Mascaret du Mont Saint-Michel

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1 Eamen Hydraulique a surface libre O. Tual, mars Avertissement : Aucun document autorise. Dure e : 4. EXERCICE. Mascaret du Mont Saint-Micel Lorsque le coefficient de la mare e est suffisamment fort (vives-eau), on observe, dans la baie du Mont Saint-Micel, un mascaret qui remonte la rivie re du Couesnon. On mode lise cette rivie re par un canal sans pente a section rectangulaire de largeur L = m conside re e comme grande devant la profondeur. On suppose que = 4 cm et Q = m /s sont respectivement la auteur et le de bit de cette rivie re a mare e basse. On prendra g = 9.8 m /s pour le camp de gravite. ) Calculer, a mare e basse, le de bit line ique q = Q /L et la vitesse U. L e coulement est-il fluvial ou torrentiel? z O W U U Figure Mascaret de grande mare e remontant la rivie re du Couesnon. ) On note respectivement et U la auteur et la vitesse de l e coulement a l aval d un mascaret qui remonte la rivie re avec une vitesse W ne gative. E crire les relations de saut qui relient, U,, U et W. En de duire que I(qW, ) = I(qW, ) ou qw = (U W ) et I(q, ) = q / + g / est la fonction impulsion. ) Avec un cronome tre, on mesure la vitesse de propagation W =. m/s. En de duire, a l aide de l abaque de la figure, la auteur et la vitesse U de l e coulement de mare e aute situe a droite du mascaret. 6 4 I Figure Fonction impulsion I(q, ). Unite s de en m. Intervalle entre les iso-q de. m /s.

2 Eamen Hydraulique à surface libre O. Tual, mars PROBLÈME. Ressauts ydrauliques dans un canal On considère un canal vitré, de largeur L = cm, compris entre deu vannes situées en = et = d avec d = m. Le canal possède une légère pente I qui permet d éviter que l eau ne stagne après une vidange complète. On note Q le débit d eau circulant dans le canal dans le sens des positifs et l on suppose que le régime de la pompe qui l alimente est réglé pour obtenir un débit Q pouvant aller jusqu à environ Q ma = l s. On suppose que la auteur et la vitesse moyenne U dans le canal obéissent au équations de Saint Venant t + ( U) = et U t + U U + g = g I C U U f avec C f = g Ks, () / où g est la gravité, I = sin γ la pente, g = g cos γ et K s est le nombre de Strickler supposé constant dans le canal. On note q = U le débit linéique. On pourra approimer g par g et prendre g = m s pour simplifier les calculs. z D L U R D R R U L L W c (t) d Figure Ressaut instationnaire observé dans un canal vitré. En actionnant les vannes amont et aval, on suppose que l on est capable de générer un ressaut stationnaire ou instationnaire en un point respectivement fie c ], d[ ou mobile c (t) ], d[ (figure ) du canal vitré. On note L et R les auteurs d eau respectivement mesurées à gauce et à droite du ressaut et l on suppose R > L. On note U L et U R les vitesses de la couce fluide respectivement à gauce et à droite du ressaut et W = ẋ c (t) la vitesse du ressaut lorsqu il est mobile. Des tubes de Pitot, petits tuyau ouverts dont une etrémité fait face à l écoulement (figure ), permettent de mesurer les auteurs D L et D R et donc la perte de carge singulière H = D L D R à travers le ressaut. Caractéristiques sans pente ni frottement Dans un premier temps, on néglige la pente et le frottement. ) Écrire les relations de saut traduisant la conservation de la masse et de la quantité de mouvement à travers le ressaut. ) Montrer que dans le cas particulier W =, on a I(q, L ) = I(q, R ) où I est la fonction impulsion I(q, ) = q / + g /. ) On mesure L = cm et R = cm pour un ressaut immobile. En déduire le débit Q en l/s et les vitesses U L et U R en m/s. On pourra se servir de la figure 4. 4) Tracer, dans le plan (, t), les caractéristiques des équations de Saint Venant de part et d autre de ce coc immobile. Indiquer dans un tableau les valeurs numériques des inverses des pentes (en m/s) de cacune des familles des caractéristiques dessinées. ) Dans le cas où W, on définit q W = (U W ). Montrer que l on a I(q W, L ) = I(q W, R ).

