 3+ ) (( )( )) ( ) l + 4 l 3 + ( ) ( ) ( ) ( ) l l 3 + l + 8 l Notos P = qui est u triôme de la forme c =. O calcule so discrimiat : = ( ) 4 ( ) = 4. Puisque >, le triôme P admet deu racies distictes :. 3+ > ; + 3, doc sur P = a + b + c avec a =, b = et b et = =. a Puisque a >, o e coclut que le sige de P est doé par le tableau suivat : b 4 4 = = = a Aisi, P si et seulemet si ] ; ] [ ; + [ L'esemble des solutios de l'iéquatio l ( ) l ( 4) l ( 3 ) + 4 S = (] ; ] [ ; + [ ) ] ; + [ = ; + car + 4 > est TS - logarithmes Page /6 Versio du 5/9/6

22 Cours et eercices corrigés de mathématiques - TS - documet gratuit dispoible sur JGCUAZ.FR b) L'iéquatio est défiie pour toutes les valeurs de telles qu'o ait simultaémet + 3 > ] 3; + [ et + > ] ; + [, doc sur ] 3; [ ] ; [ ] ; [ Pour tout ] ; + [, l ( + 3) l ( + ) ( ) ( ) l + 3 l + ( ) = +. + Notos P = + qui est u triôme de la forme P = a + b + c avec a =, b = et c =. O calcule so discrimiat : = 4 ( ) = 5. b 5 5 Puisque >, le triôme P admet deu racies distictes : = = = a b = =. Puisque a >, o e coclut que le sige de P est doé par le tableau a et suivat : Aisi, + P si et seulemet si ] ; ] [ ; + [ L'esemble des solutios de l'iéquatio l ( 3) l ( ) + 5 S= (] ; ] [ ; + [ ) ] ; + [ = ; + car 5 < + + est + 5 > Correctio de l'eercice 5 (retour à l'éocé) O utilise la stricte croissace de la foctio l sur ] ;+ [ : a) car l (,7),7 l,7 l l, b),99,99, l (,) l l (,) 3 l (,) l car l 7 3 < 7 l 7 c) l (,), l (, ) l l (, ) l car l 5 l,7 < l < 5 TS - logarithmes Page /6 Versio du 5/9/6

23 Cours et eercices corrigés de mathématiques - TS - documet gratuit dispoible sur JGCUAZ.FR Correctio de l'eercice 6 (retour à l'éocé) O a : pour tout, u = u,5 = 4,5. O résout : l ( 5) u > 4,5 > l (,5 ) > l l (,5 ) > l ( 5) > 4 l (,5) l ( 5) 4 Puisque 9,3, c'est à partir de = que l'o a u > (doc à partir du ème terme) l,5 Correctio de l'eercice 7 (retour à l'éocé) O résout : p >,99 >,99 <, l < l, l (,) l < l (,) > 35 car l < 36 l 36 l (,) Puisque 63,5 et puisque, il faut lacer au miimum 64 fois les deu dès pour 35 l 36 que la probabilité d'obteir au mois u double si soit supérieure à,99. Correctio de l'eercice 8 (retour à l'éocé) ) Sur les lacers, la probabilité de 'obteir aucue boule blache (doc de 'obteir que des 7 boules oires!) est égale à =,7 Cette probabilité est iférieure à, pour les valeurs de solutios de l'iéquatio : l (,),7 <, l (,7 ) < l (,) l (,7) < l (,) > car l (,7) < l,7 Puisque l, l,7,9, il faut effectuer au mois 3 tirages das l'ure pour que la probabilité d'obteir aucue boule blache soit iférieure à,. ) Le cotraire de l'évéemet "o obtiet au mois boule blache" est "o 'obtiet aucue boule blache, doc boules oires" 7 La probabilité d'obteir au mois boule blache est doc égale à =,7 Cette probabilité est supérieure à,99 pour les valeurs de solutios de l'iéquatio :,7 >,99,7 <,, iéquatio qui a été résolue das la questio ) Il faut doc effectuer au mois 3 tirages das l'ure pour que la probabilité d'obteir au mois ue boule blache soit supérieure à,99. TS - logarithmes Page 3/6 Versio du 5/9/6

24 Cours et eercices corrigés de mathématiques - TS - documet gratuit dispoible sur JGCUAZ.FR Correctio de l'eercice 9 (retour à l'éocé) a) L'équatio X X 6= est de la forme + + = avec a =, b = et c = 6 ax bx c O calcule so discrimiat : b ac Puisque >, l'équatio = 4 = 4 6 = 5 X X 6= admet deu solutios réelles distictes : b 5 5 b X = = = = et X = = = = 3 a a L'esemble des solutios de l'équatio X X 6= est S = { ;3} b) L'équatio ( l ) l 6 = est défiie sur ] [ E posat précédemmet résolu. ;+. X = l, l'équatio ( l ) l 6 = deviet X X 6=, que l'o a X = l = = e et E "reveat" à l'icoue, o obtiet : 3 X = 3 l = 3 = e L'esemble des solutios de l'équatio l l 6 = est S = { e ; e 3 } Correctio de l'eercice (retour à l'éocé) a) Notos P( X) = X 3X 4 qui est u triôme de la forme b = 3 et 4 c =. O calcule so discrimiat : = = 5. P X = ax + bx + c avec a =, Puisque >, le triôme P admet deu racies distictes : b b X = = = = et X = = = = 4. a a Puisque a >, o e coclut que le sige de P est doé par le tableau suivat : Aisi, X 3X 4 P( X) si et seulemet si X ] ; ] [ 4; + [ b) L'iéquatio ( l ) 3l 4 est défiie sur ] [ E posat ;+. X = l, l'iéquatio ( l ) 3l 4 deviet précédemmet résolu. E "reveat" à l'icoue, o obtiet : 4 ] ] [ [ ] ] [ [ X ; 4; + l ; 4; + ; e e ; + L'esemble des solutios de l'iéquatio X 3X 4, que l'o a 4 l 3l 4 est S = ; e e ; + TS - logarithmes Page 4/6 Versio du 5/9/6

