Le théorème de Kleene

Transcription

1 NGUYEN Thi Minh Tuyen Théorie des utomtes et lngges formels Le théorème de Kleene 1

2 Méthode de démonstr;on Théorème: Soient A,B,C des ensemles tels que A B, B C, C A. Alors A=B=C. Remrque: Les expressions régulières, les utomtes finis, insi que les grphes de trnsi;ons définissent des ensemles de lngges. 2

3 Théorème de Kleene Tout lngge défini pr une expression régulière, ou un utomte fini, ou un grphe de trnsi;on, peut être défini pr toutes les trois méthodes. 3

4 Preuve du Théorème de Kleene Une conséquence des trois lemmes suivnts: (qu on doit prouver) Lemme 1: Tout lngge reconnu pr un utomte fini est reconnu pr un grphe de trnsi;on. Lemme 2: Tout lngge reconnu pr un grphe de trnsi;on peut être défini pr une expression régulière. Lemme 3: Tout lngge défini pr une expression régulière est reconnu pr un utomte fini. AF GT ER AF 4

5 Lemme 1 Tout lngge reconnu pr un utomte fini est reconnu pr un grphe de trnsi;on. Preuve: Pr défini;on, un utomte fini est un grphe de trnsi;on. 5

6 Lemme 2 Tout lngge reconnu pr un grphe de trnsi;on peut être défini pr une expression régulière. Preuve: Pr un lgorithme construccf, et qui fonc;onne 1. pour tous les grphes de trnsi;ons 2. En un nomre fini d étpes 6

7 Étpe 1: Trnsformer en un grphe de trnsi;on vec un seul étt de déprt

8 Étpe 2 un seul étt finl sns sor;e Un grphe de trnsi;on équivlent, de l forme:

9 Étpe 3 Fusionner les rêtes qui ont les mêmes prédécesseurs et mêmes successeurs. r 1 r 1 +r 2 +r 3... x x... r 3 r 2 r r 1 +r 2 r 2 9

10 Étpe 3 Opér;ons d élimin;on d étts un pr un r r 2 3 r r r 2 r r r r 2 *r

11 Élimin;on de l étt 2 r 2 r r r r r 3 1 r 2 *r... 3 r r 2 *r r 1 r 2 *r

12 élimin;on de l étt 2, les chemins pssnt pr 2: 1 - > 2 - > 4, 1 - > 2 - > 5, 3 - > 2 - > 4, 3 - > 2 - > 5 12

13 * 4 * - 3 * *

14 7 r 1 r 3 r r r 2 r 1 r 3 *r 4 r 1 r 3 *r 5 r Plusieurs chemins à considérer: Toujours on doit voir un GT équivlent.... r 1 r 3 *r r 2 r 3 *r 6 9 r 2 r 3 *r 5 r 2 r 3 *r

15 Cs spéciux r 3 r r 1 r > 2 - > 1, 1 - > 2 - > 1 r 1 r 2 *r 3 r 1 4 r 2 *r

16 r r 8 4 r r 2 5 r r 7 r 6 r 3 r 9 r 1 +r 2 r 4 *r 3 r 8 +r 2 r 4 *r > 2 - > > 2 - > > 2 - > > 2 - > r 7 +r 6 r 4 *r 5 r 9 +r 6 r 4 *r 3 16

17 3. Fusionner les rêtes r 1 r r 35 - r 1 + r r

18 Exemple 1, + -, + - (+)(+)*(+) + 18

19 Exemple 2: PAIR - PAIR,,, ±, (+)(+)*(+) (+)+(+)(+)*(+) - + [(+)+(+)(+)*(+)]* 19

20 Exemple 3 1 r 4 r 4 10 r 1 r 2 r 5 r 8 2 r 3 r 7 r 9 3 r

21 Grphe de trnsi;on - > Expression régulière Algorithme (et preuve) 1. Ajouter (si nécessire) un étt de déprt unique sns entrée et un étt finl unique sns sor;e. Pour chque étt qui n est ni étt de déprt ni étt finl, répéter 2 et Fire l opér;on d élimin;on d étt. 3. Fusionner les rêtes qui ont les mêmes prédécesseurs et mêmes successeurs. 4. Fusionner les rêtes entre l étt de déprt et l étt finl. L é;queje de l unique rête qui reste est l expression régulière. S il n y plus d rête de l étt de déprt vers l étt finl lors l expression régulière est φ. 21

