1 ère S Exercices sur le second degré

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1 ère S Eercices sur le second degré Résoudre dans l équation 0. Si m..., alors l équation (E). Si m..., alors l équation (E). Si m..., alors l équation (E). Résoudre dans l équation 0. Résoudre dans l équation. Résoudre dans l équation Dans chaque cas, calculer le discriminant du polynôme P : ) P ) P P ) ) P 8 Résoudre dans à l aide du discriminant réduit l équation On considère l équation (E). ) Sans calculer le discriminant, epliquer pourquoi l équation (E) admet deu racines et distinctes dans. ) Sans calculer ces racines, calculer leur somme et leur produit. ) Que peut-on dire du signe de ces racines? ) Sans calculer et, calculer et. 0 Dans chaque cas, factoriser le polynôme P lorsque c est possible. ) P ) P ) ) P 5 P 6 Résoudre dans les équations suivantes ) 6 0 ) 0 ) Dans chaque cas, dresser le tableau de signes du polynôme P : ) P ) P ) P 7 Déterminer le nombre de solutions dans de l équation m 0 (E) suivant les valeurs de m. On effectuera une discussion. On conclura la discussion sur le modèle suivant : 5 Résoudre dans l inéquation. 5 Résoudre dans l inéquation 0 Résoudre dans l inéquation.

2 5 Résoudre dans l équation 6 0. ) Écrire l équation (E) pour la valeur de m ainsi trouvée. On rédigera très simplement selon le modèle suivant : 6 Résoudre dans l inéquation 6 0. «Pour m (valeur trouvée au ), l équation s écrit :.» 7 Résoudre dans l inéquation 0. 8 Déterminer une fonction polynôme f du second degré vérifiant les deu conditions f f 0 C : f 0 C : Déterminer l autre solution de (E) sans calculer le discriminant de (E). On considère l équation 0 0 (). Démontrer que l équation () admet deu racines distinctes dans. Sans les calculer, déterminer leur signe. La somme de trois entiers relatifs consécutifs est égale à leur produit. Quelles sont les valeurs possibles de ces entiers? On respectera les quatre étapes habituelles en écrivant les titres suivants : ) Choi de l inconnue ) Mise en équation et condition ) Résolution ) Conclusion 0 Déterminer deu nombres dont la somme est égale à 5 et le produit est égal à. On considère l équation désigne un paramètre réel. m m 0 (E) d inconnue où m ) Comment faut-il choisir m pour que l équation (E) admette le nombre pour solution? On rédigera selon le modèle suivant en utilisant une chaîne d équivalences : est solution de (E) si et seulement si si et seulement si si et seulement si

3 Corrigé 7 On factorise le premier membre. S ; Technique N : factoriser Technique N : développer (cette technique «marche» ici mais est moins naturelle que la ère ). Résolvons dans l équation ( ) ( )( ) 0 (). L équation () est successivement équivalente à : ( ) ( )( ) 0 ( ) ( )( ) 0 ( ) = 0 ou 7 + = 0 7 = ou L ensemble des solutions de () est S = { ; ; } Résolvons dans l équation 7 S ;. 0 () L équation () est successivement équivalente à : 0 (il faut commencer par une factorisation partielle) = 0 ou + = 0 ou = 0 = ou = ou = L ensemble des solutions de () est S = { ; ; }. Commencer par donner les valeurs interdites : et. On résout l équation dans \ { ; }. On prend pour dénominateur commun. S. Résolvons dans l équation Les valeurs interdites de l équation sont et (valeurs de qui annulent les dénominateurs). On résout l équation () dans \ { ; }. L équation () est successivement équivalente à : ().

