Un exemple. Données linéairement séparables

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Un exemple. Données linéairement séparables"

Transcription

1 Classification linéaire binaire Un exemple X R n, Y = { 1, 1} Définition. Un classifieur linéaire (ou perceptron) est une fonction de la forme 1 si hw, xi + b 0 f (x) = 1 sinon. où w 2 R n, b 2 R, et hw, xi désigne le produit scalaire entre w et x : si w =(w 1,...,w n) et x =(x 1,...,x n), hw, xi = P n w ix i. X = R 2 Classifieur linéaire défini par w =(1, 2) et b = 1: 1 si x1 + 2x f (x 1, x 2 )= sinon. Par exemple, f (0, 0) = 1 et f (1, 1) =1. Hyperplan d équation x 1 + 2x 2 1 = 0 x x1 Interprétation géométrique : hw, xi + b = 0 est l équation d un hyperplan affine qui sépare X en deux demi-espaces correspondant aux deux classes. On peut toujours supposer que b = 0 en rajoutant une coordonnée, égale à 1 pour tous les exemples : f (x 1, x 2, x 3 )=1 si x 1 + 2x 2 x 3 0 et -1 sinon ; f (0, 0, 1) = 1 et f (1, 1, 1) =1 François Denis, Hachem Kadri, Cécile Capponi ( LaboratoireIntroduction d Informatique à l apprentissage Fondamentale automatique de Marseille Université d Aix-Marseille) February 3, / 16 François Denis, Hachem Kadri, Cécile Capponi ( LaboratoireIntroduction d Informatique à l apprentissage Fondamentale automatique de Marseille Université d Aix-Marseille) February 3, / 16 Expressivité des perceptrons Données linéairement séparables Les classifieurs linéaires peuvent sembler a priori très peu expressifs : pourquoi des données naturelles se répartiraient-elles de part et d autres d un hyperplan? Cette intuition n est pas forcément vérifiée en très grande dimension (cas de classification de textes, par exemple). Nous verrons par la suite que plonger les données initiales dans un espace de grande dimension au moyen d une transformation non linéaire accroît leur séparabilité. A complex pattern-classification problem, cast in a high-dimensional space nonlinearly, is more likely to be linearly separable than in a low-dimensional space, provided that the space is not densely populated. (T.M. Cover, 1965) Un échantillon S = {(x 1, y 1 ),...,(x l, y l )} (X Y ) l est linéairement séparable s il existe un classifieur linéaire qui classe correctement tous les exemples de S. Exemples : S = {((0, 0), 1), ((1, 0), 1), ((0, 1), 1)} est linéairement séparable. S = {((0, 0), 1), ((1, 0), 1), ((0, 1), 1), ((1, 1), 1)} n est pas linéairement séparable (XOR). François Denis, Hachem Kadri, Cécile Capponi ( LaboratoireIntroduction d Informatique à l apprentissage Fondamentale automatique de Marseille Université d Aix-Marseille) February 3, / 16 François Denis, Hachem Kadri, Cécile Capponi ( LaboratoireIntroduction d Informatique à l apprentissage Fondamentale automatique de Marseille Université d Aix-Marseille) February 3, / 16

2 Données linéairement séparables Remarques Lemme : Si des données S = S P [ S N sont linéairement séparables, on peut trouver un hyperplan séparateur tel qu aucune donnée ne soit sur la frontière de décision. Preuve: Soit (w, b) tel que 8x 2 S P, hw, xi + b 8x 2 S N, hw, xi + b < 0 et soit = min{ 0 et (hw, xi + b) x 2 S N }. Alors: 8 hw, xi + b + < 2 > 0 8 x 2 S P 2 : apple 2 < 0 8 x 2 S N Les isométries et les homothéties préservent la séparabilité. En rajoutant une dimension, on peut supposer que les hyperplans séparateurs passent par l origine : ajouter une coordonnée x n+1 = 1 à tous les exemples et poser w n+1 = b. On parlera d échantillon complété. Séparer des données linéairement séparables peut être résolu en temps polynomial par un algorithme de programmation linéaire : chaque exemple (x i, y i ) fournit une contrainte linéaire y i (hw, x i i + b) > 0. Il existe une infinité d hyperplans séparant un échantillon séparable : ils ne sont pas équivalents du point de vue de l apprentissage. Ainsi le classifieur linéaire (w, b + ) satisfait le lemme. 2 François Denis, Hachem Kadri, Cécile Capponi ( LaboratoireIntroduction d Informatique à l apprentissage Fondamentale automatique de Marseille Université d Aix-Marseille) February 3, / 16 François Denis, Hachem Kadri, Cécile Capponi ( LaboratoireIntroduction d Informatique à l apprentissage Fondamentale automatique de Marseille Université d Aix-Marseille) February 3, / 16 Algorithme d apprentissage du Perceptron (Rosenblatt, 1958) Algorithme d apprentissage du Perceptron Soit S = S P [ S N R n+1 { 1, 1} un échantillon complété linéairement séparable. Soit w le classifieur linéaire courant. Si (x, y) 2 S P est mal classé, hw, xi < 0 et il faudrait augmenter hw, xi, si (x, y) 2 S N est mal classé, hw, xi 0 et il faudrait diminuer hw, xi, Idée : prendre w new = w + xy. si y = 1, hw new, xi = hw, xi + x 2 hw, xi ; si y = 1, hw new, xi = hw, xi x 2 applehw, xi. Algorithme d apprentissage du Perceptron Entrée : S = {(x 1, y 1 ),...,(x l, y l )}, un échantillon complété linéairement séparable de R n+1 { 1, 1} w 0 = 0 2 R n+1, k = 0 Répéter Pour i = 1 à l Si y i hw k, x i iapple0 alors w k+1 = w k + y i x i k = k + 1 FinPour Jusqu à ce qu il n y ait plus d erreurs Sortie : w k François Denis, Hachem Kadri, Cécile Capponi ( LaboratoireIntroduction d Informatique à l apprentissage Fondamentale automatique de Marseille Université d Aix-Marseille) February 3, / 16 François Denis, Hachem Kadri, Cécile Capponi ( LaboratoireIntroduction d Informatique à l apprentissage Fondamentale automatique de Marseille Université d Aix-Marseille) February 3, / 16

