Plan de la présentation. Le mouvement brownien. Définition du mouvement brownien. Un rappel sur la loi normale

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1 Plan de la présenaion Le mouvemen brownien Les méhodes sochasiques dans les sciences de la gesion Geneviève Gauhier Dernière mise à jour : 23 juin 2003 La définiion du mouvemen brownien Un rappel sur la loi normale Quelques propriéés du mouvemen brownien Quelques définiions e propriéés des maringales en emps coninu Le mouvemen brownien mulidimensionnel Aures propriéés du mouvemen brownien Définiion du mouvemen brownien En 1827, Rober Brown a observé que de peies paricules immergées dans un liquide son perpéuellemen en mouvemen, lequel es des plus irréguliers. Hisoriquemen, le mouvemen brownien se voulai une enaive pour modéliser ce phénomène. Aujourd hui, le mouvemen brownien es uilisé dans divers domaines els l économie, la héorie de la communicaion, la biologie, les sciences adminisraives e les mahémaiques. (Traducion libre du paragraphe d inroducion au mouvemen brownien, S. Karlin e H. M. Taylor (1975).) Nous aribuons au mahémaicien Norber Wiener l analyse rigoureuse des mahémaiques concernan le mouvemen brownien e c es pourquoi ce processus es aussi connu sous le nom de processus de Wiener. Soi (Ω, F, F,P), un espace probabilisé filré. Condiion echnique. Comme nous allons ravailler avec des égaliés presquesûre, nous exigeons que l ensemble des événemens qui on une probabilié nulle de se réaliser soi compris dans la ribu F 0,c es-à-dire que l ensemble N = {A F: P (A) =0} F 0. De cee façon si X es F mesurable e que Y = XP presque-sûremen alors nous savons que Y es F mesurable. X = Y P presque-sûremen si l ensemble des ω pour lesquels X es différene de Y a une probabilié nulle, c es-à-dire que P {ω Ω:X (ω) Y (ω)} =0. 1

2 Définiion du mouvemen brownien (suie) Trajecoiresdumouvemenbrownien ( W, ) 0-0,2-0,4-0,6-0,8-1 -1,2-1,4-1,6-1,8-2 Une rajecoire d'une approxim aion du m ouvem en brow nien 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 e m p s Définiion du mouvemen brownien (suie) brownien2.m Une rajecoire d'une approxim aion du m ouvem en brow nien W (, ) 0,4 0,2 0-0,2-0,4-0,6-0,8-1 -1,2-1,4-1,6 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 e m p s Définiion du mouvemen brownien (suie) Définiion. Unmouvemen brownien sandard {W : 0} es un processus sochasique adapé consrui sur un espace probabilisé filré(ω, F, F,P) el que (MB1) ω Ω, W 0 (ω) =0, (MB2) (MB3) k, les variables aléaoires W 1 W 0, W 2 W 1,..., W k W k 1 son indépendanes, s, 0 els que s<, la variable aléaoire W W s es de disribuion normale d espérance 0 e de variance s (W W s N (0, s)), Définiion du mouvemen brownien (suie) En général, la filraion uilisée es F = {F : 0} où F = σ {{W s :0 s } N} es la plus peie ribu pour laquelle les variables aléaoires W s :0 s son mesurables conenan les ensembles de mesure nulle. (MB4) ω Ω, la rajecoire W (ω) es coninue. 2

