Les Nombres. A.Balan 4 août 2017

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Les Nombres. A.Balan 4 août 2017"

Transcription

1 Les Nombres A.Balan 4 août Les nombres enters naturels 1.1 Défnton On appelle c nombres enters naturels N les cardnaux des ensembles fns [J]. En partculer 0 est le cardnal de l ensemble vde, 1 est le cardnal des sngletons. Les nombres enters possèdent une structure de double monode qu provent, sur les ensembles, à prendre la réunon de deux ensembles dsjonts pour la lo nterne somme a+b, et leur produt cartésen pour la lo nterne multplcaton a.b, ces los ayant une proprété de dstrbutvté entre elles qu peut se démontrer par récurrence (a + b).c = (a.c) + (b.c); 0 est élément absorbant et 1 est élément neutre pour la multplcaton. Il exste un ordre sur les nombres enters naturels, résultant de l ncluson des ensembles. 1.2 Le théorème fondamental de l arthmétque La dvson de n par m n exste que s n = k.m, elle est par défnton égale à k. Tout nombre enter naturel est dvsble par 1 et lu-même. Les nombres premers P sont ceux qu ne sont dvsbles que par 1 et eux-mêmes. Par conventon 1 n est pas premer, et donc le premer nombre premer est 2 ; les nombres enters naturels dvsbles par 2 sont dts pars, et les autres mpars. Le théorème fondamental de l arthmétque est le suvant : Théorème : Tout nombre enter n N, n 2, peut s écrre de façon unque sous la forme d un produt fn : n = p α(n) le produt portant sur les nombres premers p ms à une certane pussance α (n). 1

2 Démonstraton : par récurrence sur n, P (2): 2 est premer et s n est premer alors P (n). S n n est pas premer, alors n = ab, avec a,b plus petts que n ; on peut donc applquer P (a),p (b) et donc n = pα(a)+α(b). De plus cette écrture est unque car s : p α = p β alors s α j est non nul, p j dvse le produt et donc, on obtent : j p α p αj 1 j = p α p βj 1 j j et on applque la proprété de récurrence à n/p j. D où P(n). On a auss (exercce): n.m = p α(n)+α(m) Le pgcd de deux nombres est le plus grand commun dvseur de ces nombres, le ppcm est le plus pett commun multple. On a (exercce) : pgcd(n,m) = p mn(α(n),α(m)), ppcm(n,m) = p max(α(n),α(m)) 1.3 Conjectures Il exste de nombreuses conjectures concernant les nombres premers. La conjecture de Goldbach dt que tout nombre par est la somme de deux nombres premers n N \ {0,1}, (p,q) P 2, 2n = p + q. La conjecture des nombres premers jumeaux dt qu l exste une nfnté de nombres premers (p,q) P 2 tels que leur dfférence sot deux : p q = La dvson eucldenne Théorème : Soent la donne de deux enters naturels n,m avec n m, alors on a la dvson eucldenne suvante : n = km + r avec (k,r) deux enters et r < m, r est appelé le reste de la dvson eucldenne de n par m. Les deux enters k,r sont unques. 2

3 Démonstraton : par récurrence sur n, s n = m, alors (k,r) = (1,0). S on a n = km + r, alors s r m 2, on a n + 1 = km + (r + 1) et s on a r = m 1, alors n + 1 = (k + 1)m. Les deux enters (k,r) sont unques (exercce). 1.5 L algorthme d Euclde Il s agt dans cet algorthme d térer des dvsons eucldennes successves. Au rang a, on a deux enters A a = (r a,r a+1 ) ; au rang a+1, on fat la dvson eucldenne de r a par r a+1, ce qu donne (k a+2,r a+2 ) et on défnt A a+1 = (r a+1,r a+2 ). Comme la sute des r a est strctement décrossante, l algorthme est fn et on obtent une sute de nombres r a à partr de deux enters n,m. L algorthme d Euclde donne le pgcd(n,m) ; en effet, par récurrence on a : pgcd(r a,r a+1 ) = pgcd(r a+1,r a+2 ) et comme l algorthme est fn, on a au derner rang le pgcd. 2 Les nombres enters relatfs 2.1 Défnton Les nombres enters relatfs Z est le groupe de Grothendeck de N, l s agt en fat d nverser les enters pour l addton : Z = {(n,m) N 2 / ; (n,m) (n,m ) ss n + m = m + n } N s njecte canonquement dans Z par tel que (n) = (n,0). Les nombres enters relatfs possèdent une structure d anneau, c est à dre deux opératons, l une de groupe addtf commutatf et une autre de monode multplcatf, avec une dstrbutvté. Les nombre enters relatfs possèdent un ordre total compatble avec l ncluson et avec les opératons, et tel que les nombres postfs sont les enters naturels. 2.2 Les déaux de Z Les déaux de Z sont des sous-groupes addtfs de Z dont un plus pett élément postf est n, ce sont donc forcément les sous-groupes nz car on montre par dvson eucldenne qu un élément de l déal est forcément multple de n. On dt que Z est euclden donc prncpal et est, de ce fat, factorel. 2.3 Les modulos On dt que a est égal à b modulo c (dans Z) s c dvse a b et on note a b mod(c). Les enters relatfs égaux modulo c fxé forment une relaton d équvalence compatble avec la structure d anneau, le quotent par cette relaton d équvalence se note Z/cZ, l s agt d un ensemble à c éléments qu possède 3

4 une structure d anneau commutatf; s a b mod(c) et d e mod(c), alors a + d b + e mod(c) et ad be mod(c); c est le quotent des anneaux Z et cz. S p est un nombre premer, alors Z/pZ est un corps ; en effet la multplcaton par a non nul est njectve donc bjectve car l ensemble est fn et de ce fat l exste b tel que ab 1 mod(p), on note auss F p ce corps. 2.4 Le théorème chnos Théorème : S n = p α alors Démonstraton : Z/nZ = (Z/p α Z) S pgcd(n,m) = 1, alors Z/n.mZ = (Z/nZ).(Z/mZ). En effet on consdère l applcaton cannonque Z (Z/nZ).(Z/mZ) ; le noyau est n.mz vu que pgcd(n,m) = 1 et donc on a une applcaton njectve de Z/nmZ dans (Z/nZ).(Z/mZ) qu est auss surjectve en comparant les cardnaux, d où l somorphsme. 2.5 Le théorème de Bézout Théorème : Soent deux enters n,m, l exte deux enters relatfs a,b tels que : an + bm = pgcd(n,m) Démonstraton : On montre que la réunon des déaux nz et mz est pgcd(n,m)z. (de même leur ntersecton est ppcm(n,m)z.) 4

