Suites. Activités préparatoires. Suites arithmétiques

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1 Suites Activités préparatoires 1 Suites arithmétiques 1 Une entreprise décide de diminuer progressivement la fabrication d un aérosol en réduisant sa production de 400 unités par mois. La production du mois de janvier 013 est unités. On désigne par u 0 la production du mois de janvier 013 et par u n la production n mois après. 1. Montrer que la suite (u n ) est arithmétique. Préciser sa raison a et son terme initial u 0. La production diminue de 400 unités par mois, donc pour tout nombre entier naturel n, u n+1 = u n 400, soit u n+1 u n = 400. (u n ) est une suite arithmétique, de raison a = 400 et de terme initial u 0 = Calculer u 1 et u. u 1 = u = = u = u = = Peut-on calculer directement u 0? Non, car il faut calculer u 19, u 18, u 17, etc. 4. Compléter le tableau suivant. Consulter Rappel 5 Rang n Calcul de u n en fonction de son terme initial et de sa raison a 0 u 0 = u 1 = u 0 + a = = n u = u 1 + a = (u 0 + a) + a = u 0 + a u = = u 3 = u + a = (u 0 + a) + a = u 0 + 3a u 3 = = u 4 = u 3 + a = (u 0 + 3a) + a = u 0 + 4a u 4 = = u 5 = u 4 + a = (u 0 + 4a) + a = u 0 + 5a u 5 = = u n = u 0 + na

2 Activités préparatoires 5. Calculer u 7 et u 0. Interpréter les résultats obtenus. u 7 = u 0 + 7a = = = u 0 = u 0 + 0a = = = La production, 7 mois après, est de unités ; cela correspond à la production du mois d août 013. La production, 0 mois après, est de unités ; cela correspond à la production du mois de septembre Calculer la production d aérosols en décembre 013. Le mois de décembre 013 correspond au rang n = 11 et le terme correspondant est u 11 = u a = = = En utilisant l expression u n = u 0 + na, résoudre l équation u n = Interpréter le résultat obtenu. L équation u n = est successivement équivalente à n = ; 400n = ; 400n = ; n = 4. La production sera de aérosols 4 mois plus tard, soit dans ans, c est-à-dire en janvier Déterminer la date à laquelle la production de l entreprise cessera. L équation u n = 0 est successivement équivalente à n = 0 ; 400n = ; n = 36. La production sera nulle 36 mois plus tard, elle cessera donc fin décembre Calculer : S 1 = u 0 + u 1 + u. S 1 = = S = u 3 + u 4 + u 5. S = = S 3 = u 6 + u 7 + u 8 + u 9 + u 10 + u 11. S 3 = = S 4 = u 1 + u u 3. S 4 = = En déduire : la production totale d aérosols de l entreprise du 1 er trimestre 013 ; La production totale de l entreprise du 1 er trimestre 013 est S 1 = aérosols. la production totale d aérosols de l entreprise du 1 er semestre 013 ; La production totale de l entreprise du 1 er semestre 013 est S 1 + S = = aérosols. la production totale d aérosols de l entreprise la deuxième année. La production totale de l entreprise la deuxième année est S 4 = aérosols.