22 Lemme 3 Tout lngge défini pr une expression régulière est reconnu pr un utomte fini. Preuve: Pr un lgorithme construc;f, en u;lisnt l défini;on récursive des expression régulières. 22

23 Rppel DéfiniCon: L ensemle des expressions régulières sur un lphet Σ est défini récursivement comme suit: 1. Chque lejre de Σ insi que Λ est une expression régulière. 2. Si r 1 et r 2 sont des expressions régulières, lors il en est de même pour: 1. (r1) 2. r1+r2 3. r1r2 4. r1* 3. Aucune utre expression n est régulière. 23

24 Exemple Construire un utomte fini qui ccepte le lngge: (+)*(+)(+)* Règle 1. L lejre 1 2. L lejre 1 3. Le mot (en u;lisnt 1) 3 4. Le mot (en u;lisnt 2) 3 5. L expression + (en u;lisnt 3 et 4) 2 6. L expression + (en u;lisnt 1 et 2) 2 7. L expression (+)* (en u;lisnt 6) 4 8. L expression (+)*(+) (en u;lisnt 7 et 5) 3 9. L expression (+)*(+)(+)* (en u;lisnt 8 et 7) 3 24

25 Règle 1 Lejres de Σ ± Lejres de Σ Le lngge Λ Lejres de Σ Lejres de Σ {x} x - + Le lngge qui consiste d une seule lejre x de Σ Lejres de Σ 25

26 Règle 2: r 1 + r 2, x 1 - x 2 x 3 + y 1 ± y 2 Tous les mots contennt x 1 - x 2 x 1 x 2 x 3 x 1 x 3 + x 3 x 3 PAIR - PAIR y 1 ± y 3 y 2 y 2 y 4 y 1 y 3 y 4 y 3 y 1 y 4 y 4 y 2 y 3 26

27 ± Résultt: r 1 +r 2 27

28 Exemple 2 x 1 - x 2 + x 1 - x 2 x 1 x 2 + x 2 x 1 Mots qui se terminent pr y 1 - y 2 + Mots qui se terminent pr y 1 - y 1 y 2 y 2 + y 1 y 2 28

29 Lemme 3 Tout lngge défini pr une expression régulière est reconnu pr un utomte fini. Preuve: Pr un lgorithme construc;f, en u;lisnt l défini;on récursive des expression régulières. 1. Il existe un utomte fini que reconnît le mot vide (Λ) et un utomte fini qui reconnît une seule lejre de Σ. 2. S il existe un utomte fini qui reconnît r 1 et un utomte fini qui reconnît r 2, lors il existe un utomte fini qui reconnît le lngge r 1 +r S il existe un utomte fini qui reconnît r 1 et un utomte fini qui reconnît r 2, lors il existe un utomte fini qui reconnît leur conctén;on r 1 r S il existe un utomte fini qui reconnît r lors il existe un utomte fini qui reconnît l fermeture de ce lngge r*. Donc pour toute expression régulière, on peut lui construire un utomte fini. 29

30 Algorithme 1: r 1 +r 2 Les données: AF1: lphet: Σ étts: x 1, x 2, x 3, étt de déprt: x 1 AF2: lphet: Σ étts: y 1, y 2, y 3, étt de déprt: y 1 Ainsi que les étts finux, et les trnsi;ons L utomte résultt: lphet: Σ étts: z 1, z 2, z 3, étt de déprt: x 1 ou y 1 les trnsi;ons: si z i = x j ou y k et x j x nouveu et y k y nouveu (pour l entrée p) lors z nouveu = (x nouveu ou y nouveu ) pour l entrée p. Si x nouveu ou y nouveu est un étt finl, lors z nouveu est un étt finl. 30

31 Exemple 2 x 1 - x 2 + x 1 - x 2 x 1 x 2 + x 2 x 1 Mots qui se terminent pr lgorithme x 1 ou y 1 - y 1 - y 1 y 2 y 1 - y 2 + y 2 + y 1 y 2 Mots qui se terminent pr + + x 1 ou y 2 x 2 ou y 1 31

32 Algorithme 2 Mejre toutes les pires (x i ou x j ) dns l tle des trnsi;ons. x 1 ou y 1 - x 1 ou y 2 + x 1 ou y 1 - x 1 ou y 2 + x 2 ou y 1 + x 2 ou y 2 + x 2 ou y 1 + x 2 ou y

