La forme canonique. Quand on ne sait pas!

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1 La forme canonique Quand on ne sait pas! La plupart des polynômes du second degré peuvent s écrire sous 3 formes : développée, factorisée et canonique. EXEMPLE Ax ( ) EXEMPLE ( ) = æ x 3 ö ç +. çè Ici, A est sous forme factorisée. ø B x x x EXEMPLE 3 ( ) ( ) = - -. Ici, B est sous forme développée. C x = 3 x Ici, C est sous forme canonique. La forme canonique de l expression ( ) A x ax bx c Ax ( ) = ax ( - ) + = + + est du type : Que faire? Dans un premier temps, on détermine les valeurs de a, b et c. Ensuite on calcule les valeurs de α et β à l aide des formules de cours : b =- et a b =- ac a On peut maintenant mettre A sous forme canonique en remplaçant α et β par leur valeur dans la formule : Ax ( ) = ax ( - ) + REMARQUE On constate avec cette égalité que l on a : = A( ).. La forme canonique 7

2 EXEMPLE 4 ( ) Ax= x- x On a : a= 3, b=- 5, c=. 5 On en déduit : = et =-. 6 æ 5ö On trouve alors : Ax ( ) = 3 ç x- -. çè 6 ø Conseils Il faut faire attention aux signes dans les calculs, ainsi le moins devant la barre de fraction pour le calcul de β s applique à l ensemble de la fraction. Il faut prendre garde également au fait que le carré d un nombre négatif est un nombre positif : par exemple, le carré de 3 s écrit( ) - 3, et non pas - 3 qui est égal à 9. Il est toutefois plus facile de calculer la valeur de β en considérant l égalité : = A( ) Ne pas hésiter à développer l expression obtenue pour vérifier si elle est égale à celle du départ. Exemple traité Mettre sous forme canonique l expression suivante : Ax ( ) =- x + x+ 5 SOLUTION On repère les valeurs de a, b et c : a=- b= c= 5. b On calcule α : =- =- =. a - On calcule ensuite β, le plus simple est de le calculer avec : ( ) ( ) = A = = 6 (ce calcul est plus rapide et moins générateur de fautes de signe). 8 Second degré

3 On peut donc conclure sur la forme canonique de A : ( ) =-( x- ) + 6 ou Ax ( ) ( x ) Ax ( ) = 6-( x-) Ax = ou si l on préfère : Exercices EXERCICE. Mettre sous forme canonique ( ) Ax=- x + x 8. EXERCICE. Mettre sous forme canonique B( x) ( x ) EXERCICE.3 Mettre sous forme canonique ( ) = C x =- x+ x - 3. EXERCICE.4 Mettre sous forme canonique D( x) = ( x+ )( - x) 3. EXERCICE.5 Mettre sous forme canonique : ( ) = ( - 3)( + 7) -( + 4)( -3 ) E x x x x x Pour vous aider à démarrer EXERCICE. Attention, ici on a : c = 0. EXERCICE. Il faut d abord développer B ou mettre le 3 en facteur dans le carré. EXERCICE.3 Il faut ordonner C. EXERCICE.4 Développer D. EXERCICE.5 Développer E puis réduire et ordonner.. La forme canonique 9

4 Solutions des exercices EXERCICE. Comme ( ) =- + 8, on a alors : a=-, b= 8, c= 0. Ax x x Ceci permet de calculer α et β. 8 =- = et = A( ) =- + 8 = 8-4 La forme canonique de A est donc : ( ) ( x ) Ax= EXERCICE. On développe d abord B et on obtient ( ) B x = x - x On a alors : a= 9, b=- 36, c= 37, ce qui permet de calculer les valeurs de α 36 et de β. On trouve : = = et = B( ) = B( ) =. 8 La forme canonique de B est : ( ) ( x ) B x = REMARQUE On pouvait choisir de mettre 3 en facteur dans le carré, ce qui donnait : B( x) ( ( x )) ( ) ( x ) ( x ) = = = EXERCICE.3 On ordonne C suivant les puissances décroissantes de x, ce qui donne : C x = x - 3x- ( ) Comme a= b=- 3 c=-, on a alors les valeurs de α et β. = 3 et 7 =- 4 La forme canonique de C est : æ 3ö 7 C( x) = x ç - - çè ø 4 EXERCICE.4 On développe la forme factorisée de D : ( ) On détermine ensuite α et β. On trouve sous la forme suivante : =- et æ ö 5 D( x) =- 6 ç x+ + çè ø 4 D x =- x - x = et D peut s écrire 4 0 Second degré