3 Activités préparatoires Suites géométriques Un écrivain fait publier son nouveau roman. Ses ventes au cours des trois premières semaines sont les suivantes. 1 Semaine 1 Semaine Semaine 3 Nombre de livres vendus Calculer le taux d évolution du nombre de livres vendus de la semaine 1 à la semaine, puis de la semaine à la semaine 3. En déduire le taux d évolution hebdomadaire du nombre de livres vendus à partir de la semaine = 0, = 0 %. 150 De la 1 re à la e semaine, le nombre de livres vendus a augmenté de 0 % = 0, = 0 %. 180 De la e à la 3 e semaine, le nombre de livres vendus a augmenté de 0 %. Le taux d évolution hebdomadaire du nombre de livres vendus est de 0 % à partir de la semaine 1. Le nombre de livres vendus la semaine 1 est notée v 1. On désigne par v n le nombre de livres vendus la n-ième semaine. On admet, dans les questions suivantes, que l évolution constatée se poursuit au même rythme les 10 premières semaines. 1. Montrer que la suite (v n ) est géométrique. Préciser sa raison b et son terme initial v 1. Le nombre de livres vendus augmente de 0 % chaque semaine, il est donc multiplié par % = 1,. Ainsi, pour tout nombre entier naturel n non nul, v n+1 =1,v n. (v n ) est une suite géométrique, de raison b = 1, et de terme initial v 1 = Calculer v 4 et v 5 (arrondir les résultats à l unité). v 4 = 1, v 3 = 1, v 5 = 1, v 4 = 1, 59, Peut-on calculer directement v 10? Non, car il faut calculer v 9, v 8, v 7, etc. Consulter Rappel 1 Consulter Rappel 6

4 Activités préparatoires 4. Compléter le tableau suivant. Rang n Calcul de v n en fonction de son terme initial et de sa raison b 1 v 1 = 150 v = v 1 b = 150 1, = n v 3 = v b = (v 1 b) b = v 1 b v 3 = 150 1, = 16 v 4 = v 3 b = (v 1 b ) b = v 1 b 3 v 4 = 150 1, 3 = 59, v 5 = v 4 b = (v 1 b 3 ) b = v 1 b 4 v 5 = 150 1, 4 = 311,04 v n = v 1 b n 1 5. Déduire du tableau précédent la semaine à partir de laquelle le nombre de livres vendus dépassera les 300 exemplaires hebdomadaires. Par lecture du tableau précédent, v 4 = 59, et v 5 = 311,04. Le nombre hebdomadaire de livres vendus dépassera les 300 exemplaires à partir de la 5 e semaine. 6. Calculer v 7 (arrondir à l unité). Interpréter le résultat obtenu. v 7 = 150 1, 7 1 = 150 1, La 7 e semaine, 448 livres auront été vendus. 7. Calculer le nombre de livres vendus la 10 e semaine de parution (arrondir le résultat à l unité). La 10 e semaine de parution correspond au rang n = 10 et le terme correspondant est v 10 = v 1 b 10 1 = 150 1, La 10 e semaine de parution, 774 livres auront été vendus Calculer : S 1 = v 1 + v. S 1 = = 330. S = v 3 + v 4 + v 5 + v 6. S = , + 311, ,48 = 1 159,488.. En déduire le nombre total de livres vendus après 6 semaines de parution (arrondir à l unité). Le nombre total de livres vendus après 6 semaines de parution est S 1 + S = ,

5 Applications 1 Étude et comparaison d une suite arithmétique et d une suite géométrique Des chercheurs s intéressent à l évolution du nombre de naissances de deux espèces animales voisines A et B. La première année, le nombre de naissances dans la population de l espèce A est de 140 individus et celui de l espèce B de 130 individus. On suppose, pour la modélisation de l étude, que le nombre de naissances de l espèce A augmente de 50 individus par an tandis que celui de l espèce B a un taux de croissance annuel de 0 % (pour les deux cas, on fait l hypothèse que cette évolution va se poursuivre au même rythme au cours des trente prochaines années). On pose a 1 = 140 et on note a n le nombre de naissances dans la population de l espèce A la n-ième année. On pose b 1 = 130 et et on note b n le nombre de naissances dans la population de l espèce B la n-ième année Montrer que la suite (a n ) est arithmétique, puis donner l expression du terme Consulter général a n. Le nombre de naissances dans la population