TS ROC Année 2014/2015

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1 TS ROC Aée 214/215 Commetires : - Les ROC mrquées d u fot prtie des cpcités ttedues et sot doc eigibles. - Les ROC mrquées sot difficiles. - Lorsqu ue ROC est ccompgée de questios, il fut se lisser guider pr ces questios. - Lorsqu ue ROC est déjà tombée u bc, ceci est idiqué I SUITES ROC 1 (u progrmme) Soit u et v deu suites telles que u v à prtir d u certi rg Si lim u lors lim v. Si lim v lors lim u. Soit u ue suite O dit que l suite u ted vers lorsque tout itervlle de l forme A; cotiet tous les termes de l suite à prtir d u certi rg. Questio Soit u et v deu suites telles que u v à prtir d u certi rg et lim u. Démotrer que lim v. Solutio Soit I u itervlle de l forme A ;. Comme lim u lors, pr défiitio, I cotiet tous les termes de l suite u à prtir d u certi rg 1. De plus u v à prtir d u certi rg 2. Posos m 1 ; 2 lors pour tout etier turel, o u I c est à dire A u et u v doc A v. Doc l itervlle I cotiet tous les termes de l suite v à prtir d u certi rg doc lim v. ROC 2 (u progrmme) Si l suite u est croisste et coverge vers u réel L lors, pour tout etier turel, u L. Soit u ue suite O dit que l suite u coverge vers u réel L lorsque tout itervlle ouvert cotet L cotiet tous les termes de l suite à prtir d u certi rg. Questio Soit u ue suite croisste qui coverge vers u réel L. Démotrer que pour tout etier turel, u L. Solutio O risoe pr l bsurde. O suppose qu il eiste u etier turel tel que u L. Comme l suite u est croisste lors, pour tout etier turel, o u u ce qui est cotredit le fit que l itervlle ouvert ; u qui cotiet L, doit coteir tous les termes de l suite u à prtir d u certi rg. 1

2 ROC 3 (u progrmme et vue u bc Lib - Mi 28 et Polésie - Jui 25) Toute suite croisste o mjorée pour limite Soit u ue suite O dit que l suite u ted vers lorsque tout itervlle de l forme A; cotiet tous les termes de l suite à prtir d u certi rg. Questio Démotrer qu ue suite croisste o mjorée ted vers Solutio Soit u ue suite croisste o mjorée et soit I u itervlle de l forme A ; vec A réel. Comme u est ps mjorée lors u est ps mjorée pr A doc il eiste u etier turel tel que u A. Comme l suite u est croisste lors pour tout etier, o u u doc u A. L itervlle I cotiet doc tous les termes de l suite u à prtir du rg. Doc lim u. ROC 4 (u progrmme) (Iéglité de Beroulli) Pour tout réel strictemet positif, pour tout etier turel, 1 1. Preuve Soit u réel strictemet positif. Démotros pr récurrece que l propriété P : "1 1 " est vrie pour tout etier turel. Iitilistio : 1 1 et 1 1 doc P est vrie. Hérédité : Soit u etier turel quelcoque fié. Supposos que P est vrie c est à dire 1 1 (hpothèse de récurrece). E multiplit pr 1, doc e développt, Or 2 doc Pr coséquet, doc l propriété P 1 est vrie. Coclusio : L propriété P est vrie u rg et est héréditire doc elle est vrie pour tout etier turel ROC 5 (u progrmme) L suite q vec q 1 pour limite 1) Iéglité de Beroulli. 2) de compriso. Questio Démotrer que l suite q vec q 1 pour limite Solutio Comme q 1 lors il eiste u réel strictemet positif tel que q 1. O doc, pour tout etier turel, q 1. D près l iéglité de Beroulli, pour tout etier turel, 1 1 doc q 1. Or, comme lors lim1 doc, pr compriso, lim q. 2

