Les modèles factoriels empiriques : Typologie et résultats empiriques. Philippe Bernard EURIsCO Université Paris IX

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1 Les modèles factoriels empiriques : Typologie et résultats empiriques Philippe Bernard EURIsCO Université Paris IX Version préliminaire Décembre 2003

2 Table des matières 1 Introduction 2 2 Les trois types de modèles factoriels 7 3 Modèles à facteurs macroéconomiques 18 4 Les modèles de BARRA 33 1

3 1 Introduction Tester la théorie factorielle pose des problèmes délicats. Le CAPM définit la variable à prendre en compte (le portefeuille de marché). Aussi, même si des problème de mesure de celle-ci peuvent se révéler redoutable, la structure à tester est bien définie. Rien de tel avec la théorie factorielle : Aussi comme l a souligné : La théorie est silencieuse non seulement sur l identité des facteurs mais aussi sur leur nombre. [...] [Aussi] tout test de l APT est un test joint sur la relation de valorisation et sur le caractère approprié des facteurs. (Gur Huberman [1987] [Hub87]) Un autre problème avec l APT est l indétermination de la nature des facteurs. En effet, supposons que la théorie soit vraie, i.e. que les rendements et la prime de risque se conforment aux formes supposées par cette théorie. Les rendements sont alors donnés par la forme factorielle : er a = R a + b a. e f + e a où e f est le vecteur colonne des facteurs : e f = ef 1... ef k... ef K et b a est le vecteur ligne résumant l exposition de l actif a aux facteurs : h i b a = b a1... b ak... b ak La prime de risque est quant à elle donnée par : R a R 0 = b.λ 2

4 où Λ est le vecteur colonne des prix des risques factoriels : Λ = Il est alors possible de montrer qu il existe une infinité de K facteurs qui vérifieront une telle équation de prime de risque. En effet, pour toute matrice carrée de plein rang M, on peut définir un nouveau vecteur de facteurs, noté f 0, que l on obtient en transformant le vecteur de facteur initial f : e f 0 = M. e f Il est alors immédiat de vérifier que si l on redéfinit le vecteur d exposition de la manière suivante : b 0 a= b a.m 1 alors les rendements ont toujours une structurefactorielle(demêmedimension)puisque si l on note I K la matrice identité de rang K : λ 1... λ k... λ K er a = R a + b a. e f + e a = R a + b a.i K. e f + e a = R a + b a. M 1.M. e f + e a = R a + b a M 1 ³. M. e f + e a = R a + b 0 a. e f 0 + e a De même, si l on rédefinit le prix des facteurs à l aide de M de la manière suivante : Λ 0 = M.Λ 3

5 alors il est immédiat de vérifier que la prime de risque est, conformément à l APT, donnée par les nouveaux facteurs d exposition b 0 a et les nouveaux prix Λ 0 : R a R 0 = b a.λ (1) = b a.i.λ (2) = b a. M 1.M.Λ (3) = b a M 1. (M.Λ) (4) = b 0 a.λ 0 (5) Ce résultat sur la substitution des facteurs a amené Shanken [1982] [Sha82] à mettre en doute la simple possibilité de tester l APT, ou de le distinguer d un CAPM à facteurs multiples 1 portant notamment sur la possibilité de distinguer un modèle APT d un CAPM multiple. La thèse de l impossibilité de distinguer ces deux modèles a également été soutenue par Connor dans un des articles théoriques les plus importants sur la théorie factorielle (Connor [1984] [Con84]). Le CAPM peut en effet se présenter comme un modèle factoriel ex-post pour reprendre une expression de Connor. En effet, le portefeuille de marché (m) permetdedéfinir le facteur ( f): e ef = R.m e h i E er.m l exposition aux risques (b a )dechaqueactifa : ³ cov era, e b a = ³ var er.m le risque spécifique (ε a ): ε a = er a R 0 b a. e f Si l on note E est le vecteur colonne des risques spécifiques alors le risque spécifique du portefeuille du marché est donné par le produit vectoriel m > E. Le portefeuille de marché 1 Voir l échange entre Shanken [1985] [Sha85] et Ross & Dybvig [1985] [DR85]. 4

6 est donc bien diversifié puisque: m > E= m >.R cov(m>.r, m >.R).m >.R var(m >.R) = m >.R var(m>.r) var(m >.R).m>.R = m >.R m >.R = 0 Le CAPM apparaît donc comme un modèle factoriel. Cependant, il ne l est qu ex-post : il ne suppose pas en effet que les rendements sont engendrés par un processus factoriel mais il utilise les actifs existants pour construire implicitement un modèle factoriel. Ces difficultés n ont cependant pas empêché le développement des évaluations empiriques des modèles factoriels. La multiplication des anomalies inexplicables par le CAPM rendait en effet nécessaire le développement de modèles empiriques alternatifs. Or, le modèle factoriel est un rêve d empiriste. (Fama [1991] [Fam91] p. 1594). Il a en effet les qualités de ses défauts : la faiblesse des restrictions théoriques peut aussi être considéré comme un appel à multiplier à l infini les facteurs possibles. D ailleurs, les premiers modèles factoriels furent estimés avant même l article de Ross, notamment par Barr Rosenberg [1974] [Ros74], le fondateur de la société de conseil financier BARRA. L étude de Roll & Ross [1980] [RR80]) fut sans doute la première évaluation empirique de l APT. L échantillon utilisé portait sur les rendements quotidiens de 1260 entreprises sur la période juillet décembre Pour garder un problème informatiquement (alors) traitable, 42 groupes de trente entreprises furent constitués et étudiés à l aide de l analyse en composante principale. Dans chaque groupe les sensibilités de chaque titre j de chaque groupe j à chaque facteur k, β ikk, fut tout d abord estimé avant d effectuer des régressions transversales (à la Fama & MacBeth) pour chaque période t : R ijt = R Zkt + X k b ijk.λ jtk Pour une groupe donné, les régressions estimés aux différentes périodes engendrent des primes de risque moyennes pour tous les facteurs retenus. Une restriction induite (notamment) par l APT est que les moyennes de R Zkt et des λ jtk des différents groupes ne doivent pas être (statistiquement) différentes. 5

