E3A PC 2007 Math B Exercice 2

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1 a) D t \ (; y) R : y t 3 + y 3 3y E3A PC 7 Mat B Eercice o reporte y t o obtiet : : 3 ( + t 3 ) 3t qui admet pour solutios : (double) et si t 6, 3t + t 3 si t 6 ; Dt \ fo; '(t)g 3t Doc e otat '(t) ( si t ; D t \ fog + t 3 ; 3t ), le poit itroduit à la questio qui suit + t3 b) Si (; y) si 6 et y 6, o peut poser t y, alors (; y) D t \ et doc d après a) 3t 3t et y + t3 + t 3 doc (; y) si y 6 soit t : (; ), eclus si alors (; y), y, C est le poit de obteu pour t Réciproquemet si (; y), 9t 6 : 3t 3t et y + t3 + t 3 et 3 3t 3t 3 + y 3 3 3y + t t 3 3 3t 3t + t 3 + t 3 Alors c) ' est ue applicatio de classe C de R f g das R et 8t R f g; (t) 3( t3 ) ( + t 3 ) ; (t) 3t( t3 ) ( + t 3 ) p 3 t : : p 3 : : + (t) + jj + + (t) % + jj % % 3p 4 & 3p & y(t) & jj + & % 3p % 3p 4 & y (t) jj + + Pour t 6 o a (t) (t) t (t) O a doc lim puis (t) + (t) t + t (t) + t 3 t t de limite d où ue asymptote d équatio y t + d) e) si r 6 et 4 [] F (r cos ; r si ) () r 3 (cos 3 + si 3 ) 3r cos si () r ou r :(cos 3 + si 3 ) 3 cos si 3 cos si r cos 3 + si 3 Le poit r est sur la courbe et sur le grape de la courbe e polaire pour Si P i4 y le seul poit de est O déjà étudié ue équatio polaire de est : r 3 cos si cos 3 + si 3, 6 4 [] f) Ue répose évidete est u id R,

2 O peut remarquer que F (; y) F (y; ) Doc est ivariat par la symétrie ortogoal par rapport à y Le grape laisse peser qu il y e a pas d autres a) est la sectio de la surface S par le pla z b) La droite passe par l origie doc p(v) v; ei e où e A est u vecteur uitaire directeur de la droite p(m) + y + y C A et doc : d(m; ) jj! Mp(M)jj jy p j c) N et M ot la même projectio ortogoale sur la droite, doc N appartiet au pla passat par p(m) et ormal à e, d où : et OM! ON!, soit X + Y + + y X + Y + y 8 < O cerce doc (X; Y; ) tels que 9 (; y; z) : O utilise alors ( + y) 3 ( 3 + y 3 ) + 3y( + y) doc O a aussi ( + y) ( + y ) + y doc X + Y + y X + Y + + y 3 + y 3 3y 3 + y 3 3y ( + y) 3 3y( + y + ) y (X + Y ) (X + Y + ) XY O a doc : O obtiet alors l équivalece : M, 3 + y 3 3y, (X + Y ) 3 3 XY (X + Y + ) N () (X + Y ) 3 3 (XY )( + X + Y ) d) S a pour équatio 3 + y 3 3y z, U vecteur ormal à la surface est 3( y ) 3(y ) A 6! Doc le pla taget à S au poit M a pour équatio : 3( )( y ) + 3(y y )(y ) (z z ) Le pla taget est orizotal au poit M lorsque y y ie y 4, qui admet deu solutios : le pla taget est orizotal e poits : (; ; ) et (; ; )

3 eercice 3 a) g est ue itégrale à paramètre O utilise le téorème de Leibiz de dérivatio d ue itégrale à paramètre: 8t [; ], > ep ( si(t)) est C sur R (; t) si(t)e si(t) 8 R t 7! ep ( si(t)) et t 7! si(t) ep ( si(t)) sot cotiues, doc itégrables sur le segmet ; i O a domiatio de la dérivée partielle sur tout segmet :8 [a; b] R; 8t [; ]; j si(t)e si(t) j 6 e b cotiue doc itégrable sur le segmet ; i : O a véri é les ypotèses de domiatio : g est alors de classe C sur R, et 8 R, g () si (t)e si(t) dt 8 R; 8t ; i ; si(t) > et e si(t) >, doc si (t)e si(t) dt >, d où 8 R; g () > b) La foctio si est cocave, sur ; i,doc le grape est sous la tagete e (d équatio y ), et au-dessus de la corde passat par ; les poits d abscisses et (d équatio y ), et doc : 8t i ; t > si(t) > t c) pour 8t et doc e itégrat (bores das le bo ses) : g() 6 ; i ; si(t) 6 t d où e si(t) 6 e t e t t dt e i 8 <, g() 6 (e ) (e ) De même 8 > ; g() > (e ) d) lim (e ), d où par ecadremet lim g()! + e + e, doc lim (e ) +, d où lim g() + et!+ g() etlim (e ) +, d où lim!+ + e) d après ce qui précède, le tableau des variatios de est : g () + g() % + a) Le développemet e série etière de l epoetielle, (de rayo de covergece +) doe 8 R; f(; t) si(t) C est bie ue série etière car après la substitutio, o a bie des puissaces etières de la variable : b) Par cotre si est réel, é, et si t varie, l epressio précédete est pas ue série etière il faut justi er l itégratio termes à termes: Téorème : Si X u est ue séries de foctios cotiues qui coverge ormalemet sur u segmet, alors la somme est cotiue sur le segmet et o peut itégrer termes à termes (comme o est sur u segmet l itégrabilité est automatique) 3

