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1 VericationdeModeles F.Vernadat 1 2

2 3 4

3 IntroductionalaVerication PartI? - - '& $% Proprietes attendues dusysteme '& $% Description Informelle dusysteme Specication Verication non/oui correction $% Description Formelle dusysteme 6 Formelle dusysteme SystemedeTransitions (Graphe,Automate:::) Analyse Exhaustive Approches Proprietes Verication Description FormulesLogiques Contr^oledeModeles ComportementaleSystemesdeTransitionsEquivalencedeGraphes Assertionnelle 5 principedel'ouverture: initiation:l'usagerdemandel'ouverturedelacommunication(side(sup)?appel),ilpeutrecevoirunaccord(side(sup)!ok),ouunrefus(side(sup)! Exempledel'ouverture/fermeturedeconnexion aechoue. reponse:l'usagerpeutrecevoirunedemandedecommunication(side(sup)!dring),ilpeutl'accepter(side(sup)?accept)oularefuser(side(sup)? reject).apresavoiraccepte,ilconsiderelaconnexionouverte. nok).encasd'accord,laconnexionestouverte,encasderefuslatentative connexionpeutl'interrompre(side(sup)?ni).danscecas,l'autreusager, principedelafermeture:unusagerconnecte,ouayantinitieune bip) s'ilestconnecte,doitrecevoiruneindicationdedeconnexion:(side(sup)! - side(sup)?appel side(sup)!dring? side(sup)!bip +side(sup)?reject?side(sup)!nok +side(sup)?ni 6side(sup)!bip + +side(sup)?ni side(sup)?accept-side(sup)!ok assureleserviceattendu? 6 PB:Comments'assurerquel'implementationduprotocoleeectuee

4 "Informatiques" Sequentiels Communicants 6=TypesdeSpecications Qualitatives "LogiquesduSysteme" Quanticatives "PhysiqueduSysteme" 6=ClassesdeSystemes SpecicationQualitativeducomportementde ModlesCommunicantsou//7 tempsdereponse,debit "LogiquesduSysteme" ProprietesQualitatives! carte! code 7!OrdonnancementTemporeld'Evenements S^urete:Riende"mauvais"nepeutarriver Vivacite:Quelquechosede"bon"doitarriver Classication:Safety/Liveness 8 TempsLogique(Discret) Vivacite6=RdP Systeme ProblemeGeneral Specification VericationdeComportement VALIDATION {OUI,NON} qu'ilfautatteindreouquel'ondoiteviter -ExclusionMutuelle,AbsencedeFamine 7!Congurationsparticulieresd'unsysteme? carte? billets

5 CCS,Lotos 7!ModeleOperationnel (LTS)SystemedeTransitionsEtiquettes T.D.F &Alternatives 9 Pbd'explosionCombinatoire7!Solution Phi! Liberation 10 Modele SpecicationsAssertionnelles/Comportementales Operationnel Specification Systeme Specification VALIDATION VericationExhaustive {OUI,NON} VALIDATION ValidationComparer2Objets Modele Operationnel Associe Phi! Req Phi? Ack -AbsencedeFamine:i(attente))Inevi(mange) -ExclusionMutuelle::(Init)Pot(i(mange)^j(mange))) AssertionsModales,Temporelles,epistemologiques::: SpecicationsComportementalesGraphes Phi? Ack Phi? Ack RdP,Estelle,LDS GraphesdeMarquages Phi! lib Phi! lib

6 Modele Simple/DoubleModele IApprocheAssertionnelle:CTL Plan III"Comparaison":Hennessy-Milner IVConclusion 11 IIApprocheComportementale:Bissimulation 1.ComplementssurlesAutomates&Langages 2.EquivalenceLangage II.VericationComportementale (Critered'Abstraction 4.EquivalenceLangage(faible) 5.EquivalenceObservationnelle(faible) 3.EquivalenceObservationnelle(forte) 6."Projections" 12 Specifications Assertionnelles Controle de Modele Operationnel (LTS) Equivalence de LTS Specifications Comportementales

7 Automates:Equivalencelangage II.1 {Motdeestunesuiteordonneedelettresde ex:=fa;bg7!a,b,a.b,b.a,a.a,:::sontdesmotsde {?l'ensembledetouslesmotsconstruitsapartirde {Alphabet:Ensemblenidesymbolesappeleslettres 12?:elementneutrepour.(concatenation) nb:?estinni(desque6=;)?etoiledekleene Automate (AccepteurdeLangages) A=<S;I;F;!;>ou II.1.1 Sestunensemble(ni)d'etats, FS:etatsFinals!SS estunalphabet IS:etatsinitiaux 13 + a 3 b c2? 1 S=f1;2;3g,I=f1g&F=f2g!=f(1;a;2);(1;b;3);(3;c;2)g =fa;b;cg Exemple: i.e.<(s1;e1;s2);(s2;e2;s3);:::;(;;sn);(sn;en;sn+1)> {CheminsdansA:Suited'elementscontigusde! CheminsdeA=f<(1;a;2)>;<(1;b;3)>;<(3;c;2)> <(1;b;3);(3;c;2)>g 14 Exemple(suite)