4 0 n est pas valeur interdite. = 0 L ensemble des solutions de () est S. Il est important de procéder à la validation des solutions : il s agit de voir si la valeur de obtenue n est pas une valeur interdite (attention, ce n est pas une vérification). S ; 7 Résolvons dans l équation (5 ) ( ) 0 (). L équation () est successivement équivalente à : (5 ) ( ) (5 ) ( ) 5 ( ) 0 + = 0 ou 7 = 0 ou 7 L ensemble des solutions de () est : 5 Calculs de discriminants ) P = ( ) ( ) = 8 = ) P (trinôme incomplet) S ; 7. ) P (trinôme incomplet) = 0 = 8 ) P = = 0 6 On utilise le discriminant à chaque fois avec toute la rédaction du cours. S ; (on peut aussi utiliser une racine évidente de l équation en ) rédigeant comme dans le cours). 5 5 ) S ; ) L équation n admet aucune solution dans. Dans tous les cas, il s agit de polynômes du second degré complets donc on utilise la technique du discriminant. Résolvons dans l équation Considérons le polynôme Recensement des coefficients : a ; b ; c ().

5 Calcul du discriminant b ac 6 5 S 5 5 ; Résolvons dans l équation (). On a : > 0 donc le polynôme admet racines distinctes dans : b a 5 5 S ; Résolvons dans l équation Considérons le polynôme Recensement des coefficients : a ; b ; c Calcul du discriminant 5. b a (). On a : 0 donc le polynôme admet racines distinctes dans : b a 5 b a 5 Considérons le polynôme 5 7. Recensement des coefficients : a ; b 5 ; c 7 Calcul du discriminant 5 7 = 5 8 On a : < 0 donc le polynôme n admet aucune racine dans. S 7 Déterminons le nombre de solutions dans de l équation m 0 (E) suivant les valeurs de m. (E) est une équation du second degré (m est un paramètre). On calcule le discriminant (par rapport) en fonction de m. Son discriminant est égal à m m. Ce discriminant a un signe qui varie suivant les valeurs de m. On fait une discussion mathématique suivant les valeurs du paramètre m. + m = 0 m

6 Le signe de est positif donc on obtient le tableau de signe suivant (négatif avant, nul «sur», positif après ). Discussion : m Signe de m Si m, alors < 0 ; dans ce cas, (E) n admet aucune racine réelle. Si m, alors > 0 ; dans ce cas, (E) admet deu racines réelles. Si m, alors = 0 ; dans ce cas, (E) admet une racine double réelle. On a effectué une discussion. On discute suivant les valeurs de m. Cela arrive fréquemment dans des énoncés. L énoncé dit alors : «Discuter suivant les valeurs de m». Complément : epression des racines en fonction de m Dans le cas où > 0 c est-à-dire lorsque m, il n est pas inintéressant d écrire les epressions des solutions et en fonction de m : m m et. Ces epressions sont assez compliquées. Il n est pas possible de les simplifier. Dans le cas où = 0, c est-à-dire lorsque 0. m, l équation (E) s écrit Elle admet une racine double 0. Il est à noter qu il est possible de retrouver cette racine sans recourir à la formule avec le discriminant en observant que l équation (E) est équivalente à : 0. 8 S 5 ; 5 Résolvons dans à l aide du discriminant réduit l équation (). Considérons le polynôme Recensement des coefficients : a = ; b = 0 ; c = 8 b = 5 Calcul du discriminant réduit : = b' ac = 5 ( 8) = = 0 8. On a : > 0 donc le polynôme admet racines distinctes dans :

7 b' ' a 5 b' ' a 5 L ensemble des solutions de () est S 5 ; (E) ) Déterminons le signe de et. Attention, cette question n a aucun rapport avec le signe du trinôme. Comme le produit est négatif, on peut dire que les racines sont de signes contraires. ) Calculons et. ) (E) est une équation du second degré. Les coefficients sont a =, b = 5, c = 7. L idée est d eprimer produit de et. et en fonction de la somme et du Comme a et c sont de signes contraires, le discriminant de (E) est strictement positif donc l équation (E) admet deu racines et distinctes dans. ) La somme et le produit des racines sont donnés par les formules du cours : b a c a On applique ces formules b 5 5 a c 7 a formules très simples. calcul mental 5 67 Attention, il n y a pas d identité remarquable pour factoriser