de l espèce A augmente de 50 individus par an, donc a n+1 = a n La suite (a n ) est arithmétique, de terme initial a 1 = 140 et de raison 50. Pour tout nombre entier naturel n non nul, a n = a 1 + (n 1) 50, car a 1 est le terme initial de la suite. Ainsi, a n = (n 1) 50 = n 50 = n. Rappel 5 Cours 1.. Déterminer le nombre de naissances dans la population de l espèce A la 5 e année, puis la 15 e année. a 5 = = Le nombre de naissances dans la population de l espèce A la 5 e année est individus. a 15 = = Le nombre de naissances dans la population de l espèce A la 15 e année est individus. Méthode 1 1. Montrer que la suite (b n ) est géométrique, puis donner l expression du terme Consulter général b n. Le nombre de naissances dans la population de l espèce B augmente de 0 % par an, donc b n+1 = (1 + 0 %) b n = 1,b n. La suite (b n ) est géométrique, de terme initial b 1 = 130 et de raison 1,. Pour tout nombre entier naturel n non nul, b n = b 1 1, n 1, car b 1 est le terme initial de la suite. Ainsi, b n = 130 1, n 1. Rappel 6 Cours.. Calculer le nombre de naissances dans la population de l espèce B la 5 e année, puis la 15 e année. Arrondir les résultats à l unité. b 5 = 130 1, 5 1 = 130 1, Le nombre de naissances dans la population de l espèce B la 5 e année est 70 individus. b 15 = 130 1, 15 1 = 130 1, Le nombre de naissances dans la population de l espèce B la 15 e année est individus. Méthode

6 Applications 3 On note S n et T n le nombre total de naissances des espèces A et B du début de l étude jusqu à la n-ième année. On a donc S n = a a n et T n = b b n. On a réalisé sur tableur une feuille de calcul présentant les valeurs de a n, b n, S n et T n. Les valeurs de b n et T n sont arrondies à l unité. 1. Indiquer les formules entrées dans les cellules B et C, puis copiées jusqu à la ligne 31. On entre = *A dans la cellule B et =130*1,^(A 1) dans la cellule C. Méthode 4. On a entré les formules =B et =C dans les cellules D et E. Parmi les formules suivantes, entourer celles que l on doit écrire dans les cellules D3 et E3, puis copier jusqu à la ligne 31. =B+D3 et =C+E3 =D+B3 et =E+C3 =somme(b3:b31) et =somme(c3:c31) 3. Utiliser la feuille de calcul pour répondre aux questions suivantes. Déterminer l année où le nombre de naissances dans la population de l espèce A dépassera individus. On lit a 4 = et a 5 = : le nombre de naissances dépassera individus la 5 e année. Déterminer l année où le nombre de naissances dans la population de l espèce B dépassera individus. On lit b = et b 3 = : le nombre de naissances dépassera individus la 3 e année. Interpréter les valeurs lues dans les cellules D4 et E4. Il y a eu naissances durant les trois premières années dans la population de l espèce A et 473 naissances durant les trois premières années dans la population de l espèce B. Déterminer l année où le nombre de naissances dans la population de l espèce B dépassera celui de l espèce A. a 1 = et b 1 = ; a = et b = : le nombre de naissances dans la population de l espèce B dépassera celui de l espèce A la e année. Déterminer l année où le nombre total de naissances, depuis le début de l étude, dans la population de l espèce B, dépassera celui de l espèce A. S 8 = et T 8 = ; S 8 < T 8. Le nombre total de naissances dans la population de l espèce B dépassera celui de la population de l espèce A la 8 e année.