3 Rappel concernan la loi normale Si X es une variable aléaoire de loi normale d espérance µ e d écar-ype σ>0, alors sa foncion de densié es { } 1 (x µ)2 f X (x) = σ (2π) 1 exp 2 2σ 2, (1) cequinouspermededéerminer a, b R, a<b, b P a <X b = f X (x) dx. (2) a Malheureusemen, il n exise pas de primiive à l inégrale ci-dessus. Nous devons donc l évaluer numériquemen. La foncion de répariion de X es x F X (x) = f X (y) dy. (3) Rappel concernan la loi normale (suie) De façon générale, si deux variables aléaoires X e Y, consruies sur le même espace probabilisé, son indépendanes, alors leur covariance Cov X, Y =E XY E X E Y (4) es nulle. Par conre, il es possible que deux variables aien une covariance nulle, mais qu elles ne soien pas indépendanes. Rappel concernan la loi normale (suie) Exemple ω X(ω) Y (ω) X (ω) Y (ω) P (ω) ω ω ω ω Exemple (suie) Exemple (suie). La covariance enre ces deux variables es nulle car : E P X =0,E P Y =0,E P XY =0 Cov P X, Y =E P XY E P X E P Y =0 (5) mais elles son dépendanes puisque P X =0eY =0=0 1 = P X =0P Y =0. (6) 4 Par conre, lorsque la disribuion des variables es normale (pas nécessairemen de même espérance e de même écar-ype), nous avons un résula nous permean de vérifier l indépendance des variables en uilisan la covariance : Proposiion. Si X e Y son deux variables aléaoires de disribuion normale, oues deux consruies sur le même espace probabilisé, alors X e Y son indépendanes si e seulemen si leur covariance es nulle (T. W. Anderson, 1984, héorème 2.4.4, page 28). 3

4 Propriéés du mouvemen brownien Lemme 1. Soi{W : 0}, un mouvemen brownien sandard. Alors (i) Pour ou s>0, {W +s W s : 0} (homogénéié dansleemps) (ii) { W : 0} (symérie) (iii) (iv) { { cw c 2 : 0 W = { 0 si =0 W 1 si >0 : 0 } } (rééchelonnemen du emps) (inversion du emps) Propriéés du mouvemen brownien (suie) Lemme 2. Le mouvemen brownien es une maringale. son aussi des mouvemens browniens sandard. Exercice. Vérifiez-le. Propriéés du mouvemen brownien (suie) Maringale à emps coninu Définiion. Sur l espace probabilisé filré (Ω, F, F,P), où F es la filraion {F : 0}, le processus sochasique M = {M : 0} es une maringale si (M1) 0, E P M < ; (M2) 0, M es F mesurable; (M3) s, 0 el que s<, E P M F s =M s. Lemme. Soi M = {M : 0} une maringale consruie sur l espace probabilisé filré (Ω, F, F,P). Alors {1, 2,...}, E P M =E P M 0. Propriéés du mouvemen brownien (suie) Preuve du lemme 2. Par la définiion même de la filraion, il es éviden que W es un processus sochasique adapé. Pour ou insan, la variable aléaoire W es inégrable puisque { } z E P W = (2π) 1 exp z2 dz (7) 2 2 { } z = 2 0 (2π) 1 exp z2 dz (8) 2 2 ( )1 } 2 2 = exp { z2 (9) π 2 0 ( )1 2 2 = <. (10) π 4

5 Propriéés du mouvemen brownien (suie) Il ne rese qu à vérifier que s, 0 els que s<,e P W F s =W s. E P W F s = E P W W s + W s F s (11) = E P W W s F s +E P W s F s (12) = E P W W s +W s par (MB2) (13) = W s par (MB3) (14) La démonsraion es complèe. Propriéés du mouvemen brownien (suie) Lemme 3. Le mouvemen brownien es un processus markovien. Idée de la preuve du lemme 3: Pour ou u 0,s, les variables aléaoires W W s e W u son indépendanes car Cov W W s,w u (15) = Cov W W u + W u W s,w u (16) = Cov W W u,w u Cov W s W u,w u (17) = 0+0 par (MB2). (18) Par conséquen W =(W W s )+W s peu s écrire comme la somme de deux variables aléaoires: W s qui ne dépend de l informaion disponible au emps s, F s,qu à ravers σ (W s )ew W s qui es indépendane de F s = σ {W u :0 u s}. Propriéés du mouvemen brownien (suie) Propriéé3. ω Ω, la rajecoire W (ω) es nulle par différeniable. La consrucion du mouvemen brownien illusre bien cee propriéé. Le mouvemen brownien mulidimensionnel Définiion. Le mouvemen brownien sandard W de dimension n es une famille de veceur aléaoires { ( ) } W = W (1),...,W (n) : 0 où W (1),..., W (n) représenen des mouvemens browniens indépendans consruis sur l espace probabilisé filré(ω, F, F,P). 5