3 Exercice Propriétés Utilisez l algorithme du perceptron pour séparer l échantillon {((0, 0), 1), ((0, 1), 1), ((1, 0), 1), ((1, 1), 1)}. Dessinez l hyperplan obtenu. k w k x k mal classé y k L algorithme du Perceptron est une procédure on-line, par correction d erreurs (error-driven). L algorithme est correct : lorsqu il converge, l hyperplan retourné sépare les données fournies en entrée L algorithme est complet : si S est linéairement séparable, l algorithme converge. Dans le pire des cas, le nombre d itérations est égal à (n + 1) 2 2 (n+1) log(n+1). Complexité exponentielle! Très mauvaise tolérance au bruit. François Denis, Hachem Kadri, Cécile Capponi ( LaboratoireIntroduction d Informatique à l apprentissage Fondamentale automatique de Marseille Université d Aix-Marseille) February 3, / 16 François Denis, Hachem Kadri, Cécile Capponi ( LaboratoireIntroduction d Informatique à l apprentissage Fondamentale automatique de Marseille Université d Aix-Marseille) February 3, / 16 Forme duale de l algorithme du perceptron Forme duale de l algorithme du perceptron Remarque : l hypothèse finale est une combinaison linéaire des exemples d apprentissage. lx w = i y i x i. Les nombres i sont positifs et égaux au nombre de fois où une mauvaise classification de x i a entraîné une mise à jour du perceptron. Ils peuvent être vus comme une représentation duale de la solution :! lx f (x) =sgn(hw, xi + b) =sgn i y i hx i, xi + b. entrée : S = {(x 1, y 1 ),...,(x l, y l )}, un échantillon complété linéairement séparable = 0 2 R l répéter Pour i = 1 à l Si y i ( P l j=1 jy j hx j, x i i) apple 0 alors i = i + 1 FinSi FinPour Jusqu à ce qu il n y ait plus d erreurs Sortie : François Denis, Hachem Kadri, Cécile Capponi ( LaboratoireIntroduction d Informatique à l apprentissage Fondamentale automatique de Marseille Université d Aix-Marseille) February 3, / 16 François Denis, Hachem Kadri, Cécile Capponi ( LaboratoireIntroduction d Informatique à l apprentissage Fondamentale automatique de Marseille Université d Aix-Marseille) February 3, / 16

4 Exercice Propriétés de l algorithme dual Utilisez l algorithme du perceptron pour séparer l échantillon {((0, 0), 1), ((0, 1), 1), ((1, 0), 1), ((1, 1), 1)}. Dessinez l hyperplan obtenu. k k x k mal classé y k dans la représentation duale, le nombre de paramètres de la solution ne dépend pas de la dimension de l espace dans lequel les x i sont plongés, les exemples d apprentissage ne sont pris en compte par l algorithme que par l intermédiaire de leurs produits scalaires. On appelle Matrice de Gram la matrice G =(hx i, x j i) 1applei,japplel : elle suffit à trouver une solution. François Denis, Hachem Kadri, Cécile Capponi ( LaboratoireIntroduction d Informatique à l apprentissage Fondamentale automatique de Marseille Université d Aix-Marseille) February 3, / 16 François Denis, Hachem Kadri, Cécile Capponi ( LaboratoireIntroduction d Informatique à l apprentissage Fondamentale automatique de Marseille Université d Aix-Marseille) February 3, / 16 Plongements non linéaires Séparation linéaire après plongement non linéaire Soit S = {(0, 0), 1;(0, 1), 1;(1, 0), 1;(1, 1), 1}. On considère le plongement de R 2 dans R 3 défini par (x (1), x (2) )=(x (1), x (2), x (1) x (2) ). S = {( (x), y) (x, y) 2 S} = {(0, 0, 0), 1;(1, 0, 0), 1;(0, 1, 0), 1;(1, 1, 1), 1}. S = {(0, 0, 0, 1), 1;(1, 0, 0, 1), 1;(0, 1, 0, 1), 1;(1, 1, 1, 1), 1}. ce qui conduit k w k x k mal classé y k au plan séparateur d équation x (1) + x (2) 3x (3) 1 = 0 dans R 3 et à la courbe séparatrice d équation x (1) + x (2) 3x (1) x (2) 1 = 0 dans R 2. François Denis, Hachem Kadri, Cécile Capponi ( LaboratoireIntroduction d Informatique à l apprentissage Fondamentale automatique de Marseille Université d Aix-Marseille) February 3, / 16 François Denis, Hachem Kadri, Cécile Capponi ( LaboratoireIntroduction d Informatique à l apprentissage Fondamentale automatique de Marseille Université d Aix-Marseille) February 3, / 16