5 EXERCICE.5 On développe d abord E : ( ) 7 6 ( 3 4 ) E x = x + x- x- - x- x + - x puis on réduit et on ordonne, ce qui donne : ( ) E x = x + x- + x+ x - = x + x On a alors a= 5, b= et c =- 5. Ce qui permet de calculer les valeurs de α et β. On trouve α = 6 æ 6ö 6 - =- et = E( ) = E ç - = çè 5ø 5 La forme canonique de E est : æ 6ö 6 E( x) = 5 ç x+ - çè 5ø 5 Solutions. La forme canonique

6 Équations du second degré Quand on ne sait pas! Revoir la résolution d équation du er degré du type x+ a= b ou ax = b, ainsi que l équation du d degré de la forme x = a. Vérifier si l équation proposée peut se factoriser à l aide d un facteur commun ou d une identité remarquable. EXEMPLE Résoudre EXEMPLE Résoudre x - 3x= 0 revient à résoudre : x( x- 3) = = 0 revient à résoudre : 4 x x æ 3 0 x ö ç + = çè ø Dans le cas d équations du d degré, incomplètes, du type ax + c = 0, se c ramener à une équation de la forme : x =-. On discute ensuite selon le c a signe de - de l existence de solution. a EXEMPLE 3 Résoudre x - 6= 0 revient à résoudre : solutions qui sont : 3 et - 3. x = 3. Il y a donc 5 EXEMPLE 4 Résoudre 3x + 5= 0 revient à résoudre : x =-. Or un carré 3 ne pouvant être négatif, l équation n a pas de solution.. Équations du second degré 3

7 Que faire? Dans un premier temps, on détermine les valeurs de a, b et c. Ensuite on calcule la valeur du discriminant. = b - 4ac On identifie, selon le signe du discriminant, dans quel cas on se trouve : Si > 0, alors l équation a deux solutions distinctes : x et x. Si = 0, alors l équation a une seule solution : x. 0 Si < 0, l équation n a aucune solution réelle. Enfin on donne la valeur des solutions de l équation dans les deux cas où elles existent. -b - - b + Si > 0, alors les solutions sont : x = et x =. a a -b Si = 0, alors l équation a une seule solution : x0 =. a EXEMPLE 5 Résoudre x - 5x+ 6= 0. On a : a=, b=- 5, c= 6. On en déduit : =- ( 5) - 4 6=. Comme le discriminant est positif, l équation admet solutions. On remplace les valeurs de a b et Δ. On obtient alors : 5-5+ x = = et x = = 3 Conseils Pour utiliser les différentes formules, ne pas oublier de noter les valeurs des coefficients, a b c en faisant attention aux signes. Il faut se rapporter à une équation du d degré dont le second membre est nul : ax bx c + + = 0 4 Second degré

8 Le calcul du discriminant n est pas toujours nécessaire, en particulier dans le cas d équations incomplètes. Les formules précédentes ne sont valables que pour des équations du d degré, pas pour des équations de degré supérieur. Exemple traité Résoudre l équation suivante : x + 5x- 7= 0 SOLUTION On repère les valeurs de a, b et c : a= b= 5 c=-7. On calcule Δ : ( ) = = = 8. > 0, donc l équation admet solutions. Les solutions de l équation sont donc : x = = =- et x = = = 4 4 ì 7 ü On peut conclure que l ensemble solution de l équation est : S = ï í- ; ï ý. ïî ïþ EXERCICE. Résoudre EXERCICE. Résoudre Exercices x + x- = x - x- = 0. 7 x+ 3 x- = 3x-7. EXERCICE.3 Résoudre ( )( ) EXERCICE.4 Résoudre ( x )( x ) =-7. EXERCICE.5 Résoudre x ( x ) EXERCICE.6 Résoudre 4 = ( x + 6) + 5= 0. EXERCICE.7 Quelles sont les dimensions d un rectangle de périmètre 37 m et d aire 76,565 m?. Équations du second degré 5