6 Le mouvemen brownien mulidimensionnel (suie) Le mouvemen brownien mulidimensionnel es rès uilisé danslesmodèles de marché en emps coninu. Par exemple, lors de la modélisaion simulanée des prix de plusieurs acifs risqués. Cependan, les chocs que subissen ces acifs risqués ne devraien pas êre indépendans. C es pourquoi nous aimerions consruire un mouvemen brownien mulidimensionnel don les composanes son corrélées. À parir d un mouvemen brownien sandard W de dimension n, il es possible de créer un mouvemen brownien de dimension n don les composanes son corrélées. Le mouvemen brownien mulidimensionnel (suie) Soi 1 γ 12 γ 1n γ Γ = 12 1 γ 2n γ 1n γ 2n 1 (19) e W (1),..., W (n) représenen des mouvemens browniens indépendans consruis sur l espace probabilisé filré (Ω, F, F,P). Le mouvemen brownien mulidimensionnel (suie) Posons Alors B (1). = Γ B (n) Cov B (i),b (j) e Cor B (i),b (j) W (1). = W (n) nk=1γ1k W (k). nk=1γik W (k). nk=1γnk W (k). (20) = n γ ik γ jk (21) = k=1 nk=1 γ ik γ jk ( nk=1 γ 2 )1 (. 2 nk=1 ik γ 2 )1 2 jk (22) Le mouvemen brownien mulidimensionnel (suie) Démonsraion : Cov B (i),b (j) (23) n = Cov γ ik W (k) n, γ jk W (k ) (24) k=1 k =1 n n = γ ik γ jk Cov W (k),w (k ) (25) k=1 k =1 n = γ ik γ jk Cov W (k),w (k) (26) k=1 car Cov W (k),w (k ) =0sik k n = k=1 γ ik γ jk car Cov W (k),w (k) = Var W (k) = (27) 6

7 Le mouvemen brownien mulidimensionnel (suie) Var B (i) = Cov B (i),b (i) (28) Cor B (i),b (j) n = a 2 ik (29) k=1 Cov B (i),b (j) = ( Var B (i) )1 ( (30) 2 Var B (j) )1 2 = n k=1 a ik a jk ( nk=1 a 2 )1 ( (31) 2 ik nk=1 a 2 )1 2 jk Le mouvemen brownien mulidimensionnel (suie) Nous venons de monrer qu il es possible de consruire un mouvemen brownien B don les composanes son corrélées à parir d un mouvemen brownien sandard W (don les consiuans son indépendans). Plus précisemmen, si B = ΓW, alors nous savons rouver la marice de corrélaions de B. Pouvons-nous faire l inverse, c es-à-dire que si nous connaissons la marice de corrélaions de B, pouvons nous déerminer la marice Γ permean d exprimer les composanes de B comme une combinaison linéaire des mouvemens browniens indépendans? Le mouvemen brownien mulidimensionnel (suie) Supposons mainenan que B (1),..., B (n) représenen des mouvemens browniens corrélés consruis sur l espace probabilisé filré (Ω, F, F, P) e que i, j {1,..., n} e 0, Cor B (i) Il exise une marice A de forma n n elle que (i) (ii) (iii) B = AW Cor B (i),b (j) = ρ ij,b (j) = ρ ij. (32) W es formé de mouvemens browniens indépendans. 7

