Groupe linéaire, simplicité : correction

Transcription

1 L3 Algèbre : TD 8 Groupe linéire, simpliité : orretion Exerie. Une mtrie M M n (F q ) est inversible si et seulement si les veteurs olonnes forment une bse. Il suffit pour el que le premier veteur soit non nul, que le deuxième ne soit ps olinéire u premier, que le troisième n pprtienne ps u pln engendré pr les deux premiers, et. On obtient don GL n (F q ) =(q n )(q n q) (q n q n )= q n(n )/2 (q n )(q n ) (q ). SL n (F q ) est le noyu du morphisme surjetif GL n (F q ) F q. Puisque F q = q, on SL n (F q ) = GL n(f q ) q = q n(n )/2 (q n )(q n ) (q 2 ). PGL n (F q ) est le quotient de GL n (F q ) pr son entre. D près le ours, elui-i est onstitué des mtries sliresλi n (λ F q ), qui forment un ensemble de rdinl q. On obtient don le même rdinl PGL n (F q ) = GL n(f q ) q = q n(n )/2 (q n )(q n ) (q 2 ). Il est églement vri que les mtries de SL n (F q ) sont entrles si et seulement si elles sont slires (une mtrie dns le entre de SL n (F q ) doit ommuter ve toutes les mtries de trnsvetion +e i,j (i j ), e qui revient à ommuter ve les mtries e i,j ; le lul montre lors que l mtrie est slire). Les mtries slires de SL n (F q ) sont lesλi n, veλrine n-ième de l unité. Remrque importnte. Outre le fit que ette remrque v nous permettre de dénombrer PSL n (F q ), il onvient de noter que le fit que Z(SL n (F q ))=SL n (F q ) Z(GL n (F q )) entrîne que PSL n (F q ) est nturellement un sous-groupe (distingué) de PGL n (F q ). Il s git don mintennt de dénombrer l ensembleµ n (F q ) des rines n-ièmes de l unité dns F q. Nous llons montrer que son rdinl est d= pgd(n,q ) ( est en fit un résultt générl : il y pgd(r, s) éléments d ordre divisnt r dns un groupe ylique d ordre s ). En effet, soit u et v tels que d= u(q )+v n. Si x µ n (F q ), lors x n =, et don x d =(x n ) v (x q ) u =. Inversement, si x d =, lors x n =. Don on églité entreµ n (F q ) etµ d (F q ). Mis le polynôme X q est déjà sindé et à rines simples sur F q, don on peut en dire utnt de X d qui en est un diviseur. Bref, µ n (F q ) = µ d (F q ) =d. On don PSL PSL n (F q ) = n (F q ) Z(PSL n (F q )) = SL n(f q ) pgd(q,n) = q n(n )/2(q n )(q n ) (q 2 ). pgd(q,n) Exerie 2. Soit G un sous-groupe distingué de SL n (K), distint de SL n (K). On peut onsidérer l pplition noniqueϕ : SL n (K) PSL n (K) qui est surjetive, donϕ(g) est distingué dns PSL n (K). Puisque PSL n (K) est simple, est don queϕ(g) est trivil ou est PSL n (K) tout entier. Montrons que e dernier s ne peut ps se produire. Siϕ(G)=PSL n (K), lors G ontient un ntéédent de.., qui est néessirement de l formeλ veλ µ n (K).....

