1 ère S Exercices sur le second degré
|
|
- Renée Jacques
- il y a 6 ans
- Total affichages :
Transcription
1 ère S Eercices sur le second degré Résoudre dans l équation 0. Si m..., alors l équation (E). Si m..., alors l équation (E). Si m..., alors l équation (E). Résoudre dans l équation 0. Résoudre dans l équation. Résoudre dans l équation Dans chaque cas, calculer le discriminant du polynôme P : ) P ) P P ) ) P 8 Résoudre dans à l aide du discriminant réduit l équation On considère l équation (E). ) Sans calculer le discriminant, epliquer pourquoi l équation (E) admet deu racines et distinctes dans. ) Sans calculer ces racines, calculer leur somme et leur produit. ) Que peut-on dire du signe de ces racines? ) Sans calculer et, calculer et. 0 Dans chaque cas, factoriser le polynôme P lorsque c est possible. ) P ) P ) ) P 5 P 6 Résoudre dans les équations suivantes ) 6 0 ) 0 ) Dans chaque cas, dresser le tableau de signes du polynôme P : ) P ) P ) P 7 Déterminer le nombre de solutions dans de l équation m 0 (E) suivant les valeurs de m. On effectuera une discussion. On conclura la discussion sur le modèle suivant : 5 Résoudre dans l inéquation. 5 Résoudre dans l inéquation 0 Résoudre dans l inéquation.
2 5 Résoudre dans l équation 6 0. ) Écrire l équation (E) pour la valeur de m ainsi trouvée. On rédigera très simplement selon le modèle suivant : 6 Résoudre dans l inéquation 6 0. «Pour m (valeur trouvée au ), l équation s écrit :.» 7 Résoudre dans l inéquation 0. 8 Déterminer une fonction polynôme f du second degré vérifiant les deu conditions f f 0 C : f 0 C : Déterminer l autre solution de (E) sans calculer le discriminant de (E). On considère l équation 0 0 (). Démontrer que l équation () admet deu racines distinctes dans. Sans les calculer, déterminer leur signe. La somme de trois entiers relatifs consécutifs est égale à leur produit. Quelles sont les valeurs possibles de ces entiers? On respectera les quatre étapes habituelles en écrivant les titres suivants : ) Choi de l inconnue ) Mise en équation et condition ) Résolution ) Conclusion 0 Déterminer deu nombres dont la somme est égale à 5 et le produit est égal à. On considère l équation désigne un paramètre réel. m m 0 (E) d inconnue où m ) Comment faut-il choisir m pour que l équation (E) admette le nombre pour solution? On rédigera selon le modèle suivant en utilisant une chaîne d équivalences : est solution de (E) si et seulement si si et seulement si si et seulement si
3 Corrigé 7 On factorise le premier membre. S ; Technique N : factoriser Technique N : développer (cette technique «marche» ici mais est moins naturelle que la ère ). Résolvons dans l équation ( ) ( )( ) 0 (). L équation () est successivement équivalente à : ( ) ( )( ) 0 ( ) ( )( ) 0 ( ) = 0 ou 7 + = 0 7 = ou L ensemble des solutions de () est S = { ; ; } Résolvons dans l équation 7 S ;. 0 () L équation () est successivement équivalente à : 0 (il faut commencer par une factorisation partielle) = 0 ou + = 0 ou = 0 = ou = ou = L ensemble des solutions de () est S = { ; ; }. Commencer par donner les valeurs interdites : et. On résout l équation dans \ { ; }. On prend pour dénominateur commun. S. Résolvons dans l équation Les valeurs interdites de l équation sont et (valeurs de qui annulent les dénominateurs). On résout l équation () dans \ { ; }. L équation () est successivement équivalente à : ().
4 0 n est pas valeur interdite. = 0 L ensemble des solutions de () est S. Il est important de procéder à la validation des solutions : il s agit de voir si la valeur de obtenue n est pas une valeur interdite (attention, ce n est pas une vérification). S ; 7 Résolvons dans l équation (5 ) ( ) 0 (). L équation () est successivement équivalente à : (5 ) ( ) (5 ) ( ) 5 ( ) 0 + = 0 ou 7 = 0 ou 7 L ensemble des solutions de () est : 5 Calculs de discriminants ) P = ( ) ( ) = 8 = ) P (trinôme incomplet) S ; 7. ) P (trinôme incomplet) = 0 = 8 ) P = = 0 6 On utilise le discriminant à chaque fois avec toute la rédaction du cours. S ; (on peut aussi utiliser une racine évidente de l équation en ) rédigeant comme dans le cours). 5 5 ) S ; ) L équation n admet aucune solution dans. Dans tous les cas, il s agit de polynômes du second degré complets donc on utilise la technique du discriminant. Résolvons dans l équation Considérons le polynôme Recensement des coefficients : a ; b ; c ().