7 Applications 1 Étude et comparaison de deux suites géométriques Les inscriptions dans deux lycées d une agglomération en 010 étaient les suivantes : établissement E : 000 élèves inscrits ; établissement D : élèves inscrits. On constate, au cours des trois années suivantes, une augmentation des inscriptions dans l établissement E de 3 % par an et une diminution des inscriptions dans l établissement D de 1 % par an. On admet, pour modéliser l étude, que cette tendance va se poursuivre au cours des années à venir ; l objectif d une telle étude étant de planifier les investissements de la région. Les calculs seront arrondis à l unité. Étude des inscriptions de l établissement E. On note e 0 le nombre d inscriptions en 010 et e n le nombre d inscriptions en (010 + n). 1. Calculer e 1 et e. Conclure par une phrase. e 1 = 000 1,03 = 060 et e = 060 1,03 1. Le nombre d inscriptions en 011 était 060 ; en 01, il était de 1.. Exprimer e n+1 en fonction de e n. En déduire la nature de la suite (e n ) ; préciser son terme initial et sa raison. Le nombre d inscriptions augmente chaque année de 3 %, donc il est multiplié par % = 1,03. Ainsi, pour tout nombre entier naturel n, e n+1 = 1,03e n. La suite (e n ) est géométrique, de terme initial e 0 = 000 et de raison 1, Écrire le terme général de la suite (e n ), puis calculer le nombre d inscriptions en 016. e n = e 0 b n, car e 0 est le terme initial de la suite. Ainsi, pour tout nombre entier naturel n, e n = 000 1,03 n. Le nombre d inscriptions en 016 correspond au terme de rang 6, soit e 6. e 6 = 000 1, Étude des inscriptions de l établissement D. On note d 0 le nombre d inscriptions en 010 et d n le nombre d inscriptions en (010 + n). 1. Calculer d 1 et d. Conclure par une phrase. d 1 = ,99 = 970 et d = 970 0, Le nombre d inscriptions en 011 était 970 ; en 01, il était de Déterminer la nature de la suite (d n ) ; préciser son terme initial et sa raison. Le nombre d inscriptions baisse chaque année de 1 %, donc il est multiplié par 1 1 % = 0,99. La suite (d n ) est géométrique, de terme initial d 0 = et de raison 0, Écrire le terme général de la suite (d n ), puis calculer le nombre d inscriptions en 016. d n = d 0 b n, car d 0 est le terme initial de la suite. Ainsi, pour tout nombre entier naturel n, d n = ,99 n. Le nombre d inscriptions en 016 correspond au terme de rang 6, soit d 6. d 6 = , Consulter Rappel 6 Cours 1. Méthode Consulter Rappel 6 Cours 1. Méthode

8 Applications 3 Consulter Rappel 7 1. Créer un tableau de valeurs des termes de rangs 0 à 30 des suites (e n ) et (d n ) avec la calculatrice. Pour cela : entrer les expressions du terme général e n et du terme général d n dans l éditeur de fonctions : Y1 = 000 1,03 x et Y = ,99 x ; prendre 0 comme valeur minimale de x, 1 comme pas entre deux valeurs de x et faire afficher le tableau de valeurs.. À l aide du tableau de valeurs créé à la question précédente, déterminer : l année à partir de laquelle le nombre d inscriptions dans l établissement E sera supérieur à 600 ; On cherche le nombre entier naturel n tel que : e n > 600. On lit e et e Le nombre d inscriptions dans l établissement E sera supérieur à 600 à partir de 019. l année à partir de laquelle le nombre d inscriptions dans l établissement E aura théoriquement doublé ; On cherche le nombre entier naturel n tel que : e n = 000 = On lit e et e Le nombre d inscriptions dans l établissement E aura théoriquement doublé à partir de 04. l année à partir de laquelle le nombre d inscriptions dans l établissement D deviendra inférieur à 800 ; On cherche le nombre entier naturel n tel que : d n < 800. On lit d 6 84 et d Le nombre d inscriptions dans l établissement D deviendra inférieur à 800 à partir de 017. l année à partir de laquelle le nombre d inscriptions dans l établissement D aura diminué de 0 % ; On cherche le nombre entier naturel n tel que : d n = 0, = 400. On lit d 405 et d Le nombre d inscriptions dans l établissement D aura diminué de 0 % à partir de 033. l année à partir de laquelle le nombre d inscriptions dans l établissement E dépassera celui de l établissement D. On lit e 10 = 688 et d , soit e 10 < d 10. On lit e 11 = 768 et d , soit e 11 > d 11. À partir de 01, le nombre d inscriptions dans l établissement E dépassera celui de l établissement D.