25 Cours et eercices corrigés de mathématiques - TS - documet gratuit dispoible sur JGCUAZ.FR LIMITES DE LA FONCTION LOGARITHME NEPERIEN 3) Limites liées à la foctio l Propriétés : ) lim l = + ) liml = + > Preuves : ) Soit A u réel strictemet positif. Si o pose A a = e, o aura, d après la stricte croissace de la foctio l : A l( e ) A > c est-à-dire a > A a > e l > Ceci correspod à la défiitio de lim l = + + > l. ) Pour tout réel strictemet positif, l = ( ) ( l ) = l lim = + > liml = +. > et lim l( X ) = + X +, doc par compositio (e ayat posé X = ), o trouve liml = lim l Comme, o e déduit avec la règle du produit, que liml = > > > Propriétés : ) l lim h h ( + h) = ) l lim = + 3) lim l = > Preuves : ) Il s agit d ue forme idétermiée ( + h) l( + h) l l lim = lim h h etre et +h + h = limr h h ( h) où r ( h) est le tau d accroissemet de la foctio l TS - logarithmes Page 5/6 Versio du 5/9/6

26 Cours et eercices corrigés de mathématiques - TS - documet gratuit dispoible sur JGCUAZ.FR Puisque la foctio l est dérivable sur ] ;+ [, la limite du tau d accroissemet est égale à la = l = = valeur du ombre dérivé e, c est-à-dire ) Il s agit d ue forme idétermiée «O a l l = e e l ( ) l( ) l = + + limr h h» lim et lim = + d après ue limite de la foctio epoetielle. X + X Or l = + + e X Le théorème de compositio des limites, e ayat posé X O e coclut, par quotiet, que lim l = c est-à-dire + e l» 3) Il s agit d ue forme idétermiée «( ) = l, permet d écrire l lim = + + ( ) l e lim l = +. Pour tout >, l Puisque lim = + et puisque > l = l = ( X ) l lim =, o e coclut, e posat X + X X =, que lim l = > O retiedra qu e cas de forme idétermiée faisat iterveir la foctio l, celle-ci e fait jamais la décisio TS - logarithmes Page 6/6 Versio du 5/9/6

27 Cours et eercices corrigés de mathématiques - TS - documet gratuit dispoible sur JGCUAZ.FR FONCTION LOGARITHME NEPERIEN EXERCICES Eercice (correctio) f est la foctio défiie sur ] ;+ [ par = l f ) Etudier la limite de f e. ) Avec la calculatrice, cojecturer la limite de f e + puis la justifier. Eercice (correctio) Détermier les limites des foctios suivates au bores de leur esemble de l'itervalle I ) f l ( 3) =, I = ; 3 ) f + e = l, I = 3) f = l, I = ] ; + [ 4) f 5 = l 3 +, I = ] 3;5[ Eercice 3 (correctio) C est la courbe représetative de la foctio l das u repère orthoormé d'uité graphique cm. A tout poit M de C o associe les poits P et N projetés orthogoau respectifs de M sur l'ae des abscisses et sur l'ae des ordoées. Quel est la distace ON arrodie à l'uité lorsque la distace OP est égale à km? km? km? Eercice 4 (correctio) Das u repère, C et C' sot les courbes respectives des foctios l et l ( + ) A et B sot deu poits d'abscisses situés respectivemet sur C et C'. Détermier la limite de la logueur AB lorsque ted vers + TS - logarithmes Page 7/6 Versio du 5/9/6

28 Cours et eercices corrigés de mathématiques - TS - documet gratuit dispoible sur JGCUAZ.FR Eercice 5 (correctio) f est la foctio défiie sur ] ;+ [ par f l 3 = +. Etudier la limite de f e + Eercice 6 (correctio) Soit f la foctio défiie sur ] ;[ par f + 3 =. l Détermier les limites de f au bores de so esemble de défiitio et motrer alors que la courbe représetative Cf de f admet ue uique asymptote verticale. Eercice 7 (correctio) Détermier les limites des foctios suivates au valeurs idiquées : a) f = l e + b) g l = e + c) ( l ) l e et e + TS - logarithmes Page 8/6 Versio du 5/9/6

29 Cours et eercices corrigés de mathématiques - TS - documet gratuit dispoible sur JGCUAZ.FR FONCTION LOGARITHME NEPERIEN CORRECTION Correctio de l'eercice (retour à l'éocé) ) lim = et liml > = doc par différece lim f > = + ) Grâce à la calculatrice graphique, o cojecture que lim f + = + O le démotre : Pour tout ] ; + [, Puisque l f = l lim =, o e déduit + l lim = + puis par produit, que lim f + = + Correctio de l'eercice (retour à l'éocé) ) lim 3 X 3 < 3 = + et puisque lim l ( X ) X + = 3) que lim f = + lim 3 = avec (e ayat posé X 3 ) lim e = doc (e ayat posé lim e ayat posé 3) X = + doc X lim > = +, o e coclut par compositio (e ayat posé < 3 > et puisque lim l ( X ) =, o e coclut par compositio 3 X = ) que lim f 3 < 3 + e lim + e = ) que f + e + e lim + = ) que lim f = X > = et puisque ( X ) lim l l =, o e coclut par compositio X lim = l = + et puisque lim l ( X ) + = + X + = +, o e coclut par compositio (e = et liml = doc o est e présece d'ue forme idétermiée " > Puisque pour tout ] ; [ +, l = l doc f = l " TS - logarithmes Page 9/6 Versio du 5/9/6