8 Le mouvemen brownien mulidimensionnel (suie) Démonsraion ( :SoiV B, la marice de variance-covariance du veceur aléaoire,...,b (n) ) B (1) V B = ρ ij i,j=1,...,n. Puisque B = AW alors V B = AIA T = AA T où I représene la marice idenié de dimension n. Par conséquen, il suffi de poser A = U T. Comme une marice de variance-covariance es une marice symérique définie posiive, il exise une marice riangulaire supérieure inversible U elle que V B = U T U (décomposiion de Cholevski). (Plusieurs logiciels don malab on une foncion permean de calculer cee marice). Aures propriéés du mouvemen brownien Le mouvemen brownien mulidimensionnel (suie) brownien3.m Soi a>0. Définissons inf {s 0:W s (ω) =a} τ a (ω) = si {s 0:W s (ω) =a} si {s 0:W s (ω) =a} = le premier insan où le mouvemen brownien W aein le poin a., Les deux prochains résulas on pour bu de monrer que le mouvemen brownien aeindra évenuellemen, avec probabilié 1, n impore quel nombre réel, aussi grand soi-il. 8

9 Aures propriéés du mouvemen brownien (suie) Aures propriéés du mouvemen brownien (suie) Lemme. La variable aléaoire τ a es un emps d arrê. Définiion. Soi (Ω, F), un espace probabilisable muni de la filraion F = {F : 0}. Un emps d arrê τ es une foncion de Ω dans 0, F mesurable elle que {ω Ω:τ (ω) } F. Si Q représene l ensemble des nombres raionnels, alors {ω Ω:τ a } (33) Aures propriéés du mouvemen brownien (suie) Démonsraion du lemme. Nous devons monrer que pour ou 0, l événemen {ω Ω:τ a } apparien àlaribuf. = { ω Ω : sup W s (ω) a 0 s } (34) = { ω Ω : sup W s (ω) >a 1 } n=1 0 s n (35) = { ω Ω:W r (ω) >a 1 } n=1 n r Q 0, }{{} F r donc F F (36) } {{ } F où la dernière égalié es obenue du fai que sup 0 s W s (ω) >a 1 n si e seulemen s il exise au moins un nombre raionnel r inférieur ou égal à pour lequel W r (ω) >a 1 n. 9

10 Aures propriéés du mouvemen brownien (suie) Démonsraion du lemme. Nous voulons uiliser le héorème d arrê des maringales... Aures propriéés du mouvemen brownien (suie) Lemme. Le emps d arrê τ a es fini presque sûremen, c es-à-dire que P τ a = =0. Théorème d arrê (Opional Sopping Theorem). Soi X = {X : 0} un processus à rajecoires càdlàg (coninues à droie avec limie à gauche) consrui sur l espace probabilisé filré (Ω, F, F, P), où F es la filraion {F : 0}. Supposons que le processus sochasique X es F adapé e qu il es inégrable, c es-à-dire que E P X <. Alors X es une maringale si e seulemen si E P X τ =E P X 0 (37) pour ou emps d arrê τ borné, c es-à-dire que pour chaque emps d arrê τ considéré, il exise une consane b elle que (réf. Revuz e Yor, proposiion 3.5, page 67) ω Ω, 0 τ (ω) b. (38) Aures propriéés du mouvemen brownien (suie) Théorème. Si la maringale M = {M : 0} e le emps d arrê τ son consruis sur le même espace probabilisé filré (Ω, F, F,P) alors le processus arrêé M τ es lui aussi une maringale sur ce espace. (réf. Revuz e Yor, corollaire 3.6, page 67) Démonsraion du lemme. Nous voulons uiliser le héorème d arrê des maringales e, pour ce faire, il fau un emps d arrê borné. Or, le emps d arrê τ a n es pas borné, mais pour ou n N, leempsd arrê τ a n, { lui, es borné. M = M =exp Uilisan le } héorème d arrê sur la maringale, nous obenons σw σ2 2 : 0 E M τ a n =E M 0 =1. (39) 10

