CONCOURS NATIONAL COMMUN. Session 2013 ÉPREUVE DE PHYSIQUE II. Filière TSI. Durée 4 heures

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1 المملكة المغربية ROYAUME DU MAROC Mnstère de l'éducaton Natonal, de l'ensegnement Supéreur, de la Recherche Scentfque et de la Formaton des Cadres Présdence du Concours Natonal Commun École Hassana des Travaux Publcs CONCOURS NATIONA COMMUN d'admsson aux Établssements de Formaton d'ingéneurs et Établssements Assmlés Sesson 2 ÉPREUVE DE PHYSIQUE II Flère TSI Durée 4 heures Cette épreuve comporte 7 pages au format A4, en plus de cette page de garde 'usage de la calculatrce est autorsé Page de garde

2 Concours Natonal Commun Sesson 2 Flère TSI On vellera à une présentaton et une rédacton clares et sognées des copes Il convent en partculer de rappeler avec précson les références des questons abordées S, au cours de l épreuve, un canddat repère ce qu lu semble être une erreur d énoncé, l le sgnale sur sa cope et poursut sa composton en ndquant clarement les rasons des ntatves qu l est amené à prendre Toutes les réponses devront être très sogneusement justfées S un résultat donné par l'énoncé est non démontré, l peut néanmons être adms pour les questons suvantes Ans, les dverses partes du problème sont relatvement ndépendantes entre elles Four à nducton Données : 7 Perméablté magnétque du vde : µ 4 S I ; Vtesse de la lumère dans le vde : o d Ohm locale j E c 8 m s ; e chauffage par nducton électromagnétque est couramment utlsé en ndustre : fuson d'un métal, vtrfcaton des déchets nucléares par nducton drecte en creuset frod Dans cette technque, un nducteur crée un champ magnétque varable qu ndut des courants de Foucault drectement dans le matérau conducteur 'effet Joule de ces courants chauffe et fat fondre le conducteur Dans ce problème, on s ntéresse à la producton d'un champ magnétque varable par un nducteur, au four à nducton utlsé pour fare fondre un métal et à l'almentaton de l'nducteur es dfférentes partes sont largement ndépendantes Pour tout le problème, on se placera en coordonnées cylndrques ( r,, z) auxquelles on assoce la base locale ( u r, u, u z) I Champ magnétque créé par une spre en un pont de son axe On consdère une spre crculare ( S ) de centre O, de rayon a, contenu dans le plan Oxy, orthogonal à l axe Oz Cette spre est parcourue par un courant électrque d'ntensté I constante Elle est stuée dans l ar assmlable magnétquement à du vde Elle est orentée dans le sens trgonométrque comme le montre la fgure -(a) On consdère un pont M, de cote z, stué sur l axe Oz Par des arguments de symétre très précs, détermner la drecton du champ magnétque B( M ) créé par la spre au pont M Epreuve de Physque II / 7

3 Concours Natonal Commun Sesson 2 Flère TSI 2 En désgnant l'angle sous lequel on vot la spre à partr du pont M de son I axe, montrer que le module de B( M ) s exprme comme B( M ) sn ( ) 2a z Ecrre l'expresson de B( M ) en foncton de BO ( ) et u a 4 Tracer le graphe représentant les varatons du champ B( M ) en foncton de u (a) x I O ( S ) M z y es deux cercles hachurés représentent les sectons drotes de la spre dans le plan contenant l axe Oz fgure -(a) fgure -(b) 5 e relevé des lgnes de champ magnétque dans un plan qu content l axe Oz est représenté sur la fgure -(b) Justfer l allure des courbes observées Reprodure la fgure -(b) sur votre cope en y ndquant le sens du courant I et l orentaton du champ magnétque sur chaque lgne de champ 6 Qu'obtendrat-on comme allure de lgnes de champ à grande dstance de la spre? II Champ magnétque d une bobne cylndrque de longueur fne On consdère mantenant une bobne cylndrque consstant en dz' un enroulement de N spres I régulèrement espacées de rayon 2 z a d'épasseur néglgeable o o' M a parcourues par un courant électrque d'ntensté I constante et répartes sur une longueur H comme l ndque la fgure 2 H fgure 2 a bobne est stuée dans l ar assmlable magnétquement à du vde Un pont M de l axe Oz de la bobne est repéré grâce à la coordonnée z prse par rapport à l'orgne O, pont mleu de la bobne 7 On consdère une spre élémentare d épasseur dz ', centré en O ' de coordonnée z ' En utlsant les résultats de la parte I, exprmer le champ Epreuve de Physque II 2 / 7