30 Cours et eercices corrigés de mathématiques - TS - documet gratuit dispoible sur JGCUAZ.FR E posat X lim + 4) X 5 < 5 3 > 3 =, o a, par compositio, lim l = lim X l ( X) = d'après le cours X > > = + et lim l = + doc par produit, lim f 5 lim = = ) que lim f + 5 lim = avec et puisque lim l ( X ) > = + compositio (e ayat posé X + 5 3< < 5 > 3 + X 5 3 = ) que lim f + + = + = +, o e coclut par compositio (e ayat posé et puisque lim l ( X ) 5 < 5 Correctio de l'eercice 3 (retour à l'éocé) = X X > =, o e coclut par Par défiitio de la courbe représetative de la foctio l, le poit N correspodat à u poit P f = l d'abscisse aura ue ordoée égale à O e coclut que : Si OP= km alors Si OP= km alors = doc ON = l ( ),5cm = doc ON = l ( ) 3,8 = doc ON Si OP= km alors Correctio de l'eercice 4 (retour à l'éocé) Pour tout réel, puisque l ( ) l cm = l 8, 4cm +, la logueur AB est doée par : + AB = l ( + ) l = l = l + Puisque lim + = et puisque lim l ( X ) =, o e coclut par compositio (e ayat posé + X X = + ) que lim l + =. + Détermier la limite de la logueur AB lorsque ted vers + vaut Correctio de l'eercice 5 (retour à l'éocé) Puisque lim l = + et lim = +, o est e présece d'ue forme idétermiée " + ". + + Pour tout ] ; + [, f ( ) Puisque lim l = + et lim + = l = +, o e coclut par produit, que lim f + = +. TS - logarithmes Page 3/6 Versio du 5/9/6

31 Cours et eercices corrigés de mathématiques - TS - documet gratuit dispoible sur JGCUAZ.FR Correctio de l'eercice 6 (retour à l'éocé) lim + 3 = 3 et liml > = doc par quotiet f lim = > lim + 3 = 4 et lim l = avec l < Puisque lim f < d'équatio = < < <. O e coclut par quotiet que lim f < = =, la courbe représetative de f admet pour asymptote verticale la droite Correctio de l'eercice 7 (retour à l'éocé) a) Pour tout >, l f = l Puisque lim =, o aura + lim + f = + b) Pour tout >, g l Puisque lim = et + c) Puisque Puisque liml > lim l + idétermiée " + ". Pour tout Puisque lim + f l lim = et puisque lim = +, o e coclut par produit que + + l l = = lim + = =, o e coclut par produit que g lim = + = o aura lim( l ) = + et o déduit par soustractio que lim f > = + o aura lim l + f >, ( l ) l l ( l ) = =. > = + = + doc o sera e présece d'ue forme lim l = + o aura lim l = + et o e coclut doc par produit que + = + + TS - logarithmes Page 3/6 Versio du 5/9/6

32 Cours et eercices corrigés de mathématiques - TS - documet gratuit dispoible sur JGCUAZ.FR FONCTION LOGARITHME NEPERIEN EXERCICES D'ETUDES Eercice 8 (correctio) Détermier la foctio dérivée de f défiie sur ] ;+ [ par : a) f = ( l + ) b) f = ( 3+ )( l ) 3 Eercice 9 (correctio) Das chaque cas, détermier la foctio dérivée de la foctio défiie sur l'itervalle I : a) f l + = l, I = ] e; + [ b) f + = l +, I = ; e Eercice 3 (correctio) O cosidère la foctio f défiie sur ] ;+ [ par f = + l ) Etudier les limites de f au bores de so esemble de défiitio ) Détermier les variatios de f sur ] ;+ [ 3) a) Démotrer que l'équatio f ( ) = admet ue uique solutio α ] ; + [ b) Détermier u ecadremet de α d'amplitude 3 TS - logarithmes Page 3/6 Versio du 5/9/6

33 Cours et eercices corrigés de mathématiques - TS - documet gratuit dispoible sur JGCUAZ.FR FONCTION LOGARITHME NEPERIEN EXERCICES D'ETUDES - Correctio de l'eercice 8 (retour à l'éocé) a) Pour tout ] ; + [, CORRECTION f = ( l + ) + ( l + ) = ( l + ) ( l + ) + 4 = l + l + 5 b) Pour tout ] ; + [, 3 f = 3 ( l ) + ( 3+ ) 3 ( l ) = 3 ( l ) l + ( 3+ ) = 3( l ) l Correctio de l'eercice 9 (retour à l'éocé) a) Pour tout ] e; + [, f b) Pour tout ; e : l l ( l ) ( l + ) = = = ( l + ) ( + ) l + l + f = = = = ( l ) ( l ) ( l ) l + ( l + ) ( l + ) ( l + ) ( l + ) Correctio de l'eercice 3 (retour à l'éocé) ) lim = et liml = doc par somme lim f > > lim + > = + et lim l = + doc par somme lim f = = + ) Pour tout ] ; + [, f = + = > doc f est strictemet croissate sur ] ;+ [ 3) a) Puisque f est cotiue et strictemet croissate sur ] ;+ [ et puisque lim f ; lim f, l'etesio du corollaire du théorème des valeurs itermédiaires affirme + > l'eistece et l'uicité d'ue solutio α ] ; + [ à l'équatio f ( ) = b) Grâce à la foctio "tableau de valeurs de la calculatrice, o a déduit que,34 < α <,35 TS - logarithmes Page 33/6 Versio du 5/9/6