5 Séparation linéaire après plongement non linéaire (suite) On considère un plongement Matrice de Gram de S : de R 2 dans H, espace muni d un produit scalaire, vérifiant h (x), (y)i H = 1 + x (1) y (1) + x (2) y (2) + x (1) y (1) x (2) y (2). 0 B (h (x i ), (x j )i H ) 1applei,japple S Algorithme dual du perceptron k n k (x k ) mal classé y k x x x x X f (x) =sgn( n i y i h (x i ), (x)i H ) = sgn( 6 + 4(1 + x (1) )+4(1 + x (2) ) 3(1 + x (1) + x (2) + x (1) x (2) )) = sgn( 1 + x (1) + x (2) 3x (1) x (2) ) François Denis, Hachem Kadri, Cécile Capponi ( LaboratoireIntroduction d Informatique à l apprentissage Fondamentale automatique de Marseille Université d Aix-Marseille) February 3, / 16 1 C A Kernel trick On appelle noyau toute fonction k : X X! R qui peut être interprétée comme un produit scalaire dans un plongement : k(x, y) =h (x), Tout algorithme d apprentissage qui n utilise que les produits scalaires des données (matrice de Gram) peut être kernelisé. Le perceptron à noyau est un classifieur qui est f : x 7! signe( (y)i lx i y i k(x, x i )) linéaire dans l espace de plongement (avec toutes les garanties associées) et non linéaire dans l espace initial. François Denis, Hachem Kadri, Cécile Capponi ( LaboratoireIntroduction d Informatique à l apprentissage Fondamentale automatique de Marseille Université d Aix-Marseille) February 3, / 16 Perceptron à noyau Exemples de noyaux : Noyau polynomial homogène entrée : S = {(x 1, y 1 ),...,(x l, y l )}, un échantillon complété = 0 2 R l répéter Pour i = 1 à l Si y i ( P l j=1 jy j k(x j, x i )) apple 0 alors i = i + 1 FinSi FinPour Jusqu à ce qu il n y ait plus d erreurs Sortie : x 7! signe( P i iy i k(x, x i )) Noyau polynomial Noyau gaussien : X = R n, k(x, y) = X = R n, k(x, y) = 1 +! d nx x i y i! d nx x i y i. x y 2 k(x, y) =exp La dimension de l espace de plongement est finie pour les noyaux polynomiaux et infini (espace de Hilbert) pour le noyau gaussien... mais le plongement est virtuel. 2 2 François Denis, Hachem Kadri, Cécile Capponi ( LaboratoireIntroduction d Informatique à l apprentissage Fondamentale automatique de Marseille Université d Aix-Marseille) February 3, / 16 François Denis, Hachem Kadri, Cécile Capponi ( LaboratoireIntroduction d Informatique à l apprentissage Fondamentale automatique de Marseille Université d Aix-Marseille) February 3, / 16

6 Caractérisation des noyaux Séparation linéaire après plongement non linéaire (suite) Théorème : une fonction k : X X! R est un noyau ssi pour tout m-uplet x 1,...,x m d éléments de X, la matrice de Gram k(x i, x j ) 1applei,japplem est définie positive, c est-à-dire que pour tous réels c 1,...,c m, X c i c j k(x i, x j ) 0. i,j A retenir : on sait (théoriquement) caractériser les fonctions noyaux et déterminer un plongement correspondant. Sur l exemple précédent, on considère le noyau Gaussien x y 2 k(x, y) =exp 2 2. Matrice de Gram de S : 0 B (h (x i ), (x j )i H ) 1applei,japple S à noyau : n =[1, 1, 1, 1] convergence en 4 étapes chaque exemple a été mal classé une et une seule fois ce qui conduit au classifieur C A f (x) =sg( e x 2 /2 + e ((x(1) 1) 2 +(x (2) ) 2 )/2 + e ((x(2) 1) 2 +(x (1) ) 2 )/2 e ((x(1) 1) 2 +(x (2) 1) 2 )/2 ) François Denis, Hachem Kadri, Cécile Capponi ( LaboratoireIntroduction d Informatique à l apprentissage Fondamentale automatique de Marseille Université d Aix-Marseille) February 3, / 16 François Denis, Hachem Kadri, Cécile Capponi ( LaboratoireIntroduction d Informatique à l apprentissage Fondamentale automatique de Marseille Université d Aix-Marseille) February 3, / 16 Exercice Soit et S = {( 1, 0), 1;(0, 1), 1;(1, 0), 1;(0, 0), 1} k(x, y) =1 + x (1) y (1) + x (2) y (2) +(x (1) y (1) ) 2. 1 Dessinez S, 2 Appliquez le perceptron à noyau à ce jeu de données, 3 Dessinez la courbe séparatrice dans l espace initial. François Denis, Hachem Kadri, Cécile Capponi ( LaboratoireIntroduction d Informatique à l apprentissage Fondamentale automatique de Marseille Université d Aix-Marseille) February 3, / 16

Souad EL Bernoussi. Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/

Souad EL Bernoussi. Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/ Recherche opérationnelle Les démonstrations et les exemples seront traités en cours Souad EL Bernoussi Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/ Table des matières 1 Programmation

Plus en détail

Programmation linéaire

Programmation linéaire 1 Programmation linéaire 1. Le problème, un exemple. 2. Le cas b = 0 3. Théorème de dualité 4. L algorithme du simplexe 5. Problèmes équivalents 6. Complexité de l Algorithme 2 Position du problème Soit

Plus en détail

Objectifs. Clustering. Principe. Applications. Applications. Cartes de crédits. Remarques. Biologie, Génomique

Objectifs. Clustering. Principe. Applications. Applications. Cartes de crédits. Remarques. Biologie, Génomique Objectifs Clustering On ne sait pas ce qu on veut trouver : on laisse l algorithme nous proposer un modèle. On pense qu il existe des similarités entre les exemples. Qui se ressemble s assemble p. /55

Plus en détail

Optimisation Discrète

Optimisation Discrète Prof F Eisenbrand EPFL - DISOPT Optimisation Discrète Adrian Bock Semestre de printemps 2011 Série 7 7 avril 2011 Exercice 1 i Considérer le programme linéaire max{c T x : Ax b} avec c R n, A R m n et

Plus en détail

Contexte. Pour cela, elles doivent être très compliquées, c est-à-dire elles doivent être très différentes des fonctions simples,

Contexte. Pour cela, elles doivent être très compliquées, c est-à-dire elles doivent être très différentes des fonctions simples, Non-linéarité Contexte Pour permettre aux algorithmes de cryptographie d être sûrs, les fonctions booléennes qu ils utilisent ne doivent pas être inversées facilement. Pour cela, elles doivent être très

Plus en détail

Théorie et codage de l information

Théorie et codage de l information Théorie et codage de l information Les codes linéaires - Chapitre 6 - Principe Définition d un code linéaire Soient p un nombre premier et s est un entier positif. Il existe un unique corps de taille q

Plus en détail

Apprentissage non paramétrique en régression

Apprentissage non paramétrique en régression 1 Apprentissage non paramétrique en régression Apprentissage non paramétrique en régression Résumé Différentes méthodes d estimation non paramétriques en régression sont présentées. Tout d abord les plus

Plus en détail

Modélisation géostatistique des débits le long des cours d eau.