7 Undesrésultatsconstructifsdecetravailfutdesoulignerqu unnombreréduitde facteurs, plus précisément moins d une demi-douzaine, suffisait : dans 38% des groupes, il y avait en effet moins de 10% de chances qu il soit utile d aller au delà de 5 facteurs ; dans 3/4 des groupes, il y a 50% de chances que cinq facteurs soient suffisants. Ces travaux ont suscité une controverse longue et durable portant sur la méthode utilisée, sur sa capacité à tester véritablement la théorie factorielle. Un résultat peu contesté de la littérature empirique est que l addition de facteurs supplémentaires permet d accroître substantiellement le pouvoir explicatif des modèles. Ainsi sur la figure 1 est reporté un des résultats obtenus par Roll [1988] dans un article au titre particulièrement court : R 2. Même si le modèle à cinq facteurs de Roll a un pouvoir explicatif moyen limité puisque la valeur moyenne de R 2 est de 0.244, elle est sensiblement supérieure à celle du CAPM. La distribution des R 2 de l APT donne plus de poids aux valeurs importantes des R 2 : pour 15% des titres, le R 2 est supérieur ou égal à 0.5 contre moins de 5% des titres pour le CAPM. 2 Peu après Roll & Ross, une autre évaluation de l APT fut réalisé par Chen [1983] [Che83] sur un échantillon couvrant la période et comprenant entre 1000 et 1500 actifs. Outre l estimation du nombre de facteurs, Chen réalisa une comparaison des performances du CAPM et de l APT, confrontation à l avantage de la théorie factorielle. Après ces premiers travaux initiaux encourageants, les modèles estimés se multiplièrent. En raison du faible nombre de contraintes sur les facteurs utilisables, les modèles factoriels estimés ont été fort divers au cours du dernier quart de siècle. On s accorde aujourd hui cependant sur le fait que les différents modèles peuvent être regroupés en trois principaux types. 2 Le CAPM n est pas pour autant complètement abandonné. Il a lui aussi connu un profond renouvellement. Ses nouvelles modélisations empiriques s inspirent cependant désormais plus soit de sa modélisation dynamique, l ICAPM (Intertemporal Capital Asset Pricing Model), soit de la version obtenue en équilibre général, le CCAPM ou CAPM de consommation. Le CAPM lui-même n est pas absent des modèles factoriels puisque le risque de marché constitue en général l un des facteurs retenus, et même l un des plus importants. 6

8 CAPM APT ,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 Fig. 1 Les distributions des R 2 du CAPM et d un modèle factoriel à 5 facteurs statistiques estimés sur les rendements mensuels de 2300 actions du NYSE et de l AMEX sur la période allant de septembre 1982 à août (source : Roll [1988] p. 544) 2 Lestroistypesdemodèlesfactoriels Les modèles factorielles se différencient non seulement par leurs facteurs, mais aussi par les variables qu ils supposent exogènes, endogènes et par leurs techniques d estimation. En reprenant la typologie proposée par Connor [1995] [Con95a] [Con95b], on peut distinguer trois principaux types de modèles factoriels dont les propriétés sont détaillées dans le tableau 1 : les modèles à facteurs macroéconomiques ; les modèles à facteurs fondamentaux ; les modèles à facteurs statistiques. Dans les modèles à facteurs macroéconomiques, les facteurs retenus sont essentiellement des prix ou des indices reflétant l activité des marchés financiers et de l économie. Ainsi, par exemple on rencontrera, sous différentes appellations, le rendement du marché (ou d un indice supposé le représenter), la structure par terme des taux d intérêt, la production industrielle, la prime de qualité payé sur les titres privés de faible qualité. 7

9 Le choix des facteurs macroéconomiques non sur une méthode mais sur l intuition du modélisateur ou sur l exploitation de résultats antérieurs. Aussi l absence de méthode pour la sélection des facteurs conduit-elle à parler de facteurs pré-spécifiés. Dans ce type de modèle, le cadre de référence est celui de l équation de rendement : R a (t) =R 0 (t)+ X k b ak.f k (t)+ε a (t) (6) Les variables observées à chaque période t sont alors les rendements (les R a (t)) ainsi que les facteurs macroéconomiques, c est-à-dire les f k (t). Les facteurs estimés sont alors pour chaque actif ses sensibilités aux facteurs, les b ak ou betas factoriels. Pour obtenir ces variables pour la période considérée, on estime donc pour chaque actif l équation (6) en recourant aux méthodes de l économétrie des séries temporelles. La seconde étape d estimation (commune à l ensemble des modèles) est celle de l estimation des différents prix des risques (λ k (t), k =1,..., K) de l équation : R a (t) =α a (t)+r 0 (t)+ X k b ak.λ k (t) (7) où α a (t) est économétriquement le résidu obtenu, économiquement la sur-performance du titre a. Si la théorie factorielle était vraie, α a (t) devrait être nul pour tous les actifs et pour toutes les périodes. L estimation de l équation (7) se fait pour chaque période t et sur l ensemble des actifs (estimation en coupe donc). Les différentes estimations obtenues sont ensuite moyennées. Dans les modèles fondamentaux, le point de départ est non pas des variables définissant l environnement des entreprises, les facteurs macroéconomiques, mais des variables supposées caractériser l entreprise considérée et son titre. Ainsi, la société de conseil financier qui a le plus développé ce type de modèle, la société BARRA, on considère : le secteur d activité (plus ou moins finement défini selon le pays considéré), des caractéristiques de l action dont son rendement en dividendes (le facteur DIVIDEND YIELD des modèles BARRA) sa capitalisation (SIZE), sa croissance moyenne au cours des dernières années (GROWTH), sa volatilité (VOLATILITY), 8