34 Cours et eercices corrigés de mathématiques - TS - documet gratuit dispoible sur JGCUAZ.FR FONCTION LOGARITHME NEPERIEN 4) Foctios composées avec la foctio l Soit u ue foctio dérivable et strictemet positive sur u itervalle I. O cosidère la foctio g défiie sur I par : pour tout I, g = u l Propriétés : u La foctio g est dérivable sur I et pour tout I, g = u Eemple : Soit g la foctio défiie sur par g = l ( + ) La foctio g état de la forme g = u avec que pour tout, g 4 u = = u + l u = + u = 4, o e déduit TS - logarithmes Page 34/6 Versio du 5/9/6

35 Cours et eercices corrigés de mathématiques - TS - documet gratuit dispoible sur JGCUAZ.FR FONCTION LOGARITHME NEPERIEN ET COMPOSITION Eercice 3 (correctio) Détermier la foctio dérivée de la foctio f défiie sur l'itervalle I. ) f = l ( + ), I = ) f l ( e ) 3) f + = l 3 = +, I =, I = ] 3; + [ 4) f = l ( l ), I = ] ; + [ Eercice 3 (correctio) Selo ue étude démographique, la populatio d'ue régio caadiee peut être modélisée t aées après 5 ( t Pt = t ) par 4 l 7 t E quelle aée cette populatio était-elle maimale selo l'étude? Eercice 33 (correctio) ) Soit f la foctio telle que f = l( 36) a) Détermier l esemble de défiitio D de f. b) Etudier les variatios de f sur D. ) Soit g la foctio défiie sur J = ] 3; + [ par g Dresser le tableau de variatios de g sur J Eercice 34 (correctio) O doe ci-dessous la courbe représetative 5 + = l 3. C u d'ue foctio u défiie et dérivable sur TS - logarithmes Page 35/6 Versio du 5/9/6

36 Cours et eercices corrigés de mathématiques - TS - documet gratuit dispoible sur JGCUAZ.FR ) Détermier l'esemble de défiitio de la foctio l ( u ) ) Etudier les limites de la foctio l ( u ) au bores de so esemble de défiitio. 3) Etudier le ses de variatio de la foctio l ( u ) 4) Dresser le tableau de variatio de la foctio l ( u ) Eercice 35 (correctio) La foctio f est défiie sur ] [ ;+ par : f = l ( e ) O ote C sa courbe représetative das u repère. ) a) Etudier les limites de f au bores de so esemble de défiitio b) Détermier la foctio dérivée de f c) Dresser le tableau de variatios de f ) a) Motrer que pour tout >, f = + l ( e ) b) Détermier la limite de f e + c) Etudier la positio de C par rapport à la droite d'équatio y = 3) a) Doer ue iterprétatio géométrique des questios ) b) et ) c) b) tracer la courbe C et la droite TS - logarithmes Page 36/6 Versio du 5/9/6

37 Cours et eercices corrigés de mathématiques - TS - documet gratuit dispoible sur JGCUAZ.FR FONCTION LOGARITHME NEPERIEN - CORRECTION Correctio de l'eercice 3 (retour à l'éocé) ) Pour tout, = avec f l ( u ) O a doc : Pour tout, f u = + u = u = = u + ) Pour tout, = avec f l ( u ) u e O a doc : Pour tout, f = = u + e 3) Pour tout ] 3; + [, f = l ( u ) avec : + ( 3) ( + ) 5 u = u = = 3 ( 3) ( 3) O a doc : Pour tout ] 3; + [, f 4) Pour tout ] ; [ u = + e u = e 5 u = = = = u u = l u = f u = = = u l l +, = avec O a doc : Pour tout ] ; [ f l ( u ) +, ( 3) Correctio de l'eercice 3 (retour à l'éocé) Pour tout t [ ;] : t 7 4 l 4 7 t P t = + t 4 l 4t 7 t = + 7 7t 7 t t = 4 4l 4 = 4l 7 7 t t t P t < < t O a doc : 4l l 7 La foctio P est doc strictemet croissate sur [ ; 7 ] puis strictemet décroissate sur [ ] Elle atteit doc so maimum lorsque t = 7. Selo cette étude, la populatio était maimale e 5+7= 7;. TS - logarithmes Page 37/6 Versio du 5/9/6

38 Cours et eercices corrigés de mathématiques - TS - documet gratuit dispoible sur JGCUAZ.FR Correctio de l'eercice 33 (retour à l'éocé) ) a) La foctio f est défiie pour toutes les valeurs de telles que 36 > ] ; 6[ ] 6; + [. Notos D = ] ; 6[ ] 6; + [ b) Pour tout D, f = l ( u ) avec u = 36 u = u O a doc : Pour tout D, f = = u 36 Puisque pour tout D, 36 >, le sige de f sera doé par celui de. Aisi, pour tout ] ; 6[, f < et pour tout ] 6; + [, f >. La foctio f est doc strictemet décroissate sur ] ; 6[ et strictemet croissate sur ] 6;+ [ ) Pour tout J, = u avec u u g l ( ) ( ) = = = u ( 3) Aisi, pour tout J, g = = = = u 5 + ( 3) 5+ ( 3)( 5+ ) 3 Or si J alors 3>, 5 + > et o e déduit par quotiet que 7 g = < La foctio g est doc strictemet décroissate sur J. 5 + Puisque lim = + et puisque lim l ( X ) = +, o e coclut par compositio (e ayat 3 3 X + posé > X = 3 ) que lim f ( ) 3 > 3 = Puisque lim = 5 et puisque lim l ( X ) = l ( 5), o e coclut par compositio (e ayat posé + 3 X X = 3 ) que lim f ( ) = l ( 5) + Le tableau de variatios de g sur J est doc : TS - logarithmes Page 38/6 Versio du 5/9/6