3 Eamen Hydraulique à surface libre O. Tual, mars 6) On baisse complètement la vanne aval et on observe, après un transitoire, un écoulement stationnaire de auteur L = cm à sa gauce. On ferme alors brusquement la vanne et on observe un ressaut mobile de vitesse W négative tel que R = 7 cm. En déduire les valeurs de q W, puis de W et enfin de q. 7) Tracer, dans le plan (, t), les caractéristiques des équations de Saint Venant de part et d autre de ce coc mobile. Indiquer dans un tableau les valeurs numériques des inverses des pentes (en m/s) de cacune des familles des caractéristiques dessinées..4.. I Figure 4 Tracé de la fonction I(q, ) = q / + g / (en m s ) en fonction de (en m) pour q variable par pas de. m s. Mise en mouvement d un ressaut immobile On suppose que l on est en présence d un ressaut immobile situé en c = 6 m tel que Q = l/s et L = cm. 8) Déterminer grapiquement R. 9) A t =, on abaisse la vanne aval pour faire passer brusquement la auteur d eau de la valeur R à la valeur f = 8 cm. Calculer le temps T au bout duquel le ressaut devient mobile en négligeant les termes de pente et de frottement. ) Dessiner scématiquement dans ce cas les caractéristiques dans un plan (, t) pour t T. ) Calculer la vitesse U f à gauce de la vanne aval dans les premiers instants qui suivent l abaissement de la vanne.

4 4 Eamen Hydraulique à surface libre O. Tual, mars Perte de carge pour un ressaut stationnaire On s intéresse ici à la famille des ressauts stationnaires (W = ) obtenus pour des débits et des réglages de vannes différents. On mesure alors sa position = c, les auteurs L et R ainsi que la perte de carge H = D L D R à l aide de tubes de Pitot (voir figure ). ) En utilisant les abaques grapiques de la figure 6, indiquer les valeurs manquantes du tableau, pour i =,,...,. Epérience : Q (l/s) q (m. s ) c (m) L (cm) R (cm) I (m. s ) Table Tableau ressauts stationnaires à compléter avec les valeurs...i pour i =,,...,. ) On définit la auteur critique par la relation c = q / g /. À partir des abaques de la figure 6, compléter les valeurs de c dans le tableau. 4) On mesure la carge ydraulique avant et après le ressaut à partir de la auteur du fluide dans des tubes de Pitot. Indiquer les auteurs D L et D R mesurées dans le tableau. Epérience : c (cm) D L (cm) D R (cm) H (cm) L (cm) R (cm) ( R L ) 4 R L (cm) Table Tableau perte de carge des ressauts stationnaires à compléter. ) En déduire les pertes de carge H pour les di epériences du tableau. 6) Vérifier, pour les di cas du tableau, que la formule H = ( R L ) /(4 R L ) est bien vérifiée. Position du ressaut stationnaire dans le canal On s intéresse ici au profils stationnaires () et U(), solutions de l équation (), de part et d autre du ressaut stationnaire. On suppose que U dans tout le canal. 7) Justifier que le débit linéique q = U est constant. Eprimer le nombre de Froude F r() = U()/ g () sous la forme F r = P (/ c ) où P (H) est une fonction que l on eplicitera. 8) Montrer que () est solution de l équation d d = J/( F r ) avec J = q Ks α où α est un coefficient que l on précisera.

5 Eamen Hydraulique à surface libre O. Tual, mars 9) En déduire que d d = F() avec F()/ c = A F (/ c ) où F (H) = H / / ( H ) et A = q 8/9 K α s g α où α et α sont des constantes que l on précisera. ) Tracer scématiquement le grape de la fonction F (H). En déduire l eistence de courbes de remous () croissantes avec, que l on appelera courbes de type H, ainsi que des courbes de type H décroissantes. Tracer scématiquement l allure des courbes de remous H et H sur un même grape. ) Montrer que les solutions de l équation H (X) = F [H(X)] vérifient l équation implicite G[H(X)] = X X où X est une constante et G(H) = 4 Hα 4 Hα où α 4 et α sont des constantes que l on précisera. ) Tracer scématiquement le grape de la fonction X = G(H) dans le demi-plan (X, H) pour X [, ] et H [, ]. ) Montrer que les solutions stationnaires sont de la forme () = c H[A ( )] où H(X) est une solution de l équation différentielle H (X) = F [H(X)]. En déduire un tracé plus précis des courbes de remous de types H et H. 4) La figure représente des courbes () solutions de l équation G[()/ c ] = A ( ), d une part pour () = = cm, d autre part pour (d) = d variable avec d c, le débit étant fié à q =.8 m. s. À partir de ces tracés, donner les valeurs des positions c du ressaut pour les epériences 7, 8, 9 et ainsi que la valeur de la auteur (d) au-dessus de la vanne aval. Tracer l allure de la ligne d eau de part et d autre du ressaut stationnaire. On négligera les perturbations des courbes de remous dues à la forme de cette vanne.. Hauteurs conjuguées. d. c Figure Solutions de G[()/ c ] = A( ) pour q =.8 m. s et K s = m /. s dans un canal de longueur d = m. Courbe telle que () = = cm ainsi que la courbe de ses auteurs conjuguées pour l impulsion. Courbes telles que (d) = d avec d c et c = 8.7 cm.

