QUOI DE NOUVEAU EN PROBABILITE EN TERMINALE?

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1 QUOI DE NOUVEAU EN PROBABILITE EN TERMINALE? S ES et L STI2D et STL Probabilités Coditioemet Idépedace Coditioemet Lois à desité Loi uiforme Loi expoetielle Loi uiforme Loi uiforme Loi expoetielle Lois ormales Fluctuatio Théorème de Moivre-Laplace Loi stadard N (0,1) Loi N ( ; ²) Itervalle de fluctuatio asymptotique Prise de décisio Loi stadard N (0,1) Loi N ( ; ²) Itervalle de fluctuatio asymptotique Prise de décisio Loi N ( ; ²) Approcher ue biomiale par ue ormale Itervalle de fluctuatio asymptotique Prise de décisio Estimatio Itervalle de cofiace d ue proportio Itervalle de cofiace d ue proportio Itervalle de cofiace d ue proportio 1. Lois à desité 1.1. Variable aléatoire cotiue E classe de première, la variable aléatoire, état discrète, pred uiquemet des valeurs isolées (souvet etières). Mais das d autres modèles, la variable aléatoire X peut predre toute valeur de IR ou d u itervalle de IR. O dit alors que X est ue v.a. cotiue. Exemple : O dispose d ue populatio de tailles (e cm) d hommes adultes dot voici u résumé statistique et u histogramme des fréqueces : effectif miimum 145,1 maximum β 208,5 moyee 175,0 écart-type 8,0 médiae 175,0 X est la v.a qui à tout idividu pris au hasard das la populatio associe sa taille. X pred ses valeurs das l itervalle [α ; β] qu o partage e classes. L esemble des valeurs prises par X est l itervalle [α ; β]. X est ue v.a. cotiue. O costruit l histogramme des fréqueces avec u pas de plus e plus petit. Das le cas limite, o obtiet la courbe d ue foctio cotiue positive f qu o appelle desité de probabilité. La probabilité «totale» est alors étalée sur ue ifiité de valeurs possibles : P (α X β) = 1, mais chaque valeur de X a ue probabilité ulle de se produire : pour tout x i [α ; β], P (X = x i ) = 0 Quelle est la probabilité qu u idividu pris au hasard ait ue taille comprise etre x 1 et x 2? Das u histogramme, les fréqueces sot proportioelles aux aires; par aalogie : P (x 1 X x 2 ) = aire du domaie compris etre la courbe, l axe des abscisses et les droites d équatios x = x 1 et x = x 2 : P (x 1 X x 2 ) = x 1 x 2 f (t) dt

2 1.2. Défiitio C f Ue v.a. cotiue X est défiie par sa desité de probabilité : foctio f positive et défiie sur u itervalle I de IR. C f C f La loi de probabilité de X vérifie : P ( X I ) = 1 P ( X J ) = aire du domaie {M (x,y) ; x J et 0 y f (x) }, si J désige u itervalle iclus das I. J J Remarques : pour tout réel x de I, P(X = x) = 0, doc das les iégalités, o peut employer idifféremmet et < (ou et >) pour ue v.a. cotiue, la desité f e représete pas la probabilité de l évèemet (X = x) car celle-ci est ulle. Il faut plutôt garder à l esprit que : P(x X x dx) f (x) dx. Variable discrète Variable cotiue Espérace mathématique de X E(X) = xp E(X) = i i t f (t) dt Variace et écart-type de X 2 V(X) = E X E(X) (X) = V(X). V(X) = E X E(X) I 2 (X) = V(X). Espérace mathématique et variace d ue v.a. cotiue vérifiet les mêmes propriétés que celles éocées e première pour ue v.a. discrète Exemples Olivier viet tous les matis etre 7h et 7h 45 chez Karie predre u café. a. Sachat qu Olivier e viet jamais e dehors de la plage horaire idiquée et qu il peut arriver à tout istat avec les mêmes chaces, quelle desité peut-o attribuer à la variable aléatoire «heure d arrivée d Olivier»? b. Calculer la probabilité qu Olivier soe chez Karie après 7h 30? Etre 7h 20 et 7h 22? A 7h 30 très exactemet? Le temps d accomplissemet (e secodes) d ue certaie actio mécaique est u phéomèe aléatoire. Soit T la variable aléatoire qui à chaque actio mécaique, associe so temps d accomplissemet. La loi physique suivie par celle-ci suggère que la foctio de desité de T est défiie par : 0 si t 0 f ( t) cos t si 0 t si t 2 a. Doer ue allure de la courbe représetative de g. b. Vérifier que f est ue desité de probabilité. c. Quelle est la probabilité que le temps d accomplissemet dépasse 1,6 s?