8 + a 3 b c2? 1 lettresapparaissantdanslestransitionsduchemin Tr(c1)=a;Tr(c2)=b;Tr(c3)=Tr(c4)=bc {Traced'unCheminMotobtenuenconcatenanttoutesles ChemindeAdontl'origine2Ietl'extremite2F c1;c4:cheminsreconnuspara {CheminreconnuparA {LangagereconnuparA ExempleL(A)=fa;bcg 15 L(A)=fw2?:9CunchemindansAjtr(C)=wg EquivalenceLangage L:EquivalenceLangage II.1.2 deniepara1la2ssil(a1)=l(a2) GraphedesEtatsAccessiblesetAutomates 1)Onoubliel'informationassocieeauxsommets relationd'equivalencesurlesautomates 2)EtatsInitiaux:I=fetatinitialg, (marquagessirdp) Parlasuiteonconsidereuniquementdesautomatesdelaformesuivante: A=<S;fs0g;S;!;> 7!SystemesdeTransitions<S;fs0g;!;> 3)EtatsFinals:F=S ExpressiondesProprietesparunlangage Unsystemesatisfaitlesproprietessileslangagesrespectifs(celuiassocieausystemeetceluiexprimantlesproprietes)sontegaux II

9 Exemple Piece Cafe The Remb A The Piece 5 Piece Cafe Remb A2 2 Onnepeutobteniruneboissonquesil'onamisunepiece...etc Lpermetdespecierdessequencesd'action: 17 (peut)masquerdesdierencesimportantesdefonctionnement. A1:laisselechoixal'utilisateurdeprendreuneboissonparticuliereou EquivalenceLangage7!Sequencementsd'action d'opterpourleremboursement Piece Cafe The Remb A10 A2:prendsunedecision"alaplace"del'utilisateur The Piece Cafe Remb 1 A20 18

10 bloquantlnonbloquant 0 1 Piece The+Cafe +Remb B1 0 B2 Piece Piece The+Cafe +Remb 1 Onpeutperdredel'argentavecB2,jamaisavecB1 D ORB1LB

11 EquivalenceObservationnelle(Forte) Sequenced'actions >Experimentation Intuition II.2 mentationsurs1menantdansunetats1peut^etrereproduiteapartir des2etmenerdansunetats2equivalentas1 ETRECIPRO- QUEMENT 2SystemessontObservationnellementequivalentsssitouteexperi- Denition II.2.1 =\nonou 0=SS (sa!q=def(s;a;q)2!) sa!s0)9q0:qa!q0avecs0n 1q0(i) snqssiqa!q0)9s0:sa!s0avecq0n 1s0(ii) nb:estdeniecar(i)# (i.ei<j)ji) et ExtensiondeauxSystemesdeTransitions S1etS2sontObservationnellementequivalentssileursetatsinitiauxrespectifslesont 21 S1S2ssis01s02 II.2.2 Exemple a a a b b c b b c 5 ssi(i)et(ii) (i)0a!1&1a!2avec102(ok) 0b!3&1b!3avec303(ok) (ii)1a!2&0a!1avec201(ok) 011? 1b!4&0b!3avec403(ok) (i)et(ii))011 1b!3&0b!3avec303(ok) ssi(i)et(ii) 0a!1OR36a!donc(i)estfauxet ? 22

12 Exemple(suite) a a a bb 0 b b c c (0,1)0,10,1 (0,3)?- 012 Classesd'Equivalence (0,2)0,20,2 0=f0;1;2;3;4;5g 1=ff0;1;2g;f3;4g;f5gg (1,4)?- 2=ff0;1;2g;f3;4g;f5gg 2=1)=1 (pointxeatteint) (0,5)?- (0,4)?- (1,3)?- (1,2)1,21,2 (oun=card(s)) tandisqu'ilyaauplusnclassesd'equivalence nb:1=2(n2 n)couples 5 (2,3)?- (2,4)?- (2,5)?- (3,4)3,43,4 (1,5)?- (4,5)?- (3,5)?- 23 Calculrapidede1 Comme0=SS,1peut^etresimpliee II.2.3 ou:s7!p()deniepar(s)=fl2:sl!g 1)Onconstruit 1:P()7!P(S) 2)S1= 1(P())nf;g Propriete:s1qssi(s)=(q) ous1estl'ensemblequotientdespar1 :S7!P() Exemple(suite) 27!fa;bg 1:P()7!P(S) 37!fcg 47!fcg 07!fa;bg fa;b;cg7!; fa;bg7!f0;1;2g fa;cg7!; fb;cg7!; fag fbg fcg 7!f3;4g 17!fa;bg 7!f5g )S1=ff0;1;2g;f3;4g;f5gg 57!; ; 24 Propriete:s1;s22 1(;))s1s2

13 Exercice:DistributeursdeBoisson(suite) II Piece Cafe The Remb A20' 1' 2' The Piece Cafe Remb A10 1 (i.e000)? A1LA2a-t-onA1A2? 7!P() 0 7!fpieceg 1 7!fthe,cafe,rembg 2;3;47!; 00 7!fpieceg 10 7!fthe,cafeg 20 7!frembg 30;40;507!; :S fpiece,the,cafe,rembg7!; fthe,cafe,rembg 7!f1g "fpiece,x,yg" Calculde 1 7!f1'g "fx,yg"7!; fpieceg7!f0,0'g frembg7!f2'g "fxg"7!; fthe,cafeg 7!f2,3,4,3',4',5'g 1=ff0;00g;f1g;f10g;f20g;f2;3;4;30;40;50gg 25; 4' 3' 5' avec1=ff0;00g;f1g;f10g;f20g;f2;3;4;30;40;50gg Calculde2 sa!s0)9q0:qa!q0avecs0n 1q0(i) snqssiqa!q0)9s0:sa!s0avecq0n 1s0(ii) Rappel: nb:calculde2"="020' ssi(i)et(ii) (i)0piece!1&00piece!10mais16110!20mais16120 (i)estfauxdonc ? 2=ff0g;f00g;f1g;f10g;f20g;f2;3;4;30;40;50gg OnpeutdoncenconclurequeA16A2 =ff0g;f00g;f1g;f10g;f20g;f2;3;4;30;40;50gg 26 Commef2,3,4,3',4',5'g= 1(;)onendeduitque