5 Calcul du discriminant b ac 6 5 S 5 5 ; Résolvons dans l équation (). On a : > 0 donc le polynôme admet racines distinctes dans : b a 5 5 S ; Résolvons dans l équation Considérons le polynôme Recensement des coefficients : a ; b ; c Calcul du discriminant 5. b a (). On a : 0 donc le polynôme admet racines distinctes dans : b a 5 b a 5 Considérons le polynôme 5 7. Recensement des coefficients : a ; b 5 ; c 7 Calcul du discriminant 5 7 = 5 8 On a : < 0 donc le polynôme n admet aucune racine dans. S 7 Déterminons le nombre de solutions dans de l équation m 0 (E) suivant les valeurs de m. (E) est une équation du second degré (m est un paramètre). On calcule le discriminant (par rapport) en fonction de m. Son discriminant est égal à m m. Ce discriminant a un signe qui varie suivant les valeurs de m. On fait une discussion mathématique suivant les valeurs du paramètre m. + m = 0 m
6 Le signe de est positif donc on obtient le tableau de signe suivant (négatif avant, nul «sur», positif après ). Discussion : m Signe de m Si m, alors < 0 ; dans ce cas, (E) n admet aucune racine réelle. Si m, alors > 0 ; dans ce cas, (E) admet deu racines réelles. Si m, alors = 0 ; dans ce cas, (E) admet une racine double réelle. On a effectué une discussion. On discute suivant les valeurs de m. Cela arrive fréquemment dans des énoncés. L énoncé dit alors : «Discuter suivant les valeurs de m». Complément : epression des racines en fonction de m Dans le cas où > 0 c est-à-dire lorsque m, il n est pas inintéressant d écrire les epressions des solutions et en fonction de m : m m et. Ces epressions sont assez compliquées. Il n est pas possible de les simplifier. Dans le cas où = 0, c est-à-dire lorsque 0. m, l équation (E) s écrit Elle admet une racine double 0. Il est à noter qu il est possible de retrouver cette racine sans recourir à la formule avec le discriminant en observant que l équation (E) est équivalente à : 0. 8 S 5 ; 5 Résolvons dans à l aide du discriminant réduit l équation (). Considérons le polynôme Recensement des coefficients : a = ; b = 0 ; c = 8 b = 5 Calcul du discriminant réduit : = b' ac = 5 ( 8) = = 0 8. On a : > 0 donc le polynôme admet racines distinctes dans :
7 b' ' a 5 b' ' a 5 L ensemble des solutions de () est S 5 ; (E) ) Déterminons le signe de et. Attention, cette question n a aucun rapport avec le signe du trinôme. Comme le produit est négatif, on peut dire que les racines sont de signes contraires. ) Calculons et. ) (E) est une équation du second degré. Les coefficients sont a =, b = 5, c = 7. L idée est d eprimer produit de et. et en fonction de la somme et du Comme a et c sont de signes contraires, le discriminant de (E) est strictement positif donc l équation (E) admet deu racines et distinctes dans. ) La somme et le produit des racines sont donnés par les formules du cours : b a c a On applique ces formules b 5 5 a c 7 a formules très simples. calcul mental 5 67 Attention, il n y a pas d identité remarquable pour factoriser
8 Autre méthode : on utilise l identité remarquable a 0 Factorisation d un polynôme du second degré b. On peut utiliser les racines évidentes à condition de très bien rédiger. ) P ( ) Les racines de P sont (racine évidente) et (obtenue par produit). P On voit que l on peut rentrer le dans la deuième parenthèse pour que ce soit plus «joli». Ça fait : On a un produit de trois facteurs. On peut associer deu facteurs ensemble (ici : et Ensuite seulement on fait une distributivité. ) P ( ) Les racines de P ). P sont (racine évidente) et (obtenue par produit). a =. Non seulement, on n est pas obligé d écrire le mais encore on ne doit pas écrire le qui serait parfaitement inutile. P ) P( ) 5 Le discriminant de P () est égal à =. < 0 donc le polynôme n est pas factorisable. Dans chaque cas, on peut vérifier le résultat en développant le résultat. On peut aussi utiliser un logiciel de calcul formel. Dans les eercices qui suivent, tous les tableau de signes doivent être faits à la règle. On peut utiliser l abréviation SGN pour «signe» ; c est l une des rares abréviations autorisées dans un tete mathématique. Signe d un polynôme du second degré On applique la règle du signe d un trinôme du second degré. ) P ( ) Les racines de P sont (racine évidente) et (obtenue par produit). On en déduit que le discriminant de P est strictement positif (puisque P admet deu racines distinctes). On peut aussi dire que > 0 car a et c (à condition d avoir dit ce que sont a et c) sont de signes contraires. En appliquant la règle du signe du trinôme, on peut établir le tableau de signes suivant : ) P( ) Les racines de P sont (racine évidente) et (obtenue par produit). + SGN de P()
9 ) P( ) Le discriminant de P est égal à = = < 0 donc d après la règle du signe du trinôme, de c est-à-dire strictement positif. (On pourrait dire < 0 donc n a pas d intérêt puisque l on cherche le signe de ). P est toujours du signe P n admet aucune racine dans mais cela P suivant les valeurs de S ; 0 ; Résolvons dans l inéquation 0 et sont valeurs interdites. 5. On résout l inéquation dans \ { 0 ; }. L inéquation est successivement équivalente à : On peut donc donner le tableau de signes suivant : + SGN de P() + Il n y a aucune valeur sur la ligne des. ) P (égalités : a c ad bc et b d bd a c ad bc ) b d bd Les racines de P sont (racine évidente) et (obtenue par produit). On en déduit que le discriminant de P admet deu racines distinctes). P est strictement positif (puisque 0 0 En appliquant la règle du signe du trinôme, on peut établir le tableau de signes suivant : + SGN de P() On fait un tableau de signes à la règle (on met + et sur la ère ligne). On doit mettre une ligne avec le signe de. Il y a valeurs charnière donc 5 colonnes. Dimensions des colonnes : prendre environ : cm de large. * Voir à la fin des eercices.
10 num dén Eplication sur les notations 0 et 0 dans le tableau de signes : num Lorsqu une epression présente au numérateur s annule on écrit 0 ; on num retrouve alors ce 0 sur la dernière ligne. dén Lorsqu une epression présente au dénominateur s annule, on écrit 0 ; on a alors une double barre sur la dernière ligne. Ces notations on un rôle de garde-fou dans les eercices. Commentaire : On peut éventuellement «raccourcir» en faisant un tableau de signes comprenant le signe du numérateur et du dénominateur : une ligne avec le signe de et une ligne avec le signe de ( + ). S ; ; 5 5 Résolvons dans l inéquation 0. On travaille avec le polynôme du numérateur et le polynôme du dénominateur. Considérons le polynôme. Les racines sont (racine évidente) et (obtenue par produit) [on peut aussi calculer qui vaut ici 5 puis appliquer les formules usuelles donnant les racines d un polynôme du second degré]. Ce polynôme est du signe positif pour à l etérieur des racines et négatif pour entre les racines num déno 0 déno num + L ensemble des solutions de l inéquation est : S ; ; S ; ; Résolvons dans l inéquation. est une valeur interdite. On résout l inéquation dans \ { }. L inéquation est successivement équivalente à : 0 (on transpose le quotient dans le membre de gauche pour travailler en 0) 0 0 Considérons le polynôme.