8 Autre méthode : on utilise l identité remarquable a 0 Factorisation d un polynôme du second degré b. On peut utiliser les racines évidentes à condition de très bien rédiger. ) P ( ) Les racines de P sont (racine évidente) et (obtenue par produit). P On voit que l on peut rentrer le dans la deuième parenthèse pour que ce soit plus «joli». Ça fait : On a un produit de trois facteurs. On peut associer deu facteurs ensemble (ici : et Ensuite seulement on fait une distributivité. ) P ( ) Les racines de P ). P sont (racine évidente) et (obtenue par produit). a =. Non seulement, on n est pas obligé d écrire le mais encore on ne doit pas écrire le qui serait parfaitement inutile. P ) P( ) 5 Le discriminant de P () est égal à =. < 0 donc le polynôme n est pas factorisable. Dans chaque cas, on peut vérifier le résultat en développant le résultat. On peut aussi utiliser un logiciel de calcul formel. Dans les eercices qui suivent, tous les tableau de signes doivent être faits à la règle. On peut utiliser l abréviation SGN pour «signe» ; c est l une des rares abréviations autorisées dans un tete mathématique. Signe d un polynôme du second degré On applique la règle du signe d un trinôme du second degré. ) P ( ) Les racines de P sont (racine évidente) et (obtenue par produit). On en déduit que le discriminant de P est strictement positif (puisque P admet deu racines distinctes). On peut aussi dire que > 0 car a et c (à condition d avoir dit ce que sont a et c) sont de signes contraires. En appliquant la règle du signe du trinôme, on peut établir le tableau de signes suivant : ) P( ) Les racines de P sont (racine évidente) et (obtenue par produit). + SGN de P()

9 ) P( ) Le discriminant de P est égal à = = < 0 donc d après la règle du signe du trinôme, de c est-à-dire strictement positif. (On pourrait dire < 0 donc n a pas d intérêt puisque l on cherche le signe de ). P est toujours du signe P n admet aucune racine dans mais cela P suivant les valeurs de S ; 0 ; Résolvons dans l inéquation 0 et sont valeurs interdites. 5. On résout l inéquation dans \ { 0 ; }. L inéquation est successivement équivalente à : On peut donc donner le tableau de signes suivant : + SGN de P() + Il n y a aucune valeur sur la ligne des. ) P (égalités : a c ad bc et b d bd a c ad bc ) b d bd Les racines de P sont (racine évidente) et (obtenue par produit). On en déduit que le discriminant de P admet deu racines distinctes). P est strictement positif (puisque 0 0 En appliquant la règle du signe du trinôme, on peut établir le tableau de signes suivant : + SGN de P() On fait un tableau de signes à la règle (on met + et sur la ère ligne). On doit mettre une ligne avec le signe de. Il y a valeurs charnière donc 5 colonnes. Dimensions des colonnes : prendre environ : cm de large. * Voir à la fin des eercices.

10 num dén Eplication sur les notations 0 et 0 dans le tableau de signes : num Lorsqu une epression présente au numérateur s annule on écrit 0 ; on num retrouve alors ce 0 sur la dernière ligne. dén Lorsqu une epression présente au dénominateur s annule, on écrit 0 ; on a alors une double barre sur la dernière ligne. Ces notations on un rôle de garde-fou dans les eercices. Commentaire : On peut éventuellement «raccourcir» en faisant un tableau de signes comprenant le signe du numérateur et du dénominateur : une ligne avec le signe de et une ligne avec le signe de ( + ). S ; ; 5 5 Résolvons dans l inéquation 0. On travaille avec le polynôme du numérateur et le polynôme du dénominateur. Considérons le polynôme. Les racines sont (racine évidente) et (obtenue par produit) [on peut aussi calculer qui vaut ici 5 puis appliquer les formules usuelles donnant les racines d un polynôme du second degré]. Ce polynôme est du signe positif pour à l etérieur des racines et négatif pour entre les racines num déno 0 déno num + L ensemble des solutions de l inéquation est : S ; ; S ; ; Résolvons dans l inéquation. est une valeur interdite. On résout l inéquation dans \ { }. L inéquation est successivement équivalente à : 0 (on transpose le quotient dans le membre de gauche pour travailler en 0) 0 0 Considérons le polynôme.