Modélisation géostatistique des débits le long des cours d eau. Modélisation géostatistique des débits le long des cours d eau. C. Bernard-Michel (actuellement à ) & C. de Fouquet MISTIS, INRIA Rhône-Alpes. 655 avenue de l Europe, 38334 SAINT ISMIER Cedex. Ecole des

Plus en détail

CONCOURS D ENTREE A L ECOLE DE 2007 CONCOURS EXTERNE. Cinquième épreuve d admissibilité STATISTIQUE. (durée : cinq heures)

CONCOURS D ENTREE A L ECOLE DE 2007 CONCOURS EXTERNE. Cinquième épreuve d admissibilité STATISTIQUE. (durée : cinq heures) CONCOURS D ENTREE A L ECOLE DE 2007 CONCOURS EXTERNE Cinquième épreuve d admissibilité STATISTIQUE (durée : cinq heures) Une composition portant sur la statistique. SUJET Cette épreuve est composée d un

Plus en détail

Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications

Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications A. Optimisation sans contrainte.... Généralités.... Condition nécessaire et condition suffisante

Plus en détail

Chapitre 7. Récurrences

Chapitre 7. Récurrences Chapitre 7 Récurrences 333 Plan 1. Introduction 2. Applications 3. Classification des récurrences 4. Résolution de récurrences 5. Résumé et comparaisons Lectures conseillées : I MCS, chapitre 20. I Rosen,

Plus en détail

Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015

Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015 Énoncé Soit V un espace vectoriel réel. L espace vectoriel des endomorphismes de V est désigné par L(V ). Lorsque f L(V ) et k N, on désigne par f 0 = Id V, f k = f k f la composée de f avec lui même k

Plus en détail

Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues

Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues Département de Mathématiques École polytechnique Remise en forme mathématique 2013 Suite de Cauchy Soit (X, d) un espace métrique. Une suite

Plus en détail

Programmation Linéaire - Cours 1

Programmation Linéaire - Cours 1 Programmation Linéaire - Cours 1 P. Pesneau pierre.pesneau@math.u-bordeaux1.fr Université Bordeaux 1 Bât A33 - Bur 265 Ouvrages de référence V. Chvátal - Linear Programming, W.H.Freeman, New York, 1983.

Plus en détail

Filtrage stochastique non linéaire par la théorie de représentation des martingales

Filtrage stochastique non linéaire par la théorie de représentation des martingales Filtrage stochastique non linéaire par la théorie de représentation des martingales Adriana Climescu-Haulica Laboratoire de Modélisation et Calcul Institut d Informatique et Mathématiques Appliquées de

Plus en détail

La programmation linéaire : une introduction. Qu est-ce qu un programme linéaire? Terminologie. Écriture mathématique

La programmation linéaire : une introduction. Qu est-ce qu un programme linéaire? Terminologie. Écriture mathématique La programmation linéaire : une introduction Qu est-ce qu un programme linéaire? Qu est-ce qu un programme linéaire? Exemples : allocation de ressources problème de recouvrement Hypothèses de la programmation

Plus en détail

Journées Télécom-UPS «Le numérique pour tous» David A. Madore. david.madore@enst.fr. 29 mai 2015

Journées Télécom-UPS «Le numérique pour tous» David A. Madore. david.madore@enst.fr. 29 mai 2015 et et Journées Télécom-UPS «Le numérique pour tous» David A. Madore Télécom ParisTech david.madore@enst.fr 29 mai 2015 1/31 et 2/31 : définition Un réseau de R m est un sous-groupe (additif) discret L

Plus en détail

Formes quadratiques. 1 Formes quadratiques et formes polaires associées. Imen BHOURI. 1.1 Définitions

Formes quadratiques. 1 Formes quadratiques et formes polaires associées. Imen BHOURI. 1.1 Définitions Formes quadratiques Imen BHOURI 1 Ce cours s adresse aux étudiants de niveau deuxième année de Licence et à ceux qui préparent le capes. Il combine d une façon indissociable l étude des concepts bilinéaires

Plus en détail

Capes 2002 - Première épreuve

Capes 2002 - Première épreuve Cette correction a été rédigée par Frédéric Bayart. Si vous avez des remarques à faire, ou pour signaler des erreurs, n hésitez pas à écrire à : mathweb@free.fr Mots-clés : équation fonctionnelle, série

Plus en détail

Algorithmes pour la planification de mouvements en robotique non-holonome

Algorithmes pour la planification de mouvements en robotique non-holonome Algorithmes pour la planification de mouvements en robotique non-holonome Frédéric Jean Unité de Mathématiques Appliquées ENSTA Le 02 février 2006 Outline 1 2 3 Modélisation Géométrique d un Robot Robot

Plus en détail

Programmation linéaire et Optimisation. Didier Smets

Programmation linéaire et Optimisation. Didier Smets Programmation linéaire et Optimisation Didier Smets Chapitre 1 Un problème d optimisation linéaire en dimension 2 On considère le cas d un fabricant d automobiles qui propose deux modèles à la vente, des

Plus en détail

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........

Plus en détail

aux différences est appelé équation aux différences d ordre n en forme normale.

aux différences est appelé équation aux différences d ordre n en forme normale. MODÉLISATION ET SIMULATION EQUATIONS AUX DIFFÉRENCES (I/II) 1. Rappels théoriques : résolution d équations aux différences 1.1. Équations aux différences. Définition. Soit x k = x(k) X l état scalaire

Plus en détail

physicien diplômé EPFZ originaire de France présentée acceptée sur proposition Thèse no. 7178

physicien diplômé EPFZ originaire de France présentée acceptée sur proposition Thèse no. 7178 Thèse no. 7178 PROBLEMES D'OPTIMISATION DANS LES SYSTEMES DE CHAUFFAGE A DISTANCE présentée à l'ecole POLYTECHNIQUE FEDERALE DE ZURICH pour l'obtention du titre de Docteur es sciences naturelles par Alain