5 3 Les nombres ratonnels 3.1 Défnton Les nombres ratonnels sont le corps Q des fractons de l anneau ntègre des enters. On défnt cet ensemble : Q = {(a,b) Z.Z / ; (a,b) (c,d) ss ad = bc} (a,b) est noté a/b ; son nverse, avec a,b non nuls, est b/a. 3.2 L ordre sur les ratonnels Un ordre est défnt sur Q a b ss a b 0, les éléments postfs étant ceux pour lesquels a,b sont tous deux postfs ou négatfs. Q est un corps archméden, c est-à-dre que pour tous a > 0, b > 0, l exste n N tel que a < nb. Tout élément strctement postf se met de façon unque sous la forme n/m, avec n,m dans N et pgcd(n,m) = La topologe des nombres ratonnels Topologquement, les ratonnels forment un ensemble totalement dscontnu au sens où les seuls sous-ensembles connexes sont l ensemble vde et les sngletons. 4 Les nombres réels 4.1 Défnton On consdère les sutes dtes de Cauchy de nombres ratonnels, l s agt des sutes (a n ) n N telles que pour tout ɛ > 0, l exste N tel que pour tous n > N et m > N, a n a m < ɛ. On quotente alors l ensemble de ces sutes par les sutes tendant vers zéro qu forment un déal maxmal pour obtenr le corps des nombres réels R. 4.2 L ordre sur les réels Les nombres réels possèdent un ordre qu résulte de l ordre des ratonnels dans la mesure où une sute est dte postve s ses termes sont postfs à partr d un certan rang. L ordre ans défn est compatble avec les opératons du corps R. 4.3 La topologe des nombres réels Les ntervalles des nombres réels sont des partes connexes. En effet s ]a,b[= A B avec A,B des ensembles ouverts non vdes alors ]a,(a+b)/2[ ou ](a+b)/2,b[ possède la même proprété et par dchotome on trouve un nombre de ]a,b[ qu ne peut être dans aucun des ouverts A,B. 5

6 5 Les nombres p-adques 5.1 Défnton Les enters p-adques sont défns comme une sute projectve. On consdère dans le produt nfn n Z/pn Z les sutes (z n ) n N telles que z n z m modulo p m s m < n. Il s agt d un anneau ntègre, l anneau des enters p-adques Z p dont le corps des fractons est le corps des nombres p-adques Q p. 5.2 La topologe des nombres p-adques La lmte projectve qu défnt les enters p-adques possède une topologe produt qu en fat un ensemble compacte car fermé dans le produt nfn de compactes. Les nombres enters s njectent densément dans les nombres enters p-adques par l applcaton qu envoe z Z dans la sute statonnare à partr d un certan rang des réductons de z modulo p n. Les nombres p-adques Q p forment un ensemble complet car complété des ratonnels pour la valuaton p-adque. Les p-adques forment un ensemble totalement dscontnu, chaque élément est sa propre composante connexe. 6 Les nombres non-standards 6.1 Les nfntésmaux Sot (K,τ K ), un corps topologque non séparé, les nfntésmaux sont les éléments du corps qu sont dans tout vosnage de zéro. 6.2 Les réels non-standards et les p-adques non-standards Etant donné un corps (K,τ K ) séparé, l est possble de construre des nfntésmaux. On consdère des sutes d éléments K N que l on quotente par un ultrafltre des enters. On a (a n ) = (b n ) s l exste U, élément de l ultrafltre U tel que a n = b n pour tout n U. Les sutes convergentes sur U, plus les sutes tendant vers l nfn forment alors un corps topologque. Dans le cas des nombres réels, l s agt des nombres réels non-standards et dans le cas des p-adques, ce sont les nombres p-adques non-standards. Références [J] T.Jech, Set Theory, Sprnger Verlag, Berln, [E] H.-D. Ebbnghaus, & co, Numbers, Sprnger-Verlag, Berln,

TD6 : groupe linéaire, homographies, simplicité

TD6 : groupe linéaire, homographies, simplicité École Normale Supéreure 1ère année Année 2015-2016 Algèbre 1 TD6 : groupe lnéare, homographes, smplcté Exercces : à préparer à la mason avant le TD, seront corrgés en début de TD. Exercces : seront tratés

Plus en détail

Théorie des Nombres - TD1 Rappels d arithmétique élémentaire

Théorie des Nombres - TD1 Rappels d arithmétique élémentaire Unversté Perre & Mare Cure Master de mathématques 1 Année 2012-2013 Module MM020 Théore des Nombres - TD1 Rappels d arthmétque élémentare Exercce 1 : Trouver tous les enters n N tels que ϕ(n) = 6. Même

Plus en détail

N - ANNEAUX EUCLIDIENS

N - ANNEAUX EUCLIDIENS N - ANNEAUX EUCLIDIENS Dans ce qu sut A est un anneau untare, mun de deux opératons notées addtvement et multplcatvement. Le neutre de l addton est noté 0, celu de la multplcaton est noté e. On pose A

Plus en détail

Université Pierre & Marie Curie (Paris 6) Licence de Mathématiques L3 UE LM364 Intégration 1 Année 2011 12. TD4. Tribus.