3 Evolutio du taux de défaillace das le temps Pour la plupart des matériels, la courbe représetative du taux d avarie istataé a l allure d ue «courbe e baigoire». Lorsque le taux d avarie est costat, le matériel est e période de vie utile : les défaillaces sot aléatoires (mort sas vieillissemet). défaillaces vie utile défaillaces La variable aléatoire T, mesurat la durée de vie du matériel précoces d usure avat ue pae, suit la loi expoetielle de paramètre positif. Ce type de loi modélise les phéomèes «sas mémoire» comme les paes de matériels électroiques, les tremblemets de terre, les crues O démotre que P Tt (T t h) P(T h). Soit la v.a. T mesurat la durée de bo foctioemet (e jours) d u équipemet électroique fabriqué e grade série. T est ue variable cotiue de desité de probabilité f défiie sur]0 ; + [ par : f (t) 0,002e 0,002t (t) 0,002 0, a. Vérifier que f est ue desité de probabilité. b. Quelle est la probabilité que la durée de bo foctioemet d u équipemet soit iférieure à 1000 jours? c. Quelle est la probabilité que la durée de bo foctioemet d u équipemet soit supérieure à 400 jours? Soit X la v.a. qui, à ue aée prise au hasard, fait correspodre la hauteur maximale auelle de l Oise au pot d Auvers (e mètres). X suit ue loi de Rayleigh, de desité f défiie sur ]0 ; + [ par : f (t) 0,44 t e 0,22t 2 a. Vérifier que f est ue desité de probabilité. b. Quelle est la probabilité que la hauteur de cette rivière dépasse 3,80 m (ce qui correspod à ue crue exceptioelle)? 1.4. E guise de coclusio aalyser le problème observatios, expérieces statistiques simuler lois : proposer u ou plusieurs modèles faire"tourer" ces modèles sur ordiateur optimiser choisir le modèle le mieux adapté procédures de validatio

4 2. Variable cetrée réduite 2.1 Défiitio Ue v.a. est dite cetrée et réduite si so espérace est ulle et si so écart type est égal à 1. Soit X ue v.a. discrète d espérace E(X) = m, de variace V(X) et d écart type V( X) (o ul). X m O pose Z =. Alors o motre que Z est ue v.a. cetrée réduite. Ses paramètres (espérace et variace) état égaux à 0 et à 1, ils e dépedet plus de ceux de X. Pour la démostratio, o rappelle que si X est ue v.a., alors pour tous réels a et b : E(aX + b) = a E(X) + b V(aX + b) = a 2 V(X) (ax + b) = a(x) 2.2 Applicatio à la loi biomiale O cosidère X ue v.a. qui suit la loi biomiale B ( ; p) de paramètres et p. Alors : E(X ) = p ; V(X ) = p(1 p) = pq ; (X ) = X La v.a. F = correspod à la proportio de succès. E(F ) = p ; elle e déped pas de (mais déped toujours de p). p(1 p) V(F ) = ; elle dimiue si augmete (autremet dit plus augmete et plus les valeurs de F se resserret autour de p comme l illustret les schémas ci-dessous). pq. Pour cetrer et réduire X, o pose Z = X pred ses valeurs etre 0 et, Z les pred etre ue cocetratio plus grade si > 1) X p. Ses paramètres e dépedet plus de et de p. p(1 p) m et m avec les mêmes probabilités (mais avec