4 Ici 8 t [; ], j si(t) j 6 jj terme gééral d ue série covergete et idépedate de t, ce qui assure la covergece ormale De plus t > si(t) est cotiue sur [; ] O a, pour tout réel : g() e si(t) si(t) si(t)! dt dt dt si (t)dt Doc g est développable e série etière sur R et c) O repred la questio a) e véri at : 8t [; ], > ep ( si(t)) est C sur R, 8 R; g() W 8 t ep ( (; t) si (t)e si(t) est cotiue, doc itégrable sur le segmet [a; b] [; ] D après le téorème de dérivatio sous le sige, à l ordre deu, g est de classe C sur R, et 8 R; g () Alors, 8 R; (g () g()) + g () ( si (t) )e si(t) dt + si (t)e si(t) dt cos (t)e si(t) dt + si (t)e si(t) dt O itègre par parties le premier terme e posat : u(t) e si(t) ; v(t) cos(t), qui sot de classe C,d où ce qui doe : cos (t)e si(t) dt cos(t)e si(t)i + si (t)e si(t) dt + 8 R; (g () g()) + g () d) O reporte das l équatio di éretielle le développemet e série etière de g, g et g : O véri e a car (g () g()) + g () si(t)dt : O a alors pour : ( + ) a + a Sacat a W o e déduit : a +! X+ ( )a a + X+ ( )a a + + X + a a + ( + ) a + a 8 : + W + W ; i, domiée par e b sur si (t)e si(t) dt a a si (t)e si(t) dt 4

5 Le résultat se retrouve classiquemet par itégratio par partie e posat : u(t) si (t); v(t) cos(t), de classe C, W + cos (t) si (t)dt ( si (t)) si (t)dt (W W + ) e) Soit R le rayo de covergece de la série recercée Si o pose le calcul précédet avec y(), o retrouve (g () g()) + g () + ( + ) + O a doc : (g () g()) + g () () O sépare les termes pairs et les termes impairs: ; 3 3 ; 5 3 :5, + 8 N ; ( + ) + ( + ) ( ) 3 (produit des impairs) ( + )! Et le rayo de covergece se déduit de la règle de d Alembert : pour 6 a + + a de limite ulle ( + ) R impair + est idétermié ; ; 4 4 :, et sas problème R pair + () ( ) (produit des pairs) 8 Ry() Pour détermier g il su t de détermier g() f) Sur l itervalle R +, (E) est résoluble e y, doc ( + )! X e :si(t) dt l esemble des solutios de (E) sur R + est u espace a e de dimesio Pour tout ( ; y ; y ) de R + R, il eiste ue uique solutio de (E) telle que y( ) y, y ( ) y O remarque aussi que l esemble des solutios développable e série etière est u espace de dimesio Et doc : Il eiste des solutios sur ]; +[ qui e sot pas la restrictio d ue solutio développable e série etière 3) D après )b), Alors e itégrat : c est-à-dire 8t [; t ]; t si(t) ; dou8 < ; :t 6 : si(t) 6 :t e t dt 6 e e si(t) dt 6 6 g() 6 (e ) e t dt 5

6 O e déduit que lim(g()) et doc g() Par comparaiso d ue foctio positive à ue foctio de Riema, o déduit que g est pas itégrable sur ] ; ] 4a) ' : t 7! e si(t) est -périodique, de classe C sur R, doc développable e série de Fourier 4b) d k () e si(t) ikt dt ' (t)e ikt dt c k (' ) le coe ciet de Fourier complee d idice k j' (t)j dt jd k ()j ' est cotiue par morceau, -périodique, doc l égalité de Parseval s applique : k 4c) 8 R; d k () si (t) e ikt dt O peut itégrer termes à termes la série précédetes : Séries de foctios cotiues qui coverget ormalemet sur u segmet E e et si (t) e ikt 6 jj terme gééral d ue série qui coverge vers e jj O a doc : : 4d) 8k ; 8 N; Or O sépare les cas: I k; d k () si (t)e ikt dt X I k; > si (t)e ikt dt X (i) ( ) p p e i( p k)t dt p X (i) p ( ) p e i( p k)t dt p 8 e i( p k)t >< si 6 p + k e i( p k)t dt p k >: dt si 6 p + k Si k est impair o est toujours das le premier cas et I k; Si k est pair o peut poser k q Il faut doc étudier si p q est possible, c est à dire si q k + q c est à dire si q et q k O a doc : 8 < si q ma(; k) I k;k+q q + k : (i) q+k ( ) q q + k q () q+k i k si q ma(; k) q I k;q+ Soit e posat q + k (ouvel idice variable q) d k () i k + X q>ma(; k) q+k q!(q + k)! 6