6 6 Eamen Hydraulique à surface libre O. Tual, mars. I E Figure 6 Tracé en fonction de (en m), pour q variable par pas de. m s, des fonctions : a) I(q, ) = q / + g / (en m s ) et b) E(q, ) = + q /( g ) (en m).

7 Eamen Hydraulique à surface libre O. Tual, mars 7 Corrigé. Ressauts ydrauliques dans un canal Caractéristiques sans pente ni frottement )Les relations de saut pour un ressaut sur fond plat sont L (U L W ) = R (U R W ) et L U L (U L W ) + g L = R U R (U R W ) + g R. )Dans le cas W =, on a q = L U L = R U R. En reportant U L = q/ L et U R = q/ R dans la deuième relation de saut, on obtient I(q, L ) = I(q, R ). )La courbe iso-q pour laquelle les auteurs L = cm et R = cm sont conjuguées correspond à q =.6 m /s. On en déduit Q = q L = l/s, U L = q/ L =. m/s et U R = q/ R =.6 m/s. 4)Comme c L = g L =.7 m/s et c R = g R = m/s, on a U L + c L =.9 m/s, U L c L =. m/s, U R + c R =.6 m/s et U R c R =.4 m/s. Le tracé des caractéristiques et de la trajectoire du coc dans le plan (, t) est représenté sur la figure 7a). )La deuième relation de saut peut se mettre sous la forme L (U L W ) + L W (U L W ) + g L = R (U R W ) + R W (U R W ) + g R. Comme q W = L (U L W ) = R (U R W ), on a L (U L W ) + g L = R (U R W ) + g R. En utilisant (U R W ) = q W / R et (U L W ) = q W / L on obtient I(q W, L ) = I(q W, R ). 6)La courbe iso-q W pour laquelle les auteurs L = cm et R = 7 cm sont conjuguées correspond à q W =. m /s. Comme U R =, on a q W = R W d où W = q W / r =.9 m/s. Comme q = L U L, on peut écrire q W = L (U L W ) = q L W et donc q = q W + L W =.6 m /s. 7)On calcule U L = q/ L =.6 m/s et on a U R = m/s. Comme c L = g L = m/s et c R = g R =. m/s, on a U L + c L =.6 m/s, U L c L =.4 m/s, U R + c R =. m/s et U R c R =. m/s. Le tracé des caractéristiques et de la trajectoire du coc dans le plan (, t) est représenté sur la figure 7b). t 4 t a) b) Figure 7 Courbes caractéristiques autour du coc a) immobile ou b) mobile. Mise en mouvement d un ressaut immobile 8)Comme q = Q/L =.6 m /s, on lit R = cm sur le grapique. 9)Comme U R = q/ R =.6 m/s et c R = g R = m/s, l information sur le mouvement de la vanne se propage à la vitesse U R c R =.4 m/s en ce qui concerne l amont. Elle parcourt donc la distance d c = 6 m en T = (d c )/ U R c R = s. )Le tracé des caractéristiques dans le plan (, t) pour t T est représenté sur la figure 7. )En utilisant l invariance de J = U + c le long d une caractéristique C reliant l ae des à t = à l ae des t à = d, on obtient que U R + c R = U f + c f et donc U f = U R + (c R c f ) avec c f = g f =.9 m/s. On a donc U f =.8 m/s.

