Le raccordement parabolique

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Fabrice Chartier
il y a 6 ans
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1 Le rccordement prbolique. Définition de l prbole L prbole est une courbe à une brnche dont tous les points sont équidistnts d'un point fie F et d'une droite fie (D). Le point fie est le foyer et l droite s'ppelle l directrice. FM=MH Y P M F (D) S O H X Directrice L droite OY est l'e de l prbole. Elle coupe l prbole u point S qui est le sommet. L distnce constnte OF du foyer à l directrice s'ppelle, le prmètre. De ce fit : OS=SF= Le tringle rectngle MFP donne : MF =MP +PF = + y- MF =MH = y+ y+ = + y- J. BAQUIE Ing. E.S.G.T. L rccordement prbolique 007/008 Pge sur 9

2 y + y+ = +y - y+ y= D où l'éqution dns le repère (S,X,Y): y= L première dérivée donne y= et l dérivée seconde y = ds Nous pouvons clculer le ryon de courbure donné pr l formule R= = dρ 3 +y y Cel donne R= + 3 Les ryons de rccordement étnt très grnds pr rpport u développement du rccordement, il est sensiblement égl sur toute s longueur. Nous llons le clculer pourle sommet S d'bscisse nulle (=0).. Appliction u TP.. Crctéristiques R= Nous dopterons pour les rccordements en sommet une vleur positive pour R (=R) et pour ceu en creu une vleur négtive (=-R). J. BAQUIE Ing. E.S.G.T. L rccordement prbolique 007/008 Pge sur 9

3 Y u u B A T T E' X S X X E L figure de démonstrtion ci-dessus étnt en creu (R négtif) nous prtons sur une éqution de l prbole dns le système (S,X,Y): y=- R L dérivée est lors dy =- d R, mis l vleur dy =-p est l pente en un point de l courbe. d Rppel : l vleur de p est positive en rmpe et négtive en pente. Le sens ser pris depuis l'origine du projet (sens des X positifs). D où u points de tngence T et T nous pouvons écrire ; p =- et p =- R R T Ou encore =-p.r et T=-p.R L distnce entre X et X vut dns le système (S,X,Y) : - + T =R.(p -p ) Une des prticulrités de l prbole est d'voir l'églité de l projection des tngentes sur l'e des X (voir démonstrtion en nnee), ou encore : - R p -p +T u= = u R p p J. BAQUIE Ing. E.S.G.T. L rccordement prbolique 007/008 Pge 3 sur 9

4 Dns toutes les formules, R, p, p vec leur signe (R positif en sommet et négtif en creu, p positif en rmpe et négtif en pente). En prtnt d'un point connu sur chque pente (ou rmpe) respectivement A et B et des pente p et p, nous pouvons clculer les coordonnées (bscisse, ordonnées y) de E, intersection des pentes à rccorder. En isolnt E y -y y -y E A B E p= et p= E - A B - E D où y E=y A+p E-A et y E=y B+p E- B En églisnt y -y +p. - -p. - =0 A B E A E B y -y +. p -p -p. +p. =0 A B E A B y -y +p. -p. = E p -p B A A B Nous pouvons clculer les coordonnées des points de tngence =E-u=-p.R et y =-.R de même T= E+u=-p.R et T y T=-.R Enfin nous pouvons définir l'bissement s qui est l distnce EE' s = y E y E' -E' -E s= y +u p - = y +u p - R R E u+ s=- +u p - +u p R R R R u u +u + s=- - + R R R -- u u +u + s R J. BAQUIE Ing. E.S.G.T. L rccordement prbolique 007/008 Pge 4 sur 9

5 s - - u u +u + R R p -p R p-p u s= = = R R 8 R R p -p s= 8.. Mise en œuvre En quittnt le système de référence (S, X, Y) et en prennt un système générl (X, Z) utilisé en génie civil vec une bscisse nulle à l'origine du projet et des ltitudes référencée u géoïde (pln de comprison), nous llons voir l'enchînement des clculs nécessires u rccordement : formules encdrées.. Clcul des coordonnées (bscisse X, ordonnées Z) de E, intersection des pentes à rccorder. L formule utilisée dns l démonstrtion générle se trduit comme suit. Z -Z +p.x -p.x X= E p -p B A A B Z =Z +p. X -X =Z +p. X -X E A E A B E B Les point A et B se situent respectivement sur les pentes p et p. b. Clcul de l demi-distnce R. p-p u= c. Clcul des points de tngence Dns un système générl, il fudr clculer les Z pr rpport à Z E. X = X E - u et X T = X E + u Z =ZE-u.p et Z T=Z E+u.p d. Clcul du sommet Dns le système générl X S = X = X + p.r et J. BAQUIE Ing. E.S.G.T. L rccordement prbolique 007/008 Pge 5 sur 9