3 II Probbilités coditioelles ROC 1 (u progrmme et vue u bc Cetres étrgers - Jui 29 et Nouvelle Clédoie - Novembre 25 (ss préreq Soiet A et B deu évèemets d u même uivers et P ue probbilité sur. Si A et B sot idépedts pour l probbilité P lors il e est de même pour A et B. O rppelle que deu évèemets A et B sot idépedts pour l probbilité P si et seulemet si : PA B PA PB. Questio Soiet A et B deu évèemets ssociés à ue epériece létoire 1) Démotrer que PB PB A P B A. 2) Démotrer que, si les évèemets A et B sot idépedts pour l probbilité P, lors les évèemets A et B le sot églemet. Solutio 1) A A (uivers) Les évèemets B A et B A sot icomptibles et leur réuio est B doc PB PB A P B A 2) Soit A et B deu évèemet idépedts. p B A PB PB A PB PB PA PB1 PA PB P A Doc les évèemets A et B sot églemet idépedts. III Dérivées et primitives ROC 1 (vue u bc Métropole - Septembre 27) Questio Soit u ue foctio dérivble sur u itervlle I et \1 Démotrer que u est dérivble sur I et u u u 1 Solutio Soit u ue foctio dérivble sur u itervlle I. Motros pr récurrece que : \1 u u 1 u Iitilistio : u 2 u u u u u u 2u 21 u doc R 2 est vrie. Hérédité : Propriété R Soit p \1 quelcoque fié, supposos que R p est vrie, c est-à dire que u p pu p1 u [Motros que, sous cette hpothèse, R p1 est vrie, c est-à dire que u p1 p 1u p u E effet : u p1 Coclusio u p u u p u u p u pu p1 u u u p u pu p u u p u p 1u p u pr dérivée d u produit d près l hpothèse de récurrece, L propriété est vrie u rg 2 et héréditire doc R est vrie pour tout \1: O motré que \1 u u 1 u 3

4 IV Complees (prtie 1) ROC 1 (vue u bc Métropole - Jui 21 et Jui 214 Soit z u ombre complee tel que z ib où et b sot deu ombres réels. O ote z, le ombre complee défii pr z ib Questios 1) Démotrer que, pour tous ombres complees z et z, z z z z 2) Démotrer que, pour tout etier turel o ul, et tout ombre complee z, z z Solutio 1) z ib et z ib où, b, et b sot des ombres réels. D ue prt z z ib ib bb i b b doc z z D utre prt z z D où z z z z 2) Soit z Motros pr récurrece que : ib ib bb i b b z z bb i b b Propriété R Iitilistio : ib 1 ib ib 1 doc R 1 est vrie Hérédité : Soit p quelcoque fié,supposos que R p est vrie, c est-à dire que z p z p. [Motros que, sous cette hpothèse, R p1 est vrie, c est-à dire que z p1 z p1 E effet : z p1 z p z z p z (d prés l propriété sur le cojugué d u produit) p z z (d près l hpothèse de récurrece) z p1 Coclusio : L propriété est vrie u rg 1 et héréditire doc R est vrie pour tout. O motré que z z ROC 2 (vue u bc Cetres étrgers - Jui 27 Questios 1) Démotrer qu u ombre complee est imgiire pur si et seulemet si z z 2) Démotrer qu u ombre complee est réel si et seulemet si z z Solutio O pose z ib où et b sot deu ombres réels. 1) z z ib ib 2 z est imgiire pur 4

5 2) z z ib ib 2ib b z est réel VII Foctio epoetielle ROC 1 (u progrmme) Questios Il eiste ue uique foctio dérivble sur égle à s dérivée et qui vut 1 e. O dmet l eistece d ue telle foctio. Motros l uicité. 1) Soit f ue foctio défiie et dérivble sur égle à s dérivée et qui vut 1 e. O cosidère l foctio h défiie sur pr h f f. ) Motrer que h est ue foctio costte. (O détermier s vleur) b) E déduire que f e s ule ps sur 2) Soit f et g deu foctios défiies et dérivbles sur égles à leur dérivée et qui vllet 1 e. O cosidère l foctio k défiie sur pr k f g. ) Motrer que k est ue foctio costte. (O détermier s vleur) b) E déduire que f et g sot égles. c) Coclure Solutio 1) ) h est dérivble sur comme composée et produit de foctios dérivbles. : h f f f f h ff ff cr f f h Comme, h est ulle sur lors h est costte sur. Or h f f 1 Doc,, h 1 b), h 1 c est à dire f f 1 doc f 2) ) k est dérivble sur comme composée et produit de foctios dérivbles. : k f g f g k f g f g cr f f et g g k Comme k est ulle sur lors k est costte sur. Or k f g 1 Doc,, k 1 b) : k 1 f g 1 f f g f (e multiplit pr f ) g f (cr f f 1 Doc f et g sot égles c) O démotré l uicité d ue foctio dérivble sur égle à s dérivée et qui vut 1 e. 5