10 la persistance de ses évolutions (MOMENTUM), l importance des échanges (TRADING) ; des caractéristiques de l entreprise dont lerendementdesesactifs(earningyield), la volatilité de celui-ci (EARNING VOLATILITY), son levier d endettement (LEVERAGE). Dans ce type de modèle, l équation de rendement implicitement considéré est : R a (t) =R 0 (t)+ X k b ak (t).f k (t)+ε a (t) (8) où les variables observées sont les rendements (R a (t))etlesexpositionsauxrisques(r a (t)), les variables estimées sont les facteurs fondamentaux (f k (t)). Pour estimer ces variables, on procède pour chaque période t, à une estimation en coupe permettant d obtenir f k (t). Comme dans les modèles macroéconomiques, le choix des facteurs n est pas la conséquence d une procédure rigoureuse et donc les facteurs sont pré-spécifiés. Enfin, le dernier type de modèle sont ceux utilisant des facteurs statistiques. Plus précisément, dans cette approche, on prend appui sur le résultat que s il existe suffisamment d actifs financiers pour faire de l évaluation par arbitrage, alors on peut synthétiser les rendements des facteurs par des portefeuilles financiers. Aussi, ce résultat étant acquis, on peut alors dans les équations de rendement substituer aux facteurs fondamentaux ou aux facteurs macroéconomiques des actifs ou des portefeuilles. Les équations des rendements sont donc désormais de la forme : R a (t) =R 0 (t)+ X k b ak (t).r f k (t)+ε a(t) (9) où les R f k (t) sont les rendements des actifs financiers servant de facteurs. Dans cette approche, le problème essentiel est alors de déterminer le nombre de facteurs à utiliser. Plusieurs méthodes ont été proposées dont des méthodes s inspirant de l analyse en composante principale. A la différence des deux approches précédentes, la détermination du nombre de facteurs est une étape centrale de l approche statistique. Plusieurs méthodes ont été proposées depuis l article de Roll & Ross [1980], dont deux des plus utilisées sont celles de Lehmann & Modest [1988] [LM88] et de Connor & Korajczyk [1988] 9

11 Tab. 1 Les différents types de modèles factoriels et leurs caractéristiques Types de facteurs Variables exogènes (inputs) Technique d'estimation Variables endogènes (outputs) Macroéconomiques - Rendements des titres - Variables macroéconomiques - Régressions temporelles - Betas factoriels des titres Fondamentaux - Rendements des titres - Caractéristiques des titres - Régressions en coupe - Facteurs fondamentaux Statistiques - Rendements des titres - Régressions itérées en coupe et temporelles - Facteurs statistiques - Betas factoriels des titres source : Connor [1995] [CK88]. 3 En théorie, si l APT était vraie, si l on était capable d identifier le nombre exact de facteurs, si le risque spécifique pouvait être totalement négligé, etc., les différents facteurs proposés pourraient être équivalents. On conçoit même intuitivement que ces approches puisse correspondre à différents niveaux d analyse comme l illustre la figure 2. Dans cette interprétation : l approche des facteurs macroéconomiques capturent les caractéristiques de l environnement économique des entreprises ; l approche des facteurs fondamentaux essaie de saisir la traduction des effets macroéconomiques sur la rentabilité, la fragilité financière, etc. de l entreprise ainsi que sur celles du secteur ; la combinaison des caractérisques et des risques fondamentaux sur les entreprises déterminent alors la prime de risque des entreprises ; 3 La méthode de Connor & Korajczyk repose sur un résultat de Chamberlain & Rotschild [1983] [CR83] établissant un lien entre les facteurs des rendements et les valeurs propres des produits des rendements. Ce résultat assure que lorsque les portefeuilles deviennent arbitrairement grand, les K valeurs propres les plus grandes tendent à coïncider avec les facteurs. 10

12 facteurs statistiques caractéristiques cj1 facteurs macroéconomiques facteurs fondamentaux entreprise j : j = 1,...,J cj =... cjs Rj-R0 m1 f1 m =... f =... caractéristiques mk fn ci1 avec f = T.m entreprise i : ci =... Ri-R0 cis Fig. 2 Les relations (possibles) entre les différentes approches factorielles. par arbitrage, les primes de risque déterminés par les facteurs macroéconomiques à un premier niveau, par les facteurs fondamentaux à un second niveau, peuvent également être déterminés par celles d un ensemble d entreprises. Concrètement cependant, on peut s attendre pour toutes conditions ne soient plus vérifiées, et donc que certains modèles soient plus performants que d autres. Aussi, la diversité des approches incitant à leur évaluation, différentes méthodes furent proposées. L une des plus intuitives est le test proposé par Connor & Korajczyk [1993] [CK93] lequel se propose de mesurer soit le pouvoir explicatif d un facteur, soit celui d un modèle. Sa méthode est d évaluer le pouvoir explicatif supplémentaire apporté soit par l introduction d un facteur rajouté à un ensemble de facteurs, soit par celle de l ensemble des facteurs d un second modèle factoriel à l ensemble des facteurs d un premier modèle. Si l on note σ i la variance totale de l actif i, σ i, la variance de l actif i non expliquée par les facteurs, 11

13 Tab. 2 Le pouvoir explicatif des facteurs statistiques (pris isolément ou rajoutés aux autres). Contribution marginale au Facteur pouvoir explicatif % Tous 39.0 source : Connor [1995] σ la moyenne des variances des actifs, σ la moyenne des variances résiduelles des actifs alors le pouvoir explicatif PE est défini comme étant égal à : PE := 1 σ σ (10) Connor [1995] [Con95a], dans un article influent, a appliqué cette méthode pour comparer les trois types de modèles factoriels. Les données utilisées sont constituées par les rendements mensuels de 779 capitalisations importantes américaines (de la base de BARRA sur les capitalisations importantes) sur la période allant de janvier 1985 à décembre Les résultats pour le modèle statistique (tableau 2) sont très similaires à ceux obtenus par Connor & Korajczyk [1993] [CK93] à l aide d un échantillon légèrement différent. Le pouvoir explicatif du premier facteur est de 29% - score similaire à celui d un CAPM. L addition de 4 autres facteurs permet de l augmenter de 10 points. La contribution de chacun des facteurs additionnels est cependant inférieur ou égal à 3.5%. Le modèle macroéconomique testé par Connor [1995] est relativement standard par les facteurs utilisés. Les 5 facteurs macroéconomiques pris en compte sont en effet : l inflation, facteur défini comme la variation du log népérien de l indice des prix à la consommation ; la structure par terme des taux d intérêt, facteur défini comme la différence entre le rendement sur une obligation d Etat à long-terme moins le rendement sur les bons 12