Plus en détail

3 Approximation de solutions d équations

3 Approximation de solutions d équations 3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle

Plus en détail

Limites finies en un point

Limites finies en un point 8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,

Plus en détail

LES MÉTHODES DE POINT INTÉRIEUR 1

LES MÉTHODES DE POINT INTÉRIEUR 1 Chapitre XIII LES MÉTHODES DE POINT INTÉRIEUR 1 XIII.1 Introduction Nous débutons par un rappel de la formulation standard d un problème d optimisation 2 linéaire et donnons un bref aperçu des différences

Plus en détail

Coup de Projecteur sur les Réseaux de Neurones

Coup de Projecteur sur les Réseaux de Neurones Coup de Projecteur sur les Réseaux de Neurones Les réseaux de neurones peuvent être utilisés pour des problèmes de prévision ou de classification. La représentation la plus populaire est le réseau multicouche

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme

Plus en détail

Sujet 4: Programmation stochastique propriétés de fonction de recours

Sujet 4: Programmation stochastique propriétés de fonction de recours Sujet 4: Programmation stochastique propriétés de fonction de recours MSE3313: Optimisation Stochastiqe Andrew J. Miller Dernière mise au jour: October 19, 2011 Dans ce sujet... 1 Propriétés de la fonction

Plus en détail

Cours d analyse numérique SMI-S4

Cours d analyse numérique SMI-S4 ours d analyse numérique SMI-S4 Introduction L objet de l analyse numérique est de concevoir et d étudier des méthodes de résolution de certains problèmes mathématiques, en général issus de problèmes réels,

Plus en détail

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)

Plus en détail

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer

Plus en détail

Programme de la classe de première année MPSI

Programme de la classe de première année MPSI Objectifs Programme de la classe de première année MPSI I - Introduction à l analyse L objectif de cette partie est d amener les étudiants vers des problèmes effectifs d analyse élémentaire, d introduire

Plus en détail

TABLE DES MATIÈRES CHAPITRE I. Les quanta s invitent

TABLE DES MATIÈRES CHAPITRE I. Les quanta s invitent TABLE DES MATIÈRES AVANT-PROPOS III CHAPITRE I Les quanta s invitent I-1. L Univers est en constante évolution 2 I-2. L âge de l Univers 4 I-2.1. Le rayonnement fossile témoigne 4 I-2.2. Les amas globulaires

Plus en détail

Objectifs du cours d aujourd hui. Informatique II : Cours d introduction à l informatique et à la programmation objet. Complexité d un problème (2)

Objectifs du cours d aujourd hui. Informatique II : Cours d introduction à l informatique et à la programmation objet. Complexité d un problème (2) Objectifs du cours d aujourd hui Informatique II : Cours d introduction à l informatique et à la programmation objet Complexité des problèmes Introduire la notion de complexité d un problème Présenter

Plus en détail

Résolution d équations non linéaires

Résolution d équations non linéaires Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique

Plus en détail

I. Polynômes de Tchebychev

I. Polynômes de Tchebychev Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire

Plus en détail

1/24. I passer d un problème exprimé en français à la réalisation d un. I expressions arithmétiques. I structures de contrôle (tests, boucles)

1/24. I passer d un problème exprimé en français à la réalisation d un. I expressions arithmétiques. I structures de contrôle (tests, boucles) 1/4 Objectif de ce cours /4 Objectifs de ce cours Introduction au langage C - Cours Girardot/Roelens Septembre 013 Du problème au programme I passer d un problème exprimé en français à la réalisation d

Plus en détail

1 Complément sur la projection du nuage des individus

1 Complément sur la projection du nuage des individus TP 0 : Analyse en composantes principales (II) Le but de ce TP est d approfondir nos connaissances concernant l analyse en composantes principales (ACP). Pour cela, on reprend les notations du précédent

Plus en détail

Calcul différentiel sur R n Première partie

Calcul différentiel sur R n Première partie Calcul différentiel sur R n Première partie Université De Metz 2006-2007 1 Définitions générales On note L(R n, R m ) l espace vectoriel des applications linéaires de R n dans R m. Définition 1.1 (différentiabilité

Plus en détail

La problématique des tests. Cours V. 7 mars 2008. Comment quantifier la performance d un test? Hypothèses simples et composites

La problématique des tests. Cours V. 7 mars 2008. Comment quantifier la performance d un test? Hypothèses simples et composites La problématique des tests Cours V 7 mars 8 Test d hypothèses [Section 6.1] Soit un modèle statistique P θ ; θ Θ} et des hypothèses H : θ Θ H 1 : θ Θ 1 = Θ \ Θ Un test (pur) est une statistique à valeur

Plus en détail

Nombres premiers. Comment reconnaître un nombre premier? Mais...

Nombres premiers. Comment reconnaître un nombre premier? Mais... Introduction Nombres premiers Nombres premiers Rutger Noot IRMA Université de Strasbourg et CNRS Le 19 janvier 2011 IREM Strasbourg Definition Un nombre premier est un entier naturel p > 1 ayant exactement

Plus en détail

1 de 46. Algorithmique. Trouver et Trier. Florent Hivert. Mél : Florent.Hivert@lri.fr Page personnelle : http://www.lri.fr/ hivert

1 de 46. Algorithmique. Trouver et Trier. Florent Hivert. Mél : Florent.Hivert@lri.fr Page personnelle : http://www.lri.fr/ hivert 1 de 46 Algorithmique Trouver et Trier Florent Hivert Mél : Florent.Hivert@lri.fr Page personnelle : http://www.lri.fr/ hivert 2 de 46 Algorithmes et structures de données La plupart des bons algorithmes

Plus en détail

Équations non linéaires

Équations non linéaires Équations non linéaires Objectif : trouver les zéros de fonctions (ou systèmes) non linéaires, c-à-d les valeurs α R telles que f(α) = 0. y f(x) α 1 α 2 α 3 x Equations non lineaires p. 1/49 Exemples et

Plus en détail

Analyse statistique de données qualitatives et quantitatives en sciences sociales : TP RÉGRESSION LOGISTIQUE (MODÈLES CHAPITRE 1)

Analyse statistique de données qualitatives et quantitatives en sciences sociales : TP RÉGRESSION LOGISTIQUE (MODÈLES CHAPITRE 1) Analyse statistique de données qualitatives et quantitatives en sciences sociales : TP RÉGRESSION LOGISTIQUE (MODÈLES CHAPITRE 1) Modèles de régression logistique à réaliser Une explicative catégorielle

Plus en détail

Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé

Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé Baccalauréat S ntilles-guyane 11 septembre 14 Corrigé EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue

Plus en détail

Modèles bi-dimensionnels de coques linéairement élastiques: Estimations de l écart entre leurs solutions.

