Cours de terminale S. Giorgio Chuck VISCA 13 mars Lois continues

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1 Cours de terminle S Giorgio Chuck VISCA 3 mrs 206 Lois continues

2 Tble des mtières I Lois continues : cours 2 I Du discret u continu : Exemples de lois continues 2 I. Densité de probbilité I.2 loi de probbilité d une vrible létoire I.3 L loi uniforme I.4 l loi exponentielle I.5 Les lois normles I.5. Approximtion d une loi binomile "centrée et réduite" I.5.2 Loi Normle centrée réduite I.6 les lois normles quelconques I.6. Définition I.6.2 moyenne et écrt-type I.6.3 intervlles remrqubles : plge de normlité II Lois Normles : Exercices et recherche de prmètres 2 Première prtie Lois continues : cours I Du discret u continu : Exemples de lois continues I. Densité de probbilité Définition d une densité Soit I un intervlle der. On ppelle densité de probbilité suri, toute fonction f continue, positive, et telle que f(t)dt =. EXEMPLES : Démontrer que l fonctionf définie prf(x) = est une densité de probbilité sur[,4] 3 Démontrer que l fonctiong définie prg(x) = est une densité de probbilité sur [0, e ]. x I I.2 loi de probbilité d une vrible létoire ACHTUNG : Dns tout ce qui suit X désigne une vrible létoire à vleurs dns un intervlle..

3 Clcul prtique et loi de probbilité On note I un intervlle deretf une densité de probbilité suri. Définition : L ppliction P qui à tout intervlle [,b] de I ssocie le réel P([,b]) = ppelée Loi de probbilité suri. b f(t)dt est Définition 2 : On dit qu une vrible létoire X à vleurs dns I suit une loi de probbilité P si pour tout intervlle [,b] dei on : P( X b) = P([,b]) = b f(t)dt. Définition 3 : L espérnce mthémtique (l moyenne en fit) d une vrible létoire X dont l densité est l fonction f sur l intervlle I est donné pr : E(X) = xf(x)dx. PROPRIÉTÉS : P({}) = P(X = ) = 0, ceci pour conséquence qu une loi continue ne chrge ps les points, c est à dire que P([,b]) = P([,b[) = P(],b]) = P(],b[). P([,b]) = P([,b]) Fondmentl Si X est une vrible létoire continue de densité de probbilité f sur I, lors pour tous réels et b de I tels que b, on : P( X b) = P(X b) P(X ) I Ci-contre est dessiné une courbe définissnt une densité de probbilité ; L probbilité que l vrible X étudiée soit dns l intervlle [;b] est lors donnée pr l ire comprise entre les droitesx =,x = b l courbe et l xe des bscisses ; vous comprendrez isément que l ire ne chnge ps si l on inclue on non les frontières... vleur de P[;b] b I.3 L loi uniforme PROBLÈME : Soit f une fonction constnte sur [,b]. Déterminer l vleur de cette constnte pour que f soit une densité de probbilité Loi uniforme Si l densité f est constnte sur [,b] et égle à, on dit que P est l loi uniforme. b L loi uniforme modélise le choix d un nombre quelconque de [,b]. En outre, si l vrible létoirex suit une loi uniforme sur[,b] on note X U[,b] : P(α X β) = P([α,β]) = β α β α dx = b b. Pr illeurs l espérnce mthémtique dex est ici donnée pre(x) = b xf(x)dx = +b 2 3 by Giorgio...

