Algorithme de remplissage des carrés magiques selon la méthode des enseintes successives de Blaise PASCAL

Transcription

1 Algorithme de remplissge des crrés mgiques selon l méthode des enseintes successives de Blise PASCAL L méthode proposée pr Pscl consiste à prtir d un crré nturel et à déplcer les nombres pour que le crré devienne mgique. De plus, Pscl s est imposé une contrinte supplémentire : chque nombre ne doit être déplcé qu à l intérieur de l enceinte à lquelle il pprtient. Il distingue les crrés de côté pir et ceux de côté impir. Les enceintes sont concentriques comme on le voit ci- dessous. L enceinte centrle porte le n 1, l enceinte l plus grnde porte le n si n est impir, si n est pir: Crré impir de côté 19 ( 9 enceintes ) Crré pir de côté 20 ( 10 enceintes) Dns un crré nturel, l moitié des nombres sont des petits nombres et l utre moitié sont des grnds nombres. Les petits nombres occupent l prtie supérieure des crrés : Les cellules ont des coordonnées comprises entre ( 0, 0) pour l cellule en hut à guche, à ( n- 1, n- 1 ) pour l cellule en bs à droite. Les crrés impirs ont une cellule centrle de coordonnées (,) où =. Ci- dessus, n= 7. Donc l cse 25 pour coordonnées ( 3, 3), cr = 3. Les crrés pirs n ont ps de cellule centrle mis un bloc de 4 cellules u centre. Dns notre exemple il s git de. L cellule en bs à droite de ce bloc pour coordonnées (,), ici ( 4, 4) pour l cse 37. Dns les lgorithmes des pges suivntes, les vribles utilisées sont les suivntes : CrréNturel : tbleu de dimension 2 contennt les nombres entiers rngés dns l ordre nturel. Pge 1 sur 6

2 déclrtion : CrreNturel : rry[0..50,0..50]of integer; s tille mximle est donc de Il ne ser ps visible à l écrn CrréMgique : objet de type TStringGrid contennt le crré mgique. Visible à l écrn. déclré sous le nom de sgcrre i, j, k, n : entiers de type integer. n désigne le côté du crré à construire. Attention, si on veut fire une division vec un quotient entier ( sns ller près l virgule), il fut utiliser l opérteur div et non ps l brre oblique /. Ainsi ser trduit pr L ffecttion est notée en lngge lgorithmique. Ainsi ser trduit en pscl pr : Pour trduire l expression :, on écrir : Enfin, on n oublier ps que le crré mgique est ffiché sous l forme d une grille dont les cellules contiennent des chînes de crctères. Il fut donc trduire les nombres entiers en chînes de crctères vec l fonction IntToStr. Ainsi on trduir : pr : Rppels sur les structures : Pour k 1 à For k:=1 to xm do se trduit pr : begin end; Si j est impir lors If odd(j) then begin... Sinon se trduit pr : end else begin... ( le point- virgule tient lieu de end; ) TntQue j < k fire While j<k do begin se trduit pr : FinTntQue end; On trouver, dns les pges suivntes le détil des trnsformtions des crrés nturels en crrés mgiques impirs puis pirs. Prtie guche : les petits nombres sont désignés pr des lettres de à h ( j pour les crrés pirs). Prtie droite : positions des même petits nombres près leur déplcement. Chcune des lettres doit rester dns l enceinte où elle se trouvit dns le crré nturel. Pge 2 sur 6

3 Crré nturel impir Crré mgique impir b c d b e b f c b b c d b e b f c b b c d b g e b f c b g g b c d b g g e b f c b g g b c h h h h d b g d d d d d d d d d c c c c c c c c c h h h h à guche : position des petits nombres à déplcer à droite : position des mêmes petits nombres près leur déplcement. Chque petit nombre doit rester dns l enceinte où il se trouve. b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b e f f e e f f f f e e e f f f f f f e e e e f f f f f f f f c e e e f f f d d c f f f c c c e e f f d d d d c c c f f c c c c c e f d d d d d d c c c c c f c c c c c c c d d d d c c c c c c c d d d d e d d d d d d e e d d d d e e e d d e e e e e e e e e e Crré nturel pir Crré mgique pir Pge 3 sur 6