Université Pierre & Marie Curie (Paris 6) Licence de Mathématiques L3 UE LM364 Intégration 1 Année 2011 12. TD4. Tribus. Unversté Perre & Mare Cure (Pars 6) Lcence de Mathématques L3 UE LM364 Intégraton 1 Année 2011 12 TD4. Trbus. Échauffements Exercce 1. Sot X un ensemble. Donner des condtons sur X pour que les classes

Plus en détail

Propriétés d une matrice stochastique précisées par son algèbre

Propriétés d une matrice stochastique précisées par son algèbre Proprétés d une matrce stochastque précsées par son algèbre J. Parzet 15 anver 2013 Une matrce stochastque est une matrce carrée réelle, à coeffcents postfs dont la somme des termes de toute lgne vaut

Plus en détail

Valeur absolue et fonction valeur absolue Cours

Valeur absolue et fonction valeur absolue Cours Valeur absolue foncton valeur absolue Cours CHAPITRE 1 : Dstance entre deu réels 1) Eemples prélmnares 2) Défnton 3) Proprétés CHAPITRE 2 : Valeur absolue d un réel 1) Défnton 2) Proprétés CHAPITRE 3 :

Plus en détail

Q x2 = 1 2. est dans l ensemble plus grand des rationnels Q. Continuons ainsi, l équation x 2 = 1 2

Q x2 = 1 2. est dans l ensemble plus grand des rationnels Q. Continuons ainsi, l équation x 2 = 1 2 Exo7 Nombres complexes Vdéo parte. Les nombres complexes, défntons et opératons Vdéo parte. Racnes carrées, équaton du second degré Vdéo parte 3. Argument et trgonométre Vdéo parte 4. Nombres complexes

Plus en détail

Q(t) Figure 2.1 : Intervalle Temps-Ressource. Dans notre cas, la capacité Q(t) est considéré comme constante Q.

Q(t) Figure 2.1 : Intervalle Temps-Ressource. Dans notre cas, la capacité Q(t) est considéré comme constante Q. INTODUCTION : Tenr compte smultanément du temps et des ressources permet d ntrodure le concept d énerge et le concept d un rasonnement basé sur des blans énergétque. Ce chaptre donne tout d abord des rappels

Plus en détail

Exercices d algorithmique

Exercices d algorithmique Exercces d algorthmque Les algorthmes proposés ne sont pas classés par ordre de dffculté Nombres Ecrre un algorthme qu renvoe la somme des nombre entre 0 et n passé en paramètre Ecrre un algorthme qu renvoe

Plus en détail

Les nombres premiers ( Spécialité Maths) Terminale S

Les nombres premiers ( Spécialité Maths) Terminale S Les nombres premers ( Spécalté Maths) Termnale S Dernère mse à jour : Mercred 23 Avrl 2008 Vncent OBATON, Ensegnant au lycée Stendhal de Grenoble (Année 2007-2008) Lycée Stendhal, Grenoble ( Document de

Plus en détail

RSA - bases mathématiques

RSA - bases mathématiques RSA - bases mathématiques Jang Schiltz Centre Universitaire de Luxembourg Séminaire de Mathématiques 162A, avenue de la Faïencerie L-1511 Luxembourg Luxembourg E-mail:schiltzj@cu.lu 1 Divisibilité Définition

Plus en détail

Matrices. 3 Matrice d une application linéaire. On fixe pour tout le chapitre un corps K.

Matrices. 3 Matrice d une application linéaire. On fixe pour tout le chapitre un corps K. Unversté Claude Bernard Lyon 1 L1 de Mathématques : Math. II Algèbre (cursus PMI Année 2014 2015 Matrces I On fxe pour tout le chaptre un corps K. Matrce d une applcaton lnéare 1 L espace des matrces [...]

Plus en détail

TD n 3. 1 Modules libres. MM002 (Algèbre et théorie de Galois) Automne 2012

TD n 3. 1 Modules libres. MM002 (Algèbre et théorie de Galois) Automne 2012 Unversté Perre & Mare Cure M de Mathématques MM002 (Algèbre et théore de Galos) Automne 202 TD n 3. Modules lbres Exercce. Montrer que Z/nZ n est pas un Z-module lbre. Plus généralement, montrer que s

Plus en détail

Ordonnancement temps réel multiprocesseur

Ordonnancement temps réel multiprocesseur Ordonnancement temps réel multprocesseur Matheu.Jan@cea.fr www.cea.fr Clquez pour modfer le style du ttre Ca change quo? Hypothèses et modèles Plan Anomales d ordonnancement et proprétés Algorthme globaux

Plus en détail

Utilisation du symbole

Utilisation du symbole HKBL / 7 symbole sgma Utlsaton du symbole Notaton : Pour parler de la somme des termes successfs d une sute, on peut ou ben utlser les pontllés ou ben utlser le symbole «sgma» majuscule noté Par exemple,

Plus en détail

Cours de Calcul numérique MATH 031

Cours de Calcul numérique MATH 031 Cours de Calcul numérque MATH 03 G. Bontemp, A. da Slva Soares, M. De Wulf Département d'informatque Boulevard du Tromphe - CP22 http://www.ulb.ac.be/d Valeurs propres en pratque. Localsaton. Méthode de

Plus en détail

Nous avons placé nos idéaux bien plus haut que les plus hauts des idéaux. (Francis Blanche)

Nous avons placé nos idéaux bien plus haut que les plus hauts des idéaux. (Francis Blanche) 1 Unversté Claude Bernard Lyon I Agrégaton de Mathématques : Algèbre & géométre Année 2009 2010 Anneaux Z/nZ Nous avons placé nos déaux ben plus haut que les plus hauts des déaux. (Francs Blanche) A ne

Plus en détail

Module de statistiques

Module de statistiques Module de statstques On utlsera les exemples suvants dans tout le chaptre : Exemple 1 : Dans une maternté, on a référencé les pérmètres crânens à la nassance de 290 nouveaux nés. Pérmètre ( en cm ) 32

Plus en détail

Synthèse de cours PanaMaths (Terminale S) Les nombres complexes

Synthèse de cours PanaMaths (Terminale S) Les nombres complexes Snthèse de cours PanaMaths (Termnale S) L ensemble des nombres complees Défntons n pose tel que = 1 { } L ensemble des nombres complees, noté, est l ensemble : z /(, ) = + Le réel est appelé «parte réelle

Plus en détail

Interprétation cristalline de l isomorphisme de Deligne-Illusie (cas des courbes)

Interprétation cristalline de l isomorphisme de Deligne-Illusie (cas des courbes) Interprétaton crstallne de l somorphsme de Delgne-Illuse (cas des courbes) C. Huyghe et N. Wach 6 avrl 23 Abstract In 987, Delgne and Illuse proved the degeneraton of the spectral sequence de Hodge vers

Plus en détail

Corrigé du problème de Mathématiques générales 2010. - Partie I - 0 0 0. 0.