39 Cours et eercices corrigés de mathématiques - TS - documet gratuit dispoible sur JGCUAZ.FR Correctio de l'eercice 34 (retour à l'éocé) ) La foctio l ( u ) sera défiie pour toutes les valeurs de pour lesquelles u( ) > D'après le graphique précédet, o a u > ] 4;[. La foctio l ( u ) est doc défiie sur ] 4;[ ) Puisque lim u =, limu =, 4< < u > et puisque lim l ( X ) 4 > 4 < coclut par compositio (e ayat posé X = u ) que lim l ( u ) = et liml ( u ) 4 > 4 u 3) Pour tout ] 4;[, f = et puisque pour tout ] 4;[, u( ) > u f sera idetique à celui de u Aisi, f est strictemet croissate sur ] 4; ] puis strictemet décroissate sur [ ; [ Elle atteit so maimum e - et ce maimum vaut f ( ) = l ( u( ) ) = l 4) Le tableau de variatios de l ( u ) est doé ci-dessous : X X > <, doc les variatios de f serot idetiques à celles de u. =, o e =, le sige de Correctio de l'eercice 35 (retour à l'éocé) ) a) lim e = avec e > compositio (e ayat posé X e lim e + = + et puisque lim l ( X ) > > et puisque lim l ( X ) = ) que lim f X + X = e ) que lim f = + + b) Pour tout ] ; [ > = X X > +, = avec f l ( u ) O a doc : Pour tout ] ; + [, f =, o e coclut par = +, o e coclut par compositio (e ayat posé u = e u = e e u e = = u c) Puisque pour tout ] ; + [, e >, le sige de f O a doc : Pour tout ] ; + [ e f sur ] ;+ [ et so tableau de variatios est doé par : sera doé par celui de e. > >. La foctio f est doc strictemet croissate TS - logarithmes Page 39/6 Versio du 5/9/6

40 Cours et eercices corrigés de mathématiques - TS - documet gratuit dispoible sur JGCUAZ.FR ) a) Pour tout ] ; [ b) Pour tout ] ; [ e +, f = l e = l ( e ) + l ( e ) = + l ( e ) +, o a f = l ( e ) t Puisque lim e lim e + = = + = et puisque ( X ) t (e ayat posé X e c) Pour tout ] ; [ = ) que lim f = + +, f = l ( e ) Puisque pour tout ] ; [ c'est-à-dire f <. lim l =, o e coclut par compositio X +, e >, o aura successivemet : e < doc ( e ) l < O e coclut que la courbe C est toujours strictemet e dessous de la droite d'équatio y = 3) a) Puisque lim f = et puisque pour tout ] ; + [, f + droite d'équatio y strictemet e dessous de b) Voir ci-dessous <, o e coclut que la = est asymptote oblique à la courbe C e + et que celle-ci est toujours TS - logarithmes Page 4/6 Versio du 5/9/6

41 Cours et eercices corrigés de mathématiques - TS - documet gratuit dispoible sur JGCUAZ.FR 5) Foctio logarithme décimal Défiitio : FONCTION LOGARITHME DECIMAL O appelle foctio logarithme décimal la foctio log défiie sur ] ;+ [ par log l = l Coséqueces : ) Pour tout etier, log( ) ) Pour tout réel >, log, 43l l l = = = l l Propriétés : ) log( ) = et log = ) La foctio log est défiie et dérivable sur ] ;+ [ 3) La foctio log est strictemet croissate sur ] ;+ [ 4) Pour tous réels a et b strictemet positifs et u etier quelcoque : ( a b) = ( a) + ( b) log log ( a) log ( b) log log log a = b log ( a ) = log ( a) Preuves : ) log( ) = log( ) = et ) Pour tout de ] ;+ [ : log log = log = l = = l. Or la foctio l est cotiue et l l dérivable sur ] ;+ [ doc il e sera de même de la foctio log et log 3) Puisque pour tout ] ; + [, log = et puisque l ( ) = l l > et >, o e déduit que pour tout ] ; + [, log >. La foctio log est doc strictemet croissate sur ] ;+ [ 4) Des propriétés se déduiset des propriétés sur la foctio l : l a b l a + l b l a l b log ( a b) = = = + = log a + log b l l l l TS - logarithmes Page 4/6 Versio du 5/9/6

42 Cours et eercices corrigés de mathématiques - TS - documet gratuit dispoible sur JGCUAZ.FR Utilisatio des logarithmes décimau E chimie, o eprime le caractère acido-basique d ue solutio au moye d u idicateur oté ph : ph = log H3O + où HO + 3 est eprimé e mol L La puissace d u so est doée e décibels par perceptible par l oreille humaie. log I, I état l itesité la plus faible I TS - logarithmes Page 4/6 Versio du 5/9/6

43 Cours et eercices corrigés de mathématiques - TS - documet gratuit dispoible sur JGCUAZ.FR FONCTION LOGARITHME DECIMAL - EXERCICES Eercice 36 (correctio) Le ph d'ue solutio e foctio de la cocetratio des ios ooium est doé par la formule : ph H O + HO + = log 3 où 3 est eprimée e moles par litres. ) Calculer le ph d'ue eau savoeuse dot la cocetratio e ios HO + 3 est 5 Cette solutio est-elle acide ou basique? ) Calculer la cocetratio e ios HO + 3 a) eau pure de ph 7 b) soda de ph,6 c) eau de mer de ph 8. des solutios suivates : 3) Commet varie la cocetratio e ios HO + 3 quad le ph augmete? TS - logarithmes Page 43/6 Versio du 5/9/6