11 Recensement des coefficients : a ; b ; c Calcul du discriminant b ac 7 On a : 0 donc le polynôme admet racines distinctes dans, et : b a 7 b a 7 5 Résolvons dans l équation 6 0 (). Le premier membre de cette équation n est pas un polynôme du second degré. On ne sait pas résoudre cette équation directement. On va transformer cette l équation en effectuant un changement d inconnue qui va permettre d obtenir un polynôme du second degré (ou pour la mettre sous la forme d une équation du second degré). On pose (changement d inconnue) num 0 num + 0 déno num + 0 num + L ensemble des solutions de l inéquation est : 7 7 S ; ; + L équation s écrit : 6 0 (') (c est l équation «résolvante» : même équation réécrite avec l inconnue ). Considérons le polynôme 6 (du second degré en ). est racine évidente donc le polynôme admet une autre racine dans (distincte ou confondue). 6 Les racines du polynôme sont et. Or. () est donc successivement équivalente à :: ou (impossible) = L ensemble des solutions de l équation est S.
12 6 S ; ; 5 5 Résolvons dans l inéquation 6 0 (). Il s agit d une inéquation du e degré et plus précisément d une inéquation bicarrée car il n y a pas de terme en et en. On ne sait pas résoudre cette inéquation directement. Le polynôme peut se factoriser en produit de facteurs du premier degré (règle de factorisation d un polynôme du second degré) : 6 L inéquation s écrit 0. On pose. Or. L inéquation s écrit : Considérons le polynôme l eercice précédent) (il s agit du même polynôme que dans est racine évidente donc le polynôme admet une autre racine dans (distincte ou confondue). 6 Les racines du polynôme sont et. Ou Le discriminant est égal à 6 = 5 > 0 donc le polynôme admet deu racines distinctes dans : On réécrit l inéquation avec un premier membre sous forme factorisée avec l inconnue de départ. Donc () est successivement équivalente à : SGN de 0 + SGN de SGN de SGN de
13 L ensemble des solutions de l inéquation () est S ; ;. Commentaire : Tout le passage de recherche des racines du polynôme fait de manière traditionnelle comme suit : Recensement des coefficients : a = ; b = ; c = 6 Calcul du discriminant b ac = + = 5 On a : > 0 donc le polynôme admet racines distinctes dans : b a 5 Autre méthode : On résout l inéquation On trouve ou. b a peut être Comme, l inéquation () est successivement équivalente à : ou impossible dans L ensemble des solutions de l inéquation () est S ; ;. * On peut aussi transformer l inéquation en en 0. Les racines du polynôme sont et. En appliquant la règle du signe d un trinôme, on peut dresser le tableau de signes ci-dessous : SGN de 7 S = \ { } Résolution détaillée : Résolvons dans l inéquation Considérons le polynôme a ; b ; c Le discriminant est égal à : 0.. b ac 0 b Le polynôme admet donc une racine double dans : 0. a D après la règle du signe du trinôme du second degré, on peut dresser le tableau de signes suivants : ou (en appliquant le cours) *
14 SGN de Conclusion : L ensemble des solutions de 0 est ou S = 8 Penser à utiliser la forme factorisée d un polynôme du second degré. f. On obtient ( )( ) Cet eercice peut être traité de diverses manières plus ou moins habiles.. S ; ; ou S = \ Commentaires : On pourrait aussi utiliser le discriminant réduit. Quand on trouve = 0, c est qu on est passé à côté d une identité remarquable. L inéquation est successivement équivalente à : 0 0 Variante : on peut faire un tableau de signes après avoir factorisé l epression. ère manière : «bête» ; on établit un système. Long mais ça marche. e manière : plus astucieuse ; on utilise la somme et le produit des racines. e manière : encore plus astucieuse ; on utilise la rège de factorisation d un trinôme. Solution détaillée de la troisième manière : D après la condition C, le polynôme f () admet deu racines distinctes dans : et (remarque : l information f (0) = nous montre que 0 n est pas racine de f ). On peut donc dire que son discriminant est strictement positif. Le polynôme peut donc se factoriser sous la forme : f a avec a. On a donc f a (). La quantification du est très importante ; elle va permettre de particulariser dans la suite. D après la condition C, on a : f 0 donc en remplaçant par 0 dans l égalité () on obtient : a0 0 d où a soit a. Complément : L ensemble des solutions de L ensemble des solutions de 0 est. 0 est. Conclusion : f ( )( ). On peut éventuellement développer le polynôme si on le souhaite, mais ce n est pas nécessaire.
15 Autre rédaction possible : D après la condition C, le polynôme f () admet deu racines distinctes dans : et. Donc, si on note son discriminant, on a : > 0. Par conséquent, le polynôme f () admet une factorisation de la forme f a avec a. D après la condition C, on a : Conclusion : f ( )( ). Solution détaillée de la première manière : f ( ) a b c ((a, b, c) * ) f 0 donc on a : d où a soit a =. * : produit cartésien des ensembles *,,. Le signe ne se lit pas «fois» mais «croi». * se lit «* croi croi». a 0 0 C est l ensemble des triplets ((a, b, c) de réels tels que a *, b, c. f ( ) = 0 () f () = 0 () f (0) = () () donne a0 b 0 c donc c =. () donne successivement a b c 0 a b + = 0 a b = () () donne successivement a b c 0 a b 0 a + b + = 0 a + b = () On résout le système formé par les équations () et () qui s écrit : a b a b On trouve Conclusion : a b c Donc a b f ( ) (par addition membre à membre) Déterminons trois entiers relatifs consécutifs sachant que leur somme est égale à leur produit. La somme de trois entiers relatifs consécutifs est égale à leur produit. Quelles sont les valeurs possibles de ces entiers? Quelques eplications utiles : On dit que des entiers sont consécutifs pour eprimer qu ils se suivent. Par eemple, les entiers,, 5, 6, 7 sont des entiers consécutifs.