11 Recensement des coefficients : a ; b ; c Calcul du discriminant b ac 7 On a : 0 donc le polynôme admet racines distinctes dans, et : b a 7 b a 7 5 Résolvons dans l équation 6 0 (). Le premier membre de cette équation n est pas un polynôme du second degré. On ne sait pas résoudre cette équation directement. On va transformer cette l équation en effectuant un changement d inconnue qui va permettre d obtenir un polynôme du second degré (ou pour la mettre sous la forme d une équation du second degré). On pose (changement d inconnue) num 0 num + 0 déno num + 0 num + L ensemble des solutions de l inéquation est : 7 7 S ; ; + L équation s écrit : 6 0 (') (c est l équation «résolvante» : même équation réécrite avec l inconnue ). Considérons le polynôme 6 (du second degré en ). est racine évidente donc le polynôme admet une autre racine dans (distincte ou confondue). 6 Les racines du polynôme sont et. Or. () est donc successivement équivalente à :: ou (impossible) = L ensemble des solutions de l équation est S.

12 6 S ; ; 5 5 Résolvons dans l inéquation 6 0 (). Il s agit d une inéquation du e degré et plus précisément d une inéquation bicarrée car il n y a pas de terme en et en. On ne sait pas résoudre cette inéquation directement. Le polynôme peut se factoriser en produit de facteurs du premier degré (règle de factorisation d un polynôme du second degré) : 6 L inéquation s écrit 0. On pose. Or. L inéquation s écrit : Considérons le polynôme l eercice précédent) (il s agit du même polynôme que dans est racine évidente donc le polynôme admet une autre racine dans (distincte ou confondue). 6 Les racines du polynôme sont et. Ou Le discriminant est égal à 6 = 5 > 0 donc le polynôme admet deu racines distinctes dans : On réécrit l inéquation avec un premier membre sous forme factorisée avec l inconnue de départ. Donc () est successivement équivalente à : SGN de 0 + SGN de SGN de SGN de

13 L ensemble des solutions de l inéquation () est S ; ;. Commentaire : Tout le passage de recherche des racines du polynôme fait de manière traditionnelle comme suit : Recensement des coefficients : a = ; b = ; c = 6 Calcul du discriminant b ac = + = 5 On a : > 0 donc le polynôme admet racines distinctes dans : b a 5 Autre méthode : On résout l inéquation On trouve ou. b a peut être Comme, l inéquation () est successivement équivalente à : ou impossible dans L ensemble des solutions de l inéquation () est S ; ;. * On peut aussi transformer l inéquation en en 0. Les racines du polynôme sont et. En appliquant la règle du signe d un trinôme, on peut dresser le tableau de signes ci-dessous : SGN de 7 S = \ { } Résolution détaillée : Résolvons dans l inéquation Considérons le polynôme a ; b ; c Le discriminant est égal à : 0.. b ac 0 b Le polynôme admet donc une racine double dans : 0. a D après la règle du signe du trinôme du second degré, on peut dresser le tableau de signes suivants : ou (en appliquant le cours) *

