SECONDE - INTERVALLES

Transcription

1 SECONDE - INTERVALLES Ce document totalement gratuit (disponible parmi bien d'autres sur la page JGCUAZ.FR rubrique mathématiques) a été conçu pour aider les élèves de Seconde Générale en mathématiques. Il contient le cours (définitions, théorèmes, démonstrations) et des exercices corrigés dans le moindre détail. La progression proposée est celle que je pratique dans mes classes. Au fur et à mesure, j'ai inséré des remarques, conseils et points méthode, sur la base de mon expérience d'enseignant en lycée. Ce document n'a pas la prétention de se substituer à l'assiduité nécessaire au cours, mais pourra permettre au lecteur de rattraper une absence, de réviser une notion et/ou de préparer une évaluation, le temps de recherche des exercices (et non pas une lecture immédiate du corrigé, même si celuici est écrit "juste en dessous"!) étant une condition nécessaire à la réussite. La navigation peut s'effectuer de manière interactive pour ceux qui utilisent la version PDF de ce document. Pour toute remarque, merci de vous rendre sur la page JGCUAZ.FR où vous trouverez mon adresse électronique (qui est JGCUAZ@HOTMAIL.COM à la date du 01/10/2016) Egalement disponible une page facebook Montpellier, le 01/10/2016 Jean-Guillaume CUAZ, professeur de mathématiques, Lycée Clemenceau, Montpellier depuis 2013 Lycée Militaire de Saint-Cyr, de 2000 à 2013 Seconde - Intervalles - introduction Page 1/16 Version du 01/10/2016

2 INTERVALLES En mathématiques, lorsque l'on veut décrire des nombres "compris entre certaines valeurs" ou "strictement supérieurs à une certaine valeur", on a recours à la notion d'intervalles. Il sont au nombre de huit, chacun décrivant une caractéristique particulière. 1) Définition des 8 intervalles de référence On considère deux nombres a et b, avec a < b. L'intervalle noté... Représenté par... est constitué des nombres x vérifiant [ ab ; ] a x b ] ab ; [ a< x< b [ ab ; [ a x< b ] ab ; ] a< x b [ a ; + [ x a " Le symbole + se lit "plus l'infini". Il ne doit pas être considéré comme un nombre. Le crochet de son côté est toujours ouvert ] a ; + [ x> a ] ;b] x b se lit "moins l'infini" ] ;b[ x< b Seconde - Intervalles Page 2/16 Version du 01/10/2016

3 Exemples : Le nombre 8 appartient à l'intervalle [ 6;10 ] car Le nombre 8 appartient à l'intervalle [ 2;+ [ car 6 2 Le nombre 8 n'appartient pas à l'intervalle [ 4;6 ] ni à ] ;2] Que peut-on vous demander? - Déterminer si un nombre appartient ou non à un intervalle - Traduire des inégalités à l'aide d'intervalles Seconde - Intervalles Page 3/16 Version du 01/10/2016

4 INTERVALLES - EXERCICES Exercice n 1 (correction) Remplacez les pointillés par le symbole (appartient) ou (n'appartient pas) π...[ 3;4] 2... [ 1;3 ] 5...[ 0;5[ 1 2 0,33... ; 3 3 π...] 3,14;3,15[ Exercice n 2 (correction) Complétez sur le modèle de la première ligne, les cases vides du tableau Inégalité 1 x 2 Intervalle x [ 1; 2] x > x [ 2; + [ x 0... Exercice n 3 (correction) Les affirmations suivantes sont-elles VRAIES ou FAUSSES? Si vous répondez VRAI, vous n'avez pas à justifier, si vous répondez FAUX, vous devez trouver un nombre pour justifier votre réponse Affirmation VRAI FAUX Nombre éventuel pour justifier votre réponse 1) Si x > 3 alors x 3 2) Si x 3 alors x > 3 3) Si x > 3 alors x 4 4) Si x > 4 alors x 3 5) x [ 8; + [ x ] 7; + [ 6) x ] 7; + [ x [ 8; + [ 7) x ] 7; + [ x [ 7; + [ 8) x ] 7; + [ x [ 7; + [ Exercice n 4 (correction) Compléter les pointilles par le symbole (implique) ou a) x [ 1; + [... x [ 2; + [ b) x ] 3; + [... x [ 3; + [ Seconde - Intervalles Page 4/16 Version du 01/10/2016

5 Exercice n 5 (correction) Résoudre les inéquations suivantes et donner le résultat sous la forme d'un intervalle (" x... ") 1) 7x ) 8> 2x + 5 Seconde - Intervalles Page 5/16 Version du 01/10/2016

