Département de physique TRAVAUX DIRIGES DE PHYSIQUE I

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1 INSTITUTPOLYTECHNIQUE DESSCIENCESAVANCEES Département de physique TRAVAUX DIRIGES DE PHYSIQUE I (Module Ph 11) Corrigé du T.D N 2 : DERIVEES ET DIFFERENTIELLES Site Forum de discussion : J. Bouguechal / W. Larbi / A. Lekic (Edition ) INSTITUTPOLYTECHNIQUEDESSCIENCESAVANCEES 7/9, rue Maurice Grandcoing 94200Ivry Sur Seine * Tél. : * Fax : Etablissement Privé d Enseignement Supérieur Technique SIRET N APE 803Z 16/06/2011 1

2 CORRIGE DU T.D N 2 DERIVEES ET DIFFERENTIELLES EXERCICE : 1 DIFFERENTIELLES DE FONCTIONS SIMPLES 1) Déterminons la dérivée et la différentielle des fonctions simples suivantes : fonction dérivée différentielle 2) Déterminons la dérivée puis la différentielle des fonctions avec u,v,w=f(x) 2

3 fonction dérivée différentielle Avec 3) Déterminons la dérivée et la différentielle des fonctions suivantes : fonction Dérivée différentielle 4) Soit S la surface d un cercle de rayon R qui peut varier, la différentielle de cette surface totale est, qui représente une petite surface qui est le produit du périmètre multiplié par la longueur. ds R dr Figure 1 : Schéma de l air ds 2πR dr Figure 2 : aspect déplié de l aire ds de la figure 1 3

4 Soit S la surface d un carré de côté a qui peut varier, la différentielle de cette surface est En réalité, lorsque l on tient compte de tous les termes dans la différentielle, il apparait un terme d ordre 2 qui est négligeable. En effet, un élément infinitésimal au carré est encore plus petit que l élément fini initial : Le petit élément négligeable est le petit carré rose en bas à droite sur la figure 3. a Figure 3 : Schéma en bleu de ds da Soit S la surface d un rectangle de côtés a et b qui peuvent varier, la différentielle de cette surface est :. 5) Soit V le volume d une sphère de rayon R qui peut varier, la différentielle du volume V est : Soit V le volume d un cylindre de rayon R et de hauteur h qui peuvent varier, la différentielle du volume V est :. EXERCICE : 2 APPLICATIONS EN PHYSIQUE 1) La différentielle de l énergie cinétique totale de translation des molécules d un gaz est :. 2) a) Les charges et les masses restent constantes ici. La différentielle de la force de Coulomb est :. De même, la différentielle de la force gravitationnelle est :. b) Ici les distances sont constantes ainsi que la masse et la charge de la particule q. De fait, la différentielle de la force de Coulomb devient, la différentielle de la force gravitationnelle devient quant à elle. 3) Déterminons la différentielle des grandeurs physiques page 9. 4

5 Grandeur physique avec h constant avec m constant avec F et l constants avec m et g constants avec m constant avec R constant Différentielle de la grandeur physique 5

6 CALCUL D INCERTITUDE EXERCICE : 1 CAS D UNE SEULE MESURE a) La mesure au pied à coulisse est effectuée à 0,02 mm près ce qui correspond à 1/50 mm près. On sait que le diamètre de la bille à l incertitude absolue près est de Ce qui veut dire que l on peut retrouver la valeur du rayon ainsi que son incertitude absolue, en divisant cette valeur par 2, il vient alors que le rayon de la bille vaut D où l incertitude relative sur le rayon vaut : mm Nous devons maintenant calculer la différentielle du volume d une sphère de rayon r avant d obtenir l incertitude relative sur le volume de cette même sphère. Calculons d abord cette différentielle. Le volume de la sphère est. Arrivés à cette étape du calcul, avant d écrire la différentielle, nous devons savoir si tous les termes varient ou bien s ils sont entachés d une certaine incertitude. 4/3 est bien une constante. En revanche π possède une incertitude absolue δπ que l on ne connait pas à priori. Le rayon r peut également varier. Prenons le logarithme népérien de l expression du volume : On écrit la différentielle puis on différencie l expression précédente : Puis, on obtient : Enfin on remplace les d par des δ et on prend les valeurs absolues des incertitudes absolues sur les deux «variables». Ce qui donne au final une incertitude relative sur le volume de la sphère qui s écrit ainsi :. b) En pratique, on peut négliger l incertitude relative sur π dans le cas où l on connaît ce nombre avec assez de chiffres significatifs. Ici, connaissant l incertitude sur r, on peut donner une condition sur l incertitude de π afin de s en astreindre. Il faut que, ce qui veut dire qu il faut au moins 3 chiffres après la virgules connus pour π et de fait 4 chiffres significatifs. Si l on utilise π=3,141 alors l incertitude relative sur le volume sera égale à 3 fois l incertitude relative sur le rayon i.e.. 6

