DYNAMIQUE EN REFERENTIEL TOURNANT : L EXEMPLE DE LA RESONANCE MAGNETIQUE

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1 DYNAMIQUE EN REFERENTIEL TOURNANT : L EXEMPLE DE LA RESONANCE MAGNETIQUE.- Hamlonen de spn On consdère une parcule de spn placée dans un champ magnéque saque B Bu e un champ ournan à la vesse angulare consaneω, de fable amplude b b b cos u sn u ( x y) En fasan absracon des varables spaales, monrer que le Hamlonen de spn de la parcule s'écr ω H ωσ ( L e σ e σ) où σ es l opéraeur de spn de Paul, ωl γ B (pulsaon de Larmor), ω γ b e γ le rappor gyromagnéque..- Hamlonen en représenaon d neracon On effecue un changemen de base défn par la ransformaon unare U (,) noe Ψ le ransformé par du veceur U ( ) σ e e on Ψ représenan l éa de spn de la parcule. Monrer que dans cee nouvelle base le Hamlonen s écr ω H ' δσ σx où δ ω ω L. En dédure que dans cee nouvelle base le spn précesse auour d un champ magnéque effcace consan don on déermnera l expresson. déermner l évoluon emporelle de l éa de spn Ψ b b. 3.- Résonance magnéque On suppose que le spn es nalemen dans l éa. Calculer la probablé de basculemen du spn au emps e monrer le caracère résonnan de cee probablé. D.Marchand

2 D.Marchand

3 C Orrgé.- Hamlonen de spn Le Hamlonen de spn s écr : H M. B où M es l opéraeur momen magnéque M γ S γ σ e B ( ) le champ magnéque oal B ( ) Bu b( cosu x snu y) γ es le rappor gyromagnéque e σ l opéraeur de spn de Paul. Par conséquen : H γb σ ( cos γb σx snσ ) y So encore en posan : ωl γ B (pulsaon de Larmor dans le champ B ) e ω γ b (radusan l nensé du couplage). d où en défnve : H ωσ ( cos L ω σx sn σ y) ( e ω σ e σ ) ω H L e ω e ω ωσ ( σ σ ) ωl H σ Ĥ es de la forme H H V avec ω V ( e ω σ e σ 4 ) Comme b << B, V peu êre consdérée comme une fable perurbaon, conon nécessare pour ravaller en représenaon d neracon (appelée encore «représenaon nermédare»)..- Hamlonen en représenaon d neracon V ( ) éan une fable perurbaon, l es légme de rechercher les éas propres Ψ ( ) Ĥ sous la forme d un développemen suvan les éas propres {, } de Ĥ. Ψ a ( ) a ( ) ( ) don l évoluon emporelle es rége par l équaon de Schrödnger : d H ( 3) Ψ Ψ La projecon de (3) sur les deux veceurs de la base {, } de fourn un sysème dfférenel de deux équaons permean, en héore, de calculer les coeffcens a e a. La D.Marchand 3

4 perurbaon V dépendan du emps, ce sysème sera à coeffcens non consans. Pour éver cee dffculé, effecuons un changemen de base défn par la ransformaon unare σ (,) ( ) ( 4) U e UU U U I U es l opéraeur de roaon d un spn auour de l axeo, d un angle ω (on se souven que l opéraeur de roaon d un angle θ auour de l axe n esu e θ J n ) La ransformaon unare U perme donc de se placer dans un référenel ournan à la vesse angulare ω b va donc êre mmoble pour auour de l axeo. Le champ ournan ( ) le spn e apparaîre comme un erme consan. Le sysème dfférenel donnan les, sera à coeffcens coeffcens du développemen de l éa de spn sur la base { } consans e donc faclemen négrable. Ψ U Ψ 5 So ( ) le ransformé de ( ) (e donc U ( ) Ψ Ψ pusque U es unare). d ( ) ( ) ( 3) Ψ par U U Ψ H U Ψ, so en développan la dérvée du premer membre du d Ψ U Ψ H U Ψ. En mulplan, à gauche, les deux membres de cee égalé par U, on oben : du d U Ψ U U Ψ U H U Ψ. I So encore : d du Ψ U H U U Ψ ( 6) H ' Calculons explcemen le erme du U du σ d σ ω U e e σ d σ (pour calculer e on développe l exponenelle avan d effecuer l opéraon de dérvaon pus on «re-somme» la dérvée du développemen en sére. Tou se passe fnalemen comme s σ n éa pas un opéraeur) d où : ( ) ωl ω H' U e ω e ω ω σ σ σ U 4 σ Comme σ, U (évden), on peu encore écrre en posan δ ω ωl («deunng» ou «désaccord spn-champ») : ω H' δσ ( U e ω σ e ω σ 4 ) U. D.Marchand 4