11 Aures propriéés du mouvemen brownien (suie) Puisque M τ a n (ω) = exp alors exp σa σ2 2 τ a (ω) σw n (ω) σ2 2 n si τ a (ω) n si τ a (ω) >n, (40) n N, M τ a n exp σa, (41) donc la suie {M τ a n : n N} es dominée par la consane exp σa. Aures propriéés du mouvemen brownien (suie) De plus, pour ou ω {ω Ω:τ a (ω) < }, lim n M τ a n (ω) =M τ a (ω) =exp σa σ2 2 τ a (ω) (42) andis que pour ou ω {ω Ω:τ a (ω) = } e pour ou 0, M (ω) =exp σw (ω) σ2 2 exp σa σ2 2 (43) ce qui enraîne que, pour ou ω {ω Ω:τ a (ω) = }, lim n M τ a n (ω) =0. (44) Aures propriéés du mouvemen brownien (suie) Le héorème de la convergence dominée de Lebesgue enraîne que E exp σa σ2 2 τ a 1 {τ a < } = E M τ a 1 {τ a < } (45) (46) = E n lim M τ a n1 {τ a < } + n lim M τ a n1 {τ a = } (47) }{{} =0 = E lim n M τ a n (48) Aures propriéés du mouvemen brownien (suie) Par conséquen, E exp σ2 2 τ a 1 {τ a < } =exp σa. (50) = lim n E M τ a n (49) = 1. 11

12 En laissan σ endre vers 0, nous obenons P τ a < = E 1 {τ a < } = E lim exp σ2 σ 0 2 τ a 1 {τ a < } = lim E exp σ2 σ 0 2 τ a 1 {τ a < } par le héorème de la convergence dominée (51) (52) (53) = lim σ 0 exp σa (54) = 1. Aures propriéés du mouvemen brownien (suie) Nous obenons aussi au passage la foncion générarice des momens E e λτ a de τ a. En effe, si λ = σ2 2,alors E exp λτ a 1 {τ a < } =exp (2λ) 1 2 a. (55) Mais comme exp λτ a 1 {τ a = } = 0 presque sûremen, e exp λτ a =E exp λτ a 1 {τ a < } presque sûremen E exp λτ a = exp (2λ) 1 2 a. Aures propriéés du mouvemen brownien (suie) Nous poursuivons l éude de l érange comporemen du mouvemen brownien. Aures propriéés du mouvemen brownien (suie) Lemme. Les rajecoires du mouvemen brownien sur l inervalle 0,T ne son pas à variaion bornée. Inuiivemen, ce dernier résula signifie que chacune des rajecoires du mouvemen brownien sur l inervalle 0,T es de longueur infinie. Lemme. Le mouvemen brownien es récurren. Cela signifie que le mouvemen brownien visie une infinié de fois chacun de ses éas, c es-à-dire ou nombre réel. Voir l annexe B. 12

13 Bibliographie ANDERSON, T.W. (1981). An Inroducion o Mulivariae Saisical Analysis, deuxième édiion, Wiley, New-York. BAXTER, Marin e RENNIE, Andrew (1996). Financial Calculus : An Inroducion o Derivaive Pricing, Cambridge Universiy Press, New York. DURRETT, Richard (1996). Sochasic Calculus, A Pracical Inroducion, CRC Press, New York. LAMBERTON, Damien e LAPEYRE, Bernard (1991). Inroducion au calcul sochasique appliqué à la finance, Éllipses, Paris. REVUZ, Daniel e YOR, Marc (1991). Coninuous Maringale and Brownian Moion, Springer-Verlag, New York. KARATZAS, Ioannis e SHREVE, Seven E. (1988). Brownian Moion and Sochasic Calculus, Springer-Verlag, New York. KARLIN, Samuel e TAYLOR, Howard M. (1975). A Firs Course in Sochasic Processes, deuxième édiion, Academic Press, New York. 13