6 ROC 2 (u progrmme) lim e 1) L foctio epoetielle est dérivble sur et s dérivée est elle-même 2) e 1 3) s de compriso Questios O cosidère l foctio f défiie sur pr f e 1) Etudier les vritios de f sur 2) E déduire que pour tout, e 1 3) E déduire que lim e Solutio 1) f est dérivble sur comme différece de foctios dérivbles. : f e 1. f e 1 sige de vritios de 1 2), f 1 doc e 1. 3) Or lim 1 doc, pr compriso, lim e ROC 3 (u progrmme) lim e (ss l) lim e Questio Motrer que lim e Solutio, o e 1 e lim lim X ex doc, pr limite de composée, lim e doc, pr limite d iverse, lim e VIII Complees (prtie 2) ROC 1 (vue u bc Cetres étrgers - Jui 27 Questios Démotrer que pour tout ombre complee z, o l églité : z z z 2 Solutio O pose z ib où et b sot deu ombres réels. z z ib ib 2 i 2 b 2 2 b 2 z 2 6

7 ROC 2 (vue u bc Amérique du Nord - Jui 26 et Podichér - Avril 212 Le module d u ombre complee z quecoque oté z vérifie z 2 z z où z est le cojugué de z. Questios Démotrer que : 1) Pour tous ombres complees z 1 et z 2, z 1 z 2 z 1 z 2 2) Pour tout ombre complee z o ul, 1 z 1 z Solutio 1) Pour tous ombres complees z 1 et z 2 : z 1 z 2 2 z 1 z 2 z 1 z 2 z 1 z 2 z 1 z 2 z 1 2 z 2 2 doc z 1 z 2 z 1 z 2 2) Pour tout ombre complee z o ul : z 1 z z 1 z 1 1 doc 1 z 1 z ROC 3 (vue u bc Asie - Jui 26 et Lib - Mi 211 O sit que si z et z sot deu ombres complees o uls, lors rgzz rgz rgz 2 Questio Soiet z et z sot deu ombres complees o uls. Démotrer que rg Solutio rgz rg z z rg z rgz doc rg z z z z z z rgz rgz 2 rgz rgz 2 ROC 4 (vue u bc Cetres étrgers - Jui 26 1) Si z est u ombre complee o ul, o l ééquivlece suivte : z r rgz 2 z rcos isi r 2) Pour tous ombres réels et b : cos b coscosb sisib si b sicosb sibcos Questio Soiet z et z sot deu ombres complees o uls. Démotrer que zz z z et rgzz rgz rgz 2 Solutio O écrit z et z sous forme trigoométrique : z z cos isi et z z cos isi où désige u rgumet de z et u rgumet de z. O doc : zz z z cos isi cos isi zz z z coscos sisi i cossi cos si Or coscos sisi cos et cossi cos si si O e déduit que zz z z cos isi O recoît l forme trigoométrique de zz vec : d ue prt : zz z z d utre prt : rgzz 2 c est à dire rgzz rgz rgz 2 7

8 ROC 5 (vue u bc L Réuio - Jui 21 Questio Le pl complee est mui d u repère orthoorml direct O; u; v Soiet A,B et C trois poits du pl d ffies respectives, b et c. O suppose que A et B sot disticts, isi que A et C. O rppelle que mes u,ab rgb 2 Démotrer que mes AB,AC rg c b Solutio rg c b 2 rgc rgb 2 (d près l propriété sur l rgumet d u quotiet) mes u,ac mes u,ab 2 mes u,ac mes AB, u 2 mes AB,AC 2 (d près l reltio de Chsles sur les gles orietés de vecteurs) ROC 6 (vue u bc Amérique du Sud - Novembre 26 Questio Le pl complee est mui d u repère orthoorml direct O; u; v O rppelle que pour tout vecteur w o ul d ffie z o z w. Soiet M, N et P trois poits du pl, d ffies respectives m, et p tels que m. Iterpréter géométriquemet le ombre p m m Solutio p m m p m m MP MN MP MN IX Itégrtio ROC 1 (u progrmme) (d près l propriété sur le module d u quotiet) Soit f ue foctio cotiue et positive sur u itervlle ; b (vec b) L foctio F défiie sur ; b pr F ftdt est dérivble sur et s dérivée est f. Preuve ds le cs où f est croisste et positive. Soit F et f deu foctios défiies sur u itervlle ; b et ; b F F F f sigifie que lim f ; b 8