44 Cours et eercices corrigés de mathématiques - TS - documet gratuit dispoible sur JGCUAZ.FR Eercice 37 (correctio) Le iveau d'itesité soore L (e décibels) d'u so est doé par la formule L log I =, où I I est l'itesité du so (e W m ) et I le seuil d'audibilité (itesité au-dessous de laquelle o 'eted pas le so). O predra =. I W m ) Compléter le tableau suivat : L (e db) I (e W m ) Eemple 4 Avio au décollage Discothèque Marteau piqueur 4 Restaurat scolaire 6 Salle de classe 5 Coversatio ormale Vet léger ) Lorsque l'itesité I, double, de combie de décibels augmete L? 3) Lorsque L augmete de db, par combie est multiplié I? Eercice 38 (correctio) Sur l'échelle de Richter, la magitude M d'u tremblemet de terre d'itesité I est doé par la relatio : M log I = I où I est ue itesité miimale de référece. a) Quelle est la magitude d'u tremblemet de terre d'itesité I b) Les plus grades magitudes de séismes eregistrées se sot situées etre 8 et 9 sur l'échelle de Richter. Calculer les itesités correspodates e foctio de I c) Le ombre moye N de séismes qui ot ue magitude comprise etre M et M+ peut être approché par la relatio log N = 7,7,9M Combie y-a-t'il e ue aée de séismes de magitude comprise etre 4 et 5? TS - logarithmes Page 44/6 Versio du 5/9/6

45 Cours et eercices corrigés de mathématiques - TS - documet gratuit dispoible sur JGCUAZ.FR Eercice 39 (correctio) Le ombre 4369 N = est le plus grad ombre premier cou e jui a) Eprimer log ( N + ) e foctio de log. b) Détermier à l'aide de la calculatrice, la partie etière de log ( N + ) c) E déduire l'ecadremet : < < d) Idiquer le ombre de chiffres de l'écriture décimale de N. TS - logarithmes Page 45/6 Versio du 5/9/6

46 Cours et eercices corrigés de mathématiques - TS - documet gratuit dispoible sur JGCUAZ.FR FONCTION LOGARITHME DECIMAL - CORRECTION Correctio de l'eercice 36 (retour à l'éocé) ) O a ph = log 5 9,3 à, près. Cette solutio est basique. ) O doit résoudre les équatios : a) b) c) ph= 7 log HO = 7 log HO = 7 HO = e 9, moles par litres ph= HO = HO = HO = e + + +,6,6 log 3,6 log 3,6 3,74 ph= 8 log HO = 8 log HO = 8 HO = e 3,35 moles/l moles par litres 3) Le ph augmete si et seulemet si log HO + 3 augmete si et seulemet si log HO + 3 dimiue. Comme la foctio log est strictemet croissate sur ] ;+ [, o e coclut que Le ph augmete si et seulemet si la cocetratio e ios HO + 3 dimiue Correctio de l'eercice 37 (retour à l'éocé) Pour l'avio au décollage, si L=4 db, alors: 4 I log 4 I log = = 4 ( I ) log = log = I 4 4 I = = W m Pour la discothèque, si I = W m alors : L log = = log = = db Pour le marteau piqueur, si L= db, alors: TS - logarithmes Page 46/6 Versio du 5/9/6

47 Cours et eercices corrigés de mathématiques - TS - documet gratuit dispoible sur JGCUAZ.FR I log I log = = ( I ) log = log = I I = = W m 4 Pour le restaurat scolaire, si I = W m alors : 4 L = log = log = log 4+ 8 = 8 = 8dB Pour la salle de classe, si L=6 db, alors: I 6 log I 6 log = = 6 ( I ) log = log = I I = = W m 5 Pour ue coversatio ormale, si I = W m alors : 5 L = log = log = log 5+ 7 = 7 = 7dB Pour u vet léger, si L= db, alors: TS - logarithmes Page 47/6 Versio du 5/9/6

48 Cours et eercices corrigés de mathématiques - TS - documet gratuit dispoible sur JGCUAZ.FR I log I log = = ( I ) log = log = I I = = W m ) Soit I ue itesité doé. Le ombre de décibels associé vaut Supposos que I deviee égale à I. Le ombre de décibels associé vaut alors : I I I L = log = log + log = log + log I I I Ceci sigifie que le ombre de décibels a augmeté de log 3 3) Soit I ue itesité doé. Le ombre de décibels associé vaut Supposos que L augmete de db. La ouvelle itesité I vérifie L log I + =. I I I L'égalité log + = log est successivemet équivalete à I I I I = log log I I L log I = I L log I = I I I = log I I I = log I I log( ) = log I I = I I = I E coclusio, si L augmete de db, l'itesité I sera multipliée par. TS - logarithmes Page 48/6 Versio du 5/9/6