14 Tab. 3 Le pouvoir explicatif des facteurs macroéconomiques (pris isolément ou rajoutés aux autres). Facteurs Pouvoir explicatif de chaque facteur Contribution marginale Inflation 1.3% 0.0% Term structure Industrial production Default premium Unemployment All 10.9 source : Connor [1995] du Trésor à un mois ; la production industrielle, facteur défini comme la variation du logarithme népérien de l indice de la production industrielle ; le facteur de défaut, facteur défini comme la prime de rendement sur les obligations privéesdefaiblequalité; le chômage, facteur défini comme la variation du taux de chômage. Les résultats obtenus sont reportés dans le tableau 3. Dans la première colonne est reporté le pouvoir explicatif de chaque facteur lorsqu il est seul entré dans le modèle : le pouvoir explicatif de l ensemble des facteurs est très faible (au maximum 2.5%). Lorsque les 5 facteurs sont considérés, le pouvoir explicatif est considérablement plus important, puisqu il est de près de 11%, mais il demeure inférieur au modèle statistique. La contribution marginale de chaque facteur i, i.e. l accroissement du pouvoir explicatif du modèle introduit par l introduction du facteur i au côté des 4 autres, est très inégale : elle est négligeable pour l inflation, la production industrielle, le chômage, considérable pour la structure par terme et le risque de défaut. Enfin, le dernier modèle évalué par Connor [1995] est un modèle fondamental reprenant les facteurs couramment utilisés par les modèles (actions) de BARRA : 55 variables muettes de secteurs sont combinées à 12 autres facteurs de risque. Comme le montre le tableau 4, le pouvoir explicatif des variables muettes sectorielles est important (et même 13

15 Pouvoir e xp lic a tif Contribution marginal 9,00 8,00 7,00 6,00 5,00 4,00 3,00 2,00 1,00 0,00 Inflation 1,30 0,00 1,1 Term structure 7,7 Industrial production 0,5 0,3 Default premium 2,4 8,1 Unemployment 0,3 0,1 Fig. 3 Le pouvoir explicatif des facteurs macroéconomiques. (source : Connor [1995]) supérieur aux facteurs du modèle macroéconomique). Le pouvoir explicatif des facteurs fondamentaux (considérément isoléments) est relativement faible : seuls ceux de la volatilité et de la croissance atteignent 3%. Cependant, lorsque l on ajoute ces facteurs fondamentaux aux facteurs sectoriels, le pouvoir explicatif du modèle est multiplié par 2.5 et passe de 16% à 42%. La contribution marginaledechaquefacteurfondamentale demeure cependant très faible - en moyenne de Ces premiers résultats évaluant l efficacité des facteurs et le pouvoir explicatif des différents modèles est essentiellement confirmé par les seconds tests réalisés par Connor. La méthode de Connor & Korajczyk [1993] [CK93] peut en effet être appliquée aux modèles et non aus seuls facteurs : dans ce cas, on prend un des trois modèle comme point de départ ; puis on ajoute d un coup tous les facteurs d un second modèle et l on re-estime le modèle défini par les facteurs initiaux et les facteurs rajoutés. La différence de pouvoir explicatif constitue la contribution marginale du second modèle au pouvoir explicatif du premier modèle. La première ligne du tableau 5 reprend donc les résultats antérieurs sur le pouvoir explicatif des trois types de modèles. Le modèle macroéconomique apparaît de loin comme le 14

16 Tab. 4 Le pouvoir explicatif des facteurs fondamentaux (pris isolément ou rajoutés aux autres). Facteurs Pouvoir explicatif en utilisant un unique facteur Contribution du facteur au pouvoir explicatif Industries 16.3% 18.0% Volatility Momentum Size Trade activity Growth Earnings to price Book to price Earnings Financial leverage Foreign investment Labor intensity Dividend yield Total 42.6 source : Connor [1995] 15

17 contribution marginale pouv. explicatif si unique facteur 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 Volatility 4,3 2,8 3 2,2 2,5 2,9 1,41,4 0,9 1,5 0,80,60,5 0,4 0,6 0,9 0,6 0,4 0,5 0,4 Size Growth Book to price Financial leverage Fig. 4 Le pouvoir explicatif des facteurs fondamentaux. (source : Connor [1995]) moins performant puisque son pouvoir explicatif est le quart de celui des autres modèles. Le modèle fondamental apparaît aussi légèrement supérieur au modèle statistique : ceci illustre sans doute que les très nombreuses variables considérées dans les modèles fondamentaux permettent sans doute d inférer une information considérable sur les entreprises. La seconde ligne du tableau 5 présente le pouvoir explicatif que l on obtient lorsque l on ajoute soit aux facteurs statistiques, soit aux facteurs fondamentaux les facteurs macroéconomiques : le pouvoir explicatif du modèle ne progresse pas. Ceci ne signifiepasque les facteurs macroéconomiques soient sans pouvoir explicatif mais que leur information est déjà pris en compte par les deux autres types de facteurs. Rajouter les facteurs statistiques aux facteurs fondamentaux donne le même résultat. Par contre, rajouter les facteurs fondamentaux aux autres facteurs augmentent substantiellement le pouvoir explicatif que le modèle initial soit macroéconomique ou statistique. Ce résultat illustre évidemment un thème récurrent de la société BARRA sur l intérêt d évaluer les entreprises avec une gammeimportantedefacteurssusceptiblesd appréhenderfinement leurs caractéristiques. L analyse du pouvoir explicatif des trois types de modèles soulignent donc la performance des modèles statistiques et fondamentaux. Parmi les facteurs fondamentaux, il est 16

