Introduction. Réseaux d interconnexion statiques. Types de réseaux (2) Types de réseaux (1)

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1 Introduction Réseaux d interconnexion statiques Les réseaux d interconnexion statique sont utilisés généralement pour les machines communiquant par messages (mémoire distribuée). Tanguy Risset Patrice Quinton Version du 2/10/04 Réseaux d interconnexion dynamique Rstat-1 Version du 2/10/04 Réseaux d interconnexion dynamique Rstat-2 Types de réseaux (1) Types de réseaux (2) Réseaux complets : chaque processeur est connecté à tous les autres Réseaux en étoile : chaque processeur est connecté au même processeur central Réseaux en anneau : Grilles à n dimensions (n-d): - généralisation du réseau linéaire - routage simple - 1 processeurs relié à 2n autres ex: DAP, paragon, Cray T3D Version du 2/10/04 Réseaux d interconnexion dynamique Rstat-3 Version du 2/10/04 Réseaux d interconnexion dynamique Rstat-4

2 Types de réseaux (3) Réseaux en arbre: - les réseaux en étoile et linéaires en sont des cas particuliers - on peut aussi imaginer cette topologie en dynamique ou Types de réseaux (4) Réseaux en Hypercube: - architecture ayant eu le plus de succès pour les machines parallèles - simplicité (routage, gestion de communication) - complétude (on peut émuler les grilles, arbres, etc.) Version du 2/10/04 Réseaux d interconnexion dynamique Rstat-5 Version du 2/10/04 Réseaux d interconnexion dynamique Rstat-6 Hypercube (1) Définition : Un hypercube de dimension r est un cube en dimension r dimension 0. dimension 1 dimension 2 Hypercube (2) Chaque nœud a exactement r voisins On peut construire un hypercube de dimension r à l aide de deux hypercubes de dimension r-1 dimension 3 Version du 2/10/04 Réseaux d interconnexion dynamique Rstat-7 Version du 2/10/04 Réseaux d interconnexion dynamique Rstat-8

3 Hypercube (3) Numérotation des sommets code de Gray En dimension r : 2 r sommets numéros sur r bits Exemple en dimension 2: Hypercube (4) Propriété de la numérotation de Gray: 2 voisins diffèrent uniquement par un bit Une arête est de dimension k si c est le k ème bit qui diffère entre les sommets Version du 2/10/04 Réseaux d interconnexion dynamique Rstat-9 Version du 2/10/04 Réseaux d interconnexion dynamique Rstat-10 Hypercube (5) Si U représente un sommet, U k représente son voisin en dimension k U {k1,,ks} est U dans lequel les bits k 1,,k s ont été complementés Hypercube (6) Diamètre : = log(2 r ) = r Les arêtes de dimension k forment un couplage parfait (couplage parfait = ensemble darêtes qui touchent tous les nœuds et qui ne partagent aucun nœud) Largeur de bissection : N (arêtes dans une dimension) 2 Version du 2/10/04 Réseaux d interconnexion dynamique Rstat-11 Version du 2/10/04 Réseaux d interconnexion dynamique Rstat-12

4 Hypercube et automorphisme (1) Un hypercube contient des symétries: Pour toute paire d arcs ( (u,v), (u,v ) ) avec (u,v) de dimension k et (u,v ) de dimension k,! un automorphisme de H t.q!( u ) = u!( v ) = v C est une biection de H H sur les nœuds et les arcs Hypercube et automorphisme (2) Par exemple, pour toute permutation Π de {1,..,} t.q Π(k)=k, la transformation " # ( x1.. xlog N ) = ( x# (1)! u# (1)! u1) ( x# (2)! u (2)! u2)... ( x! " (log N )! u " (log N ) ulog N ) = ou exclusif = concaténation est un automorphisme ayant cette propriété Version du 2/10/04 Réseaux d interconnexion dynamique Rstat-13 Version du 2/10/04 Réseaux d interconnexion dynamique Rstat-14 Hypercube et automorphisme (3) Exemple: k=3 k =2 (000,001) (110,100) Hypercube et automorphisme (4) Π{1,2,3}={1,3,2} x x x = " ( 1)! u " (1)! u1 = x1! u1! u1 = x1! " ( 2)! u " (2)! u2 = x3! u3! u2 = x3! " ( 3)! u " (3)! u3 = x2! u2! u3 x et Version du 2/10/04 Réseaux d interconnexion dynamique Rstat-15 Version du 2/10/04 Réseaux d interconnexion dynamique Rstat-16