Corrigé du problème de Mathématiques générales 2010. - Partie I - 0 0 0. 0. Corrgé du problème de Mathématques générales 2010 - Parte I - 1(a. Sot X S A. La matrce A est un polynôme en X donc commute avec X. 1(b. On a : 0 = m A (A = m A (X n ; le polynôme m A (x n est annulateur

Plus en détail

Les jeunes économistes

Les jeunes économistes Chaptre1 : les ntérêts smples 1. défnton et calcul pratque : Défnton : Dans le cas de l ntérêt smple, le captal reste nvarable pendant toute la durée du prêt. L emprunteur dot verser, à la fn de chaque

Plus en détail

Méthodes en Sciences-Physiques. Programme de Première S.

Méthodes en Sciences-Physiques. Programme de Première S. Méthodes en Scences-Physques. Programme de Premère S. Comment réalser et utlser les tableaux d avancement en Premère S Équaton de la réacton 3Ag + aq + AsO 3 4 aq Ag 3 AsO 4 s quanttés de matère en mol

Plus en détail

CLASSICITÉ DE FORMES MODULAIRES DE HILBERT. par. Stéphane Bijakowski

CLASSICITÉ DE FORMES MODULAIRES DE HILBERT. par. Stéphane Bijakowski CLASSICITÉ DE FORMES MODULAIRES DE HILBERT par Stéphane Bjakowsk Résumé. Nous prouvons un résultat de classcté pour les formes modulares de Hlbert surconvergentes. Nous utlsons pour démontrer ce résultat

Plus en détail

2 PGCD, PPCM, petit théorème de Fermat

2 PGCD, PPCM, petit théorème de Fermat Université de Paris-Sud, année 2012/2013 Filière Math/Info-L2 Maths 209 Feuille d exercices de soutien 1 Congruences et arithmétique sur Z Exercice 1. a) Soit n un nombre entier. Combien de valeurs peut

Plus en détail

Rachel Taillefer. 30 juin 2010

Rachel Taillefer. 30 juin 2010 GROUPE DE TRAVAIL: CONJECTURE DE MANIN V. FAISCEAUX ET COHOMOLOGIE Rachel Tallefer 3 jun 21 A Fasceaux On a vu que dans le cas projectf, on ne peut défnr les fonctons régulères que localement, sur des

Plus en détail

Université d El Oued Cours Circuits Electriques 3 LMD-EM

Université d El Oued Cours Circuits Electriques 3 LMD-EM ère parte : Electrocnétque Chaptre ntroducton L Electrocnétque est la parte de l Electrcté qu étude les courants électrques. - Courant électrque -- Défntons Défnton : un courant électrque est un mouvement

Plus en détail

Chapitre 1 : Images données par une lentille mince convergente

Chapitre 1 : Images données par une lentille mince convergente Chaptre 1 : Images données par une lentlle mnce convergente Termnale S Spécalté Chaptre 1 : Images données par une lentlle mnce convergente bectfs : - Constructon graphque de l mage d un obet plan perpendculare

Plus en détail

Généralités sur les fonctions 1ES

Généralités sur les fonctions 1ES Généraltés sur les fonctons ES GENERALITES SUR LES FNCTINS I. RAPPELS a. Vocabulare Défnton Une foncton est un procédé qu permet d assocer à un nombre x appartenant à un ensemble D un nombre y n note :

Plus en détail

Représentation de l'information

Représentation de l'information 1. L nformaton 1-1 Dualté état et temps Représentaton de l'nformaton La noton d'nformaton correspond à la connassance d'un état donné parm pluseurs possbles à un nstant donné. La Fgure 1 llustre cette

Plus en détail

Chapitre 6. Economie ouverte :

Chapitre 6. Economie ouverte : 06/2/202 Chaptre 6. Econome ouverte : le modèle Mundell Flemng Elsabeth Cudevlle Le développement des échanges nternatonaux (bens et servces et flux fnancers) a rendu fortement nterdépendantes les conjonctures

Plus en détail

ESPACES VECTORIELS NORMÉS DE DIMENSION FINIE NORMES USUELLES, ÉQUIVALENCE DES NORMES

ESPACES VECTORIELS NORMÉS DE DIMENSION FINIE NORMES USUELLES, ÉQUIVALENCE DES NORMES ESPACES VECTORIELS NORMÉS DE DIMENSION FINIE NORMES USUELLES, ÉQUIVALENCE DES NORMES SOMMAIRE. Normes sur u espace vectorel E 2.. Défto d'ue orme. Cter l'égalté tragulare reversée. 2.2. Normes usuelles

Plus en détail

ETUDE DU VIRAGE : LA BILLE!

ETUDE DU VIRAGE : LA BILLE! ETUDE DU VIAGE : LA BILLE! La blle donne la même ndcaton que celle d'un pendule accroché c par commodté à l'extrémté du vecteur "". Cet nstrument a pour but de rensegner le plote sur la symétre du vol

Plus en détail

RSA : Théorie et attaque

RSA : Théorie et attaque RSA : Théore et attaque La cryptographe, c est à dre l étude des systèmes de chffremet et de sécursato, est ue scece qu évolue vte Nous e voulos pour preuve la multtude de documets datat de cette aée (parus

Plus en détail

Arithmétique des Polynômes

Arithmétique des Polynômes Arithmétique des Polynômes Dans toute cette partie, K désigne le corps Q, R ou C. On note K [X] l anneau des polynômes à cœ cients dans K. On suppose connu le chapitre concernant les polynômes du premier

Plus en détail

Outils de base pour la classification des groupes de petit cardinal

Outils de base pour la classification des groupes de petit cardinal Chapitre II Outils de base pour la classification des groupes de petit cardinal Le titre est-il clair? Que signifie petit? Pas très grand, ok, mais pour quel ordre? Le but de ce cours est de fournir et

Plus en détail

Solution : 1. Soit y = α + βt, l équation de la droite considérée. Le problème de régression linéaire s écrit. i=1 2(α + βt i b i )t i

Solution : 1. Soit y = α + βt, l équation de la droite considérée. Le problème de régression linéaire s écrit. i=1 2(α + βt i b i )t i Exercces avec corrgé succnct du chaptre 3 (Remarque : les références ne sont pas gérées dans ce document, par contre les quelques?? qu apparassent dans ce texte sont ben défns dans la verson écran complète

Plus en détail

CH III Matrices. 1 / 8

CH III Matrices. 1 / 8 CH III Matrices. 1 / 8 Objectifs : Définition, dimension et opérations de matrices. Matrice transposée. Multiplication de deux matrices. Application à la résolution de système linéaire. I. La notion de