18 Tab. 5 Le pouvoir explicatif marginal de chaque modèle factoriel. Premier Modèle Macro- Second Modèle Statistique Fondamental économique Pouvoir explicatif 10.9% 39.0% 42.6% Macroéconomique Statistique Fondamental source : Connor [1995] certainement nécessaire de distinguer parmi les facteurs sectoriels des autres facteurs de risque. En effet, une étude émanant d un autre chercheur de BARRA, Engerman [1993] [Eng93], portant sur des données similaires, montre que la combinaison des facteurs macroéconomiques et des variables sectorielles donne un modèle dont le pouvoir explicatif est très proche du modèle fondamental. Aussi, comme le note Connor lui-même : La comparaison du pouvoir explicatif est seulement un des critères par lesquels on peut évaluer la valeur des différentes approches factorielles. Au regard d autres critères, la cohérence théorique et l intuition économique, l utilisation d un modèle à facteurs macroéconomiques est sans doute la plus performante (et non la plus faible) des trois approches. Aussi, nos résultats, mêmes s ils sont intéressants et utiles, ne concluent pas le débat sur les mérites respectifs des trois approches. (Connor [1995] [Con95b] p. 8) Il n est donc pas totalement surprenant que le type de modèle le moins utilisé tant au niveau académique et que sur les marchés soit le type statistique 4 :quellequesoitleur pouvoir explicatif statistique, il est en effet pratiquement impossible d interpréter économiquement leurs résultats. Les actifs et les portefeuilles servant de facteurs de période à période n ont au surplus aucune raison d être stable. Guider les choix de portefeuille au delà du court-terme à partir de tels modèles apparaît donc difficile. Aussi rencontre-t-on 4 Sur le marché parisien (et européen) la société APTIMUM a développé un tel modèle statistique, modèle utilisé par certaines institutions en même temps que d autres modèles plus courants comme les modèles BARRA. 17

19 plus souvent les modèles à facteurs fondamentaux et les modèles macroéconomiques dont nous allons donner quelques exemples. 3 Modèles à facteurs macroéconomiques Une des premières modélisations économétriques fut réalisée par Chen, Roll & Ross [1986] [CRR86]). Cette étude a exercée une influenceprofondenotammentpar lechoix des facteurs macroéconomiques. Ce travail était suscité par un paradoxe de la littérature financière de l époque : Les prix des actifs sont couramment supposés réagir fortement aux informations économiques. L expérience quotidienne semble confirmer cette opinion que les prix des actifs sont influencés par une grande variété d événements non anticipés et que certains événements ont un impact plus important sur les actifs que d autres. Conformément à la capacité des investisseurs de diversifier, la théorie financière moderne a concentré son attention sur des influences systématiques, omniprésentes comme les souces vraissemblables des risques d investissement. [...] La théorie est demeurée, cependant, silencieuse sur la nature des événements susceptibles d influencer tous les actifs. Un écart embarrant existe entre l omniprésence en théorie des variables d état systématiques et notre complète ignorance de leurs identités. La corrélation des évolutions des prix des actifs suggèrent la présence d influences exogènes sous-jascentes, mis nous n avons pas encore déterminé quelles variables économiques en sont encore responsables. 5 ([CRR86] pp ) 5 Asset prices are commonly believed to react sensitively to economic news. Daily experience seems to support the view that individual asset prices are influenced by a wide variety of unanticipated events and that some events have a more pervasive effect on asset prices than do others. Consistent with the ability of investors to diversify, modern financial theory has focused on pervasive, or systematic influences as the likely source of investment risk. [...] The theory has been silent, however, about which events are likely to influence all assets. A rather embarassing gap exists between the theorerically exhaustive importance of systematic state variables and our complete ignorance of their identity. The comovements of asset prices suggest the presence of underlying exogenous influences, but we have not yet determined which economic variables, if any, are responsible. 18

20 La démarche de Chen, Roll & Ross [1986] [CRR86] était donc de spécifier une liste de facteurs macroéconomiques et de tenter de vérifier l APT avec ces facteurs macroéconomiques sur données mensuelles. Les facteurs retenus étaient : 1. le taux de croissance de la production industrielle soit sur une base mensuelle (MP (t)), soit sur une base annuelle (YP(t)); 2. diverses mesures de l inflation - l inflation anticipée (E(I (t))), l inflation non anticipée (UI (t)), la variation de l inflation anticipée (DEI (t)); 3. la prime de risque (URP (t)) obtenue en calculant la différence de rendement entre les titres de mauvaise qualité émis par les entreprises privées (Baa et en dessous) et les obligations d Etat ; 4. la structure par terme (UTS(t)) résumée par la différence de rendement entre les obligations d Etat et les bonds du Trésor (T bills à 1 mois) 6 ; 5. les indices de marché - soit l indice du NYSE pondéré par la valeur (VWNY (t)) ou équipondéré (EWNY (t)). Le modèle factoriel évalué était de la forme : er a = R a + b MP gmp + b DEI ]DEI + b UI fui + b UPR ]UPR + b UTS ]UTS + a (11) La méthode d estimation utilisée est la technique de Fama & MacBeth [1973] [FM73] : l exposition des actifs aux facteurs était d abord estimée sur une période de cinq ans ; les coefficients factoriels ainsi obtenus étaient utilisés comme variables indépendantes dans des régressions en coupe. Pour minimiser les problèmes d erreurs dans les variables, cette méthode est seulement appliquée sur des portefeuilles (relativement) diversifiés. Pour cela, 20 portefeuilles basés sur la taille des entreprises furent constitués. Avec ceux-ci, les primes de risque furent estimés sur la totalité de la période, i.e de janvier 1958 à décembre 1984, ainsi que sur 6 Le taux de croissance du prix du pétrole fut également inséré dans une variante, mais il se révéla statistiquement insignifiant sauf sur la période