16 Lorsque l on a trois entiers consécutifs, on appelle «entier du milieu» celui qui n est ni le plus petit, ni le plus grand. Par eemple, parmi les entiers consécutifs 7, 8,, l entier du milieu est 8. Ici, pour résoudre le problème, il y a un bon choi d inconnue à faire : prendre pour inconnue le nombre du «milieu». On trouve trois possibilités : ; 0 ; ou ; ; ou ; ;. Solution détaillée en prenant pour inconnue l entier du milieu : Choi de l inconnue : Soit l entier du milieu parmi les trois entiers consécutifs cherchés. L entier précédent (le prédécesseur) est alors ; l entier suivant (le successeur) est alors +. (À priori, il s agit d un problème à trois inconnues mais on se ramène à un problème à une seule inconnue). Mise en équation et condition : vérifie l équation : () L égalité () traduit la condition «la somme des trois nombres est égale au produit». Résolution : Ne pas utiliser ; il faut factoriser. () est successivement équivalente à (on ne peut pas simplifier les deu membres par ) ou ou Ces trois solutions sont acceptables compte tenu de la condition. er cas : = 0 L entier qui précède est 0 =. L entier qui suit est 0 + =. e cas : L entier qui précède est =. L entier qui suit est + =. e cas : L entier qui précède est =. L entier qui suit est + =. Conclusion : Il y a trois possibilités : ère possibilité :, 0, e possibilité :,, e possibilité :,, On vérifie pour chacune de ces possibilités que la somme des trois entiers consécutifs est égale au produit. Solution détaillée en prenant pour inconnue l entier du milieu : Choi de l inconnue : Soit le plus petit des trois entiers consécutifs cherchés. Les entiers suivants sont alors + et +.
17 Mise en équation et condition : (). vérifie l équation : Résolution : () est successivement équivalente à = 0 ou 0 = ou = (racine évidente) ou = (par produit) Conclusion : On a déterminé chaque fois la valeur du plus petit des trois entiers cherchés. Les deu autres entiers s obtiennent alors en ajoutant puis encore (puisque ce sont des entiers consécutifs). Il y a trois triplets solutions : ( ; 0 ; ), ( ; ; ) ; ( ; ; ). On retrouve bien sûr les mêmes triplets qu avec la première méthode. 0 Recherche de deu nombres connaissant la somme et le produit Déterminons deu réels dont la somme est égale à 5 et le produit est égal à. ère méthode : résolution d un système Soit et y les réels cherchés. et y sont solutions du système y 5 (). y () Ce système n est pas un système linéaire (à cause de l équation () dont le premier membre est un produit). Il n y a donc qu une seule méthode possible : la résolution par substitution () donne y = 5 (). Compte tenu de (), () donne les lignes suivantes successivement équivalentes : (5 ) = = (racine évidente) ou = (obtenu par produit) er cas : = () donne alors y = e cas : = () donne alors y = Les nombres cherchés sont et. e méthode : on applique le cours Si deu nombres ont pour somme S et pour produit P, alors ils sont solutions de l équation S P 0. Il y a deu méthodes ; la deuième méthode est préférable à la première (plus courte) Ces deu réels, s ils eistent, sont solutions de l équation («équation résolvante»). 5 0
18 Les racines de cette équation sont (racine évidente) et (obtenu par produit). Les nombres cherchés sont donc et. Commentaires : Dans la première méthode, l équation vérifiée par qui est n est autre que l équation résolvante. 5 0 On peut vérifier les solutions en utilisant un logiciel de calcul formel. Dans la première méthode, on s est servi de la première équation pour eprimer y en fonction de et reporter dans la deuième équation. On pourrait aussi se servir de la deuième équation pour eprimer y en fonction de et reporter dans la première équation. On obtiendrait alors 5 et donc en multipliant par on retomberait sur une équation du second degré. Attention résolution fausse : 5 5 = On multiplie par les deu membres de l équation : 5. On n échappe pas au second degré. m m 0 (E) (, m : paramètre réel) ) Déterminons m pour que l équation (E) admette pour solution. est solution de (E) si et seulement si m m 0 si et seulement si m = 0 si et seulement si m = ) Écrivons l équation (E) pour la valeur de m trouvée au ) et déterminons l autre racine de (E) sans calculer le discriminant. Pour m, l équation s écrit : 8 0. On sait que est racine de cette équation (d après le ). L autre solution de (E) est égale à (on l obtient par le produit des deu racines qui est égal à ou par somme qui est égale à 8 ). 0 0 () Démontrons que l équation () admet deu racines distinctes dans. () est une équation du second degré. On calcule son discriminant : on trouve = 00 = 88. > 0 donc l équation () admet deu racines distinctes dans. Déterminons leur signe sans les calculer. Le produit des deu racines est égal à. Le produit est positif donc les deu racines sont de même signe. La somme des deu racines est égale à 0.
19 La somme des deu racines est positive. Donc les deu racines sont positives. On peut vérifier le résultat en calculant les deu racines à la main ou à l aide d un logiciel de calcul formel. On a vraiment besoin des deu : sommes et produit pour déterminer le signe des deu racines. La somme seule ne suffit.
20 Tableau de signes de l e. : 0 + SGN de num SGN de + 0 num SGN de 0 dén + + SGN de + 0 dén SGN de + 0 num + 0 num Tableau de signes de l e. : 5 + SGN de 5 0 num + numérateur SGN de + 0 déno 0 déno + + dénominateur 5 SGN de + 0 num +
21 Dans le 6 (tableau de signe de 0 ), on pourrait ne pas mettre de ligne pour. 0
3 ème 2 DÉVELOPPEMENT FACTORISATIONS ET IDENTITÉS REMARQUABLES 1/5 1 - Développements
3 ème 2 DÉVELOPPEMENT FACTORISATIONS ET IDENTITÉS REMARQUABLES 1/5 1 - Développements Développer une expression consiste à transformer un produit en une somme Qu est-ce qu une somme? Qu est-ce qu un produit?
Plus en détailSeconde Généralités sur les fonctions Exercices. Notion de fonction.