5 On ermne la déermnaon de ' So : σ σ e U U e U U H en calculan le ransformé de ( e σ e σ ) ( σ ) σ σx σ y sachan que dans la base{, }, ( σ ) σ σ x σ y σ σ σx e ( e ) ; ( e U U ) e e Pour obenr l expresson marcelle( U ) de l opéraeuru dans la base{, } on peu : θσ. n cos e I θ σ. nsnθ So ulser l égalé classque, c es-à-dre c σ e Icos σ sn, qu s écr dans la base{, } : cos σ e e sn cos e σ ( ) So ulser smplemen un développemen en sére de l exponenelle: ( ) ( ) n σ n e I ( σ ) ( σ) n! n Avec : ( σ ) n ( ) n n σ ( ) e n n! ( ) e n ( ) n n n n! e n e n! e Il ven en défnve : ( )( )( ) ( )( )( e U σ U e U σ U) σ x D.Marchand 5

6 D où : ω H ' δσ σ x 7 ( ) On remarque que H ' es ben ndépendan du emps. Ce qu, compe enu du fa queωl γb, ω γb e δ ω ωl, peu encore s écrre ω H ' γ B S bs x γb eff. S γ Tou se passe comme s dans le référenel ournan à la vesse angulare ω, le spn éa ω soums au champ magnéque «effcace» consan Beff B u bu x. γ Remarque : Rerouvons rapdemen ce résula en mécanque classque. B effcace B ω u γ B M O y ω b ( ) X x Défnssons le référenel fxe R{ Oxy} e le référenel ournan lé à b ( ) M ds ds ω S γs ( B b ) R R' ( R'/ R) dérvaon vecorelle héorème du momen cnéque : R '{ OXY }. ds ω γs B b u γs Beffcace γbeffcace S Ω S R ' γ B effcace Tou se passe dans R ' comme s le spn S subssa l'acon d'un champ unque D.Marchand 6

7 ω B B u b γ u effcace X B effcace b B ω γ. Dans R ', la précesson rérograde (à cause du sgne devan Ω ) de S auour de Ω γ ω ω ω δ ω ω ω Ω ω B b B effcace L se fa à la fréquence angulare (pulsaon) ( ) ( ) A la résonance ( ) L effcace Dans la base{, }, la marce représenave du Hamlonen H ' s écr : e b b Ψ donc : ' δ ω ω δ ( ' H ) ( ) ( ) d b δ ω b Ψ H Ψ b ω δ b b δ ω b b so : ( 8) ω δ b b b B effcace Le sysème dfférenel (8) es à coeffcens consans e s nègre faclemen en ulsan les formules de Fraer-Duncan e Collar (cf. Polycopé TII, module : «sysèmes à deux nveaux», page 47) En effe, l es de la forme : ( ) { } [ ]{ } avec { } b X A X X e [ A] δ ω b ω δ [ A ] don la soluon es évdemmen { X } e { X ( ) } so en calculan l exponenelle de marce grâce aux formules de Fraer-Duncan e Collar : Π ( λ j [ I ] [ A] ) λ j { X } e [ G] { X ( )} où [ G], les λ éan les valeurs propres λ λ Π ( ) j j dsnces de la marce [ A ] ; so δ ω ω ω ω Où ( ) L Ω λ δ ω Ω λ Ω es la pulsaon de Rab «généralsée». D.Marchand 7