21 Tab. 6 Les prix des facteurs macroéconomiques dans Chen, Roll & Ross [1986] (% par mois multiplié par 10) MP DEI UI UPR UTS Cste ,589-0,125-0,629 7,205-5,211 4,124 (3,561) (-1,640) (-1,979) (2,590) (-1,690) (1,361) ,155 0,006-0,191 5,560-0,008 4,989 (1,897) (0,092) (-0,382) (1,935) (-0,004) (1,271) ,966-0,245-1,353 12,717-13,142-1,889 (2,638) (-3,215) (-3,320) (2,852) (-2,554) (-0,334) ,383-0,140-0,221 1,679-1,312 11,477 (1,588) (-0,552) (-0,274) (0,221) (-0,149) (1,747) source : Chen, Roll & Ross [1986] trois sous-périodes. Sur la totalité de la période, les variables MP, UI, UPR sont significatives, la variable UTS l est quasiment. Les variables d inflation DUI et UI s avéraient particulièrement significatives pour la période La variable annuelle de production industrielle était non significative sur la totalité de la période et sur les sous-périodes. Les signes obtenus pour les variables significatives (reportés dans le tableau 6) étaient économiquement plausibles : le signe positif sur MP et sur UPR peut être interprété comme la volonté des agents de se protéger du risque induit par le cycle économique et de la prime de risque agrégée ; le signe négatif sur l inflation peut être la conséquence du fait que les placements financiers sont une protection contre l inflation ; enfin, si les rendements des titres tendent à être corrélés à long terme, la baisse de UTS est équivalente à une baisse des rendements moyens des titres ; pour se protéger contre ce risque, les agents sont donc prêt à payer plus les actifs corrélés négativement avec la structure par terme. L intrododuction d indices de marché ne semblaient pas exercer d influences significatives sur la prime de risque. Comme Chen [1983] [Che83]), Chen, Roll & Ross ont testé l hypothèse que l addition des facteurs permettait de compléter utilement le CAPM. Certains des résultats obtenus sont reportés dans le tableau 7. Le risque systématique est parfois valorisé. Surtout les prix des risques macroéconomiques demeurent très proches 20

22 Tab. 7 Les prix du risque systématique de marché et des facteurs macroéconomiques dans Chen, Roll & Ross [1986] (% par mois multiplié par 10) VWNY MP DEI UI UPR UTS Cste ,507 10,487-0,190-0,738 8,126-7,073-3,781 (1,189) (2,761) (-2,459) (-2,215) (2,869) (-2,194) (-0,402) ,311 9,597 0,001-0,163 3,186 0,697-11,734 (1,950) (1,494) (0,012) (-0,341) (1,474) (0,337) (-1,015) ,689 13,381-0,293-1,422 13,007-12,981-9,488 (0,622) (1,947) (-3,590) (-2,814) (2,697) (-2,214) (-0,526) ,188 7,624-0,316-0,584 8,211-9,735 15,732 (-0,207) (1,286) (-1,246) (-0,716) (1,039) (-1,123) (0,803) source : Chen, Roll & Ross [1986] de ceux du tableau 6. L ensemble de ces résultats amenaient Chen, Roll & Ross à conclure : les prix des actions sont exposés à l arrivée d information sur les risques économiques systématiques, et leurs prix sont fixés en fonction de leurs expositions[ ;] ces informations peuvent être mesurées comme des innovations dans les variables d état dont l identification peut être réalisé grâce àune théorie financière simple et intuitive. 7 ([CRR86] p. 402) Une des premières contributions empirique de la théorie factorielle fu notamment de lever partiellement le mystère de l anomalie de la taille. En effet, Chan, Chen & Hsieh [1985] [CCH85], poursuivant la même démarche que Chen, Roll & Ross, montrèrent qu après la prise en compte des facteurs amcroéconomiques, l anomalie de taille, bien que persistante, était très faible et statistiquement peu significative. L échantillon étudié étaient celui des entreprises cotées sur le NYSE tout au long de la période retenue Outre le risque de marché, les facteurs significatifs étaient MP, UI et URP. Après avoir construit 20 portefeuilles (sur la base du critère de la capitalisation boursière), Chan, Chen & Hsieh [1985] [CCH85] décomposaient ainsi la différence de rendements 7 stock prices are exposed to systematic economic news, that they are priced in accordance with their exposures, and that the news can be measured as innovations in state variables whose identification can be accomplished through simple and intuitive financial theory. 21

23 mensuels moyens des deux portefeuilles extrêmes 8 était la suivante : primederisque non exp liqué parlecapm contribution de : % URP 0.453% VWNY 0.352% MP 0.204% résidu 0.120% Après la prise en compte des facteurs macroéconomiques, le rendement moyen excédentaire non expliqué par un risque systématique (de marché ou macroéconomique) était donc divisé par près de Même si les modèles à facteurs macroéconomiques se sont en général révélé moins efficaces à court-terme que les modèles fondamentaux, ils se sont révélés très utiles pour la prévision à long-terme des rendements. Ainsi, Fama & French [1989] [FF89] et Chen [1991] [Che91] ont notamment mis en évidence la capacité de la structure par terme, du risque de défaut des entreprises privées ou d indicateurs comme les PDR (Price Dividend Ratio) et PER (Price Earning Ratio) à refléter l évolution future des rendements. Parmi les modèles commerciaux, le modèle proposée par la société de conseil financier BIRR, Inc., et dirigée par Edwin Burmeister, Roger Ibbotson, Richard Roll et Stephen Ross, est l un des rares à utiliser les facteurs macroéconomiques. 10 la justification de BIRR d un modèle macroéconomique : without the foundation of a rigorous theory one must be concerned that any historical correlation might be spurious to sudden and material change. ([BRR03] pp. 1-2) 8 C est-à-dire le protefeuille des plus importantes capitalisations et des plus faibles. 9 Les résultats de Chan, Roll & Ross [1986] ainsi que ceux de Chan, Chen et Hsieh [1985] ont été réévalués par Shanken & Weinstein [1990] [SW90]. Pour tester la robustesse des résultats, ils ont notamment fait varier la taille des portefeuilles en considérant des portefeuilles de 20, 60 et 120 actifs. Les résultats obtenus suggéraient une certaine fragilité des résultats antérieurs. 10 Le site web de BIRR offre de nombreux documents présentants les fondements et les résultats de leur modèle, notamment les documents Burmeister [2003] [Bur03] et Burmeister, Roll & Ross [2003] [BRR03] dont les pages qui suivent sont inspirées. 22