Plus en détail

Matrices. Bcpst 1 4 mars 2016

Matrices. Bcpst 1 4 mars 2016 Matrices Bcpst 1 4 mars 2016 Notations du chapitre Dans tout ce chapitre, n et p sont deux entiers naturels non nuls désigne l ensemble ou l ensemble I Ensemble des matrices Definition 11 Matrice à n lignes

Plus en détail

CLASSICITÉ DE FORMES MODULAIRES SURCONVERGENTES. par. Stéphane Bijakowski, Vincent Pilloni et Benoît Stroh

CLASSICITÉ DE FORMES MODULAIRES SURCONVERGENTES. par. Stéphane Bijakowski, Vincent Pilloni et Benoît Stroh CLASSICITÉ DE FORMES MODULAIRES SURCONVERGENTES par Stéphane Bjaows, Vncent Pllon et Benoît Stroh Résumé. Nous généralsons le crtère de classcté de formes modulares surconvergentes sur les courbes modulares

Plus en détail

Physique Statistique

Physique Statistique Physque Statstque Chaptre Système solé et dstrbuton mcro canonque On consdère un système physque donné contenant N partcules. - Etats accessbles du système. Spécfcatons d un système étudé Un système est

Plus en détail

Géométrie- Analytique- Cercles :

Géométrie- Analytique- Cercles : Géométre- Analytque- Cercles : Exercce 1 :, est un RON on donne les ponts A(1,0) ; B(5,) ; C(-1,4) 1/ Montrer que le trangle ABC est rectangle / Ecrre l équaton du cercle C crconscrt au trangle ABC 3/

Plus en détail

1 ère S Fonctions de référence

1 ère S Fonctions de référence ère S Fonctons de référence bectfs : - Revor et compléter l étude des fonctons de référence vues seconde. - Sgnaler en partculer quelques proprétés géométrques de leurs courbes représentatves et reler

Plus en détail

S.L.1 Comment dévier la lumière?

S.L.1 Comment dévier la lumière? S.L.1 Comment déver la lumère? I) La propagaton de la lumère : Contrarement aux ondes sonores, la lumère n a pas beson d un mleu matérel pour se propager : elle se propage dans le vde à une vtesse vosne

Plus en détail

V FORMATION DES IMAGES DANS L EXEMPLE DU MIROIR PLAN

V FORMATION DES IMAGES DANS L EXEMPLE DU MIROIR PLAN Chaptre V page V-1 V FORMTION DES IMGES DNS L EXEMPLE DU MIROIR PLN Le but de ce chaptre est d ntrodure la noton d mage { travers l exemple du mror plan. Vous vous êtes sûrement déjà regardé(e) dans un

Plus en détail

Ch 4 Séries statistiques à une dimension Définitions et représentation graphique

Ch 4 Séries statistiques à une dimension Définitions et représentation graphique Ch 4 Séres statstques à une dmenson Défntons et représentaton graphque Termnologe Ensemble étudé = populaton Eléments de cet ensemble = ndvdus ou untés Attrbut consdéré = caractère qu peut être qualtatf

Plus en détail

1 Introduction. 2 Définitions des sources de tension et de courant : Cours. Date : A2 Analyser le système Conversion statique de l énergie. 2 h.

1 Introduction. 2 Définitions des sources de tension et de courant : Cours. Date : A2 Analyser le système Conversion statique de l énergie. 2 h. A2 Analyser le système Converson statque de l énerge Date : Nom : Cours 2 h 1 Introducton Un ConVertsseur Statque d énerge (CVS) est un montage utlsant des nterrupteurs à semconducteurs permettant par

Plus en détail

Les Vecteurs ( En seconde )

Les Vecteurs ( En seconde ) Les Vecteurs ( En seconde ) Dernière mise à jour : Mardi 22 Avril 2008 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble (Année 2007-2008) -1- J aimais et j aime encore les mathématiques pour elles-mêmes

Plus en détail

Master de Chimie CH 702 Chimie Théorique

Master de Chimie CH 702 Chimie Théorique Thermodynamque statstque Master de Chme CH 702 Chme Théorque Laboratore de Modélsaton Fasccule de Mse à nveau Verson Septembre 2015 Thermodynamque statstque Les dstrbutons d équlbre Thermodynamque statstque:

Plus en détail

Jean-Louis CAYATTE jlcayatte@free.fr http://jlcayatte.free.fr/ ( ) u X ( ) u X

Jean-Louis CAYATTE jlcayatte@free.fr http://jlcayatte.free.fr/ ( ) u X ( ) u X Jean-Lous CAYATTE jcayatte@free.fr htt://jcayatte.free.fr/ Chatre 3 L'utté esérée Exercce 3. a) u ( X ) est a varabe aéatore dont es vaeurs ossbes sont u ( x ) = x Jean-Lous CAYATTE htt://jcayatte.free.fr/

Plus en détail

Matrices. Une matrice (n,p) est un tableau rectangulaire qui a n lignes et p colonnes représenté sous la forme suivante : (a 11...

Matrices. Une matrice (n,p) est un tableau rectangulaire qui a n lignes et p colonnes représenté sous la forme suivante : (a 11... I Généralités Matrices Une matrice n,p est un tableau rectangulaire qui a n lignes et p colonnes représenté sous la forme suivante : A= a 11 a 1p a n1 a np où le terme a ij R On peut aussi écrire la matrice

Plus en détail

APPLICATION DE HODGE-TATE DUALE D UN GROUPE DE LUBIN-TATE, IMMEUBLE DE BRUHAT-TITS DU GROUPE LINÉAIRE ET FILTRATIONS DE RAMIFICATION

APPLICATION DE HODGE-TATE DUALE D UN GROUPE DE LUBIN-TATE, IMMEUBLE DE BRUHAT-TITS DU GROUPE LINÉAIRE ET FILTRATIONS DE RAMIFICATION APPLICATION DE HODGE-TATE DUALE D UN GROUPE DE LUBIN-TATE, IMMEUBLE DE BRUHAT-TITS DU GROUPE LINÉAIRE ET FILTRATIONS DE RAMIFICATION LAURENT FARGUES Résumé. L un des buts de cet artcle est de décrre l

Plus en détail

- Tracer une droite dans le plan repéré. - Interpréter graphiquement le coefficient directeur d une droite.