6 Idem depuis T, d'ou p Z =Z -y =Z + =Z + R S X S = X + p.r = X T + p.r et Z S = Z + y = Z T + y T e. Clcul de points à implnter Nous llons trouver une formule générle pour clculer l'ordonnée Y d'un point à prtir de son bscisse X (prise à l'origine du projet). Cette bscisse peut être une vleur régulière d'implnttion, tous les 5m pr eemple ou être une vleur prticulière. Les delts en bscisse ou en ordonnée sont le mêmes que ce soit dns le système prticulier (S, X, Y) ou dns le système générl (X, Z). Donc X-X =- =y-y Nous vons ussi les équtions y=- ety =-.R.R Nous pouvons lors poursuivre ( - ) = =- =-.R.R.R.R.R (- ) +. - =-.R (- ) = R R (- ) =- +p. -.R (- ) Z=Z +p. - -.R Cette formule peut se mettre dns le système générl pr substitution (X-X ) Z=Z +p. X-X -.R J. BAQUIE Ing. E.S.G.T. L rccordement prbolique 007/008 Pge 6 sur 9

7 Clculs Données f. Clcul de l'bissement Nous utilisons l formule de bse qui ne fit ps intervenir de coordonnées et qui est donc pplicble. R p -p s= 8.3. Applictions er eemple vec un rccordement en sommet Désigntion X Y Remrque Point A 300,00 50,00 Rmpe pssnt pr A 3% Point B 650,00 53,00 Pente pssnt pr B -% 3 Ryon de rccordement 5000 Vleur positive 4 Clcul de l'intersection. Point E 500,00 56,00 5 Clcul de u 5 6 Clcul des points de tngence Points T 375,00 5,5 Points T 65,00 53,50 7 Clcul du sommet Point S 55,00 54,50 8 Clcul de points à implnter X=400 X=45 X=450 X=475 X=500 X=55 5,938 53,500 53,938 5,50 54,438 54,500 9 Abissement,563,56 bissement J. BAQUIE Ing. E.S.G.T. L rccordement prbolique 007/008 Pge 7 sur 9

8 Clculs Données ème eemple vec un rccordement en creu Désigntion X Y Remrque Point A 300,00 50,00 Rmpe pssnt pr A -3% Point B 650,00 53,00 Pente pssnt pr B % 3 Ryon de rccordement 5000 Vleur négtive 4 Clcul de l'intersection. Point E 380,00 47,60 5 Clcul de u 5 6 Clcul des points de tngence Points T Points T 55,00 505,00 5,35 50,0 7 Clcul du sommet Point S 405,00 49,0 8 Clcul de points à implnter X=80 X=305 X=330 X=355 X=380 X=405 50,663 50,00 49,663 49,350 49,63 49,00 9 Abissement -,563 -,563 bissement J. BAQUIE Ing. E.S.G.T. L rccordement prbolique 007/008 Pge 8 sur 9

9 ANNEXE Prtnt du clcul de l'bscisse du point d'intersection E, nous llons clculer l différence entre cette bscisse et celle du point de tngence T, pour démontrer que elle est l moitié de l différence d'bscisses entre les deu points de tngence T et T. y -y +p. -p. y -y +p. -p. -p. +p. - = - = E p-p p-p p R.p. -.R.R E- = = p -p.r. p -p - = E R.p. -.R. p -p R.p - R.p +R.p -.R.p E- =. =. R. p -p R. p -p - R.p -R.p - R. p -p E- =. = R. p -p R. p -p - E- = C.Q.F.D. E- = u J. BAQUIE Ing. E.S.G.T. L rccordement prbolique 007/008 Pge 9 sur 9

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