14 SGN de Conclusion : L ensemble des solutions de 0 est ou S = 8 Penser à utiliser la forme factorisée d un polynôme du second degré. f. On obtient ( )( ) Cet eercice peut être traité de diverses manières plus ou moins habiles.. S ; ; ou S = \ Commentaires : On pourrait aussi utiliser le discriminant réduit. Quand on trouve = 0, c est qu on est passé à côté d une identité remarquable. L inéquation est successivement équivalente à : 0 0 Variante : on peut faire un tableau de signes après avoir factorisé l epression. ère manière : «bête» ; on établit un système. Long mais ça marche. e manière : plus astucieuse ; on utilise la somme et le produit des racines. e manière : encore plus astucieuse ; on utilise la rège de factorisation d un trinôme. Solution détaillée de la troisième manière : D après la condition C, le polynôme f () admet deu racines distinctes dans : et (remarque : l information f (0) = nous montre que 0 n est pas racine de f ). On peut donc dire que son discriminant est strictement positif. Le polynôme peut donc se factoriser sous la forme : f a avec a. On a donc f a (). La quantification du est très importante ; elle va permettre de particulariser dans la suite. D après la condition C, on a : f 0 donc en remplaçant par 0 dans l égalité () on obtient : a0 0 d où a soit a. Complément : L ensemble des solutions de L ensemble des solutions de 0 est. 0 est. Conclusion : f ( )( ). On peut éventuellement développer le polynôme si on le souhaite, mais ce n est pas nécessaire.

15 Autre rédaction possible : D après la condition C, le polynôme f () admet deu racines distinctes dans : et. Donc, si on note son discriminant, on a : > 0. Par conséquent, le polynôme f () admet une factorisation de la forme f a avec a. D après la condition C, on a : Conclusion : f ( )( ). Solution détaillée de la première manière : f ( ) a b c ((a, b, c) * ) f 0 donc on a : d où a soit a =. * : produit cartésien des ensembles *,,. Le signe ne se lit pas «fois» mais «croi». * se lit «* croi croi». a 0 0 C est l ensemble des triplets ((a, b, c) de réels tels que a *, b, c. f ( ) = 0 () f () = 0 () f (0) = () () donne a0 b 0 c donc c =. () donne successivement a b c 0 a b + = 0 a b = () () donne successivement a b c 0 a b 0 a + b + = 0 a + b = () On résout le système formé par les équations () et () qui s écrit : a b a b On trouve Conclusion : a b c Donc a b f ( ) (par addition membre à membre) Déterminons trois entiers relatifs consécutifs sachant que leur somme est égale à leur produit. La somme de trois entiers relatifs consécutifs est égale à leur produit. Quelles sont les valeurs possibles de ces entiers? Quelques eplications utiles : On dit que des entiers sont consécutifs pour eprimer qu ils se suivent. Par eemple, les entiers,, 5, 6, 7 sont des entiers consécutifs.

16 Lorsque l on a trois entiers consécutifs, on appelle «entier du milieu» celui qui n est ni le plus petit, ni le plus grand. Par eemple, parmi les entiers consécutifs 7, 8,, l entier du milieu est 8. Ici, pour résoudre le problème, il y a un bon choi d inconnue à faire : prendre pour inconnue le nombre du «milieu». On trouve trois possibilités : ; 0 ; ou ; ; ou ; ;. Solution détaillée en prenant pour inconnue l entier du milieu : Choi de l inconnue : Soit l entier du milieu parmi les trois entiers consécutifs cherchés. L entier précédent (le prédécesseur) est alors ; l entier suivant (le successeur) est alors +. (À priori, il s agit d un problème à trois inconnues mais on se ramène à un problème à une seule inconnue). Mise en équation et condition : vérifie l équation : () L égalité () traduit la condition «la somme des trois nombres est égale au produit». Résolution : Ne pas utiliser ; il faut factoriser. () est successivement équivalente à (on ne peut pas simplifier les deu membres par ) ou ou Ces trois solutions sont acceptables compte tenu de la condition. er cas : = 0 L entier qui précède est 0 =. L entier qui suit est 0 + =. e cas : L entier qui précède est =. L entier qui suit est + =. e cas : L entier qui précède est =. L entier qui suit est + =. Conclusion : Il y a trois possibilités : ère possibilité :, 0, e possibilité :,, e possibilité :,, On vérifie pour chacune de ces possibilités que la somme des trois entiers consécutifs est égale au produit. Solution détaillée en prenant pour inconnue l entier du milieu : Choi de l inconnue : Soit le plus petit des trois entiers consécutifs cherchés. Les entiers suivants sont alors + et +.