- Tracer une droite dans le plan repéré. - Interpréter graphiquement le coefficient directeur d une droite. www.mathsenlgne.com 2G3 - EQUATINS DE DRITES CURS (1/5) CNTENUS CAPACITES ATTENDUES CMMENTAIRES Drote comme courbe représentatve d une foncton affne. - Tracer une drote dans le plan repéré. - Interpréter

Plus en détail

Grandeurs de réaction et de formation

Grandeurs de réaction et de formation PSI Brzeux Ch. hermochme 1 : grandeurs de réacton et de formaton 1 C H A P I R E 1 r a p p e l s e t c o m p l é m e n t s ) Grandeurs de réacton et de formaton 1. RAPPELS 1.1. Phases et consttuants Donnons

Plus en détail

CHAPITRE 1. Matrices. ou ( a ij. 1 i n 1 j p

CHAPITRE 1. Matrices. ou ( a ij. 1 i n 1 j p CHAPITRE Matrices Dans ce chapitre, nous définissons des règles de calcul sur les matrices Ensuite, après avoir défini la notion de matrice échelonnée nous calculerons le rang des matrices Lorsque cela

Plus en détail

Exercices sur la géométrie plane

Exercices sur la géométrie plane Eercces sur la géoétre plane Sot un trangle équlatéral et M un pont ntéreur au trangle n note H, K, L les projetés orthogonau respectfs de M sur les tros côtés éontrer que la soe MH + MK + ML est constante

Plus en détail

Remboursement d un emprunt par annuités constantes

Remboursement d un emprunt par annuités constantes Sére STG Journées de formaton Janver 2006 Remboursement d un emprunt par annutés constantes Le prncpe Utlsaton du tableur Un emprunteur s adresse à un prêteur pour obtenr une somme d argent (la dette)

Plus en détail

SIMNUM : Simulation de systèmes auto-gravitants en orbite

SIMNUM : Simulation de systèmes auto-gravitants en orbite SIMNUM : Smulaton de systèmes auto-gravtants en orbte sujet proposé par Ncolas Kelbasewcz : ncolas.kelbasewcz@ensta-parstech.fr 14 janver 2014 1 Établssement du modèle 1.1 Approxmaton de champ lontan La

Plus en détail

- donc n explique pas très bien le commerce entre pays industrialisés en particulier le commerce intraeuropéen

- donc n explique pas très bien le commerce entre pays industrialisés en particulier le commerce intraeuropéen Le commerce nternatonale en stuaton de concurrence mparfate: ros problèmes essentels des modèles théorques Rcardo, HOS, Standard: - fondés sur la CPP: le commerce n augmente pas la concurrence - pas d

Plus en détail

Raisonnement. 1 Différents types de raisonnements. 1.1 Par disjonction des cas. 1.2 Par élimination des cas. 1.3 Par contraposée

Raisonnement. 1 Différents types de raisonnements. 1.1 Par disjonction des cas. 1.2 Par élimination des cas. 1.3 Par contraposée Raisonnement Le raisonnement mathématique le plus courant est l implication "directe", aussi appelé "raisonnement déductif". On suppose une propriété P vraie et on en déduit une propriété Q vraie, ce qu

Plus en détail

DÉCOMPOSITION ATOMIQUE DES ESPACES DE BERGMAN

DÉCOMPOSITION ATOMIQUE DES ESPACES DE BERGMAN Publcacons Matemàtques, Vol 39 (1995), 285 299. DÉCOMPOSITION ATOMIQUE DES ESPACES DE BERGMAN F. Symesak Abstract The am of ths paper s to establsh the theorem of atomc decomposton of weghted Bergman spaces

Plus en détail

Chapitre 2.1 Les vecteurs

Chapitre 2.1 Les vecteurs Chaptre.1 Les vecteurs Le vecteur Le vecteur représente un module (grandeur) avec une orentaton. On utlse la flèche pour le représenter graphquement. Pour dentfer une varable comme étant vectorelle, l

Plus en détail

Le théorème du viriel

Le théorème du viriel Le théorème du vrel On se propose de démontrer le théorème du vrel de deux manères dfférentes. La premère fat appel à deux "trcks" qu l faut vor. Cette preuve met en avant une quantté, notée S c, qu permet

Plus en détail

APPLICATIONS LINÉAIRES ET MATRICES. Résumé de cours d algèbre linéaire L1 de B. Calmès, Université d Artois (version du 1 er février 2016)

APPLICATIONS LINÉAIRES ET MATRICES. Résumé de cours d algèbre linéaire L1 de B. Calmès, Université d Artois (version du 1 er février 2016) APPLICATIONS LINÉAIRES ET MATRICES Résumé de cours d algèbre linéaire L de B. Calmès, Université d Artois (version du er février 206). Applications linéaires Soient E et F des espaces vectoriels sur K...

Plus en détail

PARTIE NUMERIQUE. Brevet Blanc de Mathématiques 18/01/11. Exercice 1. 1) Ecrire les nombres A et B sous la forme de fractions irréductibles

PARTIE NUMERIQUE. Brevet Blanc de Mathématiques 18/01/11. Exercice 1. 1) Ecrire les nombres A et B sous la forme de fractions irréductibles Brevet Blanc de Mathématiques 18/01/11 PARTIE NUMERIQUE Exercice 1 1) Ecrire les nombres A et B sous la forme de fractions irréductibles A= 13 3 4 3 2 5 B=5+ 1+ 1 8 3 4 A= 13 3 4 3 5 2 A= 13 3 10 3 B=

Plus en détail

Algèbre engendrée par une matrice carrée

Algèbre engendrée par une matrice carrée Algèbre engendrée par une matrce carrée J. Parzet Sommare Cas d une matrce A nlpotente d ordre p. Proprétés........................................ 2.2 Conséquences algébrques...............................

Plus en détail

Préparation du CRPE, problèmes du jour, mai 2011 (1 à 10)

Préparation du CRPE, problèmes du jour, mai 2011 (1 à 10) Préparation du CRPE, problèmes du jour, mai 2011 (1 à 10) Problème 1, les baguettes de bois Jean et Cécile forment chacun une ligne en mettant bout à bout des baguettes de bois. Toutes les baguettes utilisées

Plus en détail

Seconde Géométrie vectorielle Notion de vecteurs coordonnées de vecteurs

Seconde Géométrie vectorielle Notion de vecteurs coordonnées de vecteurs I. Notion de vecteurs a) Vecteurs et translations Définition : A et B désignent deux points du plan. La translation qui transforme A en B associe à tout point C du plan l'unique point D tel que les segments

Plus en détail

PGCD ET PPCM. Par convention, dans ce paragraphe, lorsque l on parlera de diviseurs d un entier naturel, il s agira toujours des diviseurs positifs.