14 Jusqu'apresentlescomparaisons(equivalenceslangageouobservationnelle)operaientsurl'alphabetcomplet Critered'Abstraction ServiceLocal!Req?Ack!Lib MachinesaCafe 0 1 Piece The+Cafe +Remb Work desevenementsinobservables... Abstractiondes"detailsinternes", 7!Version"faible"desequivalencesLangageLObs ObservationnelleObs 27 Filtred'Observation:Obs EquivalenceLangage(faible) Rappel:A1LA2ssiL(A1)=L(A2) II.3 PB:Trouveruneequivalence"langage"faisant abstractiondesevenementsinobservables AbstractiondenieparObs >Gommertoutesleslettres62Obs (2nObs) fobs:?7!?obsdeniepar fobs(1)=1obs 7!Gomme:fObs fobs(w)sinon morphisme:f(x:y)=f(x):f(y) fobs(a:w)=8><>:a:fobs(w)sia2obs Denition:A1LobsA2ssifObs(L(A1))=fObs(L(A2)) 28 Propriete:Si12alors21 Idle Wait

15 Obs=fpiece;the;cafe;rembg Exemple I1 piece remb piece cafe the I3 I4 6 I5 I1:piece;piece:cafe;piece:the; I1:piece:Remb;piece:cafe:I3;piece:the:I4; I1:piece:Remb:I1;I1:piece:Remb:piece; piece:cafe:i3:i5;piece:the:i4:i5; L(A1)=f1;I1;piece; fobs(l(a1))=f1;piece; :::g piece:the:piece;piece:cafe:piece;piece:remb:piece; :::g 29 piece:the;piece:cafe;piece:remb; 0 1 Piece The+Cafe +Remb B1 L(B1)=f1;piece; piece:the:piece;piece:cafe:piece;piece:remb:piece; :::g piece:the;piece:cafe;piece:remb; (carl(b1)\?obs=;) fobs(l(b1))=l(b1) CommefObs(L(B1))=fObs(L(A1))onaA1LObsB1 30 L(B1)6=L(A1))B16A1

16 Equivalenceobservationnellefaible Rappel:A1A2ssiA10A20 II.4 experimentationdes1menantdansunetats1'peut^etrereproduitea partirdes2etmenerdansunetats2'equivalentas1' ETRE- CIPROQUEMENT 2etatss1ets2sontObservationnellementequivalentsssitoute AbstractiondenieparObs Equivalenceforte:Experimentation::a!(8a2) a)oua2obs[fg II.4.1 Experimentationabstraite Idee:Denirdesexperimentationsabstraites ()S(Obs[fg)S) )estlapluspetiterelationveriant: 1.8s2S:s)s(-reexivite) Denitiondea)!snavec8i2[1;n 1]:ei2nObsAlors s1)sn 2.Sis1e1!s2e2!s3:::en 1 a2obssia!qialorssa)q 31 3.Sis)siqi)q 0 Exemple 1 3 2piece cafe the Regle1:0)0;1)1;etc Regle2:!+3)1;4)1 Regle3:o!(o2Obs) Calculde)pourObs=fpiece;the;cafeg )2;3piece )2;4piece )2; +2the )0;2the )1+2cafe )0;2cafe )1 DenitionEquivalentede) +0piece avec!=ui2nobsi! )=Fermeturereexiveettransitivede! oujdesignelacompositiondesrelations Prop:8o2obso!o)&8i2nobsi!) 32 8o2obs:o)=)Jo!J)

17 EquivalenceObservationnellefaible II.4.2 (SS) (pourobs) Obs=\no(Obs;n)ou (Obs;0)=SSsa)s0)9q0:qa)q0Avecs0(Obs;n 1)q0(i) Denition:Obs s(obs;n)qssiqa)q0)9s0:sa)s0avecq0(obs;n 1)s0(ii) ExtensiondeObsauxSystemesdeTransitions (!)Quanticationimplicitesura(8a2Obs[fg) defequivalente:st1obsst2ssiobs(st1)obs(st2) ST1obsST2ssis01Obss02 oupoursti=<si;si0;!i;i> 33 Obs(STi)=<Si;si0;)i;Obs[fg> Exercice II.4.3 Piece 0' the+cafe 1' cafe the 0" 1" cafe the Obs=fpiece;the;cafeg 1 0 Plusieurspossibilites: MontrerqueAObsA0&A6ObsA" 2)ConsidererST=AA0A"et(a)ou(b) 1)MontrerqueAObsA0puisA6ObsA" Verierque0Obs00alorsque06Obs0" a)calculerobssurstet Verierque000alorsque060" onchoisit2-b 34 b)calculersurobs(st)et 2' piece 3' 2" piece 3"

18 Calculsde):(fermeture,saturation) 1 Piece the+cafe 0 1 Piece the+cafe 0' 0 cafe the 0' 1' cafe the 0" 1' 2" 1" cafe the 0" 3" 2" 1" cafe the 3" 35 Obs=fpiece;the;cafeg S=f0;1;00;10;20;30;0";1";2";3"g =Obs[fg Calculde 1 7!P(S) fpiece;cafe;the;g7!; fcafe;the;g 7!f1,1',1"g "fx;y;zg" fpiece;g 7!f0,0',2',3',0"g 1:P() 7!f3"g fthe;g 7!f2"g fg 7!; fcafe;g ; 7!; )1=ff0;00;20;30;0"g;f1;10;1"g;f2"g;f3"gg "fxg" Comme)estreexive, 1(;)=; n'estpasdiscriminant 8E2P():62E) 1(E)=; Remarques Inutilisabledanscecontexte...parcontreona: PropEqObsFaible:s1;s22 1(fg))s1s2 PropEqObsForte:s1;s22 1(;))s1s2 36 2' piece 3' 2' piece 3' piece piece

