CHUTE D UN SOLIDE DANS UN CHAMP DE PESANTEUR UNIFORME

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1 CHAPITRE P11 CHUTE D UN SOLIDE DANS UN CHAMP DE PESANTEUR UNIFORME I) DÉFINITIONS. 1) Poids d un solide et champ de pesanteu 2) Champ de pesanteu unifome 3) Chute II) ÉTUDE DE LA CHUTE LIBRE 1) Étude expéimentale 2) Modélisation du mouvement a) vecteu accéléation b) équations difféentielles du mouvement c) ésolution analytique des équations difféentielles d) équation de la tajectoie e) flèche et potée III) ÉTUDE DE LA CHUTE AVEC FROTTEMENT 1) Bilan des foces extéieues appliquées au solide 2) Modélisation du mouvement de chute avec fottement a) équation difféentielle du mouvement b) coube expéimentale, existence d une vitesse limite et d un égime pemanent. c) ésolution de l équation difféentielle pa la méthode d Eule

2 I) Définitions 1) Poids d un solide et champ de pesanteu L action mécanique d un aste su un solide de masse m situé à poximité de l aste est modélisée pa une foce d attaction F (ou foce de gavitation) qui est le poids P de ce cops. (en négligeant la otation de l aste su lui-même) Les caactéistiques du poids d un cops sont : bille diection : veticale ( ves le cente de l aste) sens : descendant P = m g g point d application : le CI du cops = point G nome : g G P= m.g P en N m en kg g en N.kg-1 P est appelé vecteu champ de pesanteu La nome de ce vecteu dépend de l endoit où on la mesue. Elle dépend : de l aste qui attie le solide. : de la distance sépaant le cente d inetie du solide du cente de l aste. valeus de g à la suface de quelques astes : g dépend de la masse de l aste aste Tee Lune Soleil Mas Vénus Jupite Satune tou noi g0 (N.kg-1) 9,8 1, ,7 8,6 22,9 9, valeus de g teeste à difféentes altitudes : g diminue quand l altitude augmente (à latitude égale) z g (N.kg-1) 0 niveau de la me 9 km sommet de l Eveest 100 km limite de l atmosphèe 350 km navette spatiale km satellite géostationnaie 9,80 9,77 9,50 8,80 0,22 valeus de g à difféentes latitudes : g diminue quand la latitude diminue (à altitude égale) lieu pôle Nod Moscou Pais Royan New Yok Tokyo Quito Buenos Aies Ushuaïa pôle Sud latitude λ 90 N 56 N 49 N 45 N 41 N 35 N 0 N 35 S 56 S 90 S g ( N/kg ) 9,832 9,816 9,810 9,805 9,802 9,798 9,782 9,797 9,820 9,832

3 2) Champ de pesanteu unifome On considèe que le champ de pesanteu teeste est unifome dans un domaine dont les dimensions sont de l ode du kilomète. On peut alos considée que les veticales sont paallèles et que la valeu de g est constante. Dans un champ de pesanteu unifome, le vecteu champ de pesanteu a même diection, même sens et même valeu en tout point. Suivant la pécision equise, on penda pou valeu de g à la suface de la Tee : g = 10 N.kg-1 ou g = 9,8 N.kg-1 ou g = 9,81 N.kg-1 3) Chute On étudiea cette année tois types de chutes d un solide : La chute libe veticale La chute libe avec une vitesse initiale non veticale La chute veticale d un solide dans un fluide Définition d une chute libe : Un cops est en chute libe si la seule foce extéieue qu il subit est son poids, uu quelle que soit sa vitesse initiale v0. Remaques : En toute igueu, une chute libe ne s obseve que dans le vide (ex : à la suface de la Lune) Dans l ai, une chute est quasiment libe : - pou un cops aéodynamique et dense (petite bille en acie) - pou une hauteu de chute pas top gande (quelques centimètes à quelques mètes suivant l aéodynamisme et la densité du solide).

4 II) Étude de la chute libe 1) Étude expéimentale (voi le I. du TP11 P11) On en déduit les coodonnées du vecteu accéléation a : On voit donc que le vecteu a est égal au vecteu dvx = 0 m.s-2 dvy ay = = - 9,8 m.s-2 ax = g Le vecteu a est donc constant : le mouvement de la bille est unifomément accéléé.