9 Questio Soit f ue foctio cotiue, positive et croisste sur ; b. Soit F l foctio défiie sur ; b pr F ftdt. O veut motrer que l foctio F est dérivble sur ; b et pour dérivée f. Soit ; b. 1) Motrer que, pour tout réel de l itervlle ; b vec, o F F ftdt 2) ) O suppose. Motrer que f F F f O dmet que si lors f F F f b) Détermier l limite de F F lorsque ted vers 3) Coclure. Solutio 1) Pour : 2) ) Supposos que f est croisste sur I doc : F F F F F F ftdt ftdt ftdt ftdt ftdt ftdt F F ftdt d près l reltio de Chsles t,, f ft f d près l iéglité de l moee t,, f ftdt f or ftdt t,, f f d près l questio 1 t,, f F F f b) O dmet que si lors f F F f Comme f est cotiue e lors lim f f D près le théorème des gedrmes : c) O doc démotré que lim ; b lim F F ; b F f Doc F est dérivble sur ; b et pour dérivée f. f F F f c est à dire que 9

10 ROC 2 (u progrmme) Toute foctio cotiue sur u itervlle dmet des primitives Preuve ds le cs où l itervlle est fermé boré. 1) Si f est ue foctio cotiue et positive ; b, l foctio F défiie sur ; b pr F ftdt est dérivble sur ; b et pour dérivée f. 2) Toute foctio cotiue sur u itervlle fermé boré ; b dmet u miimum. Questio Soit f ue foctio cotiue sur u itervlle fermé boré ; b. Motrer que f des primitives sur ; b. Solutio Comme f est cotiue sur u itervlle fermé boré ; b lors f dmet u miimum m sur ; b. O cosidère l foctio g défiie sur ; b pr g f m. Comme l foctio g est cotiue et positive sur ; b lors l foctio G défiie sur ; b pr G gtdt est dérivble sur ; b et pour dérivée g. Alors l foctio F défiie sur ; b pr F G m (m ) est dérivble sur ; b et F G m g m f. Doc F est ue primitive de f. Doc l foctio f bie des primitives sur ; b. (Toutes les foctios de l forme F k vec k ) ROC 3 (u progrmme) Soit f ue foctio cotiue et positive sur u itervlle ; b (vec b) et F ue primitive de f sur ; b lors b ftdt Fb F Si f est ue foctio cotiue et positive ; b, l foctio G défiie sur ; b pr G ftdt est dérivble sur ; b et pour dérivée f. Questio Soit f ue foctio cotiue et positive sur ; b et F ue primitive de f sur ; b. Motrer que b ftdt Fb F. Solutio F et G sot deu primitives de f sur ; b doc, il eiste u réel k tel que, pour tout réel de ; b, o F G k ftdt k. O lors Fb F b ftdt k ftdt k b ftdt. 1

11 ROC 4 (vue u bc Podichér - Avril 21, Amérique N - Jui 29, Polésie - Jui 28 et Atilles Gue - Jui 27) Soiet et b deu réels tels que b et f et g deu foctios cotiues sur l itervlle Si f sur ; b lors b ftdt Pour tous réels et, Questio b ft gtdt b b ftdt gtdt Démotrer que si f et g sot deu foctios cotiues sur u itervlle ; b (vec b) et si pour tout t ;b, ft gt lors b ftdt b gtdt ; b Solutio Pour tout t ; b, ft gt doc gt ft. De plus l foctio g f est cotiue sur l itervlle ; b lors, d près le pré-requis (positivité de l itégrle), b gt ftdt. b b b Or, d près le pré-requis (liérité de l itégrle), gt ftdt gtdt ftdt. b b b b O e déduit doc gtdt ftdt doc ftdt gtdt X Lois à desité ROC 1 (u progrmme et vue u bc Métropole - Jui 28 et Podichér - Avril 214) Soit T ue vrible létoire qui suit ue loi epoetielle de prmètre où est u réel strictemet positif. Alors t,h, P Tt T t h pt h Soit T ue vrible létoire qui suit ue loi epoetielle de prmètre où est u réel strictemet positif. O rppelle que pour tout t, PT t e d Questios t Soit l foctio R défiie sur l itervlle ; pr Rt PT t 1) Démotrer que pour tout t o Rt e t. 2) Démotrer que l vrible T suit ue loi de durée de vie ss vieillissemet, c est-à-dire que pour tous réels t et h positifs, P Tt T t h PT h Solutio 1) Rt PT t 1 PT t 1 PT t 1 e d 1 e t 1 e t 1 e t 2) Pour tous réels t et h positifs, PT t T t h P Tt T t h PT t t PT t h PT t eth e t e h PT h ROC 2 (u progrmme) L espérce d ue vrible létoire suivt ue loi epoetielle de prmètre où est u réel strictemet positif est 1 11