19 Calculde2 1=ff0;00;20;30;0"g;f1;10;1"g;f2"g;f3"gg 2=ff2"g;f3"g;f?g;f?g;:::?g Quiddef0,0',2',3',0"g? 0200? (i)0piece )1&00piece )10avec1110 (ok) 0)0&00)00avec0100 (ok) (ii)00piece )10&0piece )1avec1011 (ok) 00)00&0)0avec0010 (ok) donc ? (i)00piece )10&20piece )10avec10110 (ok) 00)00&20)00avec0010 (ok) (ii)20piece )10&00piece )10avec10110 (ok) 20)20&00)00avec20100 (ok) 20)00&00)00avec00100 (ok) donc II.4.4 ProprietesEqObservationnelleFaible P1(Reductiondes-cha^nes):Sisi!qaveci62Obsetsj!q0)(j62 Obsetq0=q)Alorssq Application:00230 P2(Reductiondes-cycles):Sis)qetq)salorssq retoursurf0,0',2',3',0"g resteo20"? (i)0)0&00)0"avec010" (ok) 0piece )1&0"piece )1"avec111" (ok) (ii)0")0"&0)0avec0"10 (ok) 0"piece )1"&0piece )1avec1"11 (ok) 0"piece )3"&0piece )0Mais3"610 (PB) (idemenprenant0"piece )2") donc0620" OnpeutendeduirequeA6A" Bilanprovisoire: 1=ff2"g;f3"g;f0;00;20;30;0"g;f1;10;1"gg 2=ff2"g;f3"g;f0;00;20;30g;f0"g;f1;::g;?g Resteavoirf1,1',1"g 38

20 1110? (i)1cafe )0&10cafe 1the )0&10the )00avec0100 Quiddef1,1',1"g? ::: (ii)10cafe )30&1cafe )0avec3010 )00&1cafe )20&1the )0avec2010 1)1&10)10avec1110 )00&1the )0avec )10&1)1avec the 1"11?(avecunpeud'intuition) donc1210 donc1"6210 ((!)(ii)estok) 7!2=ff0;00;20;30g;f0"g;f1;10g;f1"g;f2"g;f3"gg (i)1")3"or1)s)s=1et3"611 3=2donc=ff0;00;20;30g;f0"g;f1;10g;f1"g;f2"g;f3"gg etnalementaa0 39 Averier(alamaison) (ok) (ok) Obs=fpiece;the;cafeg Dequoia-t-onfaitabstraction? 1 Piece the+cafe 0' 1' cafe the 0" 3" 2" 1" piece cafe the A:=ff0g;f1gg 0 A":=ff0"g;f1"g;f2"g;f3"gg EqLangage7!3Machinesequivalentes A0:=ff00;20;30g;f10gg 0 EqObservationnelle >"abstraction+raisonnee" 2 piece cafe the 3 =ff0g,f1,2,3gg )Divergence Possible ' piece 3'

21 ModeleAbstrait(Projection) Principe:Construirele"pluspetit"systemeequivalent(pourune equivalencedonnee)aunsystemedonne. II.5 UnsystemedetransitionsST=<S;s0;!;> ObsetObs,EqObservationnellesurSS Casdel'equivalenceObservationnelle (projection) II.5.1 ModeleAbstrait=SystemedetransitionsQuotient ou!estlapluspetiterelationveriant: 1.Pouro2Obs:so!q)so!q ST=<S;s0;!;Obs[fg>!q 2.Pouri62Obs:si!qETs6q)si 41 Exemples 3SystemesEquivalents II Piece the+cafe S=ff0g,f1gg 0 3' 2' piece cafe the 0' 0 S=ff0',2',3'g,f1'gg 2 piece cafe the 3 S=ff0g,f1,2,3gg 1 42 ModeleAbstraitUnique 1 Piece the+cafe 0

22 0 AutreExemple 1 piece cafe the ModeleAbstraitAssocie S=ff0g,f1,2g,f3gg 3= 0= 1= Piece 3 cafe 2 the+cafe Description Formelle dusysteme Utilisation d'observation Critere CalculEq.Obs(langage) + CalculduQuotient ModeleAbstrait Projection 43 TP7!ProjectionLangageetObservationnelle Exercice PourObs=fpiece;the;cafe;rembg CalculerObs.Endeduirelemodeleabstraitassocie. II.5.3 remb I1 piece piece cafe the I3 I4 6 I5 44 Commencezparreduireles-cha^nes!

23 45 LogiquesModales III.1.1 Historique Aristote LogiquesTemporelles(1980) -Manna-Pnuelli(W.I) -Clark-Emerson(C.M.U) ClarenceLewis(1910)FormeActuelle LogiquesEpistemologiques -Sifakis(Imag) -Hailpern(1985) LogiquesDeontiques,etc,etc -Hintikka(1970) Syntaxe7!Denitiondulangage Axiomatique7!Mecanismedeductif Logique=Syntaxe+Axiomatique+Semantique Semantique7!Validitedesformules (Modele,RelationdeSatisfaisabilitej=) (Axiomes+Reglesd'Inference,`) 46