4 f c d h f f c j i d h e h b e f c d h f h f f c j i d h g e h b e f c d h f h f f c j i d h g e h b e f c d h f h f f c j i d h g e h b e g g g g f b b b b b b b b b b b b g i j c d i c d j c d i c d j c d i c d j c d c d b d d b d d d b b b d d d d d b b b d d d d d d d b b b b d d d c c d d d b b d d c c c c d d d b b d c c c c c c d d c c c c d c c c c b c c c c c b c b c c c b b c b c b b b c b b b b b b b e f e f e f e f f e f e f e f e e e e e e e e e e f e f e f f e f e f e e e e e e e e f e f e f f e f e f e e e e e e e e f e f f e f e e e e e e f e f f e f e e e e e e f f e e e e f f e e e f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f Pge 4 sur 6

5 1. Crrés mgiques impirs ( de côté n impir) Début Pour i de 0 à n-1 // initilistion du crré mgique et du crré nturel Pour j de 0 à n-1 CrréNturel( i, j) ni+ j+1 // remplissge du crré nturel i, j) '' // chcune des cellules du crré mgique est vidée // l cellule centrle pour coordonnées (,) CrréMgique (,) // l cellule centrle contient Pour k 1 à // Pour chque enceinte k Si k est impir, lors CrréMgique (, +k) CrréNturel( -k,-k) // sinon -k, -k) CrréNturel( -k,-k) CrréMgique ( +k, -k) CrréNturel (, -k) // b -k, ) CrréNturel ( +k,-k) // c Si k est impir, lors -k, -k) CrréNturel( -k,) // d sinon CrréMgique (, +k) CrréNturel( -k,) Si k est pir, lors -k+ 1, + k) CrréNturel( -k+ 1,-k) // e CrréMgique ( +k- 1, + k) CrréNturel ( +k- 1,-k) // f CrréMgique ( +k, -) CrréNturel( -k,-) // g CrréMgique ( +k, + 1) CrréNturel ( +k,- 1 ) // h Pour k 3 à // pour chque enceinte k à prtir de l 3 e Si k est impir lors j 1 sinon j 2 TntQue j<k fire si j est impir lors // bndes horizontles -k+j, +k) CrréNturel( -k+j,-k) // b CrréMgique ( +k-j, +k) CrréNturel ( +k-j,-k) sinon -k+j, -k) CrréNturel( -k+j,-k) // CrréMgique ( +k-j, -k) CrréNturel ( +k-j,-k) j j+1 FinTntQue Pour j 1 à // quotient entier bien sûr, bndes verticles -k, -j) CrréNturel( -k,-j) // c Si k est impir lors CrréMgique ( +k, +j) CrréNturel ( +k,-j) // d sinon CrréMgique ( +k, +j+ 1 ) CrréNturel ( +k,-j- 1) CrréMgique ( +k, +k-j) CrréNturel( -k,-k+j) // e -k, -k+j) CrréNturel ( +k,-k+j) // f Pour i 0 à n-1 // plcement des grnds nombres vis à vis des petits Pour j 0 à n-1 Si i, j ) = lors // si l cellule ( i, j) du crré mgique est vide Si ( i= j ) ou ( i= n-1- j ) lors petit n-1- i, n-1- j ) //coins Si (( i> j) et( i< j )) lors petit i, n-1- j ) // horiz. Si (( i< j) et( i> j )) lors petit n-1- i, j ) // vert. grnd + 1-petit i, j ) grnd Fin Pge 5 sur 6