12 L espérce d ue vrible létoire suivt ue loi epoetielle est défiie pr EX lim Questios te t dt. 1) Motrer que l foctio F défiie sur ; pr Ft t 1 et est ue primitive sur ; de l foctio f défiie pr ft te t 2) Motrer que l espérce d ue vrible létoire suivt ue loi epoetielle de prmètre où est u réel strictemet positif est 1 Solutio 1) F est dérivble sur ; comme somme, produit et composée de foctios dérivbles. F t e t t 1 et te t ft doc F est ue primitive de f sur ;. 2) Soit X ue vrible létoire suivt ue loi epoetielle de prmètre. EX lim te t dt. Or te t t 1 et 1 1 e 1 e e. O lim lim Xe X (pr croissce comprée) X doc, pr limite de somme et de quotiet, EX 1. doc, pr limite de composée, lim e et lim e XI Logrithme épérie ROC 1 (vue u bc Atilles Gue - Septembre 21 (vec ep) 1) ep et l sot des foctios réciproques l ue de l utre 2) L foctio l est dérivble sur ; 3) Soit u ue foctio dérivble sur u itervlle I. Alors e u est dérivble sur I et e u u e u Questio Motrer que pour tout Solutio ;, e l ;, o l 1 E dérivt chque membre de l églité, o ;, l e l 1 c est à dire l 1 (cr ) ROC 2 (vue u bc Atilles Gue Jui 26 (ss ep) 1) L foctio logrithme épérie est dérivble sur ; et s foctio dérivée est l foctio iverse 1 2) l1 3) Soit u ue foctio dérivble et strictemet positive sur u itervlle I. Alors lu est dérivble sur I et lu u u Questio Motrer que pour tous réels strictemet positifs et, l l l Solutio Soit u réel strictemet positif quelcoque fié. O cosidère l foctio f défiie sur ; pr f l l f est dérivble sur ; comme composée et somme de foctios dérivbles. 12

13 ; : f 1 Doc f est ue foctio costte sur ; Or f1 l l1 l doc ;, f l c est à dire l l l. ROC 3 (vue u bc Atilles Gue Jui 26 et L Réuio - Jui 27 Pour tous réels strictemet positifs et b, lb l lb Questios Motrer que pour tous réels strictemet positifs et b et pour tout etier reltif : 1) l 1 b lb 2) l l lb b 3) l l 4) l 1 2 l Solutio 1) l 1 b lb l 1 b b l1 doc l 1 b lb 2) l b l 1 b l l 1 b l lb 3) Motros pr récurrece que : l l Propriété R Iitilistio : l l1 et l Doc P est vrie. Hérédité : Soit p quelcoque fié. Supposos que R p est vrie c est à dire que l p pl (hpothèse de récurrece). Démotros que, sous cette hpothèse R p1 est vrie c est à dire que l p1 p 1l. E effet : l p1 l p l p l pl l p 1l Coclusio : L propriété est vrie u rg et est héréditire doc elle est vrie pour tout. Si est u etier strictemet égtif : l l 1 l l l 4) l l 2 2l doc l 1 2 l ROC 4 (vue u bc Amérique du Sud - Novembre 28 (ss ep) 1) O rppelle que l foctio l est défiie et dérivble sur ;, positive sur 1 ;, et vérifie : l1 pour tous réels strictemet positifs et, l l l ;, l 1 l2,69 à 1 2 près 2) des gedrmes Questios O cosidère l foctio f défiie sur ; pr f l. 1) Étudier les vritios de f et e déduire que f dmet u miimum sur ;. 2) E déduire le sige de f puis que, pour tout 1, l. 3) E déduire que lim l. 13