24 Dans le modèle de BIRR les risques systématiques découlent des changements non anticipés des variables économiques. Cinq facteurs macroéconomiques sont suposés déterminants. Laconfiance des investisseurs : mesurée par la différente entre les rendements des obligations émises par des entreprises de bonne qualité (à 20 ans) et des obligations émises par le Trésor (à 25 ans) ; une diminution du spread se traduit par une réalisation positive du facteur ; une valeur positive du facteur est supposée équivalente à une augmentation de la confiance des investisseurs ; en général, les petites capitalisations ont une exposition plus importantes à ce facteur. Le risque d horizon temporel : mesuré par la différence entre le taux sur les obligations d Etat à 25 ans et le taux sur les bonds du Trésor à 30 jours ; ilreflète les évolutions de la courbe des taux (notamment sa pente moyenne) et le fait que les investisseurs demandent un rendement moins importants pour investir àlong-terme; une réalisation positive du facteur coïncide avec une différence de rendement moins importante entre les taux longs et les taux courts ; en général, les actions de croissance sont plus exposés à ce risque que les actions de rendement (value stocks). Le risque d inflation : mesuré par par la différence entre le taux d inflation effectif (calculé à la fin du mois)etletauxanticipéd inflation (calculé à la fin dumois)calculéàpartirdes données historiques à l aide d un filtre de Kalman ; une réalisation positive coïncide donc avec un choc d inflation non anticipé ; les biens de luxe (services, restauration, loisirs) sont les plus exposés à ce risque, les biens de première nécessité (nourriture, habillement) les moins exposés ; Le risque lié au cycle économique : mesuré par la variation du taux de croissance anticipé de l économie (calculé à la 23

25 Tab. 8 Pouvoir explicatif des facteurs dans le modèle factoriel de BIRR actions individuelles portefeuilles diversifiés intervalle 20% < < 90% 70% < < 90% médiane 40% 85% source : Burmeister [2003] fin du mois) en utilisant un filtre de Kalman ; une réalisation positive coïncide avec une augmentation du taux de croissance anticipé de l économie ; le secteur du commerce de détail est le plus sensible à ce risque, le secteur public (utilities) le moins. Lerisquedemarché: mesuré par le rendement du S & P 500 non expliqué par les quatres premiers facteurs ; supposé capturer les risques naturels, politiques, et les bulles spéculatives ; correspondrait au beta du CAPM si les quatres premiers facteurs ne jouaient aucun rôle ; Selon BIRR, la combinaison de ces 5 facteurs macroéconomiques permettraient d expliquer entre 20% et 90% des rendements des actions, avec une valeur médiane de 40%, résultat très honorable pour un modèle factoriel en général, pour un modèle à facteurs macroéconomiques en particulier. La substitution des portefeuilles diversifiés aux actions individuelles permettraient de doubler la performance du modèle, résultat attestant l importance des risques spécifiques au niveau des entreprises. Appliqué à un indice diversifié comme le S&P500, le modèle de BIRR fait apparaître l importance du market timing, du risque de cycle économique, et du risque inflationniste. Comme le montre le tableau 9, près de la moitié de la prime de risque de l indice serait dû au risque systématique, environ un tiers au risque cyclique de l activité, un cinquième du risque inflationniste. Comme le tableau 9 le montre, certains prix de facteurs sont négatifs dans le modèle de BIRR, notamment les prix du risque d horizon et du risque d inflation. L intuition du signe de ces deux facteurs est la suivante : 24

26 Tab. 9 Le profil des risques factoriels et les contributions factorielles au rendement espéré du S&P500, avril 1992 exposition prix du risque contribution contribution en % confiance horizon inflation cycle market timing Rendement espéré excédentaire source : Burmeister, Roll & Ross [2003] p. 9 enraisondeladéfinition du risque d inflation, un actif dont le rendement est lié positivement au risque d inflation constituera une protection contre l inflation et donc les agents accepteront de le détenir même si le rendement moyen est inférieur (toutes choses égales par ailleurs quant aux autres facteurs) ; le prix du risque d inflation est donc négatif et représente donc (en valeur absolue) la prime d assurance contre le risque d inflation ; de même, lorsqu un actif est exposé positivement au risque d horizon alors son rendement augmente lorsque le rendement à long-terme des obligations d Etat augmente relativement au taux court des bons d Etat, les agents sont donc protégés contre les pertes en capital induites par ces ajustements des taux de long-terme ; comme pour le risque d inflation, le prix du risque d horizon constitue donc la prime d assurance que les agents acceptent de payer. Comme les actions en moyenne ont un rendement qui baisse lorsque l inflation augmente de manière non anticipée mais augmente avec le risque d horizon, la contribution de l exposition du risque d inflation est positive mais celle du risque d horizon est négative. Les propriétés des indices varient naturellemet en fonction de leurs compositions. Ainsi, si l on substitue à l indice S&P 500 l indice du Reebok International Ltd., lequel est un indice international d actions, la prime de risque plus élevé de celui-ci est d abord 25

27 Tab. 10 Le profil des risques factoriels et les contributions factorielles au rendement espéré du Reebok International Ltd., avril1992 exposition prix du risque contribution contribution en % confiance horizon inflation cycle market timing Rendement espéré excédentaire source : Burmeister, Roll & Ross [2003] p. 9 déterminé par son exposition au risque du cycle économique, lequel contribue pour 44% à la prime de risque, et ensuite par celle au risque systématique de marché, lequelle contribue pour environ un tiers à la prime de risque. Pour évaluer la validité de son modèle, BIRR confronte régulièrement les évolutions prédites du S&P500 par celui-ci aux valeurs effectives. 11 Les figures5,6,7,8reportent les résultats de ces exercices. On remarque notamment que : le modèle faisait apparaître une surévaluation du marché en 1987 mais qu il a été incapable de détecter une surévaluation importante à la fin des années 90 ; aussi conclue-il à une sous-évaluation importante du marché au cours de la période ; entre 1988 et 2000, le modèle capture la hausse régulière du marché mais tend aussi à être caractérisé par une sous-évaluation persistence du S&P500. Un des intérêts de disposer d un modèle macroéconomique est la possibilité d évaluer les risques d exposition de stratégies ou de portefeuilles. Chaque portefeuille (ou chaque actif) se caractérise par son exposition à ces différents risques et donc par un certain profil 11 Plus précisément, BIRR, après avoir calé le modèle sur la valeur constatée du S&P500 au début de la période étudiée, rentre les valeurs de des facteurs constatés au cours des périodes pour obtenir la valeur prédite du S&P500. Il ne s agit pas donc pas d une prévision réalisée en utilisant les seules informations disponibles en début de période. 26

28 $2.50 S & P500 $2.00 S & P 500 effectif Krach de 1987 $1.50 $1.00 S & P 500 prédit par BIRR $ Fig. 5 L évolution effective du S&P500 et l évolution prédite par BIRR de 1986 à (source : site web de BIRR) $2.50 S & P500 $2.00 $1.50 $1.00 $ Fig. 6 L évolution effective du S&P500 et l évolution prédite par BIRR de 1991 à (source : site web de BIRR) 27

