2. Volumes a parois coniques.
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- Tristan Leroux
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1 2. Volumes a parois coniques. Objekttyp: Chapter Zeitschrift: L'Enseignement Mathématique Band (Jahr): 30 (1931) Heft 1: L'ENSEIGNEMENT MATHÉMATIQUE PDF erstellt am: Nutzungsbedingungen Die ETH-Bibliothek ist Anbieterin der digitalisierten Zeitschriften. Sie besitzt keine Urheberrechte an den Inhalten der Zeitschriften. Die Rechte liegen in der Regel bei den Herausgebern. Die auf der Plattform e-periodica veröffentlichten Dokumente stehen für nicht-kommerzielle Zwecke in Lehre und Forschung sowie für die private Nutzung frei zur Verfügung. Einzelne Dateien oder Ausdrucke aus diesem Angebot können zusammen mit diesen Nutzungsbedingungen und den korrekten Herkunftsbezeichnungen weitergegeben werden. Das Veröffentlichen von Bildern in Print- und Online-Publikationen ist nur mit vorheriger Genehmigung der Rechteinhaber erlaubt. Die systematische Speicherung von Teilen des elektronischen Angebots auf anderen Servern bedarf ebenfalls des schriftlichen Einverständnisses der Rechteinhaber. Haftungsausschluss Alle Angaben erfolgen ohne Gewähr für Vollständigkeit oder Richtigkeit. Es wird keine Haftung übernommen für Schäden durch die Verwendung von Informationen aus diesem Online-Angebot oder durch das Fehlen von Informationen. Dies gilt auch für Inhalte Dritter, die über dieses Angebot zugänglich sind. Ein Dienst der ETH-Bibliothek ETH Zürich, Rämistrasse 101, 8092 Zürich, Schweiz,
2 2.? Volumes a parois coniques. Substituons au cylindre un cône et calculons ly^ Soient M i7 m les points de 2i2 i et de <? sur une même droite issue du sommet du cône, 8.? Expression générale.? a, js, y les cosinus directeurs de la normale en m à (s). Rapportons l'espace à un trièdre trirectangle ayant pour sommet celui du cône; il vient Si l'on ordonne d'ailleurs F par rapport aux puissances dé croissantes de XYZ, il vient (4) 9.? Tout d'abord, la parenthèse
3 étant homogène et d'ordre?3, peut être égalée à la somme dès lors, c désignant le contour de <x, D'autre part, toute modification laissant invariante la même parenthèse n'altère point i 5 et ceci permet un grand nombre d'associations entre surfaces (S); en particulier, si les sommes précédentes sont nulles. Nous n'aborderons pas le développement de ces questions; M. A. Buhl a défriché ce terrain dans les quatrième et cinquième Mémoires précités ? Lorsque o* appartient àla surface (s Q ) d'équation ou il vient les volumes V i ont donc pour moyenne arithmétique le volume conique de même nature que limite la cloison <r; cette surface (s 0 ) est généralement de degré 3m. 11.? Volume cylindro-conique.? Prenons pour (S) un cylindre circulaire dont nous pouvons toujours prendre l'équa tionsous la forme i Pages ; Voir aussi Géom. et Analyse Int. doubles, pp. 8 et 30.
4 En cette hypothèse (s 0 ) a donc pour équation soit finalement x C'est un cylindre dont la base, sextique tricirculaire, possède au sommet du cône un point triple. 1 a > R (sommet du cône intérieur au cylindre). Les trois branches passant à l'origine sont réelles, les tangentes en ce point ayant pour coefficients angulaires respectifs La courbe rencontre x'x au point d'abscisse ce point est du reste intérieur à la circonférence directrice 1 En coordonnées polaires p = a[3r2 cos 0 + a2 cos 30]. Les valeurs maximum et minimum de p sont acquises pour et, pour 0 = 0 sin o = ± et alors p =? va 2?R2, avec a > R.
5 Enfin, sextique et circonférence se coordonnées (fig. 1) coupent aux points de fi^.l 2. a < R (sommet du cône intérieur au cylindre) La branche tangente en 0 à l'axe y'y est seule réelle; la sextique est intérieure à la circonférence (fig. 2). 12.? Volume sphéro- conique.? Prenons pour (S) la sphère d'équation l'équation de (s 0 ) s'obtient en substituant y2y2 +z2 calculs du paragraphe précédent; soit. à 2 y2y dans les avec Ainsi (s 0 ) n'est autre que la surface de révolution d'axe x'qx ayant pour méridienne la sextique déjà étudiée.
6 13.? Si, en résumé, nous associons à la circonférence la sextique un cône de sommet 0 découpe: 1 Sur les cylindres droits admettant ces courbes pour direc trices, 2 Sur les surfaces d'axe Ox admettant ces courbes pour méridiennes des cloisons I ± et - d'une part, une cloison 2 cr d'autre part, telles que le dernier volume conique soit la moyenne des deux premiers. 14.? Pour les surfaces (S) de révolution à méridienne conique, ovale de Cassini, limaçon de Pascal, les surfaces (s Q ) sont les mêmes:
7 De là une association possible de méridiennes fort différentes; nous n'insisterons pas sur la détermination de ces méridiennes associées. 3.? Volumes a parois conoïdales. 15.? Expression générale.? Substituons enfin au cylindre un conoïde droit et calculons {. MisM Soient, l'axe conoïdal étant confondu avec z'z, fx, i5 m les points de z'z, de 2t2 t et de o- sur une même parallèle au plan xoy a, /3, y les cosinus directeurs de la normale en m à {s) II vient Si l'on ordonne d'ailleurs F par rapport aux puissances décroissantes de XY, A { étant homogène et de degré i en XY, il vient (5) 16.? Posons
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