14 Solutio 1) f est dérivble sur ; cr somme de foctios dérivbles. ;, f Or et 2 4 D où le tbleu de vritio : 4 sige def vritio def 2 2l2 Doc f pour miimum 2 2l2 sur ; 2) Or 2 2l2,6 doc d près le tbleu de vritio de f : ;, f c est à dire l. 1, l doc, e divist pr, o l 3) 1. Or lim 1 doc, d près le théorème des gedrmes, lim l ROC 5 (vue u bc Cetres Etrgers - Jui 28, Asie - Jui 27 - Amérique du Nord - Mi 212 (vec ep) 1) ep et l sot des foctios réciproques l ue de l utre 2) lim e Questio l Motrer que lim Solutio ;, o l lim l lim X l e l e X X doc, pr limite de composée, lim e l l XII Géométrie ds l espce ROC 1 (u progrmme) du toit l doc, pr limite d iverse, lim Lorsqu u pl P 1 cotet ue droite d 1 est séct à u pl P 2 cotet ue droite d 2 prllèle à d 1 lors l droite d itersectio de ces deu pls est prllèle à d 1 et à d 2 Preuve Soit u u vecteur directeur de d 1 et d 2 et w u vecteur directeur de Soit u, v 1 u couple de vecteurs directeurs du pl P 1. Comme l droite est icluse ds P 1 lors les vecteurs w, u et v 1 sot coplires doc il eiste u couple de réels 1 ; 1 tels que w 1 u 1 v 1. Soit u, v 2 u couple de vecteurs directeurs du pl P 2. Comme l droite est icluse ds P 2 lors les vecteurs w, u et v 2 sot coplires doc il eiste u couple de réels 2 ; 2 tels que w 2 u 2 v 2. O doc 1 u 1 v 1 2 u 2 v 2 soit 1 2 u 1 v 1 2 v 2 Supposos que 1 2 lors u 1 1 v v 2 doc les vecteurs u, v 1 et v 2 sot coplires ce qui 2 est impossible cr les pls P 1 et P 2 sot sécts. Doc 1 2 doc 1 v 1 2 v 2 Supposos que 1 lors v v 2 doc les vecteurs v 1 et v 2 sot coliéires ce qui est impossible cr les pls P 1 et P 2 sot sécts. Doc 1. O e coclut que w 1 u doc les vecteurs u et w sot coliéires doc l droite est prllèle à d 1 et à d 2 14

15 XIII Loi ormle ROC 1 (u progrmme - vue u bc Nouvelle Clédoie - mrs 214) Questios Si X ue vrible létoire qui suit ue loi ormle N,1 lors pour tout réel ; 1, il eiste u uique réel positif u tel que Pu X u 1 Soit f l foctio défiie sur l esemble des ombres réels pr Soit H l foctio défiie et dérivble sur ; pr ft 1 2 e t2 2. H P X ftdt. 1) Que représete l foctio f pour l loi ormle cetrée réduite? 2) Préciser H et l limite de H qud ted vers. 3) A l ide de cosidértios grphiques, motrer que pour tout ombre réel positif, H 2 ftdt. 4) E déduire que l dérivée H de l foctio H sur ; est l foctio 2f et dresser le tbleu de vritios de H sur ;. 5) Démotrer lors le théorème éocé. Solutio 1) f est l desité de probbilité de l loi ormle N,1 2) H fudu lim H lim bscisses. Doc lim H lim ftdt qui correspod à l ire (e uités d ire) du domie situé etre l courbe et l e des t t t fudu 1 (c est l probbilité d u évèemet certi). 3) D près l reltio de Chsles,, H ftdt ftdt ftdt. Pour tout réel, f est cotiue et positive sur, vec et sur, doc ftdt et ftdt sot les ires des domies hchurées sur l figure ci-dessous. De plus l foctio f est pire doc ces deu ires sot égles. Doc H ftdt ftdt 2 ftdt 4) Comme f est cotiue sur lors, d près le cours, l foctio ftdt est ue primitive de f sur doc H est ue primitive de 2f sur doc H est dérivble sur et, H 2f., f doc H doc H est strictemet croisste sur. D près les résultts de l questio 1), ous obteos lors le tbleu de vritios suivt : Vritios de H 1 5) Sur, H est cotiue (cr dérivble) et strictemet croisste à vleurs sur,1. Or pour tout réel tel que ;1, le réel 1 ; 1 doc d près le corollire du théorème des vleurs itermédiires, il eiste u uique réel positif u tel que Gu 1, c est-à-dire Pu X u. 15