PGCD ET PPCM. Par convention, dans ce paragraphe, lorsque l on parlera de diviseurs d un entier naturel, il s agira toujours des diviseurs positifs. PGCD ET PPCM I. Plus grand commun diviseur Par convention, dans ce paragraphe, lorsque l on parlera de diviseurs d un entier naturel, il s agira toujours des diviseurs positifs. 1. Diviseurs communs à

Plus en détail

Chapitre 2 : Energie potentielle électrique. Potentiel électrique

Chapitre 2 : Energie potentielle électrique. Potentiel électrique 2 e BC 2 Energe potentelle électrque. Potentel électrque 12 Chaptre 2 : Energe potentelle électrque. Potentel électrque 1. Traval de la orce électrque a) Expresson mathématque dans le cas du déplacement

Plus en détail

Chapitre II : Matrices et opérations

Chapitre II : Matrices et opérations Terminale S Spécialité Chapitre II : Matrices et opérations Année scolaire 205/206 I Généralités sur les matrices : Définition : Soient n et p, deux entiers naturels non-nuls, une matrice de format n,p

Plus en détail

PLAN DE LECON TORSEUR

PLAN DE LECON TORSEUR LAN DE LECON TOSEU Objectfs spécfques : A la fn de la séance l étudant dot être capable de : Comprendre la noton de torseur et ses applcatons en écanque ré requs : L étudant est supposé connaître : Les

Plus en détail

Coopération au sein d une constellation de satellites

Coopération au sein d une constellation de satellites Coopératon au sen d une constellaton de satelltes Grégory Bonnet gbonnet@onerafr Catherne Tesser tesser@onerafr Offce Natonal d Études et de Recherches Aérospatales (DCSD) 2, avenue Edouard Beln BP 74025

Plus en détail

L'INDUCTION ON5WF (MNS)

L'INDUCTION ON5WF (MNS) 'IDUCTIO ème parte / O5WF (MS) Dans la ère parte de cet artcle, nous avons vu qu'un courant électrque donnat leu à un champ magnétque (expérence d'oersted). ous avons ensute vu comment Faraday, après avor

Plus en détail

Champ magnétique. 1 Notions préliminaires. 1.1 Courant électrique et densité de courant

Champ magnétique. 1 Notions préliminaires. 1.1 Courant électrique et densité de courant 4 Champ magnétque 1 Notons prélmnares 1.1 Courant électrque et densté de courant Un courant électrque est défn par un déplacement de charges électrques élémentares (ex : les électrons de conducton dans

Plus en détail

Fiche n 1: Groupe, sous-groupe, ordre

Fiche n 1: Groupe, sous-groupe, ordre Université Lille 1 Algèbre 2010/11 M51.MIMP Fiche n 1: Groupe, sous-groupe, ordre Exercice 1 On considère sur R la loi de composition définie par x y = x + y xy. Cette loi est-elle associative, commutative?

Plus en détail

Algorithme approché d optimisation d un modèle de Processus Décisionnel de Markov sur Graphe

Algorithme approché d optimisation d un modèle de Processus Décisionnel de Markov sur Graphe Algorthme approché d optmsaton d un modèle de Processus Décsonnel de Markov sur Graphe Nathale Peyrard Régs Sabbadn INRA-MIA Avgnon et Toulouse E-Mal: {peyrard,sabbadn}@toulouse.nra.fr Réseau MSTGA, Avgnon,

Plus en détail

Chapitre 4 : Matrices

Chapitre 4 : Matrices Lycée Paul Sabatier Classe de Première ES, Spécialité Chapitre 4 : C. Aupérin 008-009 Télécharger c est tuer l industrie, tuons les tous Thurston Moore Dernière modification : 4 avril 009 Table des matières

Plus en détail

classification non supervisée : pas de classes prédéfinies Applications typiques

classification non supervisée : pas de classes prédéfinies Applications typiques Qu est ce que le clusterng? analyse de clusterng regroupement des obets en clusters un cluster : une collecton d obets smlares au sen d un même cluster dssmlares au obets appartenant à d autres clusters

Plus en détail

a 22... a 2j... a 2p... a a n2... a nj A=(a ij

a 22... a 2j... a 2p... a a n2... a nj A=(a ij I Matrices : exemple et définition Voici les productions (en milliers) de deux usines de cycles appartenant à une même enseigne pour le premier semestre de l'année 2012 : Premier semestre 2012 VTT Adultes

Plus en détail

Les équations du premier degré

Les équations du premier degré TABLE DES MATIÈRES 1 Les équations du premier degré Paul Milan LMA Seconde le 10 septembre 2010 Table des matières 1 Définition 1 2 Résolution d une équation du premier degré 2 2.1 Règles de base................................

Plus en détail

PARAMÉTRISATIONS DE PETITS CHEMINS EN GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE RÉELLE

PARAMÉTRISATIONS DE PETITS CHEMINS EN GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE RÉELLE SINGULARITIES AND DIFFERENTIAL EQUATIONS BANACH CENTER PUBLICATIONS, VOLUME 33 INSTITUTE OF MATHEMATICS POLISH ACADEMY OF SCIENCES WARSZAWA 1996 PARAMÉTRISATIONS DE PETITS CHEMINS EN GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE

Plus en détail

Chapitre II Notion de structure de groupe

Chapitre II Notion de structure de groupe Chapitre II Notion de structure de groupe I Définitions 1. Définition générale Définition : Un groupe est un ensemble, ( ), telle que : muni d une loi de composition interne notée - la loi soit associative

Plus en détail

L essentiel du cours 2014/2015 Terminale S Spécialité Maths, Lycée Français de Valence

L essentiel du cours 2014/2015 Terminale S Spécialité Maths, Lycée Français de Valence L essentiel du cours 2014/2015 Terminale S Spécialité Maths, Lycée Français de Valence Sommaire 1. Arithmétique 2 1.1. Division euclidienne......................... 2 1.2. Congruences.............................