8 8 Eamen Hydraulique à surface libre O. Tual, mars T t Figure 8 Onde de détente centrée qui atteint le coc au bout du temps T. Perte de carge pour un ressaut stationnaire )La détermination grapique de R en fonction de L est présentée sur la figure a en utilisant la relation I(q, L ) = I(q, R ). Les valeurs manquantes du tableau sont indiquées dans le tableau en utilisant également la relation Q = q L. Epérience : Q (l/s) q (m. s ) c (m) L (cm) R (cm) I (m. s ) Table Tableau ressauts stationnaires complété par les valeurs manquantes. )Les valeurs de c se lisent sur la figure en notant le minimum des courbes iso-q, en trait gras pour les valeurs de q considérées. Les valeurs manquantes de c dans le tableau sont indiquées dans le tableau 4. 4)Comme la vitesse en nulle dans le tube, la conservation de la carge entraine que D L = E(q, L ) et D R = E(q, R ). Ces valeurs se lisent sur la figure b. Les valeurs manquantes de D L et D R du tableau sont indiquées dans le tableau 4. )La perte de carge est H = D L D R. Les valeurs manquantes de H du tableau sont indiquées dans le tableau 4. 6)Le tracé de H en fonction de R c est présenté sur la figure??a. La perte de carge est bien une fonction décroissante de R c et s annule pour R = c.

9 Eamen Hydraulique à surface libre O. Tual, mars q W =. I..... q = Figure 9 Hauteurs conjuguées ( L, R ) pour q =.6 m /s : ( cm, 4 cm), (4 cm, cm), ( cm, cm), (6 cm, 9 cm). Hauteurs conjuguées ( L, R ) pour q W =. m /s : ( cm, 7 cm). I D R. a) L R b) L R E. D L H Figure Impulsion I(q, ) et énergie spécifique E(q, ) pour q {.,.4,.8} m. s. a) Détermination grapique des valeurs de R à partir de L. b) Détermination grapique de la perte de carge H = D L D R.

10 Eamen Hydraulique à surface libre O. Tual, mars Epérience : c (cm) D L (cm) D R (cm) H (cm) L (cm) R (cm) ( R L ) 4 R L (cm) Table 4 Tableau perte de carge des ressauts stationnaire complété. Position du ressaut stationnaire dans le canal 7)Comme les profils sont stationnaires, l équation () entraine que q = U est constant. En utilisant q = U, on obtient F r = (/ c ) / et l on a donc P (H) = H /. 8)Comme les profils sont stationnaires et que U, l équation () entraine U du d + g d d = gu /(Ks 4/ ). En éliminant U = q/, on obtient ( q / + g) d d = g q /(Ks / ) ce que l on peut écrire sous la forme d d = J/( F r ) avec J = q Ks /. On a donc α = /. 9)On a donc d d = q Ks / /[ (/ c ) ] = c A F (/ c ) avec A = q K. En utilisant la définition c = q / g / de la auteur critique, on en déduit A = q 8/9 Ks g /9. On a donc α = et α = /9. )Le grape de la fonction F (H) est présenté sur la figure. Si ( ) < c, la fonction F() est positive et donc () est croissante (courbe H ). Si ( ) > c, la fonction F() est négative et donc () est décroissante (courbe H ). Ces deu types de courbes atteignent la valeur c au bout d une distance finie avec s / c une pente d d infinie. L allure de ces courbes est donnée sur la figure b. )L équation différentielle ordinaire dh dx /F (H) = s écrit (H/ H / ) dh dx = et s intègre en G(H) = X X avec G(H) = 4 H4/ H/. On a donc α 4 = 4/ et α = /. )Le tracé du grape de G(H) est représenté sur la figure b. )Les courbes de remous sont de la forme ()/ c = H[A ( )] où H(X) est solution de l équation implicite X = G(H). Leur allure est donc donnée par la figure b. 4)Les tracés des lignes d eau des epériences 7 à, en représentant le ressaut par une discontinuité, sont présentés sur la figure. On peut lire c {,, 6,.} m et (d) {9, 6., 4,.} respectivement.

11 Eamen Hydraulique à surface libre O. Tual, mars 4 F H H H.. courbes H courbes H 4 a) b) H... X Figure a) Tracé de F (H) en fonction de H. b) Grape (X, H) de la fonction X = G(H)... courbes H. c courbe H Figure Lignes d eau avec (d) variable avec q =.8 m.s et () = cm et (d) c. Les ressauts sont scématisés par une discontinuité.

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