Modèles bi-dimensionnels de coques linéairement élastiques: Estimations de l écart entre leurs solutions. Problèmes mathématiques de la mécanique/mathematical problems in Mechanics Modèles bi-dimensionnels de coques linéairement élastiques: Estimations de l écart entre leurs solutions. Cristinel Mardare Laboratoire

Plus en détail

Programmation linéaire

Programmation linéaire Programmation linéaire DIDIER MAQUIN Ecole Nationale Supérieure d Electricité et de Mécanique Institut National Polytechnique de Lorraine Mathématiques discrètes cours de 2ème année Programmation linéaire

Plus en détail

$SSOLFDWLRQGXNULJHDJHSRXUOD FDOLEUDWLRQPRWHXU

$SSOLFDWLRQGXNULJHDJHSRXUOD FDOLEUDWLRQPRWHXU $SSOLFDWLRQGXNULJHDJHSRXUOD FDOLEUDWLRQPRWHXU Fabien FIGUERES fabien.figueres@mpsa.com 0RWVFOpV : Krigeage, plans d expériences space-filling, points de validations, calibration moteur. 5pVXPp Dans le

Plus en détail

Géométrie discrète Chapitre V

Géométrie discrète Chapitre V Géométrie discrète Chapitre V Introduction au traitement d'images Géométrie euclidienne : espace continu Géométrie discrète (GD) : espace discrétisé notamment en grille de pixels GD définition des objets

Plus en détail

Cours Fonctions de deux variables

Cours Fonctions de deux variables Cours Fonctions de deux variables par Pierre Veuillez 1 Support théorique 1.1 Représentation Plan et espace : Grâce à un repère cartésien ( ) O, i, j du plan, les couples (x, y) de R 2 peuvent être représenté

Plus en détail

Capacité d un canal Second Théorème de Shannon. Théorie de l information 1/34

Capacité d un canal Second Théorème de Shannon. Théorie de l information 1/34 Capacité d un canal Second Théorème de Shannon Théorie de l information 1/34 Plan du cours 1. Canaux discrets sans mémoire, exemples ; 2. Capacité ; 3. Canaux symétriques ; 4. Codage de canal ; 5. Second

Plus en détail

Système binaire. Algèbre booléenne

Système binaire. Algèbre booléenne Algèbre booléenne Système binaire Système digital qui emploie des signaux à deux valeurs uniques En général, les digits employés sont 0 et 1, qu'on appelle bits (binary digits) Avantages: on peut utiliser

Plus en détail

Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels

Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels Exercice 1 On considére le sous-espace vectoriel F de R formé des solutions du système suivant : x1 x 2 x 3 + 2x = 0 E 1 x 1 + 2x 2 + x 3

Plus en détail

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion

Plus en détail

Sujet proposé par Yves M. LEROY. Cet examen se compose d un exercice et de deux problèmes. Ces trois parties sont indépendantes.

Sujet proposé par Yves M. LEROY. Cet examen se compose d un exercice et de deux problèmes. Ces trois parties sont indépendantes. Promotion X 004 COURS D ANALYSE DES STRUCTURES MÉCANIQUES PAR LA MÉTHODE DES ELEMENTS FINIS (MEC 568) contrôle non classant (7 mars 007, heures) Documents autorisés : polycopié ; documents et notes de

Plus en détail

Équations d amorçage d intégrales premières formelles

Équations d amorçage d intégrales premières formelles Équations d amorçage d intégrales premières formelles D Boularas, A Chouikrat 30 novembre 2005 Résumé Grâce à une analyse matricielle et combinatoire des conditions d intégrabilité, on établit des équations

Plus en détail

Une comparaison de méthodes de discrimination des masses de véhicules automobiles

Une comparaison de méthodes de discrimination des masses de véhicules automobiles p.1/34 Une comparaison de méthodes de discrimination des masses de véhicules automobiles A. Rakotomamonjy, R. Le Riche et D. Gualandris INSA de Rouen / CNRS 1884 et SMS / PSA Enquêtes en clientèle dans

Plus en détail

www.h-k.fr/publications/objectif-agregation

www.h-k.fr/publications/objectif-agregation «Sur C, tout est connexe!» www.h-k.fr/publications/objectif-agregation L idée de cette note est de montrer que, contrairement à ce qui se passe sur R, «sur C, tout est connexe». Cet abus de langage se

Plus en détail

La NP-complétude. Johanne Cohen. PRISM/CNRS, Versailles, France.

La NP-complétude. Johanne Cohen. PRISM/CNRS, Versailles, France. La NP-complétude Johanne Cohen PRISM/CNRS, Versailles, France. Références 1. Algorithm Design, Jon Kleinberg, Eva Tardos, Addison-Wesley, 2006. 2. Computers and Intractability : A Guide to the Theory of

Plus en détail

La fonction exponentielle

La fonction exponentielle DERNIÈRE IMPRESSION LE 2 novembre 204 à :07 La fonction exponentielle Table des matières La fonction exponentielle 2. Définition et théorèmes.......................... 2.2 Approche graphique de la fonction

Plus en détail

La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1

La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1 La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1 La licence Mathématiques et Economie-MASS de l Université des Sciences Sociales de Toulouse propose sur les trois

Plus en détail

Les travaux doivent être remis sous forme papier.