16 ROC 2 (u progrmme) L espérce d ue vrible létoire X qui suit ue loi ormle N,1 est EX Soit X ue vrible létoire suivt l loi ormle N,1. S desité de probbilité f est l foctio défiie sur pr f 1 2 So espérce EX est défiie pr EX lim Questios tftdt lim Soit X ue vrible létoire suivt l loi ormle N,1. O ote f s desité de probbilité et EX so espérce. 1) Pour tout réel, détermier tftdt. 2) E déduire lim Solutio 1) Pour tout réel, tftdt tftdt puis que EX. tftdt 1 te t2 2 dt ) Pr coséquet, lim De même, tftdt 1 2 De plus, EX lim 1 2 tftdt te t2 2 dt. Pr liérité de l itégrle, e t2 2 tftdt lim e doc lim tftdt lim 1 e 2 2 e e 2 2. Or lim e 2 2, doc lim 1 2 tftdt 1 2 tftdt. Doc EX e XIV Produit sclire ROC 1 (u progrmme et vue u bc Nouvelle Clédoie - Mrs 27) Questio L espce est mui d u repère orthoorml O, i, j, k Etblir ue équtio crtésiee d u pl P dot o coît u vecteur orml, b, c et u poit M,, z Solutio M,, z P M M b cz z b cz b cz Doc P pour équtio crtésiee b cz b cz 16

17 ROC 2 (u progrmme et vue u bc Atilles Gue - septembre 213) Preuve Ue droite est orthogole à toute droite du pl si et seulemet si elle est orthogole à deu droites séctes de ce pl Si ue droite est orthogole à toute droite du pl, elle est e prticulier orthogole à deu droites séctes de ce pl. Réciproquemet, soit ue droite est orthogole à deu droites séctes D 1 et D 2 du pl P. Notos u, v 1 et v 2 les vecteurs directeurs respectifs des droites, D 1 et D 2. Comme l droite est orthogole à D 1 et D 2 lors u v 1 u v 2. Comme les droites D 1 et D 2 sot séctes lors les vecteurs v 1 et v 2 sot o coliéires. Soit D ue droite du pl P de vecteur directeur w lors il eiste deu réels et b tels que w v 1 bv 2. Doc u w u v 1 bu v 2 doc les droites et D sot orthogoles. Doc est orthogole à toutes les droites du pl. ROC 3 (vue u bc Métropole - Septembre 211) Questio L espce est mui d u repère orthoorml O, i, j, k O désige pr, b, c, d qutre réels tels que le vecteur i b j ck soit différet du vecteur ul. O ppelle P le pl d équtio b cz d. Démotrer que le vecteur est u vecteur orml u pl P, c est-à-dire que le vecteur est orthogol à tout vecteur AB où A et B sot deu poits quelcoques du pl P. Solutio Soiet A et B deu poits quelcoques du pl P. Notos A ; A ; z A et B ; B ; z B les coordoées respectives des poits A et B. AB B A b B A cz B z A B b B cz B A b A cz A. Or A et B sot deu poits du pl P doc B b B cz B d et A b A cz A d Doc AB d d Doc le vecteur est orthogol à tout vecteur AB doc le vecteur est u vecteur orml u pl P. XVI Itervlle de fluctutio et estimtio ROC 1 (u progrmme) est u etier turel o ul et p est u réel de l itervlle ; 1. X est ue vrible létoire qui suit l loi biomile de prmètres et p. F est l vrible létoire défiie pr F X Pour tout réel de l itervlle ; 1, lim P I désige l itervlle p u p1 p X I 1 où ; p u p1 p I est doc u itervlle de fluctutio smptotique de l vrible létoire F u seuil de 1 1) Soit Z ue vrible létoire qui suit l loi ormle cetrée réduite N ; 1. Alors, pour tout ds ;1, il eiste u uique réel positif u tel que Pu Z u 1. 2) de Moivre-Lplce : Soit X ue vribe létoire qui suit l loi biomile de prmètres et p et Z l 17