5 2) Modélisation du mouvement de chute libe. a) Vecteu accéléation Le éféentiel d étude est un éféentiel teeste, galiléen avec une bonne appoximation. Le système étudié est la bille assimilée à son cente d inetie G Le bilan des foces extéieues : le solide n est soumis qu à son poids (chute libe) On applique la 2ème loi de Newton : On en déduit : F ext = m a G a G = g = cste en un lieu limité u =P = m g : L accéléation du solide est donc indépendante de la masse du solide b) équations difféentielles du mouvement ag = u dv = g soit dvx =0 dvy ay = = -g ax = Los d une chute libe, les équations difféentielles du mouvement du cente d inetie d un dvx =0 solide sont : dvy = -g c) ésolution analytique des équations difféentielles Pa intégation des équations difféentielles du mouvement, on touve les équations hoaies du vecteu vitesse : vx = v0x vy = - g.t + v0y Dans le cas paticulie où la vitesse initiale est nulle (v0x=v0y=0), alos la valeu de la vitesse augmente au cous de la chute libe selon la elation v(t) = g.t Dans le cas où la vitesse initiale est non nulle, située dans le plan (Oxy) et fome un angle α avec l axe (Ox), alos v0x=v0.cosα et v0y=v0.sinα (cas du II du TP11 P11) y v0 α 0 x

6 En intégant les équations hoaies du vecteu vitesse, on obtient les équations hoaies du vecteu position : x(t) = v0x.t + x0 y(t) = - ½ g.t² + v0y.t + y0 On détemine les valeus de constantes x0, y0, v0x et v0y à l aide des conditions initiales ou à l aide de mesues expéimentales. Exemples, dans le cas I étudié en TP : à t=0, x = x0 = 0 et y = y0 = 0 (on a choisit l oigine du epèe ainsi). expéimentalement on touve : v0x = 0 m.s-1 et v0y = - 0,3239 m.s-1 on obtient alos x(t)= 0 y(t) = - ½ g.t² - 0,3239.t dans le cas II étudié en TP : à t=0, x = x0 = 0 et y = y0 = 0 (on a choisi l oigine du epèe ainsi). expéimentalement on touve : vx(t)= 1,95 m.s-1 vy(t) = - g.t + 5,07 + On en déduit v0x = 1,95 m.s-1 et v0y = 5,07 m.s-1 et on calcule alos v0 = v 0x² + v 0 y² v0 = 5,43 m.s-1 v 0x puis cosα = = 0,36. On en déduit α = 69 v0 v 0y (on véifie bien que : sinα= = 0,93 d où α = 69 ) v0

7 d) équation de la tajectoie Comme le mouvement est situé dans le plan (Oxy), il s agit d expime y en fonction de x en éliminant la date t. x Dans le cas où x0=0, on a l équation x(t) = v0.(cosα).t donc t = v 0. cos α x x On emplace t dans y(t) = - ½ g.t²+v0y.t+y0 on obtient y(x) = - ½ g.( )²+v0y. + y0 v 0. cos α v 0. cos α La tajectoie du cente d inetie d un solide en chute libe avec une vitesse initiale non nulle uu uu v0 est une potion de paabole dans le plan vetical contenant v0 e) flèche et potée La flèche de la tajectoie est l altitude maximale atteinte, elle coespond à un point S de la tajectoie. L une des méthodes de détemination des coodonnées du point S consiste à utilise le fait qu en ce point, le vecteu vitesse est hoizontal. Sa coodonnée veticale vsy est donc nulle. On en déduit la date de passage en S : ts = Il suffit alos de emplace t pa ts dans les deux équations x(t) et y(t), on obtient : x(ts) = xs = et y(ts) = ys = La potée est la distance ente le point de lancement O et le point d impact P su le plan hoizontal contenant O. À pati des équations pécédemment établies on monte que xp = OP = Pou une valeu v0, la potée est maximale losque sin2α=1 soit α = 45 Les valeus de la potée et de la flèche dépendent des conditions initiales.