9 Exercices E1 1. u n+1 = 3(n + 1) 1 = 3n. u n+1 u n = 3n (3n 1) = 3.. La suite (u n ) est arithmétique, de terme initial u 0 = = 1 et de raison 3. E 1. u n+1 = 8(n + 1) + 0,3 = 8n + 8,3. u n+1 u n = 8n + 8,3 (8n + 0,3) = 8.. La suite (u n ) est arithmétique, de terme initial u 1 = ,3 = 8,3 et de raison 8. E3 a) Pour tout nombre entier naturel n, u n = + 3n. b) Pour tout nombre entier naturel n, u n = 5 + 0,5n. c) Pour tout nombre entier naturel n, u n = 0,8n. d) Pour tout nombre entier naturel n, u n = 4 5n. E4 a) Pour tout nombre entier naturel n non nul, u n = 18 10n. b) Pour tout nombre entier naturel n non nul, u n = 8,7 + 19,3n. c) Pour tout nombre entier naturel n non nul, u n = 3n. d) Pour tout nombre entier naturel n non nul, u n = 1,8 + 0,9n. E7 1. Pour tout nombre entier naturel n, u n = 80 6n.. u 10 = = Le 10 e terme est u 9. u 9 = = 6. E8 1. Pour tout nombre entier naturel n non nul, u n = 8,75 + 0,5n.. u 7 = 8,75 + 0,5 7 = 10,5. 3. Le 10 e terme est u 10. u 10 = 8,75 + 0,5 10 = 11,5. E9 E10 E5 E11 (u n ) étant une suite arithmétique de terme initial u 0, pour tout nombre entier naturel n, u n = u 0 + na. Ainsi, u 7 = u 0 + 7a équivaut à u 0 = u 7 7a, soit u 0 = 1 7 0,4 = 9,. u 48 = u a = 9, ,4 = 8,4. E6 E1 (u n ) étant une suite arithmétique de terme initial u 1, pour tout nombre entier naturel n non nul, u n = u 1 + (n 1)a. Ainsi, u 60 = u 1 + (60 1)a équivaut à u 1 = u 60 59a, soit u 1 = = u 154 = u 1 + (154 1)a = = E13 1. Cet algorithme calcule les termes consécutifs de rangs 0 à 50 de la suite arithmétique (u n ), de terme initial u 0 et de raison a.. Sur tableur ou AlgoBox. 3. a) u 5 = 57. b) u 5 = 8.

10 Exercices E14 1. Cet algorithme calcule les termes consécutifs de rangs 1 à 5 de la suite arithmétique (u n ), de terme initial u 1 et de raison a.. Sur tableur ou AlgoBox. 3. a) u 19 = 1 06,4. b) u 19 = 191,1. E15 1. Nombre d habitants en 011 : Nombre d habitants en 01 : Pour tout nombre entier naturel n, p n+1 = p n 800. La suite (p n ) est arithmétique, de terme initial p 0 = et de raison 800. E16 1. Valeur acquise par le capital au bout d une année de placement : Valeur acquise par le capital au bout de deux années de placement : Pour tout nombre entier naturel n, c n+1 = c n La suite (c n ) est arithmétique, de terme initial c 0 = et de raison Pour tout nombre entier naturel n, c n = n. c 8 = 5 16 ; la valeur acquise par le capital après 8 années de placement est égale à E17 1. Valeur de revente au bout d une année : a) Pour tout nombre entier naturel n, r n+1 = r n 500. La suite (r n ) est arithmétique, de terme initial r 0 = et de raison 500. b) Pour tout nombre entier naturel n, r n = n. 3. On résout l équation r n = 0, équivalente à n = 0, soit n = 10. La valeur de revente sera nulle au bout de 10 ans. E18 1. Bénéfice de l entreprise la e année : a) Pour tout nombre entier naturel n non nul, b n+1 = b n La suite (b n ) est arithmétique, de terme initial b 1 = et de raison b) Pour tout nombre entier naturel n non nul, b n = (n 1) = n. 3. On résout l inéquation b n > , équivalente à n > , soit n > 14,13. Le bénéfice sera supérieur à à partir de la 15 e année. E0 a) Pour tout nombre entier naturel n non nul, u n = 0,5 n 1. b) Pour tout nombre entier naturel n non nul, u n = 10, 1,4 n 1. c) Pour tout nombre entier naturel n non nul, u n = 0,7 n 1. d) Pour tout nombre entier naturel n non nul, u n = 0,6 n. E1 E E3 1. Pour tout nombre entier naturel n non nul, u n = 10,5 n 1.. u 11 = Le 1 e terme de cette suite est u 1. u 1 = E4 1. Pour tout nombre entier naturel n non nul, u n = 0,03 5 n 1.. u 6 = 0, = 93, Le 9 e terme de cette suite est u 9. u 9 = ,75. E5 E19 a) Pour tout nombre entier naturel n, u n = 3 n. b) Pour tout nombre entier naturel n, u n = 4 0,9 n. c) Pour tout nombre entier naturel n, u n = 1,7 n+1. d) Pour tout nombre entier naturel n, u n = 400 0,03 n.

