Variations équivalentes des machines de Turing

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1 Variations équivalentes des machines de Turing TM non déterministes = TM déterministes npda = un automate avec n piles. 2PDA = npda = TM pour tout n 2 Une machine de Turing avec n bandes de mémoires (n 2) et n têtes de lectures a la même capacité qu une machine de Turing avec une seule bande. Une machine de Turing avec une bande de mémoire infini des deux cotés a la même capacité qu une machine de Turing avec une bande de mémoire fini à gauche et infini à droite. (chapitres 21 et 22) 1

2 Chapitre 23: Langages des machines de Turing Définition. Un langage L sur un alphabet Σ est récursivement dénombrables s il existe une machine de Turing tel que pour tout mot w L, w est accepté par la machine, et pour tout w L, soit la machine s arrête (gèle), soit la machine ne s arrête pas (boucle infinie). Définition. Un langage L sur un alphabet Σ est récursif s il existe une machine de Turing tel que pour tout mot w L, w est accepté par la machine, et pour tout w L, la machine gèle (il n y a pas de boucle infinie). 2

3 Théorème. S il existe deux machines de Turing T 1 et T 2 qui reconnaissent L 1 et L 2, alors il existe une machine de Turing qui reconnaît L 1 + L 2. Démonstration: (abrégée) Il est possible de construire une machine de Turing T 3 qui simule les pas de calcul des deux machines au même temps. On transforme la machine T 1 qui reconnaît L 1 en une machine de Turing T 1 qui accepte tout mot dans L 1 et fait une boucle infinie pour tout mot qui n appartient pas à L 1. Pour chaque état si un caractère x n a pas de transition on lui ajoute une transition (x, x, R) vers un nouveau état QLQPART et puis on s assure que dans cet état QLQPART on rentre toujours dans une boucle infinie. On fait la même transformation de la machine T 2 en T 2. 3

4 INIT: dans la bande de mémoire on fait deux copies du mot d entrée, une pour T 1 et une copie pour T 2. La machine T 3 va simuler les deux machines T 1 et T 2 en même temps. On rajoute un état SIMULER-T 1 et un état SIMULER-T 2 à T 3. Pour chaque état x i de T 1, on rajoute un sous-ensemble d états à T 3 qui simulent les pas de calculs à partir de x i. Pour chaque état y i de T 2, on rajoute un sous-ensemble d états à T 3 qui simulent les pas de calculs à partir de y i. On rajoute deux états TROUVER-X et TROUVER-Y. Aucune de deux machines ne va geler si le mot est dans L1 + L2. (Si le mot est dans L 1 et pas dans L 2, T 2 va rentrer dans une boucle infinie et donc donner le temps a T 1 pour accepter le mot. Similairement si le mot est dans L 2 et pas dans L 1.) 4

5 L opération d INIT a b b # x 1 a b b * y 1 a b b l état de T 1 l état de T 2 le début de la bande séparateur des deux copies 5

6 x 5 (b,c,l) x 3 b a x 5 b a a b a b a a b a c a a b x 3 a c a a 6

7 DÉPART INIT (x 1,x 1,R) SIMULER T 1 SIM-x 1 (x 2,x 2,R) SIM-x 2 (x 3,x 3,R) SIM-x 3 TROUVER Y (y 1,y 1,R) SIMULER T 2 SIM-y 1 (y 2,y 2,R) SIM-y 2 (y 3,y 3,R) SIM-y 3 TROUVER X 7

8 Théorème: Si un langage L et son complément L sont tous les deux récursivement dénombrables alors L est un langage récursif. Démonstration: (abrégée) T 1 une machine de Turing pour L. T 2 une machine de Turing pour L. On transforme T 1 et T 2 en deux machines de Turing T 1 et T 2. T 2 est une machine qui gèle pour tout mot de L et fait une boucle infinie pour tout mot dans L. T 1 est une machine qui accepte tout mot de L et fait une boucle infinie pour tout mot dans L. 8

9 La machine T 3 va simuler les deux machines T 1 et T 2 en même temps. Dans la bande de mémoire on fait deux copies du mot d entrée, une pour T 1 et une copie pour T 2. Si le mot est dans L, alors T 2 fera une boucle infinie et T1 acceptera le mot. Donc T3 va accepter le mot. Si le mot n est pas dans L, alors T 1 fera une boucle infinie et T 2 va geler, et donc T 3 rejette le mot. La machine de Turing T 3 ne fera jamais une boucle infinie. Alors, le langage L est récursif. 9

10 Théorème. S il existe deux machines de Turing T 1 et T 2 qui reconnaissent L 1 et L 2, alors il existe une machine de Turing qui reconnaît L 1 L 2. Théorème: Le complément d un langage récursivement dénombrable n est pas necéssairement récursivement dénombrable. 10