Plus en détail

Correction du brevet blanc. Partie 1 : Activités numériques (12 points)

Correction du brevet blanc. Partie 1 : Activités numériques (12 points) Correction du brevet blanc Eercice 1 (5 points) 3 Quelle est l'epression 1 5 développée de (5 3)? ( )( ) L'équation + 5 0 a pour solutions : Quelle est la valeur eacte de : 0+ 80? Quelle est la forme factorisée

Plus en détail

Un régime oscillatoire est une évolution dans e temps caractérisé par une fonction périodique. dqa dt qa uc = C. uc E C = ½. C.

Un régime oscillatoire est une évolution dans e temps caractérisé par une fonction périodique. dqa dt qa uc = C. uc E C = ½. C. Rappels Un régme oscllatore est une évoluton dans e temps caractérsé par une foncton pérodque. ondensateur B dq = = q = - q B dt q u = u E = ½..u 2 = 1. 2 Q 2 Bobne u bob = u L = L d + r dt E L ou E bob

Plus en détail

Mémento de théorie de l information

Mémento de théorie de l information Mémento de théore de l nformaton Glles Zémor 6 octobre 204 0 Rappels de probabltés Espaces probablsés. Un espace probablsé (Ω, P ) est un ensemble Ω mun d une mesure de probablté P qu est, lorsque Ω est

Plus en détail

Chapitre IV : Inductance propre, inductance mutuelle. Energie électromagnétique

Chapitre IV : Inductance propre, inductance mutuelle. Energie électromagnétique Spécale PSI - Cours "Electromagnétsme" 1 Inducton électromagnétque Chaptre IV : Inductance propre, nductance mutuelle. Energe électromagnétque Objectfs: Coecents d nductance propre L et mutuelle M Blan

Plus en détail

Doctorat ParisTech T H È S E. l École Nationale Supérieure d'arts et Métiers

Doctorat ParisTech T H È S E. l École Nationale Supérieure d'arts et Métiers École doctorale n - ENAM-5 Doctorat ParsTech T H È S E pour obtenr le grade de docteur délvré par l École Natonale Supéreure d'arts et Méters pastel-68577, verson - 4 Apr Spécalté Géne électrque présentée

Plus en détail

Cours #8 Optimisation de code

Cours #8 Optimisation de code ELE-784 Ordnateurs et programmaton système Cours #8 Optmsaton de code Bruno De Kelper Ste nternet : http://www.ele.etsmtl.ca/academque/ele784/ Cours # 8 ELE784 - Ordnateurs et programmaton système 1 Plan

Plus en détail

Exercices de révision pour examen #1

Exercices de révision pour examen #1 Exercces de révson pour examen #1 Queston 1. Questons théorques. a) Nommez les courants qu exstent quand une dode est en équlbre. Courants de dffuson et de drft. b) Dessnez la structure physque réelle

Plus en détail

Seconde Suite du cours sur les vecteurs Page 1 sur 9

Seconde Suite du cours sur les vecteurs Page 1 sur 9 Seconde Suite du cours sur les vecteurs Page 1 sur 9 III) Somme de vecteurs : 3) Somme de vecteurs et configurations : a) Parallélogramme Propriété : Parallélogramme Si ABCD est un parallélogramme alors

Plus en détail

Récurrence ; Sommes, produits

Récurrence ; Sommes, produits Récurrence ; Sommes, produts ECE3 Lycée Carnot 7 septembre 0 Pour ce trosème chaptre, un peu de théore, pusque celu-c va nous permettre de défnr quelques notatons et méthodes supplémentares qu nous seront

Plus en détail

UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE U.F.R. SEGMI Année universitaire 2015 2016. Statistiques Descriptives

UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE U.F.R. SEGMI Année universitaire 2015 2016. Statistiques Descriptives UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE U.F.R. SEGMI Année unverstare 215 216 L1 Économe Cours de B. Desgraupes Statstques Descrptves Séance 7: Indces synthétques Table des matères 1 Introducton 1 1.1

Plus en détail

Initiation à l algorithmique... et à la programmation

Initiation à l algorithmique... et à la programmation IREM Clermont-Ferrand Année 2009-2010 Journée d information Malika More sur les nouveaux programmes de Seconde Initiation à l algorithmique... et à la programmation Contenu de l atelier Des algorithmes

Plus en détail

Introduction La cinématique étudie le mouvement des solides, indépendamment des causes qui le produisent.

Introduction La cinématique étudie le mouvement des solides, indépendamment des causes qui le produisent. Introducton La cnématque étude le mouvement des soldes, ndépendamment des causes qu le produsent I Poston d un pont d un solde Solde de référence La noton de mouvement est relatve On étude toujours le

Plus en détail

E.N.P.C. module B.A.E.P.1

E.N.P.C. module B.A.E.P.1 Béton armé et précontraint I FLEXION COMPOSEE DIAGRAMME INTERACTION Jean Marc JAEGER Setec TPI E.N.P.C. module B.A.E.P.1 ENPC Module BAEP1 Séance 4 1 ENPC Module BAEP1 Séance 4 2 12. FLEXION COMPOSEE -

Plus en détail

Arithmétique. n(n + 1) 2. k = k=0. q k = 1 qn+1 1 q. n(n + 1)(2n + 1) 6. k 2 =

Arithmétique. n(n + 1) 2. k = k=0. q k = 1 qn+1 1 q. n(n + 1)(2n + 1) 6. k 2 = Université de Provence Mathématiques générales 1 Récurrence Arithmétique Exercice 1. Prouver l identité suivante: n k = k=0 n(n + 1) valable pour tout entier naturel n. Exercice. Prouver l identité suivante:

Plus en détail

Vecteurs. I Translation. 1. Définition :

Vecteurs. I Translation. 1. Définition : Vecteurs I Translation Soit A et B deux points du plan. On appelle translation qui transforme A en B la transformation du plan qui a tout point M associe le point M tel que [AM ] et [BM] aient le même

Plus en détail

Exercices fondamentaux

Exercices fondamentaux Université de Nantes Département de Mathématiques DEUG MIAS - Module M2 Algèbre Année 2002/2003 Liste d exercices n 1 Exercices fondamentaux Espaces vectoriels, sous-espaces vectoriels 1. Montrer que l

Plus en détail