11 Exercices E6. Sur tableur ou AlgoBox. 3. a) u 11 = b) u E33 1. Population d oiseaux le janvier : Population d oiseaux le 3 janvier : environ a) Pour tout nombre entier naturel n, p n+1 = 0,98p n. La suite (p n ) est géométrique, de terme initial p 0 = et de raison 0,98. b) Pour tout nombre entier naturel n, p n = ,98 n. E7 (u n ) étant une suite géométrique de terme initial u 0, pour tout nombre entier naturel n, u n = u 0 b n. Ainsi, u = u 0 b équivaut à u 0 = u b, soit u 0 = 99 3 = 11. u 14 = = E8 (u n ) étant une suite géométrique de terme initial u 1, pour tout nombre entier naturel n non nul, u n = u 1 b n 1. Ainsi, u 3 = u 1 b équivaut à u 1 = u 3 b, soit u 1 = 8 = ,01 u 5 = ,01 4 = 0, E9 (v n ) étant une suite géométrique de terme initial v 0, pour tout nombre entier naturel n, v n = v 0 b n. Ainsi, v 3 = v 0 b 3 équivaut à b 3 = v 3 = 5 v 0 40 = 0,15, soit b = 0, = 0,5. La raison de la suite est 0,5. E30 (v n ) étant une suite géométrique de terme initial v 1, pour tout nombre entier naturel n non nul, v n = v 1 b n 1. Ainsi, v 4 = v 1 b 3 équivaut à b 3 = v 4 = 3,15 v 1 0, = 15,65, soit b = 15, =,5. La raison de la suite est,5. E31 1. Cet algorithme calcule les termes consécutifs de rangs 0 à 9 de la suite géométrique (u n ), de terme initial u 0 et de raison b.. Sur tableur ou AlgoBox. 3. a) u 4 = 81,5. b) u 4 = 1,96. E3 1. Cet algorithme calcule les termes consécutifs de rangs 1 à 14 de la suite géométrique (u n ), de terme initial u 1 et de raison b. E34 1. Valeur acquise au bout d un an : 65,50. Valeur acquise au bout de deux ans : 65,08.. Pour tout nombre entier naturel n, c n+1 = 1,04 5c n. La suite (c n ) est géométrique, de terme initial c 0 = 600 et de raison 1, Pour tout nombre entier naturel n, c n = 600 1,04 5 n. E35 1. Valeur au bout d une année : a) Pour tout nombre entier naturel n, r n+1 = 0,8r n. La suite (r n ) est géométrique, de terme initial r 0 = et de raison 0,8. b) Pour tout nombre entier naturel n, r n = ,8 n. 3. r 15 = , ,659. Sa valeur au bout de 15 ans est 316,66. E36 1. Production la e année : a) Pour tout nombre entier naturel n non nul, p n+1 = 1,15p n. La suite (p n ) est géométrique, de terme initial p 1 = 000 et de raison 1,15. b) Pour tout nombre entier naturel n non nul, p n = 000 1,15 n À l aide d une calculatrice ou d un tableur, on lit : p et p La production sera pour la première fois supérieure à unités au cours de la 6 e année. E37 a) u 0 + u u 17 = b) u 1 + u + + u 18 = c) u 8 + u u 45 = d) u 54 + u u 60 = E38 a) u 0 + u u 8 = 90. b) u 1 + u + + u 8 = 9. c) u 15 + u u 1 = 364. d) u u u 00 =

12 Exercices E39 u 0 + u u 9 = 185. E40 u 1 + u + + u 1 = 315. E41 1. e remboursement : 10 ; 3 e remboursement : 190 ; 4 e remboursement : 60 ; 5 e remboursement : Le montant de la somme prêtée est 950. E4 1. Nombre de mensualités : 7 1 = 84.. a) Pour tout nombre entier naturel n non nul, m n = 9,5 + 0,5n. b) m 0 = 19,50 ; m 45 = 3 et m 84 = 51,50. m 1 + m + + m 84 = 583. Le montant total versé est 583. E43 1. Pour tout nombre entier naturel n non nul, c n+1 c n =. La suite (c n ) est arithmétique, de terme initial c 1 = 110 et de raison.. Pour tout nombre entier naturel n non nul, c n = 88 + n. c 8 = 64. Le nombre de couverts servis au mois d août est c 1 + c + + c 8 = Le nombre total de couverts servis de janvier à août est E44 a) v 0 + v v 7 1,9. b) v 1 + v + + v 11 7,47. c) v 4 + v v 9 1,54. d) v + v v 8 4,37. E45 a) v 0 + v v 15 = ,5. b) v 1 + v + + v 10 = 613,8. c) v + v v 8 = 