24 CalculPropositionnel P,Unensembledevariablespropositionnelles P=fp1;p2:::png III.1.2 Cp(P)CalculpropositionnelconstruitsurP III Syntaxe cunensembledeconnecteurs,c=f:;^;_;!;$g {Sif2Cp(P)Alors:f2Cp(P) {p2cp(p)8p2p ou#2f^;_;!;$g III Axiomatique {Sif;g2Cp(P)Alorsf#g2Cp(P) (i)a!(b!a) (ii)((a!(b!c))!((a!b)!(a!c))) (3i)((:B!:A)!((:B!A)!B)) Axiomes: Regled'inference(Modusponens) `A `B 7!Demontration,theoremes47 `A!B; Semantique Modele(pourleCalculPropositionnel)P, III parinductionsurlestructuredesformules j=,relationdesatisfaction,denie Mj=pssip2M(8p2P) Mj=:fssiNon(Mj=f) Mj=f_gssi(Mj=fouMj=f) Pourp2P;fetg2Cp(P) Mj=f!gssi(Mj=:fouMj=g) Mj=f$gssi(Mj=fssiMj=g) Mj=f^gssi(Mj=fetMj=g) 48 FormuleAestvalide(noteej=A)ssiMj=A8M

25 AxiomatiqueetSemantique III AdequationetCompletude Completudej=A)`A Uneformuledemontrableestvalide, Adequation`A)j=A uneformulevalideestdemontrable Parlasuite,l'aspectaxiomatiqueneseraplusconsidere. 49 Toutesleslogiquesconsidereessontcompletesetadequates LogiquesModales(Propositionnelles) P=fp1;p2:::png AjoutdedeuxModalites(connecteurs):[];<> III.1.3 LM(P)CalculpropositionnelconstruitsurP III Syntaxe cunensembledeconnecteurs,c=f:;[];<>;^;_;!;$g {Sif2LM(P)Alors:f;[]f;<>f2LM(P) {p2lm(p)8p2p ou#2f^;_;!;$g III {Sif;g2LM(P)Alorsf#g2LM(P) Semantiquedes"MondesPossibles"(S.Kripke1960) M=<W;R;> ouwestunensembledemondes PB:DenirunModele estunevaluation:w7!p(p) Restunerelationentrecesmondes(RWW) 50

26 W=fw1;w2;w3;w4g M=<W;R;> (wi;wj)2rwirwj R(wi)=fwj2M:(wi;wj)2Rg 51 Notations III Denitiondej=(relationdesatisfaisabilite) M;wj=AsigniequelaformuleAestsatisfaite Semantique(suite) (Mj=A:AestvraiedanstoutmondedeM) danslemondewdumodelem. Pourp2P&f;g2LM(P) M;wj=:fssiNon(M;wj=f) M;wj=f_gssiM;wj=fouM;wj=f M;wj=f^gssiM;wj=fetM;wj=g M;wj=pssip2(w)(8p2P) M;wj=[]fssi8w02M:wRw0)M;w0j=f M;wj=<>fssi9w02M:wRw0etM;w0j=f etc,etc []Necessaire&<>Possible52 III StructuredeKripke {p,q} W1 W2 {q} :w17!fp;qg w37!fr;qg w27!fqg w47!frg R=f(w1;w2);(w1;w3);(w2;w2);(w3;w4)g {q,r} W3 {r} W4

27 III Exemple {p,q} M;w1j=<>r M;w1j=[]q M;w1j=:[]r M;w1j=<>:r 53 M;w2j=[]q^<>q^q M;w1j=<><>r M;w4j=[]q^[]:q^:<>q^:<>:q LogiquesTemporelles "Interpreter"R7!relationd'anterioritetemporelle Rantisymetrique(w1Rw2etw2Rw1)w1=w2) III Relationd'Ordre(alareexivitepres) Rtransitive OrdrePartiel7!Plusieursfuturspossibles OrdreTotal7!Unseulfuturpossible Logiquetemporelledutempsarborescent(branchingtimelogic) Logiquetemporelledutempslineaire(lineartimelogic) (8w;w02M:wRw0ouw0Rw) 54 W1 W2 {q} {q,r} W3 {r} W4

28 LogiqueTemporelleLineaire DuxLogiquetemporellelineaireatempsdiscret (Gabbay-Pnuelli(1980)) III.2 DentiondeDux Syntaxe III.2.1 Connecteursclassiques+[];<>;;t tbinaire III Syntaxe [];<>;ConnecteursUnaires {Sif2LTLp(P)Alors:f;f;[]f;<>f2LTLp(P) {Sif;g2LTLp(P)Alorsf#g2LTLp(P) ou#2f^;_;!;$;tg {p2ltlp(p)8p2p 55 III Modele=<(wo;w1;:::wn:::);> Semantique etunevaluation(inchange) ou(wo;w1;:::wn:::)estunesuiteinniedemondes Denitiondej= Pourp2P&f;g2Ltl(P) M;wj=pssip2(w) III M;wj=f_gssiM;wj=fouM;wj=f M;wj=f^gssiM;wj=fetM;wj=g ::: M;wj=:fssiNon(M;wj=f) 56

29 M;wkj=fssiM;wk+1j=f fdoit^etrevraiedansl'etatsuivant next-timeoperator M;wkj=<>fssi9jk:M;wjj=f fdoit^etrevraiedanslefutur <>operateurdepossibilite M;wkj=[]fssi8jk:M;wjj=f frestetoujoursvraiedanslefutur []operateurdenecessite M;wkj=ftgssi9jk:M;wjj=g et8i2[k;j[m;wij=f gdeviendravraieetfresteravraiejusqu'a tuntiloperator cequegledevienne 57 Futurlarge:lepresentestcomprisdanslefutur() M=w0 w1 w2 w3 w4!!!!::: Exemple q q :q :q :p :p :p p :p M;w0j=q q M;w0j=q M;w0j=<>q M;w0j=q M;w0j=<>[]:q M;w0j=<>:q M;w0j=qtp M;w0j=:[](qtp)^:[]:(qtp) 58 M;w0j=<>(qtp)^<>:(qtp)