5 2.3 Théorème de Moivre-Laplace O cosidère X ue v.a. suivat la loi biomiale B ( ; p) et Z = associée. X p p(1 p) = X m, la v.a. cetrée réduite O représete Z o plus par u diagramme e bâtos mais par u histogramme : à chaque valeur k prise par X o 1 fait correspodre u rectagle dot l aire est égale à P(X = k) et dot la base est de logueur (qui est l écart etre deux valeurs prises par Z ) et la hauteur : P(X = k). O va s itéresser par exemple à P( 1 Z 2). Cette probabilité est doc représetée par la réuio de tous les 1 1 rectagles dot la base est le segmet 1 ; Il apparaît alors ue courbe régulière et symétrique délimitat ue aire qui est voisie de celle de la réuio des rectagles. x 1 2 Abraham de Moivre a découvert que cette courbe est la courbe représetative de la foctio x 2 e 2. O obtiet alors : P( 1 Z 2) A p fixé, l approximatio sera meilleure si est grad (car la largeur des rectagles dimiue). Théorème de Moivre-Laplace : dx. 1 2 e Soit X ue v.a. suivat la loi biomiale B ( ; p) et Z = Alors pour tous réels a et b tels que a < b, o a : lim x 2 P(a Z b) b a X p, la v.a. cetrée réduite associée. p(1 p) x e 2 dx

6 3. Loi ormale ou loi de Laplace - Gauss 3.1. Historique Cette loi est u modèle essetiel das l étude de la variabilité et a u usage très importat e statistique. Elle est apparue au début du XIX ème et s est itroduite par deux voies : Loi des erreurs (moidres carrés) e astroomie et géodésie avec Legedre puis Gauss. Théorèmes limites avec Beroulli puis Laplace ; Approximatio d ue biomiale par ue ormale avec Moivre puis Laplace Loi ormale cetrée réduite Ue variable aléatoire X suit la loi ormale N (0 ; 1) de paramètres 0 et 1 lorsque sa desité de probabilité est défiie sur IR par : f (x) 1 x 2 2 e 2 f (x) x x 2 2 e 2 est du sige de ( x), d où le tableau de variatio ci-cotre et la courbe «e cloche» ci-dessous : x 0 + f '(x) f (x) 0 2 Propriétés de cette courbe : elle est symétrique par rapport à la droite d équatio x = 0. ses poits d iflexio ot pour abscisses ± 1. l aire totale du domaie compris etre la courbe et l axe des abscisses est égale à 1. 0 Espérace mathématique : 0 E(X) = lim t f (t)dt lim x Variace : V(X) = E X E(X) Ecart type : (X) = x y 2 = 1 y t f (t)dt = 0 0 Propriété (démotrée e S) : Pour das] 0 ; 1[, il existe u uique réel positif P(u X u ) 1 si X suit la loi N (0 ; 1) u tel que Par exemple, o obtiet u 0,05 1,96 et u 0,01 2,58, ce qui peut s illustrer par le graphique ci-cotre :

7 3.3. Loi ormale N ( ; ²) Ue variable aléatoire X suit la loi ormale N ( ; ²) lorsque sa desité de probabilité est défiie sur IR par : 1 f (x) 1xm 2 2 e 2 O obtiet des courbes «e cloche» dot la forme déped des paramètres et. Propriété : si X suit la loi ormale N ( ; ²), alors la variable aléatoire Z défiie par Z = réduite N (0 ; 1). X suit la loi ormale cetrée P ( X + ) = P ( 1 Z 1 ) 0,68 P ( 2 X + 2) = P ( 2 Z 2 ) 0,95 P ( 3 X + 3) = P ( 3 Z 3 ) 0,997. O peut justifier que : E(X) = et V(X) = ² 3.4. Approximatio d ue loi biomiale par ue loi ormale Soit X ue variable aléatoire qui suit la loi biomiale B ( ; p). D après ue coséquece du théorème de Moivre-Laplace, si est assez grad (e gééral, lorsque 30, p 5 et (1-p) 5), alors X suit approximativemet la loi ormale N ( ; ²) avec = p et = p(1 p) : l'espérace et l'écart type sot coservés. La plache de Galto est ue illustratio classique de cette approximatio. Fracis Galto éprouva le besoi d expérimeter pour compredre les propriétés de la loi ormale.