Les travaux doivent être remis sous forme papier. Physique mathématique II Calendrier: Date Pondération/note nale Matériel couvert ExercicesSérie 1 : 25 septembre 2014 5% RH&B: Ch. 3 ExercicesSérie 2 : 23 octobre 2014 5% RH&B: Ch. 12-13 Examen 1 : 24

Plus en détail

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy

Plus en détail

La classification automatique de données quantitatives

La classification automatique de données quantitatives La classification automatique de données quantitatives 1 Introduction Parmi les méthodes de statistique exploratoire multidimensionnelle, dont l objectif est d extraire d une masse de données des informations

Plus en détail

Méthodes de quadrature. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/48

Méthodes de quadrature. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/48 Méthodes de Polytech Paris-UPMC - p. 1/48 Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes - p. 2/48 Polynôme d interpolation

Plus en détail

Calculer avec Sage. Revision : 417 du 1 er juillet 2010

Calculer avec Sage. Revision : 417 du 1 er juillet 2010 Calculer avec Sage Alexandre Casamayou Guillaume Connan Thierry Dumont Laurent Fousse François Maltey Matthias Meulien Marc Mezzarobba Clément Pernet Nicolas Thiéry Paul Zimmermann Revision : 417 du 1

Plus en détail

Continuité et dérivabilité d une fonction

Continuité et dérivabilité d une fonction DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité

Plus en détail

Calculabilité Cours 3 : Problèmes non-calculables. http://www.irisa.fr/lande/pichardie/l3/log/

Calculabilité Cours 3 : Problèmes non-calculables. http://www.irisa.fr/lande/pichardie/l3/log/ Calculabilité Cours 3 : Problèmes non-calculables http://www.irisa.fr/lande/pichardie/l3/log/ Problèmes et classes de décidabilité Problèmes et classes de décidabilité Nous nous intéressons aux problèmes

Plus en détail

Polynômes à plusieurs variables. Résultant

Polynômes à plusieurs variables. Résultant Polynômes à plusieurs variables. Résultant Christophe Ritzenthaler 1 Relations coefficients-racines. Polynômes symétriques Issu de [MS] et de [Goz]. Soit A un anneau intègre. Définition 1.1. Soit a A \

Plus en détail

INITIATION AU LANGAGE C SUR PIC DE MICROSHIP

INITIATION AU LANGAGE C SUR PIC DE MICROSHIP COURS PROGRAMMATION INITIATION AU LANGAGE C SUR MICROCONTROLEUR PIC page 1 / 7 INITIATION AU LANGAGE C SUR PIC DE MICROSHIP I. Historique du langage C 1972 : naissance du C dans les laboratoires BELL par

Plus en détail

Chapitre 3. Mesures stationnaires. et théorèmes de convergence

Chapitre 3. Mesures stationnaires. et théorèmes de convergence Chapitre 3 Mesures stationnaires et théorèmes de convergence Christiane Cocozza-Thivent, Université de Marne-la-Vallée p.1 I. Mesures stationnaires Christiane Cocozza-Thivent, Université de Marne-la-Vallée

Plus en détail

Algorithmique et structures de données I

Algorithmique et structures de données I Algorithmique et structures de données I Riadh Ben Messaoud Université 7 novembre à Carthage Faculté des Sciences Économiques et de Gestion de Nabeul 1ère année Licence Fondamentale IAG 1ère année Licence

Plus en détail

Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach

Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach Chapitre 7 Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach L objet de ce chapitre est de définir un calcul fonctionnel holomorphe qui prolonge le calcul fonctionnel polynômial et qui respecte

Plus en détail

= constante et cette constante est a.

= constante et cette constante est a. Le problème Lorsqu on sait que f(x 1 ) = y 1 et que f(x 2 ) = y 2, comment trouver l expression de f(x 1 )? On sait qu une fonction affine a une expression de la forme f(x) = ax + b, le problème est donc

Plus en détail

Chap 4. La fonction exponentielle Terminale S. Lemme : Si est une fonction dérivable sur R telle que : = et 0! = 1 alors ne s annule pas sur R.

Chap 4. La fonction exponentielle Terminale S. Lemme : Si est une fonction dérivable sur R telle que : = et 0! = 1 alors ne s annule pas sur R. Lemme : Si est une fonction dérivable sur R telle que : = et 0! = 1 alors ne s annule pas sur R. Démonstration : Soit la fonction %:& %&!= &!, elle est dérivable sur R et & R, %. &!= &! = &! = %&! gaelle.buffet@ac-montpellier.fr

Plus en détail

Modèles à Événements Discrets. Réseaux de Petri Stochastiques

Modèles à Événements Discrets. Réseaux de Petri Stochastiques Modèles à Événements Discrets Réseaux de Petri Stochastiques Table des matières 1 Chaînes de Markov Définition formelle Idée générale Discrete Time Markov Chains Continuous Time Markov Chains Propriétés

Plus en détail

NOTATIONS PRÉLIMINAIRES

NOTATIONS PRÉLIMINAIRES Pour le Jeudi 14 Octobre 2010 NOTATIONS Soit V un espace vectoriel réel ; l'espace vectoriel des endomorphismes de l'espace vectoriel V est désigné par L(V ). Soit f un endomorphisme de l'espace vectoriel

Plus en détail

Mesures de dépendance pour la séparation aveugle de sources. Application aux mélanges post non linéaires

Mesures de dépendance pour la séparation aveugle de sources. Application aux mélanges post non linéaires Mesures de dépendance pour la séparation aveugle de sources. Application aux mélanges post non linéaires Sophie Achard To cite this version: Sophie Achard. Mesures de dépendance pour la séparation aveugle

Plus en détail

ARBRES BINAIRES DE RECHERCHE

ARBRES BINAIRES DE RECHERCHE ARBRES BINAIRES DE RECHERCHE Table de symboles Recherche : opération fondamentale données : éléments avec clés Type abstrait d une table de symboles (symbol table) ou dictionnaire Objets : ensembles d