2 ... Élevons lors ette mtrie à l puissne d= pgd(n,q ), e qui donne. Ce d dernier élément est une trnsvetion (r d dns K), et puisque toutes les trnsvetions sont onjuguées dns SL n (K) et que G est distingué, est que G ontient toutes les trnsvetions. Or, les trnsvetions engendrent SL n (K), don G=SL n (K). Ainsi,ϕ(G) est réduit à l élément neutre, et don G est inlus dns le entre de SL n (K), et don de l forme{λi n,λ T}, où T est un sous-groupe de rines de l unité de K. Or, on sit que pour un orps fini, K est ylique, de même que tous ses sous-groupes. Exerie 3.. L tion de GL 2 (K) sur K 2 est linéire, don elle envoie droite vetorielle sur droite vetorielle : on don bien une tion de GL 2 (K) sur(k). Le noyu de ette tion est le sous-groupe des éléments de GL 2 (K) stbilisnt toute droite. Il s git don des homothéties, à use du résultt lssique suivnt. Lemme. Soitϕ GL 2 (K) envoynt tout veteur x sur un veteur olinéire. Alorsϕ est une homothétie. Preuve. En utilisnt l hypothèse sur les deux veteurs de l bse nonique, on obtient l existene de slires non nulsλ,µtels queϕ(e )=λe etϕ(e 2 )=µe 2, est-à-dire tels que l mtrie deϕ dns l bse nonique soit dig(λ,µ). On pplique lors le résultt à e +e 2 : il existe un slireν tel queϕ(e +e 2 )=ν(e +e 2 ). On don ν e +ν e 2 =ϕ(e + e 2 )=ϕ(e )+ϕ(e 2 )=λe +µe 2, e qui entrîneλ=µ=ν, etϕ est une homothétie. Pr pssge u quotient on obtient don bien une tion fidèle de PGL 2 (K) sur(k). 2. Pour obtenir l expression donnée dns l énoné, il suffit mintennt de regrder l tion b d une mtrie GL 2 (K) sur les droites D x. d x Si x K, D x = Vet. On don b D x = Vet d x+b x+d Vet = D x+b si x+ d ; b x x+ b x+d = Vet = d x+ d Vet = D si x+ d=. De même, b D = Vet d b d = Vet / Vet = D / si ; = Vet = D si =. Cel donne bien l expression voulue pour l tion de PGL 2 (K) sur K { }. Remrque. On pourrit définir l tion pr ette formule (et est e que l on fit prfois), mis il y lors un ertin nombre de hoses (files mis impliqunt des disjontions de

3 s un peu pénibles) à vérifier pour être sûr que l on obtient bien une tion. Il est plus stisfisnt de voir dns es formules l expression en oordonnées d une tion nturelle. 3. On v utiliser une méthode ssez nturelle pour montrer l 3-trnsitivité : on se fixe trois éléments privilégiés, disons, et dns K { }. L trnsitivité de l tion revient à l existene, pour tout p K { }, d un élément g tel que g p= (si p et q sont des points quelonques, que g p= et que h q=, l élément h g envoie bien p sur q). Mintennt, l 2-trnsitivité est équivlente à l onjontion de deux propriétés : Étnt donné p K { }, il existe un élément g PGL 2 (K) envoynt p sur ; Étnt donné q, il existe un élément h Stb( ) envoynt q sur. En effet, es deux propriétés sont lirement plus fibles que l 2-trnsitivité de l tion, mis, ensemble, elles l impliquent : si(p,q) est une pire de points distints, que g envoie p sur et que h envoie g p sur tout en fixnt, l omposition h g envoie bien(p,q) sur (,). Ainsi, pour démontrer l 3-trnsitivité de l tion, on v démontrer : Étnt donné p K { }, il existe un élément g PGL 2 (K) envoynt p sur ; Étnt donné q, il existe un élément h Stb( ) envoynt q sur. Étnt donné r {,}, il existe un élément k Stb(,)=Stb( ) Stb() envoynt r sur. Fisons-le : Soit p K { }. Si p=, il n y rien à fire. Sinon, p K et l homogrphie x x p orrespondnt à l lsse envoie p sur. p Le stbilisteur de est l ensemble des homogrphies x x+ b pour lesquelles =. x+ d Il s git don du groupe ffine Stb( )={x Ax+ B A }. En prtiulier, l trnsltion x x q fixe et envoie x K quelonque sur. Le stbilisteur de et de est l ensemble des trnsformtions ffines du type préédent fixnt. Il s git don des homothéties x Ax, A. En prtiulier, l trnsformtion x r x envoie r {,} sur (et est l seule). On don montré l 3-trnsitivité. En outre, on voit que seule l identité fixe à l fois, et ; el montre l exte 3-trnsitivité : si g et h sont deux éléments envoynt p,p 2,p 3 sur p,p 2,p 3 et que k envoie p,p 2,p 3 sur,,, l élément g h fixe les p i, don l élément k(g h)k fixe, et. Il s ensuit k g hk =, don g= h. Remrque. En expliitnt l preuve que l on vient de donner, on voit que l unique homogrphie envoynt p,q,r K sur,, est x r p x p r q x q, mis l intérêt de notre preuve «pr étpes» est de limiter u minimum les luls (en outre, ette expression n un sens que si p,q,r K, le s où l un des trois vut devnt être trité à l min). 4. Si K=F 2, le fit que F 2 soit le groupe trivil rend les églités GL 2(F 2 )= SL 2 (F 2 )=PGL 2 (F 2 )= PSL 2 (F 2 ) évidentes. D près e qui préède, e groupe git fidèlement et extement 3-trnsitivement sur F 2 { }, qui 3 éléments. Cel entrîne que le morphisme PGL 2 (F 2 ) S(3) défini pr l tion est un isomorphisme (il est injetif pr fidélité et surjetif pr 3-trnsitivité).