Seconde Généralités sur les fonctions Exercices Notion de fonction. Exercice. Une fonction définie par une formule. On considère la fonction f définie sur R par = x + x. a) Calculer les images de, 0 et
Plus en détailPour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.
Les pages qui suivent comportent, à titre d exemples, les questions d algèbre depuis juillet 003 jusqu à juillet 015, avec leurs solutions. Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.
Plus en détailDÉRIVÉES. I Nombre dérivé - Tangente. Exercice 01 (voir réponses et correction) ( voir animation )
DÉRIVÉES I Nombre dérivé - Tangente Eercice 0 ( voir animation ) On considère la fonction f définie par f() = - 2 + 6 pour [-4 ; 4]. ) Tracer la représentation graphique (C) de f dans un repère d'unité
Plus en détailFactorisation Factoriser en utilisant un facteur commun Fiche méthode
Factorisation Factoriser en utilisant un facteur commun Fiche méthode Rappel : Distributivité simple Soient les nombres, et. On a : Factoriser, c est transformer une somme ou une différence de termes en
Plus en détailContinuité et dérivabilité d une fonction
DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité
Plus en détailBac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures)
Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures) Eercice 1 (5 points) pour les candidats n ayant pas choisi la spécialité MATH Le tableau suivant donne l évolution du chiffre
Plus en détailIII- Raisonnement par récurrence
III- Raisonnement par récurrence Les raisonnements en mathématiques se font en général par une suite de déductions, du style : si alors, ou mieux encore si c est possible, par une suite d équivalences,
Plus en détailI. Ensemble de définition d'une fonction
Chapitre 2 Généralités sur les fonctions Fonctions de références et fonctions associées Ce que dit le programme : Étude de fonctions Fonctions de référence x x et x x Connaître les variations de ces deux
Plus en détailDéveloppements limités, équivalents et calculs de limites
Développements ités, équivalents et calculs de ites Eercice. Déterminer le développement ité en 0 à l ordre n des fonctions suivantes :. f() e (+) 3 n. g() sin() +ln(+) n 3 3. h() e sh() n 4. i() sin(
Plus en détailBien lire l énoncé 2 fois avant de continuer - Méthodes et/ou Explications Réponses. Antécédents d un nombre par une fonction
Antécédents d un nombre par une fonction 1) Par lecture graphique Méthode / Explications : Pour déterminer le ou les antécédents d un nombre a donné, on trace la droite (d) d équation. On lit les abscisses
Plus en détailComplément d information concernant la fiche de concordance
Sommaire SAMEDI 0 DÉCEMBRE 20 Vous trouverez dans ce dossier les documents correspondants à ce que nous allons travailler aujourd hui : La fiche de concordance pour le DAEU ; Page 2 Un rappel de cours
Plus en détailReprésentation géométrique d un nombre complexe
CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 1 Représentation géométrique d un nombre complexe 1. Ensemble des nombres complexes Soit i le nombre tel que i = 1 L ensemble des nombres complexes est l ensemble des nombres
Plus en détailCalcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.
1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le
Plus en détailFonctions homographiques
Seconde-Fonctions homographiques-cours Mai 0 Fonctions homographiques Introduction Voir le TP Géogébra. La fonction inverse. Définition Considérons la fonction f définie par f() =. Alors :. f est définie
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme
Plus en détailExo7. Calculs de déterminants. Fiche corrigée par Arnaud Bodin. Exercice 1 Calculer les déterminants des matrices suivantes : Exercice 2.
Eo7 Calculs de déterminants Fiche corrigée par Arnaud Bodin Eercice Calculer les déterminants des matrices suivantes : Correction Vidéo ( ) 0 6 7 3 4 5 8 4 5 6 0 3 4 5 5 6 7 0 3 5 4 3 0 3 0 0 3 0 0 0 3
Plus en détailContinuité en un point
DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à
Plus en détailComparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10
PCSI - 4/5 www.ericreynaud.fr Chapitre Points importants 3 Questions de cours 6 Eercices corrigés Plan du cours 4 Eercices types 7 Devoir maison 5 Eercices Chap Et s il ne fallait retenir que si points?
Plus en détailExo7. Limites de fonctions. 1 Théorie. 2 Calculs
Eo7 Limites de fonctions Théorie Eercice Montrer que toute fonction périodique et non constante n admet pas de ite en + Montrer que toute fonction croissante et majorée admet une ite finie en + Indication
Plus en détail2. RAPPEL DES TECHNIQUES DE CALCUL DANS R
2. RAPPEL DES TECHNIQUES DE CALCUL DANS R Dans la mesure où les résultats de ce chapitre devraient normalement être bien connus, il n'est rappelé que les formules les plus intéressantes; les justications
Plus en détailDOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10.