6 2. Crrés mgiques pirs ( de côté n pir) Début Pour i de 0 à n-1 // initilistion du crré mgique et du crré nturel Pour j de 0 à n-1 CrréNturel( i, j) ni+ j+1 // remplissge du crré nturel i, j) '' // chcune des cellules du crré mgique est vidée // bscisse de l cellule de droite de l première enceinte CrreMgique( - 1,-1) CrréNturel(,) // e devient g CrreMgique (,) CrréNturel(- 1,- 1 ) // g devient e CrreMgique (,-1) CrréNturel(- 1,) // f devient h CrreMgique( - 1,) CrréNturel(,- 1 ) // h devient f CrreMgique( - 2,-2) CrréNturel(+ 1,+ 1 ) // devient c CrreMgique ( + 1,+ 1) CrréNturel(- 2,- 2 ) // c devient CrreMgique ( + 1,-2) CrréNturel(- 2,+ 1 ) // b devient d CrreMgique( - 2,+ 1) CrréNturel(+ 1,- 2 ) // d devient b Pour i 0 à 3 // les utres cellules restent inchngées Pour j 0 à 3 si i, j )= lors - 2+ i,- 2+ j) CrréNturel(- 2+ i,- 2 + j) Pour i 3 à si i est impir, lors - 3+ i,- i ) CrréNturel(- 1+ i,-1) // ( impires) sinon - 1+ i,) CrréNturel(- 1+ i,-1) // ( pires) si i est impir, lors - 1+ i,- i ) CrréNturel(- i,- 1 ) // b ( impires) sinon - i,- 1 ) CrréNturel(- i,- 1 ) // b ( pires) - i+ 1,+ i- 1 ) CrréNturel(- i+ 1,- i ) // c + i- 2,+ i- 1 ) CrréNturel(+ i- 2,- i ) // d si i est impir lors - i,- i) CrréNturel( - i,- i+ 1 ) // e si i est impir lors - i,- i+ 1) CrréNturel(- i,- i ) // f ( impires) sinon + i- 1,- i ) CrréNturel(- i,- i ) // f ( pires) si i est impir lors - i,- i+ 2 ) CrréNturel(+ i- 1,- 2 ) // g si i est impir lors - i+ 2,- i ) CrréNturel(+ i- 1,- i ) // h ( impires) sinon - i,- i ) CrréNturel(+ i- 1,- i ) // h ( pires) si i est impir lors + i- 1,+ i- 3 ) CrréNturel(+ i- 3,- i ) // i si i est impir lors + i- 1,+ i- 2 ) CrréNturel(- i+ 2,- i ) // j Pour i 4 à // plcement petits nombres restnts dns les bndes verticles et horizontles Pour j 1 à ( quotient entier ) // plcement des bndes verticles si i est impir lors - i,- j ) CrréNturel(- i,-j- 1 ) // ( impires) sinon - i,-j- 1 ) CrréNturel(- i,-j- 1 ) // ( pires) si i est impir lors + i- 1,+ i-j- 3 ) CrréNturel(- i,- i+ j+ 1 ) // b sinon + i- 1,+ i-j- 1 ) CrréNturel(- i,- i+ j) si i est impir lors + i- 1,+ j- 1 ) CrréNturel(+ i- 1,-j- 2 ) // c sinon + i- 1,+ j ) CrréNturel(+ i- 1,-j- 1) si i est impir lors - i,- i+ j+ 2 ) CrréNturel(+ i- 1,- i+ j ) // d sinon - i,- i+ j ) CrréNturel(+ i- 1,- i+ j) si i est impir lors k i-3 sinon k i-2 Pour j 1 à k // plcement des bndes horizontles si j est impir lors - j,+ i- 1 ) CrréNturel(- j,- i ) // f guche + j- 1,+ i- 1 ) CrréNturel(+ j- 1,- i ) // f droite sinon - j,- i ) CrréNturel(- j,- i ) // e guche + j- 1,- i ) CrréNturel(+ j- 1,- i ) // e droite Pour i 0 à n-1 // plcement des grnds nombres vis à vis des petits Pour j 0 à n-1 Si i, j ) = lors // si l cellule ( i, j) du crré mgique est vide Si ( i= j ) ou ( i= n-1- j ) lors petit n-1- i, n-1- j ) //coins Si (( i> j) et( i< j )) lors petit i, n-1- j ) // horiz. Si (( i< j) et( i> j )) lors petit n-1- i, j ) // vert. grnd + 1-petit i, j ) grnd Fin Pge 6 sur 6