17 Mise en équation et condition : (). vérifie l équation : Résolution : () est successivement équivalente à = 0 ou 0 = ou = (racine évidente) ou = (par produit) Conclusion : On a déterminé chaque fois la valeur du plus petit des trois entiers cherchés. Les deu autres entiers s obtiennent alors en ajoutant puis encore (puisque ce sont des entiers consécutifs). Il y a trois triplets solutions : ( ; 0 ; ), ( ; ; ) ; ( ; ; ). On retrouve bien sûr les mêmes triplets qu avec la première méthode. 0 Recherche de deu nombres connaissant la somme et le produit Déterminons deu réels dont la somme est égale à 5 et le produit est égal à. ère méthode : résolution d un système Soit et y les réels cherchés. et y sont solutions du système y 5 (). y () Ce système n est pas un système linéaire (à cause de l équation () dont le premier membre est un produit). Il n y a donc qu une seule méthode possible : la résolution par substitution () donne y = 5 (). Compte tenu de (), () donne les lignes suivantes successivement équivalentes : (5 ) = = (racine évidente) ou = (obtenu par produit) er cas : = () donne alors y = e cas : = () donne alors y = Les nombres cherchés sont et. e méthode : on applique le cours Si deu nombres ont pour somme S et pour produit P, alors ils sont solutions de l équation S P 0. Il y a deu méthodes ; la deuième méthode est préférable à la première (plus courte) Ces deu réels, s ils eistent, sont solutions de l équation («équation résolvante»). 5 0

18 Les racines de cette équation sont (racine évidente) et (obtenu par produit). Les nombres cherchés sont donc et. Commentaires : Dans la première méthode, l équation vérifiée par qui est n est autre que l équation résolvante. 5 0 On peut vérifier les solutions en utilisant un logiciel de calcul formel. Dans la première méthode, on s est servi de la première équation pour eprimer y en fonction de et reporter dans la deuième équation. On pourrait aussi se servir de la deuième équation pour eprimer y en fonction de et reporter dans la première équation. On obtiendrait alors 5 et donc en multipliant par on retomberait sur une équation du second degré. Attention résolution fausse : 5 5 = On multiplie par les deu membres de l équation : 5. On n échappe pas au second degré. m m 0 (E) (, m : paramètre réel) ) Déterminons m pour que l équation (E) admette pour solution. est solution de (E) si et seulement si m m 0 si et seulement si m = 0 si et seulement si m = ) Écrivons l équation (E) pour la valeur de m trouvée au ) et déterminons l autre racine de (E) sans calculer le discriminant. Pour m, l équation s écrit : 8 0. On sait que est racine de cette équation (d après le ). L autre solution de (E) est égale à (on l obtient par le produit des deu racines qui est égal à ou par somme qui est égale à 8 ). 0 0 () Démontrons que l équation () admet deu racines distinctes dans. () est une équation du second degré. On calcule son discriminant : on trouve = 00 = 88. > 0 donc l équation () admet deu racines distinctes dans. Déterminons leur signe sans les calculer. Le produit des deu racines est égal à. Le produit est positif donc les deu racines sont de même signe. La somme des deu racines est égale à 0.

19 La somme des deu racines est positive. Donc les deu racines sont positives. On peut vérifier le résultat en calculant les deu racines à la main ou à l aide d un logiciel de calcul formel. On a vraiment besoin des deu : sommes et produit pour déterminer le signe des deu racines. La somme seule ne suffit.

20 Tableau de signes de l e. : 0 + SGN de num SGN de + 0 num SGN de 0 dén + + SGN de + 0 dén SGN de + 0 num + 0 num Tableau de signes de l e. : 5 + SGN de 5 0 num + numérateur SGN de + 0 déno 0 déno + + dénominateur 5 SGN de + 0 num +

21 Dans le 6 (tableau de signe de 0 ), on pourrait ne pas mettre de ligne pour. 0

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