18 X vrible létoire défiie pr Z p. Alors, pour tous ombres réels et b tels que b, o p1 p lim P Z b P Z b où Z suit l loi ormle cetrée réduite. Questio Soit X ue vrible létoire suivt l loi biomile de prmètres et p. X 1) Soit l vrible létoire Z p. Détermier lim p1 p Pu Z u, où u désige l uique réel tel que Pu Z u 1. 2) Détermier deu réels et b (dépedt de p, u et ) tels que Pu Z u P X b. 3) E déduire que lim P Solutio 1) Soit l vrible létoire Z X I 1 où I désige l itervlle p u p1 p X p p1 p D près le théorème de Moivre-Lplce lim Pu Z u Pu Z u 1. 2) Pu Z u P u Pu Z u P u p1 p X p Pu Z u P p u p1 p 3) lim P p1 p u P u p1 p X p X p u p1 p X X I lim P p u p1 p p u X p1 p p u p1 p u ; p u p1 p p1 p Pu Z u 1.. ROC 2 (u progrmme) est u etier turel o ul et p est u réel de l itervlle ; 1. X est ue vrible létoire qui suit l loi biomile de prmètres et p. p ; 1 F est l vrible létoire défiie pr F X Il eiste u etier tel que, pour tout etier turel, PF J,95 où J désige l itervlle J p 1 ; p 1 1) Soit Z ue vrible létoire qui suit l loi ormle cetrée réduite N ; 1. Alors, pour tout ds ;1, il eiste u uique réel positif u tel que Pu Z u 1. 2) Soit X ue vrible létoire suivt l loi biomile de prmètres et p. Pour tout réel de l itervlle p u p1 p ; p u p1 p ; 1, lim P 3) Défiitio de l limite fiie e l ifii d ue suite. Questios. X I 1 où I désige l itervlle Soit X ue vrible létoire suivt l loi biomile de prmètres et p et F X. p1 p p1 p 1) Motrer que lim P p 2 F p 2,9544 2) Motrer que, pour tout réel p ; 1, p1 p

19 2 p1 p 3) E déduire que p ; p 2 p1 p p 1 ; p 1 4) Déduire des questios 2) et 4) que lim P p 1 F p 1 Solutio 1) E pret u 2, o : lim P p 2 p1 p F p 2 D près l clcultrice P2 Z 2,9544 doc lim P p 2 2) O cosidère l foctio f défiie sur ; 1 pr fp p1 p. p1 p p1 p,95 P2 Z 2 F p 2 p1 p,9544 p p1 p est dérivble et strictemet positive sur ; 1 doc f est dérivble sur ; 1 comme composée de foctios dérivbles. p ; 1, f 2p 1 p 2 p1 p p ; 1, 2 p1 p doc f p est du sige de 2p sige de f p 1 2 vritios de f p ; 1, p1 p p1 p 3) O e déduit lors que 1 et pr coséquet, 2 p1 p 2 p1 p p ; p p 1 ; p 1. 4) D près l questio 4), p P p 1 F p 1 P D près l questio 1), lim P p 2 2 p1 p p ; p 2 p1 p p1 p 2 p1 p F p F p 2 p 1 ; p 1 2 p1 p p1 p suite, il eiste u etier tel que pour tout : p1 p p1 p P p 2 F p 2,95 ;. Doc, pour tout,.. Doc,9544. Pr défiitio de l limite d ue P p 1 F p 1,95 ROC 3 (vue u bc Atilles Gue - Jui 213) Questios Soiet u etier turel, p u ombre réel compris etre et 1, et X ue vrible létoire suivt ue loi biomile de prmètres et p. O ote F X et f ue vleur prise pr F. O rppelle que, pour ssez grd, l itervlle p 1 ; p 1 cotiet l fréquece f vec ue probbilité u mois égle à, 95. E déduire que l itervlle f 1 ; f 1 cotiet p vec ue probbilité u mois égle à,

20 Solutio f p 1 ; p 1 p 1 f et f p 1 p f 1 et f 1 p p f 1 ; f 1 Doc P p f 1 ; f 1 P f p 1 ; p 1. Or P f p 1 ; p 1,95 doc P p f 1 ; f 1,95 2