4 Concours Natonal Commun Sesson 2 Flère TSI magnétque élémentare db ( M ) engendré par cette spre élémentare au pont M de l axe de la bobne 8 Détermner le champ magnétque total B( M ) engendré en M, correspondant à l ensemble des contrbutons de la bobne cylndrque On exprmera le module B( M ) en foncton des angles et 2 sous lesquels les deux extrémtés de la bobne sont vues du pont M 9 Que devent l expresson de B( M ) lorsque la bobne est supposée de longueur nfne ( H a)? Quel dot être le rapport a H pour que le champ magnétque au centre de la bobne sot celu d une bobne nfne avec une précson de - au mons? Représenter schématquement les lgnes de champ magnétque de la bobne fne Quel procédé expérmental permet de vsualser le spectre magnétque de la bobne parcourue par le courant I? III Champ magnétque d une bobne cylndrque de longueur nfne es dmensons de la bobne cylndrque décrte dans la deuxème parte sont telles que l on pourra utlser l approxmaton de la bobne nfne ( H a) On se propose de calculer le champ magnétque en tout pont M de l'espace repéré par ses coordonnées cylndrques ( r,, z) 2 Sous l'hypothèse de la bobne cylndrque nfne, détermner, par des arguments de symétre et d'nvarance, la drecton du champ magnétque B( M ) et les varables dont dépend son module B( M ) en un pont M de l'espace En mettant en œuvre le théorème d Ampère sur un contour judceusement chos, montrer que le champ magnétque B nt ( M ) à l'ntéreur de la bobne nfne est unforme et donner son expresson 4 Détermner de même le champ magnétque Bext ( M ) à l'extéreur de la bobne nfne 5 Représenter schématquement les lgnes de champ magnétque de la bobne nfne 6 Donner la défnton du coeffcent d nductance propre de la bobne Etablr son expresson en foncton de N, H, a et µ Commenter 7 On assmle la bobne étudée à une nappe de courant surfacque orthoradal d ntensté unforme j s Exprmer le vecteur densté surfacque j s en foncton de I, N et H dans la base des coordonnées cylndrques ( u r, u, u z) Epreuve de Physque II / 7

5 Concours Natonal Commun Sesson 2 Flère TSI IV Champ magnétque d une bobne nfne parcourue par un courant varable a bobne nfne décrte dans la parte III est parcourue mantenant par un courant électrque d'ntensté t () varable dépendant du temps t On note B a () t le champ magnétque créé par le courant t () et on le suppose unforme 8 Enoncer la lo de Faraday (concernant une fém ndute dans un crcut matérel) et cter deux causes dfférentes de la varaton du flux magnétque 9 Justfer le fat que le courant électrque t () est source d'un champ électrque E que l'on cherche à détermner Montrer, par des arguments à explcter clarement, que le champ E est orthoradal et que son module ne dépend que de la dstance r du pont consdéré à l'axe Oz 2 En mettant en œuvre la forme ntégrale de l'équaton de Maxwell-Faraday sur un contour judceusement chos, établr l'expresson du champ électrque ndut E en tout pont de l'espace Commenter le sens de l'nfluence de r et de la fréquence de B a () t E ans que V Applcaton : four à nducton es fours à nducton à creuset se composent essentellement d'une bobne nductrce entourant un creuset dans lequel se trouve la masse métallque à fondre (fgure ) a bobne cylndrque est formé de N spres crculares z régulèrement espacées, de rayon a, répartes sur une couche de hauteur H Elle est parcourue par un courant (t) électrque snusoïdal d ntensté ( t ) I cos( t ), de fréquence f khz a longueur H de la bobne est 2 suffsamment grande devant son rayon a pour être consdérée comme nfne e creuset est assmlé à un cylndre transparent au champ électromagnétque On dspose dans le creuset, un barreau cylndrque métallque non magnétque d'axe Oz fgure Afn de smplfer, on suppose que la bobne est complètement remple par le cylndre conducteur (même rayon a et même hauteur H a) Ce conducteur a les mêmes constantes et que le vde et est supposé ohmque Sa conductvté, supposée constante et unforme, a la même valeur en régme alternatf qu en régme permanent 'axe du barreau métallque est confondu avec celu de la bobne Epreuve de Physque II 4 / 7