15,4. d) v 6 + v v 84 1, E46 w 0 + w w 6 = 8 191,5. E47 v 1 + v + + v 5 = 488,15. E48 1. e remboursement : 60 ; 3 e remboursement : 7 ; 4 e remboursement : 86,40 ; 5 e remboursement : 103,68.. Le montant de la dette est 37,08. E49 1. Pour tout nombre entier naturel n non nul, l n+1 = 1,03l n. La suite (l n ) est géométrique, de terme initial l 1 = et de raison 1,03.. a) Pour tout nombre entier naturel n non nul, l n = ,03 n 1. b) l et l 1 + l + + l E50 1. Pour tout nombre entier naturel n non nul, p n+1 = 1,08p n. La suite (p n ) est géométrique, de terme initial p 0 = et de raison 1,08.. Pour tout nombre entier naturel n non nul, p n = ,08 n. p 6 = , p 0 + p p E51 1. a) s 1 = = ; s = = Pour tout nombre entier naturel n non nul, s n+1 s n = 1 40 = 480. La suite (s n ) est arithmétique, de terme initial s 1 = et de raison 480. Pour tout nombre entier naturel n non nul, s n = (n 1) = n. b) w 1 = = ; w = ,09 = Pour tout nombre entier naturel n non nul, w n+1 = 1,09w n. La suite (w n ) est géométrique, de terme initial w 1 = et de raison b = 1,09. Pour tout nombre entier naturel n non nul, w n = ,09 n 1.. a) On entre la formule = *A dans la cellule B que l on recopie vers le bas jusqu à la cellule B9. On entre la valeur 1990 dans la cellule C et la formule =C+B3 dans la cellule C3 que l on recopie vers le bas jusqu à la cellule C9. On affiche les résultats sans décimale. Le salaire annuel de la 4 e année correspond à la valeur lue dans la cellule B5, soit On en déduit le salaire mensuel de la 4 e année : = Le salaire annuel total devient supérieur à euros (cellule C6) à partir de l année 5 (cellule A6). b) On entre la formule =16800*1,09^(A 1) dans la cellule D que l on recopie vers le bas jusqu à la cellule D9. On affiche les résultats sans décimale. On entre la valeur dans la cellule E et la formule =E+D3 dans la cellule E3 que l on recopie vers le bas jusqu à la cellule E9. On affiche les résultats sans décimale. Le salaire annuel devient supérieur à euros (cellule D7) à partir de l année 6 (cellule A7). On en déduit le salaire mensuel correspondant : ,08.

13 Exercices c) C est à partir de la 4 e année d ancienneté dans l entreprise que le contrat donne un salaire annuel supérieur à celui obtenu avec le contrat 1 (cellules B5 et D5). Le contrat le plus avantageux pour le salarié s il reste dans l entreprise pendant 6 ans est le contrat 1 (cellules C6 et E6) ; c est le contrat s il y reste 7 ans (cellules C7 et E7). E5 1. a) c 1 = et c = 4 0,50. b) La valeur acquise par le capital augmente chaque année de,5 %, elle est donc multipliée par 1,05. Ainsi, la suite (c n ) est géométrique de terme initial c 0 = et de raison 1,05. Pour tout nombre entier naturel n, c n = c 0 1,05 n.. La valeur acquise par le capital augmente chaque année de 6 %, elle est donc multipliée par 1,06. Ainsi, la suite (q n ) est géométrique de terme initial q 0 = 500 et de raison 1,06. Pour tout nombre entier naturel n, q n = 500 1,06 n. 3. À l aide de la calculatrice ou du tableur, on lit : c et q , soit c 13 > q 13. c ,90 et q ,6, soit c 14 < q 14. q n dépassera c n au bout de 14 années de placement. E53 1. a) u 1 = ; u = 17,50. b) Le capital placé augmente chaque année de 3,75 %, il est donc multiplié par 1, Ainsi, la suite (u n ) est géométrique de terme initial u 0 = et de raison 1, Pour tout nombre entier naturel n, u n = ,037 5 n.. a) b) Trois ans plus tard, il dispose d environ Il lui manque donc environ 13. c) C est au 1 er janvier de la 7 e année qu il