33 Règle 3: r1r2, Exemple 1,, - + deuxième lejre est, - + nomre impir de 33

34 ,, , 34

35 Exemple 2, x 1 - x 2 x 3 + r 1 : tous les mots qui con;ennent y 1 - y 2 + r 2 : tous les mots qui se terminent pr z 1 - z 2 z 3 z 4 + r 1 r 2 35

36 z 1 - z 2 z 3 z 4 + On commence pr créer les étts z 1 =x 1 et z 2 =x 2 (z 2,) = x 3 on con;nue sur AF 1 OU BIEN y 1 on psse AF 2, puisque x 3 est finl dns AF 1 (z 2, ) = x 3 ou y 1 = z 3 (z 3, ) = x 3 ou y 1 = z 3 (z 3, ) = x 3 ou y 1 ou y 2 = z 4 + (z 4, )= x 3 ou y 1 =z 3 (z 4, )=x 3 ou y 1 ou y 2 = z

37 Règle 3: ConcténCon Résumé de l lgorithme 1. Créer un étt z pour chque étt x du premier utomte tel que x est ccessile vec un chemin à pr;r d un étt ini;l sns psser pr un étt finl. 2. Pour chque étt finl x du premier utomte, créer un étt z = (x ou y1), où y1 est l étt de déprt du deuxième utomte. 3. A pr;r des étts créer à l étpe 2, on crée des étts : x (l étt ou on con;nue sur le premier utomte) z= OU y (l étt ou on psse sur le deuxième utomte) 4. Les étts finux sont les étts qui con;ennent un étt finl du deuxième utomte. 37

38 Exemple 3 x 1 ± x 2 + x 3 r 1 : ps de,, y 1 - y 2 +, r 2 : nomre impir de lejres x 1 ou y 1 x 2 ou y 2 ou y 1 z 1 - z 2 + r 1 r 2 : tous les mots suf z 3 + z 4 +, x 1 ou y 2 ou y 1 x 3 ou y 1 ou y 2 38

39 Exemple 4 x 1 - x 3 +,, y 1 - y 2 + x 2 r 1 : les mots qui commencent pr r 2 : les mots qui se terminent pr z 1 - z 1 - z 2 z 4 + z 6 + z 3, z 2 z 4 + z 3 z 5 z 7 + r 1 r 2 r 2 r 1 39

40 Règle 4: r* x 1 ± x 2 + x 3 +, x 4, r: * + * r*: les mots sns doule, et qui ne commencent ps pr. 40

41 x 1 ± x 2 + x 3 +, z 1 =x 1 ± (z 1, ) = x 1 ou x 2 = z 2 + (z 1,) = x 4 = z 3 (z 2,)= x 1 ou x 2 = z 2 (z 2, )= x 1 ou x 3 ou x 4 = z 4 + (z 3, )=z 3 (z 3,) = z 3 (z 4,)= x 1 ou x 2 ou x 4 = z 5 + x 4 (z 4, )= x 4 = z 3, (z 5,)= x 1 ou x 2 ou x 4 = z 5 (z 5, )= x 1 ou x 3 ou x 4 = z 4 r* z 1 ± z 2 + z 4 + z 5 +, z 3 41

42 Exemple x 1 - x 2 + Les mots qui se terminent pr z 1 =x 1 - (z 1, ) = x 1 ou x 2 = z 2 + (z 1,) = z 1 (z 2,)= x 1 ou x 2 =z 2 (z 2, )= x 1 =z 1 x 1 - x 1 ou x 2 + ± x 1 Prolème vec Λ x 1 ou x

43 Règle 4: r*: Algorithme Donnée: un utomte vec un ensemle d étts {x 1, x 2, x 3, } Pour chque sous- ensemle d étts, on crée un étt dns le nouveu utomte. Il fut éliminer tout sous- ensemle qui con;ent un étt finl et ne con;ent ps l étt de déprt. On fit une tle de trnsi;ons pour tous les nouveux étts. On joute un étt ±. Les trnsi;ons qui sortent de cet étt sont les mêmes que les trnsi;ons qui sortent pr;r de l étt de déprt originl. Les étts finux sont les étts qui con;ennent u moins un étt finl de l utomte originl. 43

44 Exemple x 1 - x 2 + Les mots qui con;ennent un nomre impir des. z 1 ± z 2 z 3 +, Λ et les mots qui con;ennent u moins un. 44

45 Ques;on? 45