A1 Trouvez l entier positif n qui satisfait l équation suivante: Solution 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. En additionnant les termes du côté gauche de l équation en les mettant sur le même dénominateur
Plus en détailFctsAffines.nb 1. Mathématiques, 1-ère année Edition 2007-2008. Fonctions affines
FctsAffines.nb 1 Mathématiques, 1-ère année Edition 2007-2008 Fonctions affines Supports de cours de mathématiques de degré secondaire II, lien hpertete vers la page mère http://www.deleze.name/marcel/sec2/inde.html
Plus en détailIV- Equations, inéquations dans R, Systèmes d équations
IV- Equations, inéquations dans R, Systèmes d équations 1- Equation à une inconnue Une équation est une égalité contenant un nombre inconnu noté en général x et qui est appelé l inconnue. Résoudre l équation
Plus en détailProgrammation linéaire
1 Programmation linéaire 1. Le problème, un exemple. 2. Le cas b = 0 3. Théorème de dualité 4. L algorithme du simplexe 5. Problèmes équivalents 6. Complexité de l Algorithme 2 Position du problème Soit
Plus en détailMathématiques Première L, ES, S, Concours Post-Bac Equations et inéquations du second degré FORMAV
Mathématiques Première L, ES, S, Concours Post-Bac Equations et inéquations du second degré Méthode et exercices corrigés générés aléatoirement Pour un meilleur rendu ouvrir ce document avec TeXworks FORMAV
Plus en détailCCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé
CCP PSI - 00 Mathématiques : un corrigé Première partie. Définition d une structure euclidienne sur R n [X]... B est clairement symétrique et linéaire par rapport à sa seconde variable. De plus B(P, P
Plus en détailCorrection de l examen de la première session
de l examen de la première session Julian Tugaut, Franck Licini, Didier Vincent Si vous trouvez des erreurs de Français ou de mathématiques ou bien si vous avez des questions et/ou des suggestions, envoyez-moi
Plus en détailChapitre 1 : Évolution COURS
Chapitre 1 : Évolution COURS OBJECTIFS DU CHAPITRE Savoir déterminer le taux d évolution, le coefficient multiplicateur et l indice en base d une évolution. Connaître les liens entre ces notions et savoir
Plus en détailEXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats)
EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) On cherche à modéliser de deux façons différentes l évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat
Plus en détailTOUT CE QU IL FAUT SAVOIR POUR LE BREVET
TOUT E QU IL FUT SVOIR POUR LE REVET NUMERIQUE / FONTIONS eci n est qu un rappel de tout ce qu il faut savoir en maths pour le brevet. I- Opérations sur les nombres et les fractions : Les priorités par
Plus en détailO, i, ) ln x. (ln x)2
EXERCICE 5 points Commun à tous les candidats Le plan complee est muni d un repère orthonormal O, i, j Étude d une fonction f On considère la fonction f définie sur l intervalle ]0; + [ par : f = ln On
Plus en détailIntroduction à l étude des Corps Finis
Introduction à l étude des Corps Finis Robert Rolland (Résumé) 1 Introduction La structure de corps fini intervient dans divers domaines des mathématiques, en particulier dans la théorie de Galois sur
Plus en détailavec des nombres entiers
Calculer avec des nombres entiers Effectuez les calculs suivants.. + 9 + 9. Calculez. 9 9 Calculez le quotient et le rest. : : : : 0 :. : : 9 : : 9 0 : 0. 9 9 0 9. Calculez. 9 0 9. : : 0 : 9 : :. : : 0
Plus en détailExercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes
Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)
Plus en détailPartie 1 - Séquence 3 Original d une fonction
Partie - Séquence 3 Original d une fonction Lycée Victor Hugo - Besançon - STS 2 I. Généralités I. Généralités Définition Si F(p) = L [f(t)u (t)](p), alors on dit que f est l original de F. On note f(t)
Plus en détailEtude de fonctions: procédure et exemple
Etude de fonctions: procédure et exemple Yves Delhaye 8 juillet 2007 Résumé Dans ce court travail, nous présentons les différentes étapes d une étude de fonction à travers un exemple. Nous nous limitons
Plus en détailPrésentation du cours de mathématiques de D.A.E.U. B, remise à niveau
i Présentation du cours de mathématiques de D.A.E.U. B, remise à niveau Bonjour, bienvenue dans votre début d étude du cours de mathématiques de l année de remise à niveau en vue du D.A.E.U. B Au cours
Plus en détailLes indices à surplus constant
Les indices à surplus constant Une tentative de généralisation des indices à utilité constante On cherche ici en s inspirant des indices à utilité constante à définir un indice de prix de référence adapté
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable
Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I
Plus en détailLa fonction exponentielle
DERNIÈRE IMPRESSION LE 2 novembre 204 à :07 La fonction exponentielle Table des matières La fonction exponentielle 2. Définition et théorèmes.......................... 2.2 Approche graphique de la fonction
Plus en détailPriorités de calcul :
EXERCICES DE REVISION POUR LE PASSAGE EN QUATRIEME : Priorités de calcul : Exercice 1 : Calcule en détaillant : A = 4 + 5 6 + 7 B = 6 3 + 5 C = 35 5 3 D = 6 7 + 8 E = 38 6 3 + 7 Exercice : Calcule en détaillant
Plus en détailCORRIGE LES NOMBRES DECIMAUX RELATIFS. «Réfléchir avant d agir!»
Corrigé Cours de Mr JULES v3.3 Classe de Quatrième Contrat 1 Page 1 sur 13 CORRIGE LES NOMBRES DECIMAUX RELATIFS. «Réfléchir avant d agir!» «Correction en rouge et italique.» I. Les nombres décimaux relatifs.
Plus en détailEteindre. les. lumières MATH EN JEAN 2013-2014. Mme BACHOC. Elèves de seconde, première et terminale scientifiques :
MTH EN JEN 2013-2014 Elèves de seconde, première et terminale scientifiques : Lycée Michel Montaigne : HERITEL ôme T S POLLOZE Hélène 1 S SOK Sophie 1 S Eteindre Lycée Sud Médoc : ROSIO Gauthier 2 nd PELGE
Plus en détailRaisonnement par récurrence Suites numériques
Chapitre 1 Raisonnement par récurrence Suites numériques Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Raisonnement par récurrence. Limite finie ou infinie d une suite.
Plus en détailOptimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications
Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications A. Optimisation sans contrainte.... Généralités.... Condition nécessaire et condition suffisante
Plus en détailPlanche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé
Planche n o Fonctions de plusieurs variables Corrigé n o : f est définie sur R \ {, } Pour, f, = Quand tend vers, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers Donc, si f a une limite réelle en, cette
Plus en détailManuel d utilisation 26 juin 2011. 1 Tâche à effectuer : écrire un algorithme 2
éducalgo Manuel d utilisation 26 juin 2011 Table des matières 1 Tâche à effectuer : écrire un algorithme 2 2 Comment écrire un algorithme? 3 2.1 Avec quoi écrit-on? Avec les boutons d écriture........
Plus en détailLe théorème de Thalès et sa réciproque
Le théorème de Thalès et sa réciproque I) Agrandissement et Réduction d une figure 1) Définition : Lorsque toutes les longueurs d une figure F sont multipliées par un même nombre k on obtient une autre
Plus en détailRésolution de systèmes linéaires par des méthodes directes
Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes J. Erhel Janvier 2014 1 Inverse d une matrice carrée et systèmes linéaires Ce paragraphe a pour objet les matrices carrées et les systèmes linéaires.