8 f III) Étude de la chute avec fottement FA 1) bilan des foces extéieues appliquées au solide FA le poids P du solide ( foce execée pa la Tee ) uu foces execées la poussée d Achimède FA pa le fluide su le solide la foce de fottement fluide f G mvt a) La poussée d Achimède P uup ou Tout cops immegé dans un fluide (gaz ou liquide), subit de la pat de celui-ci une foce FA poussée d Achimède, que ce cops soit immobile ou en mouvement pa appot à ce fluide. Les caactéistiques de la poussée d Achimède sont : oigine : le cente d inetie G du solide diection : veticale sens : ves le haut (opposé au poids) nome : FA = ρfluide.vcops. g FA en N ρfluide en kg.m-3 V en m3 g en m.s-2 Exemples : Calcule le poids d une bille sphéique en acie ainsi que la poussée d Achimède qu elle subit quand elle est immegée dans l eau, puis dans l huile puis dans l ai. g 10m.s-2 ρacie kg.m-3 ρeau=1.103 kg.m-3 ρai=1,3 kg.m-3 ρhuile= 920 kg.m-3 diamète de la bille d 2 cm P = m g = ρacie.v.g avec V =4/3 π 3 FA eau = ρeau.v.g 0,04 N P / FA FA huile = ρhuile.v.g 0,037 N P / FA FA ai = ρai.v.g 5, N P / FA 4 cm3 = m3 donc P 0,32 N 8 FA eau n est pas négligeable devant P 8,6 FA huile n est pas négligeable devant P FA ai est négligeable pa appot à P b) la foce de fottement fluide Tout cops en mouvement dans un fluide (gaz ou liquide) subit de la pat de celui-ci une foce de fottement fluide f opposée au vecteu vitesse. Les caactéistiques de la foce de fottement fluide sont : oigine : le cente d inetie G du solide diection : colinéaie à v sens : sens opposé au sens de v nome : f = k.vn f valeu de la foce de fottement fluide en newton v : valeu de la vitesse du solide immegé en m.s-1 k : coefficient de fottement fluide n = 1 pou v < 1m.s-1 et n = 2 pou v > 1 m.s-1

9 Exemple : Calcule f pou la bille sphéique pécédente qui tombe dans l huile. = 1,0 cm g = 10m.s-2 f = 6π η v η = 1 unité SI v = 20 cm.s-1 Compae f et P. Quelle est l unité SI de η? f = 6 π ,2 0,04 N η en kg.m-1 s-1 P 0,32 N P/f 4 donc f n est pas négligeable devant P 2) Modélisation du mouvement de chute avec fottement a) Équation difféentielle du mouvement D apès la 2ème loi de Newton appliquée au cente d inetie G du solide dans le éféentiel teeste supposé galiléen, on a la elation suivante : Σ Fext = m ag soit P + f + F A = m ag En pojetant cette elation su l axe vetical ascendant Oy, on obtient : dv - m g + f + FA = - m ag soit m g - f - FA = m F f A soit encoe : dv = ( g - m ) - m C est l équation difféentielle du mouvement, de solution : v = u ( t ) que l on peut mette aussi sous la fome : dv + A.vn = B ρ fluide k et B = g.(1) ρ m coefficient de fottement fluide la masse volumique du fluide en kg.m-3 la masse volumique du matéiau constituant le solide en kg.m-3 la masse du solide en kg l intensité de la pesanteu en m.s-2 avec A = avec k ρfluide ρ m g b) Coube expéimentale v=u(t), existence d une vitesse limite et d un égime pemanent (cf. III TP11 P11) Cette expéience met en évidence l existence d une vitesse limite vlim pou le solide. En effet, à pati d une cetaine date, le solide a une vitesse constante. dv = 0 On dit que le égime pemanent est atteint et on a la elation

10 B La mesue de vlim et le calcul de B pemettent alos de calcule A = n vlim Ou alos, la connaissance de A et de B pemet de calcule vlim = n B A c) Résolution pa la méthode d Eule (voi le TP12 P11) On peut calcule pas à pas les valeus de la vitesse à pati de l équation difféentielle en utilisant la méthode numéique d Eule. Pincipe : On choisit un pas de calcul t pas top gand pa appot aux données. ( t < τ/10 où τ est le temps caactéistique de la chute) dv v v(t + t) v(t) v(t + t) v(t) On considèe que = = t t+ t t t v n = - A. v + B, on tie : v = - A. vn. t + B. t. De l équation difféentielle t À t0 = 0, on a v0 = 0 (condition initiale) donc on calcule v0 = B. t On calcule alos : v1 = v0 + v0. On ecommence en calculant : v1 = - A. v1n t + B. t puis v2 = v1 + v1 etc. Exemple : voi le III.1 «calculs à la main» du TP12 P11 Remaque : La méthode d Eule est d autant plus pécise que le pas de calcul t est plus petit (voi le III.3 du TP12 P11), mais les calculs sont plus nombeux : c est pou cette aison que l on utilise un tableu (cf. III.2 du TP12 P11)