Les oscillations libres d un pendule élastique Oscillations libres non amorties Série d exercices corrigés

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1 Les oscillations libres d un pendule élastique Oscillations libres non amorties Série d exercices corrigés Exercice 1 : On considère l'oscillateur horizontal (Figure 1) constitué par un ressort de raideur K auquel est accroché un corps (C) supposé ponctuel de masse m = 100g. Lorsque C est en équilibre, son centre d inertie G se trouve sur la verticale du point 0 et le ressort n est ni allongé ni comprimé. On écarte le corps (C) de sa position d'équilibre (d'abscisse x = 0) et on le lâche sans vitesse initiale à t = Etablir l'équation différentielle du mouvement du centre d inertie G du corps (C). 2- L'enregistrement du mouvement de (C) donne la courbe x = f (t). figure 2 1

2 a- Ecrire l'équation horaire du mouvement de (C), en précisant l'amplitude Xm, la pulsation propre ω0 et la phase initiale ϕx b- Calculer la valeur de la constante de raideur K du ressort. 3- a- Exprimer l'énergie mécanique E du système {corps (C), ressort} à un instant t quelconque lorsque (C) passe une position d'abscisse x à la vitesse v. b- Déduire que l'énergie mécanique E du système est constante au cours du mouvement. Calculer sa valeur. c- Exploiter la conservation de l'énergie pour montrer que v 2 = 400x d- Avec quelle vitesse le corps (C) passe-t-il pour la première fois par la position d'abscisse x = 2,4 cm? 4- On donne la courbe Ep = f (t), représentant l énergie potentielle du système (Figure 3). 2

3 a- Comparer la période T de l énergie potentielle Ep à la période propre T0 de l oscillateur. b- Représenter clairement sur le document suivant les courbes Ec = f (t) représentant l énergie cinétique du corps C, et E = f (t) représentant l'énergie mécanique E du système {corps(c), ressort}.justifier 3

4 Exercice 2 : Un ressort à spires no jointives de masse négligeable et de coefficient de raideur k = 20 N.m -1 est disposé sur un plan horizontal, l une de ses extrémités est fixe, on accroche à l autre extrémité un solide (S) de masse m = 0,2 Kg. Ce solide peut se déplacer sans frottement le long d un axe horizontal (x x). A l équilibre, le centre d inertie G du solide (S) coïncide avec l origine O du repère R (O,i ) On allonge le ressort vers la droite, le point G occupe la position G 0 telle que OG 0 = x 0 = 2,5 cm et à l instant t = 0, on lâche le solide avec une vitesse initiale v 0 =0,25 ms a- Etablir l équation différentielle qui régit le mouvement de (G). b- En déduire l expression de la pulsation propre ω 0 des oscillations de (G). c- Vérifier que quelque soient les valeurs de X m les valeurs et φ, l équation horaire x(t) = X m sin (ω 0 t + φ) est solution de l équation différentielle précédente. 2- a- Déterminer la valeur de l amplitude X m et celle de la phase initialeφ. b- En déduire l expression de la vitesse instantanée v(t) de solide (S) en fonction de temps. c- Trouver la date pour laquelle le solide passe par sa position d équilibre pour la 5 ème fois. 4

5 3- a- Donner l expression de l énergie mécanique de cet oscillateur. b- Montrer que cette énergie se conserve au cours de temps. c- En déduire son expression en fonction de K, m, x 0 et v 0. Calculer sa valeur. Exercice 3 : Un solide (S) de masse m peut glisser, sans frottement, sur un plan horizontal. Le solide est lié à l une des extrémités d un ressort (R) à spires non jointives de masse négligeable et de raideur K. A l origine des temps, on communique au solide (S) pris dans sa position d équilibre une vitesse initiale V 0 = - 0,5 ms -1, il se met alors à osciller de part et d autre de sa position d équilibre O origine du repère (O,i ) Au cours de son mouvement, le centre d inertie G du solide est repéré par son abscisse x(t). 1. a- En appliquant la RFD, établir l équation différentielle vérifiée par l abscisse x du solide et en déduire la nature du mouvement du solide. b- Montrer que x(t) = X m sin (ω 0. t + φ x ) est solution de l équation différentielle si ω 0 2 = k m c- Déterminer l expression de la vitesse instantanée du solide v(t). 5

6 2. Les chronogrammes de la figure-2- représentent les courbes de variation en fonction de temps de l abscisse x(t) et de la vitesse v(t) du solide. a- Déterminer graphiquement le déphasage = 2-1 entre les deux courbes. b- En déduire que la courbe (1) correspond à x(t). c- Déterminer à partir du graphe : - L amplitude de mouvement X m - L amplitude de la vitesse V m et justifier que v 0 = -V m - La phase initiale x d- En déduire la période propre T 0 du pendule. 3. La courbe de la figure-3- représente les variations de l énergie potentielle élastique du système en fonction du carré de sa vitesse E P = f (v²) 6

7 a- En admettant que le système (S, R) est conservatif d énergie mécanique totale E m = 1 K. X 2 m 2, établir l expression de l énergie potentielle en fonction de m, k, v et X m. b- Déterminer à partir de la figure-3- la masse m du solide. c- En déduire la raideur K du ressort. 7

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