8 4. Itervalle de fluctuatio 4.1 Itervalle de fluctuatio asymptotique Soit X ue v.a. suivat la loi biomiale B ( ; p) et u réel das ]0 ; 1[. U itervalle de fluctuatio de X au seuil 1 est u itervalle [a ; b] tel que P(X [a ; b]) 1. Das le programme de secode, o a défii u itervalle de fluctuatio approché au seuil 0,95, de la X variable fréquece F =, par p 1 ; p 1, valable sous certaies coditios de et de p. a E première, o a détermié l itervalle de fluctuatio ; b, calculé à partir de la loi biomiale, a état le plus petit etier tel que P(X a) > 0,025 et b le plus petit etier tel que P(X b) 0,975. Cet itervalle coviet pour toutes les valeurs de et de p. E termiale, le théorème de Moivre-Laplace va permettre de doer u itervalle de fluctuatio plus facilemet calculable qu e première, sous réserve que soit assez grad (mais valable pour toute valeur de p). Comme il est obteu grâce à ue covergece, o le qualifie d itervalle de fluctuatio asymptotique. Notos Z ue v.a. suivat la loi ormale N (0 ; 1). Il existe u uique réel u tel que P(u Z u ) = 1. X E posat Z = p, d après le théorème de Moivre-Laplace o a : lim P(u Z u ) P(u Z u ) p(1 p) Or P(u Z u ) = P p u p(1 p) X p u p(1 p) doc : lim + p(1 p) = P p u p(1 p) P p u X p u X p u p(1 p) p(1 p) = 1. Théorème : si X suit la loi biomiale B ( ; p), alors pour tout das ]0 ; 1[, o a : lim P X I p(1 p) p(1 p) = 1 avec I = p u ; p u. p(1 p) p u ; p u p(1 p) est appelé itervalle de fluctuatio asymptotique au seuil 1. Cet itervalle cotiet F = X avec ue probabilité d autat plus proche de 1 que est grad. O coviet d utiliser cette approximatio si 30, p 5, (1 p) Cas particulier Si = 5%, o a u = 1,96. L itervalle de fluctuatio asymptotique au seuil de 95% est doc : p1,96 p(1 p) ; p1,96 p(1 p)

9 Cosidéros la représetatio graphique de la foctio f défiie par f(x) = Pour tout x de [0 ; 1], 0,5 et u = 1,96 2 O a alors : u 1, et l o obtiet l'itervalle de fluctuatio au seuil de 95 % : p 1 ; p 1. O retrouve l itervalle de fluctuatio vu e secode. Cette majoratio est valable, d u poit de vue statistique, pour 0,2 p 0,8 sio o augmeterait trop l amplitude de l itervalle de fluctuatio. 4.3 Exemple de prise de décisio : la parité, c est quoi? Deux etreprises A et B recrutet das u bassi d emploi où il y a autat de femmes que d hommes, avec la cotraite du respect de la parité. Das l etreprise A, il y a 100 employés dot 43 femmes; das l etreprise B, il y a 2500 employés dot 1150 femmes (soit 46%). Ces etreprises respectet-elles la parité? La parité sigifie que l idetité sexuelle iterviet pas au iveau du recrutemet, c est-à-dire qu au iveau du caractère homme ou femme, les résultats observés pourraiet être obteus par choix au hasard des idividus das la populatio. Les etreprises peuvet doc être assimilées à des échatillos de taille prélevés das ue populatio où la fréquece étudiée p est égale à 0,5. Les itervalles de fluctuatio au iveau 0,95 sot : p(1 p) p(1 p) p1,96 ; p1,96, soit 0,5 0,98 0,98 ; 0,5 L etreprise A est u échatillo de taille 100 dot l itervalle de fluctuatio est [0,402 ; 0,598]. L etreprise B est u échatillo de taille 2500 dot l itervalle de fluctuatio est [0,48 ; 0,52]. Coclusio : la valeur 43% est das l itervalle de fluctuatio pour u échatillo de taille 100 alors que 46% est pas das l itervalle de fluctuatio pour u échatillo de taille 2500! Autremet dit : pour l etreprise B, la proportio de 46% s observe das mois de 5% des échatillos de taille 2500 prélevés au hasard das ue populatio où il y a autat d hommes que de femmes. O peut alors rejeter l hypothèse que cette etreprise respecte la parité. Mais e preat cette décisio, o pred le risque de se tromper, ce risque état égal à 5%. Pour l etreprise A, o cosidère que le résultat observé est compatible avec le modèle (l écart etre f et p est probable, au ses où il est coteu das la fourchette que le hasard produirait avec 95% des échatillos evisageables). De ce fait, o peut accepter l hypothèse que cette etreprise respecte la parité. Mais là aussi e preat cette décisio, o a u risque de se tromper, risque icou das ce cas.