6 Concours Natonal Commun Sesson 2 Flère TSI 2 Montrer que pour la fréquence f khz, l équaton de Maxwell-Ampère peut être smplfée Donner le nom de l approxmaton ans fate On donne la 7 conductvté électrque du cuvre 6 SI 22 On se place dans le cadre de cette approxmaton et on néglge dans un premer temps, le champ magnétque créé par les courants nduts dans le cylndre conducteur 22 Montrer que le champ magnétque unforme B a est donné par B t B t u Donner l'expresson de B ( ) cos( ) a z 222 Montrer que le champ électrque E ndut à l'ntéreur du solénoïde s'écrt sous la forme E B sn( t ) ru 2 22 On constate que le barreau conducteur est parcouru par un courant volumque (dt courant de Foucault) de densté j Explquer clarement l'orgne de ce courant Quelle est la conséquence de l'exstence de ce courant pour le barreau conducteur? 224 Donner l'expresson de la densté volumque j des courants nduts en tout pont du conducteur Quelle est son unté? 225 Ecrre l expresson de la pussance volumque dsspée par effet Joule en tout pont du matérau conducteur par les courants nduts Etablr l'expresson de sa valeur moyenne temporelle pj Commenter l'nhomogénété de la pussance pj 226 En dédure la pussance moyenne totale PJ dsspée par effet Joule dans le conducteur Commenter l'nfluence de la conductvté du conducteur, de son caractère massf et de la fréquence du courant t () Montrer que le modèle explque pourquo dans le chauffage par nducton, on chost une fréquence de khz plutôt que le 5 Hz drectement accessble 227 Explquer l'ntérêt pratque du dspostf étudé 228 Montrer qu'on dmnue la pussance moyenne totale PJ en dvsant le a conducteur en feulles cylndrques ou en fbres de rayon b séparées n par un solant Montrer que dans le deuxème cas, les pertes moyennes par 2 unté de volume sont dvsées par n? 2 es courants calculés dans la queston 224 créent à leur tour un champ magnétque B On désre vérfer l'hypothèse B Ba On se place toujours dans le cadre de l'approxmaton de la queston 2 2 Justfer que B B ( r, t ) uz 22 En utlsant la forme locale de l'équaton de Maxwell-Ampère, calculer le champ magnétque B Montrer que l'hypothèse B Ba est vérfée s Epreuve de Physque II 5 / 7