30 "Extensions"deDux III.2.2 M;wkj=AtWBssi(1)ou(2) (1)8ik:M;wij=A (2)9jk:M;wjj=Bet8i2[k;j[M;wij=A Untilfaible: M;wkj=APrecBssi8jk (M;wjj=B))(9i2[k;j]:M;wij=A) Precedence:APrecB:AprecedeB LaprochainefoisqueAPfqB Innimentsouvent 59 Apossedeuneinnited'occurences P1ExclusionMutuelle ProprietesAttendues ToutProcessusenattentedeviendraactif P3Tempsd'utilisationdelaressourceborne: P2AbsencedeFamine: ToutProcessusactifdeviendraoisif P5Lesressourcessontaccordeesdansl'ordreouellesontetedemandees 60 P4Laressourcen'estaccordeequ'auxprocessusl'ayantdemandee Oisif EnonceInformel! Req? Ack Attente ExempledeSpecication III.2.3 Ensembledeprocessusregisparlecomportementdelagureci-dessous: Travail! Lib

31 Notations,Hypotheses Exemple(suite) oisif),ti(processusitravaille) Onsupposequel'onadeuxprocessus1&2 OnnoteAilefaitqueleprocessusiestenattente,Oi(Processusi FormalisationdesProprietesAttendues P1ExclusionMutuelle III P2AbsencedeFamine: M;w0j=[]::: M;w0j=[]::: M;w0j=[]::: P4Laressourcen'estaccordeequ'auxprocessusl'ayantdemandee P3Tempsd'utilisationdelaressourceborne: M;w0j=[]::: M;w0j=[]::: 61 P5Lesressourcessontaccordeesdansl'ordreouellesontetedemandees S1:EXCLUSIONMUTUELLENONEQUITABLE S1:...deuxclients,uncontr^oleurgerantuneressource 1HHHHHHj - 1!release 2!release '$ 3 &% '$ HHHHHHj 2 - HHHHHHj HHHHHHj HHHHHHj 1!req 2!req 1?ack 2!req 1!req 2?ack 2!req 1?ack 2?ack 1!req 1!release 2!release &% (5)=fA1;A2g (7)=fT1;A2g (2)=fA1;O2g (4)=fT1;O2g (6)=fO1;T2g (3)=fO1;A2g (1)=fO1;O2g 62 (8)=fA1;T2g

32 VericationdesProprietes III M1=1O1 O2 2A1 O2 4T1 O2 1O1 O2 2A1 O2 4T1 O2 ::: M1=<(1;2;4;1;2;4;:::);> M2=1O1 O2 2A1 O2 5A1 A2 7T1 A2 3O1 A2 5A1 A2 7T1 A2 ::: M2=<(1;2;5;7;3;5;7;3;5;7;:::);> M3=1O1 O2 3O1 A2 5A1 A2 7T1 A2 3O1 A2 5A1 A2 7T1 M3=<(1;3;5;7;3;5;7;3:::);> ::: 63 A2 S1:...deuxclients,uncontr^oleurgerantuneressource S1:EXCLUSIONMUTUELLEEQUITABLE '$ '$?? HHHHHHj HHHHHHj - 1!release 2!release HHHHHHj HHHHHHj 1!req 2!req 1?ack 2!req 1!req 2?ack 2!req 1?ack 2?ack 1!req 3 8 &% 9 &% 2-1!release 2!release (3)=fO1;A2g (7)=fT1;A2g (9)=fA1;T2g (2)=fA1;O2g (4)=fT1;O2g (8)=fT1;A2g (1)=fO1;O2g <(1;2;5;8;3;:::);> <(1;2;4;8;3;:::);> <(1;2;4;:::);> 64 (5)=fA1;A2g (6)=fA1;A2g

33 LogiqueTemporelleArborescente:CTL ComputationTreeLogicClarke-Emerson1980 ConditionalTreeLogicSifakis1982 III.3 -DenitiondeCTL -Exemple(Exclusionmutuelle) -ModelChecking:Caracterisationparpointxe -Modelesd'Execution 65 7!Chemin,CheminMaximal(TerminalouInni) Apartirdel'etat1 \Temps"relationd'accessibilite Innis:(1;4)!;((1;4)n;1;(2;3)!) Maximaux:InnisSTerminaux Terminaux:(1;4;5);((1;4)n;5) 66 Modeled'Execution III.3.1 Restunerelationentrecesmondes 2 (RWW) StructuredeKripke(cflogiquesModales) estunevaluation:w7!p(p) M=<W;R;>ouWestunensembledemondes 3 {q} {p,q,r} {p,q} {} {r}

34 DenitiondeC.T.L Syntaxe III.3.2 +Connecteursclassiques(LogiquePropositionnelle) +Pot;Inev2connecteursbinaires CTL=EnsembledevariablepropositionnellesP {p2ctl(p)8p2p Pourp2P;f&g2CTL(P)ona {Sif;g2CTL(P)Alors {Sif2CTL(P)Alors:f2CTL(P) Potfg;Inevfg2CTL(P) f#g2ctl(p)ou#2f^;_;!;$g Semantique ModeleStructuredeKripke(cflogiquesModales) III Cheminsstandards7!Potentiel&Maximaux7!Inevitable 67 M=<W;R;> Pourp2P&f;g2CTL(P) Denitiondej=(relationdesatisfaisabilite) M;!0j=:fssiNon(M;!0j=f) M;!0j=f_gssiM;!0j=fouM;!0j=f M;!0j=f^gssiM;!0j=fetM;!0j=g M;!0j=pssip2(!0)(8p2P) M;!0j=Potfgssi9unchemind'origine!0(!0;!1;:::!n); 9k0:M;!kj=get8j2[0;k[:M;!jj=f etc,etc (!0;!1;:::!n;:::); 9k0:M;!kj=get8j2[0;k[:M;!jj=f M;!0j=Inevfgssi8cheminmaximald'origine!0 PotAPotTrueA InevAInevTrueA AllA :Pot:A 68SomeA:Inev:A Abbreviations