4 Si K=F 3, l question préédente montre que PGL 2 (F 3 ) git 3-trnsitivement sur F 3 { }, qui qutre éléments. L tion est lors néessirement 4-trnsitive : si(p,q,r,s) et(p,q,r,s ) sont des qudruplets d éléments distints, l élément envoynt(p,q,r) sur(p,q,r ) envoie néessirement l unique élément restnt, r, sur l unique élément restnt, r, e qui montre l 4-trnsitivité (plus générlement, une tion n-trnsitive sur un ensemble à n + éléments est utomtiquement(n+)-trnsitive). Pour l même rison que préédemment, on obtient un isomorphisme PGL 2 (F 3 ) S(4). Puisqu il y 2 rines rrées de l unité dns F 3, PSL 2 (F 3 ) 2 éléments. C est don un sousgroupe d indie 2 de PGL 2 (F 3 ) S(4), e qui entrîne PSL 2 (F 3 ) A(4). Remrque. On vu en ours que PSL 2 (F 2 ) S(3) et PSL 2 (F 3 ) A(4) sont les seuls PSL n (K) qui ne soient ps simples. Si K=F 4, PGL 2 (F 4 ) (et don PSL 2 (F 4 )) git fidèlement sur l ensemble F 4 { }, qui 5 éléments. On obtient don un morphisme ϕ : PSL 2 (F 4 ) S(5). Siǫ:S(5) {±} est le morphisme signture, l simpliité de PSL 2 (F 4 ) entrîne queǫ ϕ : PSL 2 (F 4 ) {±} soit un morphisme trivil (pr simpliité, son noyu est{} e qui est exlu r il est hors de question que PSL 2 (F 4 ) s injete dns un groupe d ordre 2 ou PSL 2 (F 4 ) lui-même). Le morphismeϕ induit don un morphisme ϕ : PSL 2 (F 4 ) A(5). L fidélité de l tion montre en outre que e morphisme est injetif. Comme les deux groupes en présene ont 6 éléments, est un isomorphisme. Remrque. Signlons d utres isomorphismes exeptionnels, plus délits à démontrer. PSL 2 (F 4 ) PSL 2 (F 5 ) A(5), PSL 2 (F 7 ) PSL 3 (F 3 )=GL 3 (F 2 ) GL 4 (F 2 )=PSL 4 (F 2 ) A(8). PGL 2 (F 5 ) S(5) PSL 2 (F 9 ) A(6) 5. Attention! L énoné distribué en TD ne mentionnit ps l hypothèse K fini. On déjà montré (à l question 3) que Stb(, )= x λx λ K. D près e que l on démontré à l question 3, le sous-groupe x x+,x /x, qui ontient toutes les trnsformtions du type x et du type x x q ( est là qu on x p utilise l hypothèse de finitude de K), git 2-trnsitivement sur K { }. En prtiulier, si g PGL 2 (K), on peut trouver h x x+,x /x tel que h = g et h = g. L élément g h= k pprtient don à Stb(, ). Cel entrîne que k est de l forme x λx, et don que g x x+,x /x,x λx. 6. Essentiellement le seul problème à régler pour dpter ette méthode de preuve à PSL 2 (K) est que l homogrphie x /x n pprtient ps néessirement à PSL 2 (K) (en fit, x /x PSL 2 (K) si et seulement si est un rré dns K). Mis x /x, orrespondnt à l mtrie peut jouer le même rôle : on voit que x /x,x x+ git 2-trnsitivement sur K { }, et que Stb PSL2 (K)(, )=Stb PGL2 (K)(, ) PSL 2 (K)={x λx λ est un rré dns K}. On obtient don un système de générteurs pour PSL 2 (K) onstitué de l inversion x /x, de l trnsltion x x+ et des homothéties x λx dont le rpportλ est un rré.