Plus en détailConstruction d un cercle tangent à deux cercles donnés.
Préparation au CAPES Strasbourg, octobre 2008 Construction d un cercle tangent à deux cercles donnés. Le problème posé : On se donne deux cercles C et C de centres O et O distincts et de rayons R et R
Plus en détailBaccalauréat L spécialité, Métropole et Réunion, 19 juin 2009 Corrigé.
Baccalauréat L spécialité, Métropole et Réunion, 19 juin 2009 Corrigé. L usage d une calculatrice est autorisé Durée : 3heures Deux annexes sont à rendre avec la copie. Exercice 1 5 points 1_ Soit f la
Plus en détailCours 02 : Problème général de la programmation linéaire
Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la Programmation Linéaire. 5 . Introduction Un programme linéaire s'écrit sous la forme suivante. MinZ(ou maxw) =
Plus en détailPetit lexique de calcul à l usage des élèves de sixième et de cinquième par M. PARCABE, professeur au collège Alain FOURNIER de BORDEAUX, mars 2007
Petit lexique de calcul à l usage des élèves de sixième et de cinquième par M. PARCABE, professeur au collège Alain FOURNIER de BORDEAUX, mars 2007 page 1 / 10 abscisse addition additionner ajouter appliquer
Plus en détailLogique. Plan du chapitre
Logique Ce chapitre est assez abstrait en première lecture, mais est (avec le chapitre suivant «Ensembles») probablement le plus important de l année car il est à la base de tous les raisonnements usuels
Plus en détailPremière partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015
Énoncé Soit V un espace vectoriel réel. L espace vectoriel des endomorphismes de V est désigné par L(V ). Lorsque f L(V ) et k N, on désigne par f 0 = Id V, f k = f k f la composée de f avec lui même k
Plus en détailExercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels
Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels Exercice 1 On considére le sous-espace vectoriel F de R formé des solutions du système suivant : x1 x 2 x 3 + 2x = 0 E 1 x 1 + 2x 2 + x 3
Plus en détailExercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument
Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Exercice - - L/Math Sup - On multiplie le dénominateur par sa quantité conjuguée, et on obtient : Z = 4 i 3 + i 3 i 3 = 4 i 3 + 3 = + i 3. Pour
Plus en détailFONCTION EXPONENTIELLE ( ) 2 = 0.
FONCTION EXPONENTIELLE I. Définition Théorème : Il eiste une unique fonction f dérivable sur R telle que f ' = f et f (0) =. Démonstration de l'unicité (eigible BAC) : L'eistence est admise - Démontrons
Plus en détailLimites finies en un point
8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours.
Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I
Plus en détail2.4 Représentation graphique, tableau de Karnaugh
2 Fonctions binaires 45 2.4 Représentation graphique, tableau de Karnaugh On peut définir complètement une fonction binaire en dressant son tableau de Karnaugh, table de vérité à 2 n cases pour n variables
Plus en détailRésolution d équations non linéaires
Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique
Plus en détailAC AB. A B C x 1. x + 1. d où. Avec un calcul vu au lycée, on démontre que cette solution admet deux solutions dont une seule nous intéresse : x =
LE NOMBRE D OR Présentation et calcul du nombre d or Euclide avait trouvé un moyen de partager en deu un segment selon en «etrême et moyenne raison» Soit un segment [AB]. Le partage d Euclide consiste
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours
Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****
Plus en détailBACCALAURÉAT PROFESSIONNEL ÉPREUVE DE MATHEMATIQUES. EXEMPLE DE SUJET n 2
Exemple de sujet n 2 Page 1/7 BACCALAURÉAT PROFESSIONNEL ÉPREUVE DE MATHEMATIQUES EXEMPLE DE SUJET n 2 Ce document comprend : Pour l examinateur : - une fiche descriptive du sujet page 2/7 - une fiche
Plus en détailChapitre 2. Matrices
Département de mathématiques et informatique L1S1, module A ou B Chapitre 2 Matrices Emmanuel Royer emmanuelroyer@mathuniv-bpclermontfr Ce texte mis gratuitement à votre disposition a été rédigé grâce
Plus en détailDe même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que
Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer
Plus en détailUne forme générale de la conjecture abc
Une forme générale de la conjecture abc Nicolas Billerey avec l aide de Manuel Pégourié-Gonnard 6 août 2009 Dans [Lan99a], M Langevin montre que la conjecture abc est équivalente à la conjecture suivante
Plus en détailCHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE. EQUATIONS DIFFERENTIELLES.
CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE EQUATIONS DIFFERENTIELLES Le but de ce chapitre est la résolution des deux types de systèmes différentiels linéaires
Plus en détailCorrection du baccalauréat ES/L Métropole 20 juin 2014
Correction du baccalauréat ES/L Métropole 0 juin 014 Exercice 1 1. c.. c. 3. c. 4. d. 5. a. P A (B)=1 P A (B)=1 0,3=0,7 D après la formule des probabilités totales : P(B)=P(A B)+P(A B)=0,6 0,3+(1 0,6)
Plus en détailChapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle
Chapitre 6 Fonction réelle d une variable réelle 6. Généralités et plan d étude Une application de I dans R est une correspondance entre les éléments de I et ceu de R telle que tout élément de I admette
Plus en détailFONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)
FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 13 mars 2009 Table des matières 1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1 2 Limites et continuité
Plus en détailExercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer
Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy
Plus en détailLa maison Ecole d ' Amortissement d un emprunt Classe de terminale ES. Ce qui est demandé. Les étapes du travail
La maison Ecole d ' Amortissement d un emprunt Classe de terminale ES Suites géométriques, fonction exponentielle Copyright c 2004 J.- M. Boucart GNU Free Documentation Licence L objectif de cet exercice
Plus en détailLa persistance des nombres
regards logique & calcul La persistance des nombres Quand on multiplie les chiffres d un nombre entier, on trouve un autre nombre entier, et l on peut recommencer. Combien de fois? Onze fois au plus...