35 69 P1ExclusionMutuelle M;w0j=ALL Onsupposequel'onadeuxprocessus1&2 M;w0j=ALL P3Tempsd'utilisationdelaressourceborne: P2AbsencedeFamine: M;w0j=ALL l'ayantdemandee M;w0j=ALL P4Laressourcen'estaccordeequ'auxprocessus ellesontetedemandees M;w0j=ALL 70 P5Lesressourcessontaccordeesdansl'ordreou Pot Inev Oisif! Req? Ack Attente ExempledeSpecication III.3.3 Travail! Lib Some All

36 VericationdesProprietes III CaracterisationparPointsFixes Principe: dectlsatheorie(dansunestructuredekripkedonnee) TH:CTL7!P(S) TH(f)=fs2S:M;sj=fg Considereruneapplicationquiassocieatouteformule TH(p)=fs2S:p2(s)g TH(:F)=SnTH(F) TH(F^G)=TH(F)TTH(G) Pourl'aspectpropositionnelpasdePB TH(F_G)=TH(F)STH(G) TH(PotFG)=f(TH(F);TH(G))? PBaveclesmodalites! ModalitesPointsxesdefonctionsmonotones 71 TH(InevFG)=f0(TH(F);TH(G))? CalculdeTH(PotFG) OperateurPre Pre:P(S)7!P(S) III (Xn)suitecroissantedansP(S)7!suiteconverge X1=f7g[(Pre(f7g)\f1;2;3g) X2=f3;7g[(Pre(f3;7g)\f1;2;3g) X3=f2;3;7g[(Pre(f2;3;7g)\f1;2;3g) TH(g)=f7g 72 X3=X2)TH(Potfg)=f2;3;7g TH(f)=f1;2;3g f f TH(PotFG)=Sn0Xn oux0=th(g) etxk=xk 1S(Pre(Xk 1)TTH(F)) Pre(U)=ft2S:t!sets2Ug f g

37 III CalculdeTH(InevFG) TH(f)=f3;4;5g Y1= [ Pre(f2;6g) Y2=f2;5;6g[( Pre(f2;5;6g)\f3;4;5g) Y3=f2;4;5;6g[( Pre(f2;4;5;6g)\f3;4;5g) Y4=f2;3;4;5;6g[( TH(g)=f2;6g Y4=Y3)TH(Inevfg)=f2;3;4;5;6g Pre(f2;3;4;5;6g)\f3;4;5g) 73 P1ExclusionMutuelle M;w0j=ALL Onsupposequel'onadeuxprocessus1&2 M;w0j=ALL P3Tempsd'utilisationdelaressourceborne: P2AbsencedeFamine: M;w0j=ALL l'ayantdemandee M;w0j=ALL P4Laressourcen'estaccordeequ'auxprocessus ellesontetedemandees M;w0j= 74 P5Lesressourcessontaccordeesdansl'ordreou Oisif! Req? Ack Attente ExempledeVerication III.3.5 Travail! Lib g f f Pre Pre:P(S)7!P(S) Pre(U)=ft2S:t!set(t!s)s2U)g TH(InevFG)=Sn0Yn ouy0=th(g) Operateur Pre(Yk 1)TTH(F)) (Yn)suitecroissantedansP(S)7!suiteconverge etyk=yk 1S( g f 5

38 S1:...deuxclients,uncontr^oleurgerantuneressource S1:EXCLUSIONMUTUELLENONEQUITABLE HHHHHHj HHHHHHj HHHHHHj - 1!release 2!release 1!req 2!req &% '$ 3 &% '$ 2 - HHHHHHj HHHHHHj 1?ack 2!req 1!req 2?ack 2!req 1?ack 2?ack 1!req 1!release 2!release (3)=fO1;A2g (5)=fA1;A2g (7)=fT1;A2g (2)=fA1;O2g (4)=fT1;O2g (6)=fO1;T2g (1)=fO1;O2g 75 (8)=fA1;T2g S1:EXCLUSIONMUTUELLEEQUITABLE '$ '$?? HHHHHHj HHHHHHj - 1!release 2!release HHHHHHj HHHHHHj 1!req 2!req 1?ack 2!req 1!req 2?ack 2!req 1?ack 2?ack 1!req 2 8 &% 9 &% 2-1!release 2!release (2)=fA1;O2g (4)=fT1;O2g (3)=fO1;A2g (7)=fO1;T2g (5)=fA1;A2g (8)=fT1;A2g (6)=fA1;A2g (9)=fT2;A1g (1)=fO1;O2g y 76

39 CaracterisationModaledesEqComportement III.4.1 Logiqued'Hennessy-Milner True2HML A;B2HML)A^B;:A2HML A;2HML;o2O)<o>2HML HMLestlepluspetitensembletelque ;sj=t8s2s ;sj=a^bssi;sj=aet;sj=b ;sj=:assinon(;sj=:a) Semantiquej= Abbreviations ;sj=<i>assisi)s0et;s0j=a A_B:(:A^:B) False:True [i]a:<i>:a 77 <w>a<i1><i2>:::<in>apourw=i1:i2::::in Exemples ;pj=<a>true Unea-experimentationestpossibleapartirdep III Apartirdep,unea-experimentationestpossiblemenant dansunetatpourlequelalafoissontpossibles uneb-experimentationetunec-experimentation. ;pj=<a>(<b>true^<c>true) Aucunea-experimentationn'estpossiblepartantdep ([s]false:<s>:false:<s>true) pestbloquevis-a-visdesa-experimentations ;pj=[a]false Toutea-experimentationpartantdepmenedansunetatpour lequeluneb-experimentationestpossiblemenantdansunetatbloque ;pj=[a](<b>[c]false) vis-a-visdesc-experimentations78