4 b P(α X β EXEMPLES : 0 α. On choisit u hsrd un nombre dns l intervlle [0,7] ;le choix est modélisé pr une loi uniforme. () Clculer l probbilité que ce nombre soit dns [2,5]. (b) Clculer l probbilité que ce nombre soit dns [4,6]. (c) ClculerP [2,5] ([4,6]). (d) Donner E(X) 2. on choisit un nombre u hsrd de[0,]. Clculer l probbilité que le premier chiffre près l virgule soit impir, schnt que ce nombre est strictement supérieur à Giorgio ttend devnt l porte du bhut. Il voit psser souvent un élève qui sort de chez l proviseure. On estime que le temps d ttente, en minutes, de l rrivée du prochin élève chez l proviseure suit l loi U[0,5]. () Quelle le temps d ttente moyen de Giorgio entre deux élèves qui vont chez le directeur? (b) Quelle est l probbilité qu il ttende entreet 3 minutes? I.4 l loi exponentielle REMARQUE : Dns tout ce qui suit il fudr donner un sens à β + borne infinie, nous définissons cette intégrle de l mnière suivnte : + X 0 b f(t)dt, donc à un intégrle vec une f(t)dt = lim f(t)dt. 0 X + 0 En conséquence, fites tous vos clculs sur [0,X] puis ensuite psser à l limite en+. EXERCICE : Soit λ un réel strictement positif. Démontrer que l fonction f λ définie prf λ (t) = λe λt est une densité de probbilité sur [0,+ [ Loi exponentielle Soit λ un réel strictement positif.on dit que P suit l loi exponentielle de prmètre λ sur [0,+ [ lorsque s densité de probbilité est l fonction f λ définie pr :f λ (t) = λe λt. Si l vrible létoirex suit l loi exponentielle de prmètreλon note X E(λ). On donc pour0 b : P([,b]) = b λe λt dt = e λ e λb. Cette probbilité est celle qui donne l probbilité pour que l durée de vie d une substnce ou un ppreil soit comprise entreet b. l loi exponentielle modélise en outre l loi de durée de vie d une substnce rdioctive 4 by Giorgio...

5 Ci-dessous l courbe def(t) = λe λt L ire totle sous l courbe vut Propriétés fondmentles. Si l vrible létoirex suit l loie(λ), son espérnce mthémtique est lors le réele(x) défini pr E(X) = lim x + x 0 tf(t)dt = + 0 λte λt dt = λ 2. Si l vrible létoirex suit l loie(λ), on lors pour tout réeltpositif ou nul,p(x t) = e λt et P(0 X t) = e λt 3. Si l vrible létoire X suit l loi E(λ), on dit que X suit lors une loi sns mémoire, ou sns vieillissement, c est à dire que pour tout t et s positifs, on : P X t (X t+s) = P(X s) by Giorgio...

6 I.5 Les lois normles I.5. Approximtion d une loi binomile "centrée et réduite" P(X = k) Sur l figure ci-contre, j i tbulé l loi binomile B(5, 0.6), Pr exemple qui donn el prob de succès qund mrguerite lnce une fléchette 5 fois de suite, vec une probbilité d tteindre le centre qui vut 0.6. C est à dire que n = 5 et p = 0.6. ( Pr exemple l probbilité P(X = 2) = 2) 5 (0.6) 2 (0.4) , ou encore P(X = 0) = (0.2) Bref vous vez pigé quoi =) k P(X = k) Ici j i ugmenté le nombre de répétition à 7, c est à dire que Mrguerite lnce 7 fois l fléchette sur l cible vec une ( prob de succès 7) de0.6. Donc P(X = 2) = 2 (0.6) 2 (0.4) k et on ugmente encore le nombre n de répétitions : ci dessous les distributions pour n = 20 et n = k Dns notre exemple, pour n = 50, et p = 0.6, l moyenne du nombre de succès est m = E(X) = np = = 30, qui est le sommet de l histogrmme. Son écrt type est donné pr σ = np( p) = pour l loi binomile. Nous llons réduire et centrer cette loi, en posnt Z = X m, cel donne l distribution de Z σ d espérnce 0 et d écrt-type suivnte : 6 by Giorgio...

7 P(Z = z) ici le cs où n = z P(Z = z) ici le cs où n = P(Z = z) z Bon à votre vis, qu est-ce que j i voulu mettre en évidence sur le schém ci-contre??? Mise à prt m fculté à tper des cours d une clrté Giorgesque =). Hey bien, lorsque n tend vers +, l histogrmme représentnt l distribution binomile, tend vers une courbe ppelée Courbe en cloche, ou courbe de Guss. Cette courbe représente l fonction f définie surrpr : f(x) = e x2 2 2π z ç ne s invente ps. Remrquez l beuté de ce résultt, en effet l écrt-type n pprit ps dns l formule, ce qui signifie que tout phénomène cournt tend finlement vers cette courbe, donc tout phénomène "norml" tend vers cette courbe. D où le nom de Loi normle. Le théorème de Moivre Lplce que nous llons voir, stipule simplement qu en fisnt tendre n vers +, où n est le nombre de répétition d une épreuve à deux issues, vec une probbilité de succès p, en centrnt cette distribution elle tendr vers l courbe de Guss "centrée réduite" définie précédemment. 7 by Giorgio...