Plus en détailDévelopper, factoriser pour résoudre
Développer, factoriser pour résoudre Avec le vocabulaire Associer à chaque epression un terme A B A différence produit A+ B A B inverse quotient A B A opposé somme Écrire la somme de et du carré de + Écrire
Plus en détailEnoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé.
Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé. I- ACTIVITES NUMERIQUES (12 points) Exercice 1 (3 points) On considère
Plus en détailDéfinition 0,752 = 0,7 + 0,05 + 0,002 SYSTÈMES DE NUMÉRATION POSITIONNELS = 7 10 1 + 5 10 2 + 2 10 3
8 Systèmes de numération INTRODUCTION SYSTÈMES DE NUMÉRATION POSITIONNELS Dans un système positionnel, le nombre de symboles est fixe On représente par un symbole chaque chiffre inférieur à la base, incluant
Plus en détailLes nombres entiers. Durée suggérée: 3 semaines
Les nombres entiers Durée suggérée: 3 semaines Aperçu du module Orientation et contexte Pourquoi est-ce important? Dans le présent module, les élèves multiplieront et diviseront des nombres entiers concrètement,
Plus en détailBaccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé
Baccalauréat S ntilles-guyane 11 septembre 14 Corrigé EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue
Plus en détailFonction inverse Fonctions homographiques
Fonction inverse Fonctions homographiques Année scolaire 203/204 Table des matières Fonction inverse 2. Définition Parité............................................ 2.2 Variations Courbe représentative...................................
Plus en détailExtrait du poly de Stage de Grésillon 1, août 2010
MINI-COURS SUR LES POLYNÔMES À UNE VARIABLE Extrait du poly de Stage de Grésillon 1, août 2010 Table des matières I Opérations sur les polynômes 3 II Division euclidienne et racines 5 1 Division euclidienne
Plus en détailC f tracée ci- contre est la représentation graphique d une
TLES1 DEVOIR A LA MAISON N 7 La courbe C f tracée ci- contre est la représentation graphique d une fonction f définie et dérivable sur R. On note f ' la fonction dérivée de f. La tangente T à la courbe
Plus en détailCUEEP Département Mathématiques E 821 : Problèmes du premier degré 1/27
Problèmes du premier degré à une ou deux inconnues Rappel Méthodologique Problèmes qui se ramènent à une équation à une inconnue Soit l énoncé suivant : Monsieur Duval a 4 fois l âge de son garçon et sa
Plus en détaila et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe le nombre ax + b
I Définition d une fonction affine Faire l activité 1 «une nouvelle fonction» 1. définition générale a et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe
Plus en détailImage d un intervalle par une fonction continue
DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction
Plus en détailFonctions linéaires et affines. 1 Fonctions linéaires. 1.1 Vocabulaire. 1.2 Représentation graphique. 3eme
Fonctions linéaires et affines 3eme 1 Fonctions linéaires 1.1 Vocabulaire Définition 1 Soit a un nombre quelconque «fixe». Une fonction linéaire associe à un nombre x quelconque le nombre a x. a s appelle
Plus en détailReprésentation des Nombres
Chapitre 5 Représentation des Nombres 5. Representation des entiers 5.. Principe des représentations en base b Base L entier écrit 344 correspond a 3 mille + 4 cent + dix + 4. Plus généralement a n a n...
Plus en détailCours d arithmétique Première partie
Cours d arithmétique Première partie Pierre Bornsztein Xavier Caruso Pierre Nolin Mehdi Tibouchi Décembre 2004 Ce document est la première partie d un cours d arithmétique écrit pour les élèves préparant
Plus en détailLes devoirs en Première STMG
Les devoirs en Première STMG O. Lader Table des matières Devoir sur table 1 : Proportions et inclusions....................... 2 Devoir sur table 1 : Proportions et inclusions (corrigé)..................
Plus en détailI. Polynômes de Tchebychev
Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire
Plus en détailTHEME : CLES DE CONTROLE. Division euclidienne
THEME : CLES DE CONTROLE Division euclidienne Soit à diviser 12 par 3. Nous pouvons écrire : 12 12 : 3 = 4 ou 12 3 = 4 ou = 4 3 Si par contre, il est demandé de calculer le quotient de 12 par 7, la division
Plus en détailProbabilités Loi binomiale Exercices corrigés
Probabilités Loi binomiale Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l exercice pour un accès direct) Exercice 1 : épreuve de Bernoulli Exercice 2 : loi de Bernoulli de paramètre
Plus en détailArithmétique binaire. Chapitre. 5.1 Notions. 5.1.1 Bit. 5.1.2 Mot
Chapitre 5 Arithmétique binaire L es codes sont manipulés au quotidien sans qu on s en rende compte, et leur compréhension est quasi instinctive. Le seul fait de lire fait appel au codage alphabétique,
Plus en détailProbabilités conditionnelles Exercices corrigés
Terminale S Probabilités conditionnelles Exercices corrigés Exercice : (solution Une compagnie d assurance automobile fait un bilan des frais d intervention, parmi ses dossiers d accidents de la circulation.
Plus en détailChapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme
Chapitre 3 Quelques fonctions usuelles 1 Fonctions logarithme et eponentielle 1.1 La fonction logarithme Définition 1.1 La fonction 7! 1/ est continue sur ]0, +1[. Elle admet donc des primitives sur cet
Plus en détailFonctions de deux variables. Mai 2011
Fonctions de deux variables Dédou Mai 2011 D une à deux variables Les fonctions modèlisent de l information dépendant d un paramètre. On a aussi besoin de modéliser de l information dépendant de plusieurs
Plus en détailChapitre 2. Eléments pour comprendre un énoncé
Chapitre 2 Eléments pour comprendre un énoncé Ce chapitre est consacré à la compréhension d un énoncé. Pour démontrer un énoncé donné, il faut se reporter au chapitre suivant. Les tables de vérité données
Plus en détailNotion de fonction. Résolution graphique. Fonction affine.
TABLE DES MATIÈRES 1 Notion de fonction. Résolution graphique. Fonction affine. Paul Milan LMA Seconde le 12 décembre 2011 Table des matières 1 Fonction numérique 2 1.1 Introduction.................................
Plus en détail