5 Exerie 4.. D près le théorème hinois, si n = n n 2 est l déomposition de n en produit de deux nombres premiers entre eux, on un isomorphisme d nneux Z/nZ Z/n Z Z/n 2 Z. Cel implique un isomorphisme SL 2 (Z/nZ) SL 2 (Z/n Z) SL 2 (Z/n 2 Z). Il est don simplement besoin de déterminer le rdinl de SL 2 Z/p e Z, pour un nombre premier p et un exposnt e. Considérons l pplition Déterminons l imge de f. f : SL 2 Z/p e Z Z/p e Z 2 b. d f SL 2 Z/p e Z (b,d) Z/p e Z : d b= (,) Z/p e Z= Z/p e Z (,) (,)(mod p). Justifions l dernière équivlene. Réduire modulo p un élément de Z/p e Z un sens prfitement bien défini. Évidemment, si et se réduisent à modulo p, el entrîne qu ils sont tous les deux divisibles pr l élément non inversible p Z/p e Z et l idél qu ils engendrent ne peut ps être Z/p e Z tout entier. Réiproquement, si l un des deux ne se réduit ps à modulo p, il engendre Z/p e Z seul et, fortiori,(,) Z/p e Z= Z/p e Z. L imge de f est don onstitué du omplémentire de l ensemble p Z/p e Z 2 des ouples d éléments divisibles pr p. En prtiulier, f SL2 Z/p e Z =(p e ) 2 (p e ) 2 = p 2e p 2. Déterminons mintennt le rdinl des imges réiproques des points de l imge. Utilisons le vobulire des tions de groupes : SL 2 Z/p e Z git sur les veteurs de Z/p e Z 2 b pr multiplition à guhe ; si est dns l imge de f, il existe une mtrie d SL 2 Z/p e Z. Les mtries dns f b S, où S =. En résumé, d sont préisément les mtries de l forme f = S = S = S b d S Stb b b d S Stb d b b d S Stb d b. d

6 En prtiulier, f = Stb = τ τ Z/p e Z = p e. D près le théorème des bergers, on don Ainsi, si n= p e p e n n, on SL 2 (Z/nZ) = SL2 Z/p e Z =p 3e p 2. n i= e p i 3 i n pi 2 = n 3 p 2. i= i 2. Il n y ps grnd hose à démontrer : Le morphisme dét : GL 2 (Z/nZ) (Z/nZ) pr définition SL 2 (Z/nZ) omme noyu. Le morphisme est surjetif r, si d (Z/nZ), M=dig(,d) GL 2 (Z/nZ) et détm=d. De fit, si M GL 2 (Z/nZ), on peut poser d= détm. On lors dét Mdig(,d) =, e qui implique que Mdig(,d) SL 2 (Z/nZ) et don que M SL 2 (Z/nZ)G n. On remrque d illeurs que el démontre que GL 2 (Z/nZ) est isomorphe à un produit semidiret SL 2 (Z/nZ) (Z/nZ). Exerie 5. On v démontrer qu il est très rre que l rédution GL 2 (Z) GL 2 (Z/nZ) soit surjetive, r Z/nZ beuoup trop d inversibles pr rpport à Z. Lemme. L rédution GL 2 (Z) GL 2 (Z/nZ) est surjetive si et seulement si l rédution modulo n induit un morphisme surjetif Z ={±} (Z/nZ). Preuve. Supposons l rédution p : GL 2 (Z) GL 2 (Z/nZ) surjetive. En prtiulier, si u (Z/nZ), il doit exister A GL 2 (Z) tel que p(m)= dig(,u). Cel entrîne que détp(m) n = u et don que u soit l imge d un inversible de Z. Réiproquement, supposons que tout inversible de Z/nZ soit l imge d un inversible de Z modulo n. Alors toute mtrie dig(,u) GL 2 (Z/nZ) est dns l imge de p. Celle-i ontient don à l fois le sous-groupe G n de l exerie préédent et SL 2 (Z/nZ) (à use du ours). D près l exerie préédent, on don im f= GL 2 (Z/nZ). Il reste don à déterminer les n 2 tels que{±} se surjete sur(z/nz). Cel entrîneϕ(n)= (Z/nZ) 2, est-à-dire que n {2,3,4,6}. Réiproquement, dns es qutre s, les rres inversibles de Z/nZ sont bien les imges de±. L rédution GL 2 (Z) GL 2 (Z/nZ) est don surjetive si et seulement si n {2,3,4,6}.