disposera du capital nécessaire à l achat de la machine (cellules A9 et B9). E54 1. a) u 1 = et u = La production du modèle α diminue de 500 objets par an, donc pour tout nombre entier naturel n, u n+1 = u n 500. La suite (u n ) est arithmétique, de terme initial u 0 = et de raison 500. b) Pour tout nombre entier naturel n, u n = n. c) La production du modèle α sera nulle l année de rang 8, elle cessera donc fin 00. d) u 0 + u u 7 = objets de modèle α au total auront été produits de 013 à 00.. a) v 1 = , = v b) La production du modèle β augmente chaque année de 8 %, elle est donc multipliée par 1,08. Pour tout nombre entier naturel n, v n+1 = 1,08v n. Ainsi, la suite (v n ) est géométrique de terme initial v 0 = et de raison 1,08. c) Pour tout nombre entier naturel n, v n = v 0 1,08 n. L année 017 correspond au rang n = 4 et v d) v 0 + v v E55 1. Avec l entreprise A, chaque mètre supplémentaire équipé coûte 5 de plus que le précédent, donc pour tout nombre entier naturel n non nul, u n+1 = u n + 5. La suite (u n ) est arithmétique, de terme initial u 1 = 0 et de raison 5. Avec l entreprise B, chaque mètre supplémentaire équipé coûte 5 % de plus que le précédent, donc pour tout nombre entier naturel n non nul, v n+1 = 1,05v n. La suite (v n ) est géométrique, de terme initial v 1 = 10 et de raison 1,05.. On entre la valeur 1 dans la cellule A et la valeur dans la cellule A3. On sélectionne ces deux cellules que l on recopie vars le bas jusquà la cellule A101. On entre la valeur 0 dans la cellule B et la formule =B+5 dans la cellule B3 que l on recopie vers le bas jusqu à la cellule B101. On entre la valeur 0 dans la cellule C et la formule =C+B3 dans la cellule C3 que l on recopie vers le bas jusqu à la cellule C101. On entre la valeur 10 dans la cellule D et la formule =D*1,05 dans la cellule D3 que l on recopie vers le bas jusqu à la cellule D101. On entre la valeur 10 dans la cellule E et la formule =E+D3 dans la cellule E3 que l on recopie vers le bas jusqu à la cellule E S 50 = 7 15 (cellule C51) et R (cellule D51). L entreprise la moins chère est l entreprise B.

14 Exercices 4. Entreprise A : on lit S 96 = 4 70 et S 97 = 5 0. La hauteur de la falaise qui peut être équipée avec est 97 mètres. Entreprise B : on lit R et R La hauteur de la falaise qui peut être équipée avec est 100 mètres. E56 1. a) i s = i = 0,06 = 0,03 = 3 %. b) i t = i 4 = 0,06 = 0,015 = 1,5 % et 4 i m = i 1 = 0,06 = 0,005 = 0,5 %. 1. a) (1 + i). b) Il y a deux semestres dans une année (1 + i s ). c) (1 + i) = (1 + i s ) équivaut successivement à (1 + i) = (1 + i s ) ; 1 + i s = (1 + i) 1 ; i s = (1 + i) 1 1. d) i s = 1, ,09 563,956 3 %. e) i t = 1, , ,47 %. f) i m = 1, , ,49 %. 3. a) (v n ) est la suite géométrique de terme initial v 0 = et de raison 1,06. Pour tout nombre entier naturel n, v n = ,06 n. (S n ) est la suite géométrique de terme initial s 0 = et de raison 1,03. Pour tout nombre entier naturel n, s n = ,03 n. (T n ) est la suite géométrique de terme initial t 0 = et de raison 1, Pour tout nombre entier naturel n, s n = , n. b) Pour tout nombre entier naturel n non nul, s n > v n. Le placement au taux semestriel proportionnel au taux annuel est le plus rentable, car la valeur acquise par le capital placé est plus importante. c) Pour tout nombre entier naturel n, t n = v n. La valeur acquise par le capital placé est identique. QCM 1. Réponse a.. Réponse c. 3. Réponse c. 4. Réponse a. 5. a) Réponse b. b) Réponse b. 6. a) Réponse c. b) Réponse b.