11 Codage des machines de Turing Exemple (b,b,r) (a,b,l) (a,b,r) 3 DÉPART 1 ARRÊT 2 (,b,l) X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 De Vers Lecture Impression Déplacement 1 1 b b R 1 3 a b R 3 3 a b L 3 2 b L 11

12 Codage d un état (entier positif) Σ={a,b} 1: ab 2: aab 3: aaab Σ Γ= {a,b,#} Lecture/Impression Code a aa b ab ba # bb Déplacement L R Code a b 12

13 De Vers Lecture Impression Déplacement Code 1 1 b b R ababababb 1 3 a b R abaaabaaabb 3 3 a b L aaabaaabaaaba 3 2 b L aaabaabbaaba Code de la machine: ababababbabaaabaaabbaaabaaabaaabaaaabaabbaaba ababababb abaaabaaabb aaabaaabaaaba aaabaabbaaba CWL = langage((a + ba + b(a+b) 5 )*) Remarque: Il est toujours possible de déterminer si un mot de CWL est le code d une machine de Turing. 13

14 ALAN = tout mot w CWL tel que w n est pas accepté par la machine qu il représente. ALAN CWL Exemple: (b,b,r) DÉPART 1 ARRÊT 2 De Vers Lecture Impression Déplacement 1 2 b b R Langage L de cette machine: tous les mots qui commence par b Code de la machine qui reconnaît L: abaabababb abaabababb L donc abaabababb ALAN 14

15 Autres Exemples Exemple: Le code d une machine qui reconnaît le langage((a+b)*) n appartient pas à ALAN. Exemple: Le code d une machine qui reconnaît le langage vide appartient à ALAN. Exemple: Le code d une machine qui reconnaît L=langage((a+b)*aa(a+b)*) contient aa qui est dans L. Donc, le code n appartient pas à ALAN. 15

16 Théorème. Il n existe pas une machine de Turing qui reconnaît le langage ALAN. Démonstration: Supposons qu il existe une machine de Turing T qui reconnaît le langage ALAN. Soit code(t) le code de la machine T. Alors, soit code(t) ALAN, soit code(t) ALAN. Cas 1. Si la machine T accepte le mot code(t) alors code(t) ALAN (ALAN est le langage de la machine T), mais par la définition ALAN ne peux pas contenir un code accepté par sa propre machine. Une contradiction. Cas 2. Si la machine T n accepte pas le mot code(t) alors code(t) ALAN. Mais ALAN est le langage de la machine T. Une contradiction. Alors, il n existe pas une machine de Turing qui reconnaît le langage ALAN. 16

17 Théorème. Il existe des langages qui ne sont pas récursivement dénombrables. Exemple: ALAN 17

18 Machine de Turing universelle Définition. Une machine de Turing universelle est une machine de Turing MTU telle que: MTU opère à partir de la donnée: #w#x où w est le code qui représente une machine de Turing T et x est un mot sur l alphabet de la machine. L opération de MTU sur #w#x est exactement la meme que l opération de T sur x. (MTU gèle, accepte, ou ne s arrête jamais si et seulement si T fait la même chose.) 18

19 Théorème: Il existent des machines universelles. Une machine de Turing universelle est un modèle mathématique d un ordinateur. Soit w un code. Soit x un mot. La machine universelle simule l'exécution du «programme» w sur l'entrée x. On dit q un langage de programmation est Turing complète si on peut programmer les même algorithmes qu on peut éxécuter sur une machine de Turing universelle. 19

20 Décidabilité: le problème de l arrêt (terminaison) Existe-t-il une machine de Turing qui étant donnée le code w d une machine de Turing T et un mot d entrée x peut determiner si (à partir de la configuration initiale) T atteint un état ARRÊT? Une machine de Turing résout un problème décidable si elle peut produire un «oui» ou «non» dans un nombre fini d'étapes. Elle ne résout pas le problème si elle entre dans une boucle infinie sur certaines entrées. Supposons qu on à une machine de Turing appelé PA qui résout le problème de l'arrêt. Supposons que l'entrée a la forme #code(t)#x. Supposons que PA imprime «oui» et atteint un état ARRÊT si T atteint un état ARRÊT. Supposons que PA imprime «non» et atteint un état ARRÊT si T gèle ou si T entre dans une boucle infinie. 20

21 Théorème. Il n existe pas de machine de Turing qui peut résoudre le problème de l arrêt. Idée de la démonstration: Si on suppose qu une telle machine existe, on peut l utiliser pour construire une machine de Turing qui reconnaît ALAN. Le problème de l arrêt est le problème suivant: Est-ce qu un mot w appartient au langage accepté par une machine de Turing? 21