8 La méhode d négraon es donc parculèremen smple pusqu l suff de déermner les valeurs propres de la marce carrée[ A ]. La méhode n es évdemmen valable que s ses valeurs propres son dsnces (ce qu, pour un sysème à deux nveaux es oujours le cas). De façon explce : Ω δ ω ω δ Ω δ ω [ G ] Ω Ω ω Ωδ Ω Ω δ ω ω δ Ωδ ω [ G ] Ω Ω ω Ω δ Ω Ω Ω e Ω δ ω e Ωδ ω X X Ω ω Ωδ Ω ω Ω δ { } { ( ) } Ω δ Ω ω Ω b b ( ) cos sn b ( ) sn Ω Ω ω Ω Ω δ Ω b b ( ) sn b( ) cos sn Ω Ω Pour ceux que oue nouveaué mahémaque rebue, l leur es évdemmen losble d ulser les bonnes velles méhodes classques pour négrer le sysème dfférenel d équaons couplées : b δ ω b b b ω δ b b ( ) On dfférene : b δ ω b b e on réulse e comme ndqué : δ ω Ω b b 4 Ω Ω b Ae Be ( ) b δ δ ω ω ω δ b b b b On effecue la même opéraon avec b Ce De e l ne rese plus qu à s armer de paence pour déermner les consanes ABC,, e D en foncon de b ( ) e b ( ) Ω Ω. D.Marchand 8

9 δ ω δ ω Ω A b ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b ( b Ω b b A B ) Ω Ω δ ω b ( ) A B Ω B b ( ) b( ) Ω Ω De même : ω δ ω δ Ω C b ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b ( b Ω b b C D ) Ω Ω ω δ b ( ) C D Ω D b ( ) b( ) Ω Ω On ermne le calcul de b e b( ) en regroupan les exponenelles pour fare apparaîre des foncons rgonomérques. Ω δ Ω ω Ω b b ( ) cos sn b ( ) sn Ω Ω ω Ω Ω δ Ω b b ( ) sn b( ) cos sn Ω Ω 3.- Résonance magnéque Supposons que le spn so nalemen dans l éa, so b ( ) b ( alors : La probablé qu une mesure de basculemen du spn) es : Ω δ Ω b cos sn Ω ω Ω b sn Ω S fae au emps donne le résula Ψ P a b e ), on rouve ( ) ω ω ω P So en noaon condensée : ω Ω ω L sn sn Ω ( ω ω ) L ω ω Ω ω δ ω P sn sn Ω δ ω Oùδ ωω es le deunng aome-champ. L (probablé de D.Marchand 9

10 Cee formule, due à Rab (prx Nobel 944), me claremen en évdence le phénomène de résonance recherché. S la fréquence ω du champ ournan es chose noablemen dfférene de la fréquence que l on souhae mesurer (plus précsémen s ω ωl >> ω ), alors la probablé que «le spn bascule», c es-à-dre que l on mesure S es rès fable pour ou. S l on chosω ωl, alors Ω ω e la probablé de basculemen du spn es égale à ( n ) π aux emps n ( n ener), même s l amplude du champ ournan b es rès ω fable. Pour ω ωl ω, l amplude de probablé osclle avec une amplude maxmale apprécable mas nféreure à. P en Nous avons racé sur la fgure l oscllaon emporelle de la probablé ( ) dehors de la résonance (a) e à résonance (b). Pour un champ magnéque de Tesla, la ω e fréquence de résonance es 8 GH π ( λ cm) pour un élecron e 4,5 MH π ( λ 7m) pour un proon. Ces fréquences corresponden à des ondes cenmérques dans le cas élecronque e mérques dans le cas nucléare. ω N ω L δ 3ω δ Fgure D.Marchand

11 ω En dehors de la résonance la probablé maxmum de basculemen, P max ( ω ωl ) ω es une Lorenenne de largeur ω, cenrée enω L, donc d auan plus éroe que le couplage es fable( ω γ b ). (a) max P (b) P ( ω) (lorenenne cenrée en ω ωl ) D.Marchand

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