29 $3.00 S & P500 $2.00 S & P 500 effectif $1.00 S&P prédit par BIRR $ Fig. 7 L évolution effective du S&P500 et l évolution prédite par BIRR de 1996 à (source : site web de BIRR) $1.75 S & P500 $1.50 S&P500 effectif $1.25 $1.00 S & P 500 prédit par BIRR $0.75 $ Fig. 8 L évolution effective du S&P500 et l évolution prédite par BIRR de 2000 à (source : site web de BIRR) 28

30 Confiance Horizon Inflation Cycle Timing Europe Asie Fig. 9 L exposition au risque de l action Dutch Petroleum et du S&P500. d exposition aux risques systématiques. Dans la philosophie de la théorie factorielle, l exposition à un risque systématique entraîne (si le risque est coûteux) un rendement espéré supplémentaire. Par conséquent le profil d exposition aux risques systématiques détermine à la fois la volatilité mais aussi la performance d un portefeuille diversifié. Ce profil d exposition aux risques systématiques peut également être utilisé pour évaluer le risque de portefeuilles ou de stratégies. Ainsi, la figure 9 représente l exposition au risque d une entreprise pétrolière, la Dutch Petroleum. Ce titre apparaît relativement au S&P5000 à la fois moins exposé au risque de confiance, et plus au risque du cycle économique et aux risques régionaux. Faire rentrer l action Dutch Petroleum dans un portefeuille relativement similaire au S&P500 reviendrait donc à importer dans le portefeuille des risques régionaux, à augmenter sa sensibilité par rapport au cycle économique, tout en diminuant légèrement sa sensibilité aux fluctuations de la confiance sur les marchés financiers. On peut également appliquer cette méthode d analyse à des portefeuilles, des indices ou des catégories d action. Ainsi, la figure 10 compare les expositions au risque des plus faibles capitalisations du NYSE et du S&P500. Les plus faibles capitalisations apparaissent notablement plus exposés aux risques de confiance et du cycle économique. La dernière indication est le BIRR index. Celui-ci est une mesure donnant une mesure synthétique des risques systématiques de chaque actif et permet donc une hiérarchisation grossière des 29

31 Confiance Horizon Inflation Cycle Timing BIRR Index Fig. 10 Les expositions aux risques des plus faibles capitalisations (en gris foncé) et des plus fortes (en gris clair) du NYSE. Chaque portefeuille comprend 50 actions. actifs. Dans l exemple considéré, les petites capitalisations apparaissent légèrement plus exposées aux risques systématiques que le S&P500. La figure 11 compare au S&P500, un portefeuille de croissance et un portefeuille de valeurs de rendement. Les expositions aux risques des trois types de portefeuille apparaissent remarquablement monotones : grosso modo, les valeurs de rendement apparaissent les moins exposés aux différentes facteurs, les valeurs de croissance les plus exposés. En modulant la pondération dans un portefeuille de ces deux types d actions, on peut donc accroître ou diminuer son exposition aux évolutions macroéconomiques. Grâce à la réduction des risques à un nombre limité de facteurs, la théorie factorielle permet de caractériser différents styles de gestion, de construire facilement les portefeuilles correspondant à différentes expositions souhaitées, c est-à-dire de construire des tracking portfolios. Si l on part de l équation factorielle d un portefeuille dont la structure est (x i ) i=1,...,i : er p = X i x i α i + X k X λ k x i b ik + X i i x i ε i 30

32 Confiance Horizon Inflation Cycle Timing BIRR Index Fig. 11 Les expositions aux risques du portefeuille des 50 actions du NYSE dont la croissance est la plus élevée (en noir), du S&P500 (en gris foncé) et d un portefeuille de 50 valeurs du NYSE dont les rendements des dividendes sont les plus élevés (en gris clair). la démarche implicite aux benchmark portfolios consiste à se donner des expositions aux facteurs b k que l on doit atteindre en atteignant au mieux un objectif. Celui peut être la minimisation de la variance du risque résiduel. Le programme définissant le benchmark portfolio est alors : min (xi ) i=1,...,i Pi x iε i Si les contraintes sont : sous les contraintes : P i x ib ik = b b k,k=1,..., K X x i b ik = b k, X i i x i b ik =0 k 6= b k on cherche donc alors à obtenir un portefeuille, appelé le mimicking portfolio du facteur b k, qui reproduit le facteur b k. L objectif peut aussi être un objectif de rendement, par exemple la maximisation du α historique : max (xi ) i=1,...,i Pi x iα i sous les contraintes : P i x ib ik = b b k,k=1,..., K 31

33 Confiance Horizon Inflation Cycle Timing BRR Index Fig. 12 L exposition aux risques factoriels du tracking portfolio factoriellement neutre et du S&P 500. Les sociétés proposant des modèles factorielles propose en général différents produits permettant de se construire ces portefeuilles idéaux par leurs expositions aux risques macroéconomiques. Ainsi, Burmeister, Roll & Ross [2003] [BRR03] ont simulé un exercice de gestion courte - longue avec un risque factoriel neutre : le portefeuille long comprend 50 actions parmi celles du NYSE dont les α historiques furent les plus élevés sur la période allant d avril 1986 à mars 1992 ; le portefeuille court comprenait d autres actions du NYSE sélectionnées pour que l exposition aux risques factoriels soit neutre. En raison du nombre d actions, le risque spécifique des deux portefeuille est normalement minime. Les sensibilités du portefeuille global obtenu étaient inférieures en valeur absolues à 0.02 (voir figure 12). Les résultats du portefeuille sur la période allant d avril 1991 à mars 1992 : une appréciation de 30.04% contre pour le S&P500 (en annualisé) ; un écart-type des rendements effectifs de 6.26% contre 18.08% pour le S&P500. Le modèle proposé par BIRR constitue donc un bon exemple des potentialités d un modèle à facteurs macroéconomiques : même si l on a peut être un pouvoir explicatif plus faible, la nature macroéconomique des facteurs (et leurs stabilités au cours du temps) 32