7 c) Si l on prend π=3,141 et le rayon de la bille mm, alors la valeur du volume est mm 3 d où l incertitude absolue sur le volume qui vaut mm 3. On prendra alors mm 3, d où le volume qui est encadré par les deux valeurs minimale et maximale suivantes : EXERCICE : 4 RESISTANCES EN PARALLELE : ERREURS LIEES a) On étudie le cas de deux résistances en parallèle et l on souhaite calculer la résistance équivalente. Celle-ci est donnée par la formule suivante : Avec les valeurs numériques des résistances, à savoir et, d où la valeur numérique pour la résistance équivalente. On souhaite maintenant calculer l incertitude relative avec laquelle est connue cette résistance équivalente. Pour ce faire, on prend le logarithme népérien de l expression de la résistance équivalente : On écrit la différentielle et on différencie l expression du ln de la résistance équivalente : Or, autrement dit, la différentielle d une somme est la somme des différentielles. D où l expression de la différentielle de R qui s écrit finalement : Et en regroupant les termes se rapportant à la différentielle de la première résistance et les termes correspondant à la seconde résistance, on obtient l expression de l incertitude absolue en remplaçant les d par des δ. On obtient l expression de l incertitude absolue en remplaçant les d par des δ. 7

8 Or on sait que les incertitudes relatives pour les deux résistances sont égales et ont la valeur : D où l incertitude relative sur la résistance équivalente : Donc l application numérique donne, d où l encadrement des valeurs de R,. b) Si l on ne tient pas compte de l existence d erreurs liées (termes R 1 et R 2, qui se trouvent à la fois au numérateur et au dénominateur), alors on aurait obtenu l expression de l incertitude relative sur R qui aurait l expression ci-dessous : EXERCICE : 5 DECHARGE D UN CONDENSATEUR a) On souhaite calculer numériquement la charge résiduelle à 12 s avec une résistance, une capacité, donc la constante de temps du circuit vaut et la charge à 12 s vaut : b) On calcule le logarithmique de l équation, on obtient donc : D où en différentiant, on obtient l expression suivante : Ce qui donne, après avoir différentié le dernier terme : 8

9 On factorise ensuite les termes qui peuvent l être et l on obtient une expression simplifiée (en rouge les expressions issues de la différentielle logarithmique et qui deviendront à l étape suivante les incertitudes relatives des différentes grandeurs physiques en présence) : On passe aux incertitudes : Or l incertitude relative sur la tension est négligeable. En effet et l argument de l exponentielle vaut, alors l incertitude relative sur la charge Q : EXERCICE : 6 VARIATION D UN INDICE Pour calculer n pour la radiation qui est très proche de la longueur d onde λ, on peut effectuer un calcul d erreur. Pour ce faire, on calcule la différentielle de l expression de l indice de réfraction de la loi de Cauchy. Différentions cette loi de Cauchy : La différentielle se calcule en transformant les longueurs d onde des radiations en microns-mètre. Cette différentielle représente ici l écart entre les deux valeurs de longueur d onde que l on obtient en soustrayant par λ. Nous obtenons : D où, avec les valeurs des indices et des longueurs d onde données dans l énoncé : Et l on obtient alors une valeur de l indice de réfraction EXERCICE : 7 CALCUL D UNE PETITE VARIATION DE PERIODE Le poids d une masse m à une altitude z est.or le poids d une masse à la surface de la Terre est. On cherche l expression de K. Ainsi, avec l expression du poids à la surface de la Terre, on en déduit K que l on incorpore dans l autre expression du poids d une masse m à une altitude z. 9

10 D où l expression de l accélération de pesanteur : En remplaçant par l expression de K on obtient : Or car z est très petit par rapport à R, le rayon de la Terre. On fait alors un développement limité (calcul approché) à l ordre 1. On utilise la formule de la série du binôme (voir page 13) en posant A l ordre n=2, on a. Ici n=-2, on a donc à l ordre 1 : D où Pour une variation de la pesanteur on obtient : Donc, pour une petite variation (quasi infinitésimale) de g, notée, l altitude varie de L expression précédente devient pour une petite variation de g, à l ordre 1 : c) Par homogénéité, on retrouve la période d un pendule simple donnée par l expression : On écrit le logarithme népérien de cette expression 10

11 On différencie le logarithme de l expression et l on obtient l égalité : En passant aux incertitudes relatives, on obtient l incertitude relative sur la période : Le signe est conservé car le sens de la variation est connu. Par ailleurs, la longueur du fil dépend de la température. En différentiant l expression de cette longueur en fonction de la température, et en remplaçant les d par les, on peut obtenir l expression. En remplaçant l expression de l incertitude relative sur g dans l expression de l incertitude relative sur la période, on obtient l expression suivante : Or avec m car on est à la surface de la Terre. Ce qui veut dire ici que directement. Application numérique : m et m. alors, la variation de période est donc égale à s car T=1 s. Le pendule bat plus lentement. 11

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