5 Hypercube et automorphisme (5) G,H deux graphes non orientés Un plongement de G dans H est défini par deux fonctions: f associant à chaque sommet de G un sommet de H, et Ρ f associant une arête de G à une arête de H. Si f est inective plongement, sinon placement Hypercube et automorphisme (6) dilatation d un plongement f:g H, notée dil(f) = max [ x, y] expansion = P f [ x, y] ( ) # sommets( H ) # sommets( G) ( { }) congestion = max # [ x, y]/ e! P [ x, y] e! H congestion-sommet = max # [ x, y]/ x! P ([ x, y]) x! H f ( { }) f Version du 2/10/04 Réseaux d interconnexion dynamique Rstat-17 Version du 2/10/04 Réseaux d interconnexion dynamique Rstat-18 Lemme 1 Lemme 1: Lhypercube à N noeuds contient un réseau linéaire (ou un anneau) de N cellules comme sous-graphe dès que N 4 Remarque: On dit alors que lhypercube est hamiltonien Preuve du lemme 1 (1) Preuve du lemme 1: N=4 : évident N>4 : On découpe lhypercube de N nœuds en deux sous-hypercubes de N/2 nœuds, chacun possédant un cycle hamiltonien (par récurrence) On peut supposer que ces deux circuits comportent les arcs: (0 0010, ) et (0 0011, ) Version du 2/10/04 Réseaux d interconnexion dynamique Rstat-19 Version du 2/10/04 Réseaux d interconnexion dynamique Rstat-20

6 On construit le nouveau circuit de lhypercube de dimension N en coupant ces deux arcs et en aoutant les arcs (0 0010, ) et (0 0011, ) Exemple: Preuve du lemme 1 (2) Définition: Soient k graphes G 1, G 2,, G k avec G =(V,E ). On défini ainsi le produit cartésien G = G 1 G 2... G k : G =(V,E) avec V = {( v1, v2,..., v k )/ v i! V i } et = {( u u,..., u )(, v, v,..., v )} / % : ( u, v ) $ E # " i! : u { v } E = est associatif Produit cartésien 1, 2 k 1 2 k i Version du 2/10/04 Réseaux d interconnexion dynamique Rstat-21 Version du 2/10/04 Réseaux d interconnexion dynamique Rstat-22 Lemme 2 Lemme 2: Si on note H r lhypercube de dimension r: k 1 r=r 1 + r r k, on a H r = H r1 H r2... H rk r fois Preuve: H r est simplement une grille donc H r = H 1 H 1... H 1, et il suffit de factoriser r fois Lemme 3 Lemme 3: Si G = G 1 G 2... G k et G = G 1 G 2... G k et si i : G i est un sous graphe de G i, alors G est un sous graphe de G. Version du 2/10/04 Réseaux d interconnexion dynamique Rstat-23 Version du 2/10/04 Réseaux d interconnexion dynamique Rstat-24

7 Preuve du lemme 3 Conclusion (1) Preuve du lemme 3: i on a un plongement f i : V i V i qui préserve les arêtes. On défini le plongement V V f : V = ( v 1,..., v k ) ( f 1 (v 1 ),..., f k (v k ) ) On a uste à montrer que f préserve les arcs (U,V) E ssi t.q (u, v ) E et i : u i =v i ( f (u ), f (v ) ) E par définition et f i (u i ) = f i (v i ) i Donc ( f(u), f(v) ) E On a donc trois lemmes qui nous permettent de conclure pour le plongement dune grille de dimension quelconque: - une grille est un produit cartésien de réseaux linéaires, - un hypercube est un produit cartésien dhypercubes, - un réseau linéaire est un sous graphe dun hypercube, toute grille 2 r1 2 r rk est un sous graphe de H r avec r=r 1 +r 2 + +r k toute grille de 2 r nœuds (de dimension quelconque) est un sous-graphe de H r car 2 r ne se factorise quen puissance de 2 Version du 2/10/04 Réseaux d interconnexion dynamique Rstat-25 Version du 2/10/04 Réseaux d interconnexion dynamique Rstat-26 Conclusion (2) Si les tailles ne sont pas des puissances de 2, on arrondi Grille M 1... M! log M k 1 " ! log M k " 2 On peut montrer que la grille M 1... M k est un sous log graphe de lhypercube à N nœuds ssi N 2! M "! log M k " On peut aussi montrer que lon peut touours plonger une grille 2D à N nœuds dans un hypercube à N nœuds si lon autorise une dilatation de 2 Version du 2/10/04 Réseaux d interconnexion dynamique Rstat-27