7 Concours Natonal Commun Sesson 2 Flère TSI a a l Donner l'expresson de a l et calculer sa valeur numérque dans le cas du cuvre Commenter le résultat obtenu 2 Dans un four à nducton habtuel, le rayon a du cylndre est de l'ordre de cm hypothèse B Ba est-elle vérfée? 24 On suppose que l'hypothèse B Ba n'est pas valable et on étude le champ magnétque total dans le barreau conducteur On note B B ( r, t ) uz le champ magnétque total Montrer que le champ magnétque B B ( r, t ) vérfe l'équaton dfférentelle 2 B B B 2 A quel type de soluton r r r t faut-l s'attendre dans le cas d une dépendance temporelle harmonque? 25 Que se passe-t-l s l'on travalle à fréquence élevée? VI Détermnaton expérmentale de l'nductance et de la résstance de la bobne d'un four à nducton 'nducteur, assocé au four à nducton étudé dans la parte V, se comporte par rapport à son almentaton et dans les condtons optmales de fonctonnement, comme une charge nductve consttuée d une nductance pure en sére avec une résstance R 'objectf de cette parte est de détermner les valeurs des grandeurs caractérstques de la bobne (résstance R et nductance ) du four étudé par une méthode expérmentale Pour cela, on réalse un crcut RC en assocant en sére : - un générateur basse fréquence (GBF), supposé déal, délvrant une tenson snusoïdale de valeur effcace U mantenue constante et de fréquence f réglable - un conducteur ohmque, dt de mesure, de résstance R m ; - a bobne de résstance R et d'nductance ; - un condensateur de capacté C Un osclloscope permet d'observer en voe CH la tenson aux bornes du générateur et en voe CH2 la tenson aux bornes du conducteur de résstance de valeur effcace U ' 24 Représenter le schéma du crcut et ndquer les branchements de l'osclloscope 25 Indquer, en le justfant, sur quel mode de fonctonnement (AC ou DC), l'osclloscope dot être utlsé pour mesurer les grandeurs effcaces 26 Proposer une méthode permettant rapdement de détermner la fréquence de résonance à l'ade de l'osclloscope 27 Etablr l'expresson de l'ntensté effcace I du courant dans le crcut En dédure l'expresson de la fréquence f et celle du courant effcace I à la résonance du courant Epreuve de Physque II 6 / 7 R m

8 Concours Natonal Commun Sesson 2 Flère TSI U ' 28 On détermne expérmentalement la fréquence f et le rapport U à la résonance En dédure l'expresson donnant l'nductance et celle donnant la résstance R de la bobne 29 e GBF n'est pas déal et possède une résstance nterne R g 'ampltude de la tenson qu'l délvre ne reste pas constante lorsque la fréquence f vare Explquer pourquo et proposer un montage qu permet reméder à cette stuaton VII Etude de l'almentaton du four à nducton Dans cette parte, on assmle l'nducteur assocé à un four à nducton à une charge nductve consttuée d une nductance pure 7 µh en sére avec une résstance R 2 m Cette charge nductve est mse en sére avec un condensateur de capacté C,5 mf (fgure 4-(a)) a charge totale consttuée de l'nductance, de la résstance et du condensateur est alors almentée par une tenson ut () alternatve "créneau" fgure 4-(b), d ampltude U 2 V et de fréquence fxée à f khz, fourne par un onduleur autonome non représenté sur la fgure a tenson ut () a pour développement en sére de Fourer : 4 U u ( t ) m sn(2 ft ) sn(6 ft ) sn( ft ) 5 ut () m u C four R U m 2f f t U m fgure 4-(a) fgure 4-(b) Quel est le rôle du condensateur ajouté en sére avec l'nducteur? Justfer qualtatvement le développement en sére de Fourer de la tenson ut () Représenter le spectre de ut () 2 Calculer les valeurs effcaces U et U des tensons snusoïdales u () t et u () t relatves aux harmonques et Calculer les mpédances Z et Z de la charge totale relatves aux harmonques et I 4 Calculer le rapport I /, où I et I sont les valeurs effcaces des I ntenstés des courants correspondants aux harmonques et Montrer que l'on peut consdérer que le courant t () dans le crcut est pratquement snusoïdal et s'écrt sous la forme : ( t ) I sn( t ) Exprmer I et 5 Calculer la pussance actve P consommée par le four Epreuve de Physque II 7 / 7