Plus en détail

Chp. 4. Minimisation d une fonction d une variable

Chp. 4. Minimisation d une fonction d une variable Chp. 4. Minimisation d une fonction d une variable Avertissement! Dans tout ce chapître, I désigne un intervalle de IR. 4.1 Fonctions convexes d une variable Définition 9 Une fonction ϕ, partout définie

Plus en détail

3. Conditionnement P (B)

3. Conditionnement P (B) Conditionnement 16 3. Conditionnement Dans cette section, nous allons rappeler un certain nombre de définitions et de propriétés liées au problème du conditionnement, c est à dire à la prise en compte

Plus en détail

Exercices du Cours de la programmation linéaire donné par le Dr. Ali DERBALA

Exercices du Cours de la programmation linéaire donné par le Dr. Ali DERBALA 75. Un plombier connaît la disposition de trois tuyaux sous des dalles ( voir figure ci dessous ) et il lui suffit de découvrir une partie de chacun d eux pour pouvoir y poser les robinets. Il cherche

Plus en détail

Utilisation des méthodes Support Vector Machine (SVM) dans l analyse des bases de données

Utilisation des méthodes Support Vector Machine (SVM) dans l analyse des bases de données Ministère de l Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique Université Mohamed Khider - Biskra Faculté des Sciences Exactes et des Sciences de la Nature et de la Vie Département d Informatique

Plus en détail

Espérance conditionnelle

Espérance conditionnelle Espérance conditionnelle Samy Tindel Nancy-Université Master 1 - Nancy Samy T. (IECN) M1 - Espérance conditionnelle Nancy-Université 1 / 58 Plan 1 Définition 2 Exemples 3 Propriétés de l espérance conditionnelle

Plus en détail

Cours 1 : Introduction Ordinateurs - Langages de haut niveau - Application

Cours 1 : Introduction Ordinateurs - Langages de haut niveau - Application Université de Provence Licence Math-Info Première Année V. Phan Luong Algorithmique et Programmation en Python Cours 1 : Introduction Ordinateurs - Langages de haut niveau - Application 1 Ordinateur Un

Plus en détail

Analyse fonctionnelle Théorie des représentations du groupe quantique compact libre O(n) Teodor Banica Résumé - On trouve, pour chaque n 2, la classe

Analyse fonctionnelle Théorie des représentations du groupe quantique compact libre O(n) Teodor Banica Résumé - On trouve, pour chaque n 2, la classe Analyse fonctionnelle Théorie des représentations du groupe quantique compact libre O(n) Teodor Banica Résumé - On trouve, pour chaque n 2, la classe des n n groupes quantiques compacts qui ont la théorie

Plus en détail

Principe de symétrisation pour la construction d un test adaptatif

Principe de symétrisation pour la construction d un test adaptatif Principe de symétrisation pour la construction d un test adaptatif Cécile Durot 1 & Yves Rozenholc 2 1 UFR SEGMI, Université Paris Ouest Nanterre La Défense, France, cecile.durot@gmail.com 2 Université

Plus en détail

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 13 mars 2009 Table des matières 1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1 2 Limites et continuité

Plus en détail

Projet de Traitement du Signal Segmentation d images SAR

Projet de Traitement du Signal Segmentation d images SAR Projet de Traitement du Signal Segmentation d images SAR Introduction En analyse d images, la segmentation est une étape essentielle, préliminaire à des traitements de haut niveau tels que la classification,

Plus en détail

Identification de nouveaux membres dans des familles d'interleukines

Identification de nouveaux membres dans des familles d'interleukines Identification de nouveaux membres dans des familles d'interleukines Nicolas Beaume Jérôme Mickolajczak Gérard Ramstein Yannick Jacques 1ère partie : Définition de la problématique Les familles de gènes

Plus en détail

Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007

Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007 Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 7 EXERCICE points. Le plan (P) a une pour équation cartésienne : x+y z+ =. Les coordonnées de H vérifient cette équation donc H appartient à (P) et A n

Plus en détail

Le théorème de Perron-Frobenius, les chaines de Markov et un célèbre moteur de recherche

Le théorème de Perron-Frobenius, les chaines de Markov et un célèbre moteur de recherche Le théorème de Perron-Frobenius, les chaines de Markov et un célèbre moteur de recherche Bachir Bekka Février 2007 Le théorème de Perron-Frobenius a d importantes applications en probabilités (chaines

Plus en détail

L ANALYSE EN COMPOSANTES PRINCIPALES (A.C.P.) Pierre-Louis GONZALEZ

L ANALYSE EN COMPOSANTES PRINCIPALES (A.C.P.) Pierre-Louis GONZALEZ L ANALYSE EN COMPOSANTES PRINCIPALES (A.C.P.) Pierre-Louis GONZALEZ INTRODUCTION Données : n individus observés sur p variables quantitatives. L A.C.P. permet d eplorer les liaisons entre variables et

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples

Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples 45 Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples Les espaces vectoriels considérés sont réels, non réduits au vecteur nul et

Plus en détail

Plan du chapitre «Milieux diélectriques»

Plan du chapitre «Milieux diélectriques» Plan du chapitre «Milieux diélectriques» 1. Sources microscopiques de la polarisation en régime statique 2. Etude macroscopique de la polarisation en régime statique 3. Susceptibilité diélectrique 4. Polarisation

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables. Sébastien Tordeux

Fonctions de plusieurs variables. Sébastien Tordeux Fonctions de plusieurs variables Sébastien Tordeux 22 février 2009 Table des matières 1 Fonctions de plusieurs variables 3 1.1 Définition............................. 3 1.2 Limite et continuité.......................

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Maths MP Exercices Fonctions de plusieurs variables Les indications ne sont ici que pour être consultées après le T (pour les exercices non traités). Avant et pendant le T, tenez bon et n allez pas les

Plus en détail

C1 : Fonctions de plusieurs variables

C1 : Fonctions de plusieurs variables 1er semestre 2012/13 CPUMP 3 U 11 : Abrégé de cours Compléments Analyse 3 : fonctions analytiques Les notes suivantes, disponibles à l adresse http://www.iecn.u-nancy.fr/~bertram/, contiennent les définitions

Plus en détail