49 Cours et eercices corrigés de mathématiques - TS - documet gratuit dispoible sur JGCUAZ.FR Correctio de l'eercice 38 (retour à l'éocé) I 3 a) O calcule M = log = log( ) = log( ) = 3 I La magitude d'u tremblemet de terre d'itesité I vaut 3 M = alors b) Si 8 Si 9 I I I 8 = log log 8 = log 8 = I = 8 I I I I I I I 9 = log log 9 = log 9 = I = 9 I I I I M = alors Les séismes de magitude situées etre 8 et 9 correspodet à des itesités comprises etre 9 et I c) O calcule : log N = 7,7,9 4 = 4, doc : log N = 4, log = log 4, N = 4, 589 Il y a e moyee, sur ue aée, 589 séismes de magitude comprise etre 4 et 5 8 I Correctio de l'eercice 39 (retour à l'éocé) a) O calcule log( N + ) = log( 4369 ) = 4369log b) Grâce à la calculatrice, o obtiet : log( N + ) = 4369log La partie etière de log ( N + ) est doc égale à c) Puisque la partie etière de log ( N + ) est égale à 97888, o écrit doc successivemet : < log( N + ) < log( ) < log( N + ) < log( ) ( ) ( N ) ( ) log < log + < log < N + < par stricte croissace de la foctio log sur ] [ c'est-à-dire d) Puisque < < ;+, s'écrit avec u suivi de zéros, doc avec chiffres, que s'écrit avec 9789 chiffres, et compte teu de l'ecadremet < <, o e déduit que le ombre 4369 s'écrit avec chiffres. TS - logarithmes Page 49/6 Versio du 5/9/6

50 Cours et eercices corrigés de mathématiques - TS - documet gratuit dispoible sur JGCUAZ.FR FONCTION LOGARITHME NEPERIEN EXERCICES DE SYNTHESE Eercice 4 (correctio) Soit ( u ) la suite défiie par : u = u+ = u l u + pour tout Partie A Soit f la foctio défiie sur par : f = l ( + ) ) Résoudre das l'équatio f = ) Etudier le ses de variatio de la foctio f sur l'itervalle [ ; ] E déduire que si [ ;] alors f [ ;] Partie B ) Démotrer par récurrece que, pour tout, u [ ;] ) Etudier le ses de variatio de la suite ( u ) 3) Démotrer que la suite est covergete. Détermier sa limite Eercice 4 (correctio) Soit ( u ) la suite défiie par : u = e u+ = e u pour tout. ) Motrer par récurrece que pour tout, u > ) v est la suite défiie sur par v = l u. a) Motrer que v est ue suite géométrique dot o précisera la raiso et le premier terme. b) Eprimer v puis u e foctio de. c) u admet-elle ue limite? Si oui laquelle? Eercice 4 (correctio) Soit ϕ la foctio défiie sur l'itervalle [ ; + [ par : ϕ = + l ) a) Etudier le ses de variatio de la foctio ϕ sur l'itervalle [ ; + [. b) Calculer ϕ ( e). Démotrer que l'équatio ϕ = admet ue uique solutio [ ; e] Détermier u ecadremet de α d'amplitude,. α. TS - logarithmes Page 5/6 Versio du 5/9/6

51 Cours et eercices corrigés de mathématiques - TS - documet gratuit dispoible sur JGCUAZ.FR c) Détermier le sige de ϕ suivat les valeurs de. l =. + ) Soit f la foctio défiie sur l'itervalle [ ; + [ par : f a) Calculer f et motrer que pour tout =, o a f ϕ ( + ) b) Déduire de la questio ) le ses de variatio de la foctio f sur l'itervalle [ ; + [ c) Démotrer que pour tout apparteat à l'itervalle [ ; + [, f d) E déduire lim f + l Eercice 43 (correctio) k désige u ombre réel strictemet positif. f k est la foctio défiie sur [ [ ;+ par : k l C k est sa courbe représetative das u repère. ) a) Détermier la foctio dérivée de f k b) Dresser le tableau de variatio de f k ) a) Motrer que pour tout b) E déduire la limite de f k e +, l f = e + k. fk = + k e 3) a) Détermier ue équatio de la tagete T k à b) Etudier les positios relatives des courbes C p et c) Tracer les courbes C, C, T et T C k à l'origie O du repère. C m telles que < p< m Eercice 44 d'après FESIC 6 - VRAI ou FAUX? (correctio) O cosidère la foctio f défiie sur I = ] 5; + [ par f ( ) ( ) = l + 3l O ote Cf sa représetatio graphique das u repère orthoormé ( Oi ; ; j) = a. f ( + )( 5 ) b. Cf admet la droite d équatio = 5 comme asymptote verticale. TS - logarithmes Page 5/6 Versio du 5/9/6

52 Cours et eercices corrigés de mathématiques - TS - documet gratuit dispoible sur JGCUAZ.FR c. f 5 ( + ) 3 ( 5) e = l d. Cf admet la droite d équatio y = 5 comme asymptote horizotale e + Eercice 45 d'après FESIC 6 - VRAI ou FAUX? (correctio) =. O cosidère la foctio f défiie sur ]-;[ par O ote Cf sa représetatio graphique das u repère orthoormé ( Oi ; ; j) f (fig. ci-cotre). = a. La dérivée de f est défiie sur ]-;[ par f ( ) b. La tagete à la courbe Cf au poit A d abscisse =,5 est parallèle à la droite (D) d équatio 6 9y 7 =. c. La foctio F défiie sur ]-;[ par F = l + est ue primitive de f. d. L aire du domaie (hachuré sur la figure) compris etre les droites d équatios l ae des abscisses et la courbe Cf vaut, e uités d aires du repère, l ( 3 ) =, =, Eercice 46 - Bac S Podichery 6 (correctio) Soit f la foctio défiie sur ];4] par l f = TS - logarithmes Page 5/6 Versio du 5/9/6

53 Cours et eercices corrigés de mathématiques - TS - documet gratuit dispoible sur JGCUAZ.FR La courbe représetative Cf de la foctio f est doée das le repère orthogoal d origie O cidessous : À tout poit M apparteat à Cf o associe le poit P projeté orthogoal de M sur l ae des abscisses, et le poit Q projeté orthogoal de M sur l ae des ordoées. - L aire du rectagle OPMQ est-elle costate quelle que soit la positio du poit M sur Cf? - L aire du rectagle OPMQ peut-elle être maimale? Si oui, préciser les coordoées du poit M correspodat. Justifier les réposes. TS - logarithmes Page 53/6 Versio du 5/9/6