8 Théorème de Moivre Lplce Si pour tout entier nturel n non nul, l vrible létoirex n suit l loi binomile de prmètresn et p, on rppelle lors que E(X n ) = np et que σ(x n ) = np( p). L vrible Z n = X n np = X n E(X n ) est ppelée l vrible centrée et réduite ssociée à X n. np( p) σ(x n ) C est à dire que son espérnce est nulle et son écrt type vut, donc E(Z n ) = 0 et σ(z n ) =. Soient etbdeux réels tels que b. On lors : I.5.2 Loi Normle centrée réduite b lim P( Z n b) = e x2 2 dx n + 2π LoiN(0,) Dire qu une vrible létoiret suit l loi normle centrée réduite notée N(0,), signifie que s densité de probbilité est l fonction f définie sur R prf(x) = e x2 2 2π les première propriétés. f est continue sur R 2. Pour tous réelsetbtels que b, on P( T b) = b f(x)dx 3. L ire totle sous l courbe entre et + est égle à et elle représente P(T R) c est à dire l évènement certin. 4. L fonction f est pire, c est à dire symétrique pr rpport à l xe des ordonnées, il en découle donc que P(T 0) = P(T 0) = Pour tout réel t, on P(T t) = P(T t) 6. Pour tout réelt, on P(T t) = P(T t), or comme l courbe est symétrique pr rpport à(oy), on P(T t) = P(T t), donc P(T t) = P(T t) 7. en outre P( t T t) = 2P(T t) 8 by Giorgio...

9 P(T t) t t t t b t t Propriété SiT est une vrible létoire qui suit l loi normle centrée réduiten(0,), lors pour tout nombre réel α ]0,[, il existe un unique nombre réel u α > 0 tel que P( u α T u α ) = α 9 by Giorgio...

10 I.6 les lois normles quelconques I.6. Définition Définition Soit m un nombre réel quelconque etσ > 0. On dit qu une vrible létoirex suit l loi normlen(m;σ 2 ), lorsque l vrible létoiret = X m σ suit l loi normle centrée réduiten(0;). En prticulier, on E(T) = 0 et σ(t) =. On note X N(m;σ 2 ). densité den(m;σ 2 ) l densité de probbilité de N(m;σ 2 ) est l fonction définie pour tout x R pr f(x) = σ 2( x m 2π e σ ) 2 I.6.2 moyenne et écrt-type propriétés Si X N(m;σ 2 ), on lors E(X) = m et σ(x) = σ, insi les prmètres d une loi normle ne sont utres que l moyenne et l écrt-type de celle-ci σ 2π m preuve : On rppelle que pour une vrible létoire X, on E(X + b) = E(X) + b et σ(x + b) = σ(x) vu en première pour les lois discrètes. Ces résultts ce générlisent ux lois continues. Donc six N(m;σ 2 ), on T = X m N(0;), orx = σt +m donce(x) = σe(t)+m = m cre(t) = 0 σ et σ(x) = σ σ(t) = σ crσ(t) = et que σ > 0 CQFD Cette loi est celle qui rend compte de diverses mesures d une grndeur donnée, opérées à diverses reprises, chque mesure étnt sujette à des erreurs. L loi normle (ou de Lplce-Guss, ppelée ń normle ż pr Person en 893) est l loi de certins phénomènes continus qui fluctuent utour d une vleur moyenne m, de mnière létoire, résultnte d un grnd nombre de cuses indépendntes dont les effets s joutent sns que l un d eux soient dominnt : pr exemple l tille d un individu en cm, influencée pr le sexe, l nourriture, l environnement, l hérédité, le lieu géogrphique... Voici des exemples de courbes pour quelques vleurs demetσ : 0 by Giorgio...

11 m = et σ = 0,2 m = 0 et σ = 0, m = et σ = 0.8 m = 2 et σ =. I.6.3 intervlles remrqubles : plge de normlité Intervlles remrqubles Si X suit l loi normle de prmètresmet σ, lors P(m σ X m+σ) 0,68. P(m 2σ X m+2σ) 0,95. P(m 3σ X m+3σ) 0,997. Démonstrtion : T = X m X = m+σt. σ Donc, pour t > 0, P( t T t) = P( σt σt σt) = P(m σt m+σt m+σt) = P(m σt X m+σt). Ainsi, en prticulier : P(m σ X m+σ) = P( T ) 0,68. P(m 2σ X m+2σ) = P( 2 T 2) 0,95. Interpréttion grphique : σ 2π m 2σ m σ m m+σ m+2σ by Giorgio...

12 Deuxième prtie Lois Normles : Exercices et recherche de prmètres 2 by Giorgio...