10 5. Itervalle de cofiace 5.1 Itroductio Il est souvet difficile de pouvoir recueillir des doées sur la populatio toute etière. Le plus souvet, o travaille à partir d u échatillo prélevé de maière aléatoire pour estimer le paramètre icou de la populatio (par exemple ue proportio p). Or cette estimatio va varier d u échatillo à l autre du fait de la fluctuatio d échatilloage. Il est doc écessaire d apprécier l icertitude e fourissat ue estimatio par itervalle, appelé itervalle de cofiace de p au iveau qu o s est fixé. s ECHANTILLONNAGE : à partir des iformatios coues das la populatio, o détermie si l échatillo prélevé est représetatif ou o. INTERVALLE DE FLUCTUATION Populatio O coait par exemple la proportio p de femmes O e coait pas la proportio p M de persoes ayat la maladie M Echatillo O O calcule la fréquece F f de femmes pour décider si l échatillo est représetatif O calcule la fréquece f M de persoes ayat la maladie M s ESTIMATION : à partir des doées de l échatillo, o estime les paramètres icous de la populatio. INTERVALLE DE CONFIANCE 5.2 Itervalle de cofiace X Lorsque 30, p 5, (1 p) 5, o a détermié l itervalle de fluctuatio de F = au iveau 0,95 par la formule p 1 ; p 1. Si p est icou, o peut approximer p par la fréquece f obteue avec l échatillo mais cette estimatio poctuelle est pas satisfaisate car elle e tiet pas compte de. Or l estimatio est forcémet meilleure sur u échatillo de grade taille. O sait que pour suffisammet grad o a : P p 1 X p 1 0,95 Comme p 1 F p 1 F 1 p F 1, alors : P F 1 p F 1 0,95 L itervalle aléatoire F 1 ; F 1 a doc ue probabilité au mois égale à 0,95 de coteir p. Il est appelé itervalle de cofiace (théorique) de p au iveau 95%. Pour ue observatio doée d u échatillo, o obtiet ue réalisatio de cet itervalle avec la fourchette f 1 ; f 1 qui représete u itervalle de cofiace de p au iveau 95% d après l échatillo observé. O a 5% de risque que cette costructio aboutisse à u itervalle e coteat pas p. Autremet dit, si l o prélève u très grad ombre d échatillos, eviro 95% des itervalles de cofiace obteus cotieet p.

11 5.3 Remarque Si o part de l itervalle de fluctuatio au seuil de 5% vu e termiale, pour suffisammet grad o a : P p1,96 ce qui est équivalet à : P F 1,96 p(1 p) F p1,96 p(1 p) p F 1,96 p(1 p) 0,95, p(1 p) 0,95 p(1 p) p(1 p) O obtiet l itervalle aléatoire F 1,96 ; F 1,96 qui déped du paramètre p icou. O remplace p par so estimatio poctuelle f (car o peut démotrer que das l écart type, f est u bo estimateur de p) et o obtiet alors l'itervalle de cofiace de p au iveau 0,95 d'après l'échatillo (1 ) (1 ) observé : 1,96 f f f ; f 1,96 f f 5.4 Simulatio Sur tableur, pour ue proportio qu o se fixe, o peut simuler u grad ombre d itervalles de cofiace au iveau 0,95 et observer que tous e cotieet pas écessairemet p. 5.5 Exemple : marge d erreur de 3% du sodage par quotas La plupart des sodages e Frace sot effectués auprès de 1000 persoes. O obtiet alors l'itervalle de cofiace : [f 0,03 ; f + 0,03]. Le tableau ci-dessous présete les résultats du derier sodage effectué les 17/18 Avril 2002 et les résultats du premier tour de l électio présidetielle du 21 Avril 2002 : Sodage Electio Chirac 19,5 % 19,7 % Jospi 18,0 % 16,1 % Le Pe 14,0 % 16,9 % Si les résultats du derier sodage avaiet été aocés avec ue marge d erreur de 3%, voici le graphique qui aurait été doé : Il apparaît que toutes les cofiguratios de l ordre des trois premiers cadidats étaiet possibles. O peut se demader si les sodeurs et les jouralistes aoçaiet que leur marge d erreur est de 3%, est-ce que ous serios iodés de sodages comme c est le cas aujourd hui?

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13 Aexe :