54 Cours et eercices corrigés de mathématiques - TS - documet gratuit dispoible sur JGCUAZ.FR FONCTION LOGARITHME NEPERIEN EXERCICES DE SYNTHESE Correctio de l'eercice 4 (retour à l'éocé) Partie A ) O résout : Pour tout, CORRECTION f = + = + = = = l ) La foctio f est dérivable sur [ ; ] comme différece et composée de foctios qui le sot et puisque pour tout [ ;], f = l ( g ) avec g = + g =, o aura : Pour tout [ ;], f Puisque pour tout [ ;] + + ( ) = = = = , ( ) + Comme f ( ) = l ( + ) = et si [ ;] alors f [ ;[ doc f [ ;], o e coclut que f est strictemet croissate sur [ ; ] f = l + = l <, o e coclut que : Partie B ) Notos P( ) la propriété " u [ ;] ". Puisque u =, o a bie u [ ;]. La propriété P ( ) est doc vraie. La propriété P( ) est doc iitialisée pour = Supposos la propriété P( p ) vraie pour u etier p, à savoir p [ ;] P( p+ ) sera vraie, à savoir u p + [ ;] Si [ ;] p u et démotros qu'alors u, alors d'après la questio ) de la partie A, o aura [ ;] [ ] u + ;. p f u c'est-à-dire La propriété P( ) est doc héréditaire Puisque la propriété P( ) est iitialisée pour = et héréditaire, o e coclut, d'après le pricipe de récurrece, qu'elle est vraie pour tout Aisi, o a bie : pour tout, u [ ;] ) Notos u u Puisque P la propriété " ". + u =, o calcule u u ( u ) = l + = l < et o coclut que u u La propriété P ( ) est doc vraie. La propriété P( ) est doc iitialisée pour = Supposos la propriété P( p ) vraie pour u etier u u P p+ sera vraie, à savoir p p + + p, à savoir up+ up et démotros qu'alors p TS - logarithmes Page 54/6 Versio du 5/9/6

55 Cours et eercices corrigés de mathématiques - TS - documet gratuit dispoible sur JGCUAZ.FR Puisque la foctio f est strictemet croissate sur [;] et puisque pour tout p o a u p [ ;] et u + [ ], o écrit successivemet et de maière équivalete : u p p+ ; u p ( p+ ) f ( up) f u u u, qui est la propriété P( p+ ) p+ p+ La propriété P( ) est doc héréditaire Puisque la propriété P( ) est iitialisée pour = et héréditaire, o e coclut, d'après le pricipe de récurrece, qu'elle est vraie pour tout Aisi, o a bie : pour tout, u décroissate. + u, ce qui permet de coclure que la suite ( ) u est 3) La suite ( u ) état décroissate (questio ) et miorée (par, cf questio ), o e déduit qu'elle coverge vers ue limite l Puisque f est cotiue sur [ ; ], cette limite vérifie f ( l) partie A, questio ), et qui a doé : l = La suite ( u ) coverge doc vers. = l, équatio qui a été résolue das la Correctio de l'eercice 4 (retour à l'éocé) ) Notos P la propriété " u > ". Puisque u = e, o a bie u >. La propriété ( ) La propriété P( ) est doc iitialisée pour = Supposos la propriété P( p ) vraie pour u etier P( p+ ) sera vraie, à savoir u p + > Par défiitio de la suite ( ) u e u P est doc vraie. p, à savoir u > et démotros qu'alors u, o a : = doc p+ p u p + > par défiitio d'ue racie carrée La propriété P( ) est doc héréditaire Puisque la propriété P( ) est iitialisée pour = et héréditaire, o e coclut, d'après le pricipe de récurrece, qu'elle est vraie pour tout Aisi, o a bie : pour tout, u > ) a) Pour tout, v+ = l u+ = l e u = l ( e u) = l ( e) + l u = + l u = l u = ( l u ) = v La suite v est doc géométrique de raiso et de premier terme v = l u = l e = = p TS - logarithmes Page 55/6 Versio du 5/9/6

56 Cours et eercices corrigés de mathématiques - TS - documet gratuit dispoible sur JGCUAZ.FR b) Puisque v est ue suite géométrique de raiso et de premier terme v =, o a : Pour tout, v = = Puisque pour tout, v = l u o e déduit que : Pour tout, c) Puisque lim = puis v u = e = e < <, o e déduit successivemet : lim + = et o e coclut que lim u + + = e Correctio de l'eercice 4 (retour à l'éocé) ) a) Pour tout [ ; + [, ϕ Puisque pour tout [ ; + [, l = 4l + = 4l = 4l, o e déduit par produit que pour tout [ ; [ 4l, c'est-à-dire ϕ, doc que la foctio ϕ est strictemet décroissate sur [ ; + [ b) O a ϕ e = + e e l e= e < De plus, ϕ = + l = > +, Puisque ϕ est cotiue et strictemet décroissate sur [ ; + [, et que ϕ( e) ; ϕ, le corollaire du théorème des valeurs itermédiaires affirme l'eistece et l'uicité d'ue solutio α [ ; e] à l'équatio ϕ = A l'aide de la calculatrice, o trouve :,8 < α <,9 c) Puisque ϕ est strictemet décroissate sur [ ; + [ et puisque ϕα = de siges de ϕ sur [ ; + [ :, o e déduit le tableau TS - logarithmes Page 56/6 Versio du 5/9/6