40 F2<a>(<b>T^<c>T) F3[a](<b>T^<c>T) F1<a>[b]F _(<c>t^[b]f)) 79 F4<a>((<b>T^[c]F) S1?>>? S2>??> S3>>?? F1F2F3F4 L(1)=L(2)=L(3)=fa;ab;acg )1L2L3 EquivalenceLangage LTM(1)=LTM(2)=fa;ab;ac;ab;acg LTM(3)=fa;a;ab;ac;ab;acg )1LTM2eti6LTM3(i2f1;2g) EquivalencedesTracesMaximales 8i;j:i6=j)i6Obsj 80 EquivalenceObservationnelle(forte) A A A A A 0 o! Onprendo)= A 0 Exemple(suite) B C B A A A 0 A B 1 C 1 2 B C 1 2 B C C B C S1 S2 S S1 S2 S3

41 Theoremed'Hennessy-Milner TH:S7!HMLdeniepar TH(s)=ff2HML:sj=fg III.4.2 HMLcaracteriseModalementl'EqObservationnelle CaracterisationModale:sObsqssiTH(s)=TH(q) Mcaracterisemodalementlarelationdeco-simulation M=Defff2HML;fnecontenantpasde^g Ncaracterisemodalementl'equivalencelangage 81 N=Defff2M;fnecontenantpasde:g Bibliographie IV.1 LogiqueTemporelle:SemantiqueetValidationdeprogrammesparalleles Masson,Paris,1990 E.Audureau,P.EnjalbertL.FarinasdelCerro AndreArnold Masson-1992 Systemesdetransitionsnisetsemantiquedesprocessuscommunicants Programmesparalleles.Modelesetvalidation. ArmandColin,1992. A.Arnold,J.Beauquier,B.Berard,B.Rozoy anda.petit Ph.Schnoebelen,B.Berard,M.Bidoit,F.Laroussinie, Vuibert,1999. Vericationdelogiciels:Techniquesetoutilsdumodel-checking. 82

42 Outils SPINBellLabModelCheckerLTL E.M.CC.M.UModelCheckerCTL IV.2 XESARImagModelCheckerCTL MECLabriModelCheckerLogiquedeDicky KronosImagAutomatesTemporises 6=BissimTemporisees AldebaranImag6=Eq.Comp ConcurrencyWorkBench(USA-NC) ModelChecker,-calcul,CTL AutoInria/Sophia6=Eq.Comp PIPNLAAS/VerilogModelCheckerCTL +6=Eq.Comp 6=Eq.Comp RPTSLAASRdPTS6=Eq.Comp+Quantitatif ASA+VerilogModelCheckerCTL+6=Eq.Comp RT-LOTOS 83 IIntroductionalaVerication 5 II.1Automates:Equivalencelangage 13 Contents II.1.2EquivalenceLangage...16 II.1.3ExpressiondesProprietesparunlangage...16 II.2EquivalenceObservationnelle(Forte) 21 II.1.1Automate...13 II.2.2Exemple...22 II.2.3Calculrapidede II.2.1Denition...21 II.3EquivalenceLangage(faible) 28 II.4Equivalenceobservationnellefaible II.2.4Exercice:DistributeursdeBoisson(suite)...25 II.4.2EquivalenceObservationnellefaible...33 II.4.3Exercice...34 II.4.4ProprietesEqObservationnelleFaible...38 II.4.1Experimentationabstraite...31 II.5.1SystemedetransitionsQuotient...41 II.5.2Exemples...42 II.5ModeleAbstrait(Projection) III.1LogiquesModales II.5.3Exercice...44

43 III.1.2CalculPropositionnel...47 III.1.2.1Syntaxe...47 III.1.2.2Axiomatique...47 III.1.1Historique...46 III.1.2.4AxiomatiqueetSemantique...49 III.1.3LogiquesModales(Propositionnelles)...50 III.1.3.1Syntaxe...50 III.1.2.3Semantique...48 III.1.3.3StructuredeKripke...51 III.1.3.4Denitiondej=(relationdesatisfaisabilite)...52 III.1.3.5Exemple...53 III.1.3.2Semantique...50 III.2LogiqueTemporelleLineaire III.2.1DentiondeDux...55 III.2.1.1Syntaxe...55 III.1.3.6LogiquesTemporelles...54 III.2.1.3Denitiondej=...56 III.2.2"Extensions"deDux...59 III.2.3ExempledeSpecication...60 III.2.1.2Modele...56 III.2.3.2VericationdesProprietes...63 III.3LogiqueTemporelleArborescente:CTL 65 III.2.3.1FormalisationdesProprietesAttendues...61 III.3.2DenitiondeC.T.L III.3.1Modeled'Execution...66 III.3.3ExempledeSpecication...70 III.3.4VericationdesProprietes...71 III.3.4.1CaracterisationparPointsFixes...71 III.3.2.1Semantique...67 III.3.4.3CalculdeTH(InevFG)...73 III.3.5ExempledeVerication...74 III.4CaracterisationModaledesEqComportement III.3.4.2CalculdeTH(PotFG)...72 III.4.1.1Exemples...78 III.4.2Theoremed'Hennessy-Milner...81 III.4.1Logiqued'Hennessy-Milner IV.2Outils 83 IV.1Bibliographie 86

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