6 INTERVALLES - CORRECTION Correction de l'exercice n 1 (retour à l'énoncé) π [ 3; 4] 2 [ 1;3] 5 [ 0;5[ 1 2 0,33 ; 3 3 π ] 3,14;3,15[ Correction de l'exercice n 2 (retour à l'énoncé) Inégalité Intervalle 1 x 2 x [ 1;2] x > 1 x ] 1; + [ x 2 x [ 2; + [ x 0 x ] ;0] Correction de l'exercice n 3 (retour à l'énoncé) Affirmation V F Nombre éventuel pour justifier votre réponse 1) Si x > 3 alors x 3 V 2) Si x 3 alors x > 3 F Si x = 3 alors on a bien x 3 mais pas x > 3 3) Si x > 3 alors x 4 F Si x = 3,5 alors on a bien x > 3 mais pas x 4 4) Si x > 4 alors x 3 V x 8; + x 7; + V 5) [ [ ] [ 6) x ] 7; [ x [ 8; [ 7) x ] 7; [ x [ 7; [ 8) x ] 7; [ x [ 7; [ + + F Si 7,5 + + F Si V x = alors on a bien x ] 7; + [ mais pas x [ 8; + [ x = alors on a bien x [ 7; + [ mais pas x ] 7; + [ Pour démontrer qu'une propriété est FAUSSE, il SUFFIT de trouver un contre-exemple Correction de l'exercice n 4 (retour à l'énoncé) a) x [ 1; + [ x [ 2; + [ b) x ] 3; + [ x [ 3; + [ Correction de l'exercice n 5 (retour à l'énoncé) 7x x x x 3 7 x + [ 3; [ 8> 2x+ 5 3> 2x 3 3 < x x ; Seconde - Intervalles Page 6/16 Version du 01/10/2016

7 INTERVALLES - INTERSECTION 2) Intersection de deux intervalles On a représenté ci-dessous, sur le même axe : En rouge l'intervalle [ 2;4] et en bleu l'intervalle [ 1;5]. On constate qu'il existe des nombres qui sont à la fois rouge et à la fois bleu : tous les nombres de l'intervalle [ 1; 4] Définition : Soit I et J deux intervalles. On appelle intersection de I et de J l'ensemble noté I aux deux intervalles, c'est-à-dire appartenant à I ET à J. J (lire "I inter J") des nombres communs Exemple : Dans l'exemple précédent, I J = [ 1; 4] Que peut-on vous demander? - Déterminer l'intersection de deux intervalles (aidez-vous d'un dessin au début...) Définition : Si deux intervalles I et J n'ont AUCUN nombre en commun, on dit qu'ils sont DISJOINTS On note alors I J = (notation pour ensemble vide) Seconde - Intervalles Page 7/16 Version du 01/10/2016

8 INTERSECTION D'INTERVALLES - EXERCICES Exercice n 6 (correction) Déterminer I J dans chacun des cas suivants : 1) I = ] ;2] et J = [ 0;6] 2) I = [ 0;5[ et J = ] 1;3] 3) I = ] ;2] et J = [ 2; + [ Exercice n 7 (correction) Déterminer I J dans chacun des cas suivants : I = [ ] J = [ ] I = ] ] J = ] 2; + [ 1) 0;3 et 4;6 2) ;2 et Exercice n 8 (correction) Déterminer I J dans chacun des cas suivants : a) I = ] ;3] et J = [ 3; + [ b) I = ] 2;5] et J = ] 4;6] c) I = ] 2;5] et J = ] 5; + [ d) I = ] ;3] et J = [ 0;1] Seconde - Intervalles Page 8/16 Version du 01/10/2016

9 INTERSECTION D'INTERVALLES - CORRECTION Correction de l'exercice n 6 (retour à l'énoncé) 1) I J = [ 0;2] 2) I J = ] 1;5[ 3) I J = { 2} Notation : Lorsqu'un intervalle ne contient qu'un seul nombre on le note entre accolades et on l'appelle SINGLETON (de l'anglais "single" qui signifie UN SEUL) (cf exemple 3 précédent) Correction de l'exercice n 7 (retour à l'énoncé) 1) I J = 2) I J = Correction de l'exercice n 8 (retour à l'énoncé) a) I J = { 3} b) I J = ] 4;5] c) I J = d) I J = [ 0;1] Seconde - Intervalles Page 9/16 Version du 01/10/2016

10 INTERVALLES - REUNION 3) Réunion de deux intervalles On a représenté ci-dessous, sur le même axe : En rouge l'intervalle [ 2;4] et en bleu l'intervalle [ 1;5]. On constate que tous les nombres de l'intervalle [ 2;5] possèdent au moins une couleur : - tous les nombres de l'intervalle [ 2; 1[ sont bleus - tous les nombres de l'intervalle [ 1; 4] sont rouges et bleus (il s'agit de l'intersection des deux intervalles [ 2;4] et [ 1;5] ) - tous les nombres de l'intervalle ] 4;5 ] sont bleus Définition : Soit I et J deux intervalles. On appelle réunion ou union de I et de J l'ensemble noté I J (lire "I union J") des nombres appartenant à au moins un des deux intervalles, c'est-à-dire appartenant à I OU à J OU AUX DEUX (Ne pas oublier que le OU est inclusif) Exemple : Dans l'exemple précédent, I J = [ 2;5] Que peut-on vous demander? - Déterminer la réunion de deux intervalles (aidez-vous d'un dessin au début...) Seconde - Intervalles Page 10/16 Version du 01/10/2016

11 REUNION D'INTERVALLES - EXERCICES Exercice n 9 (correction) Déterminer I J dans chacun des cas suivants : 1) I = ] ;2] et J = [ 0;6] 2) I = [ 0;5[ et J = ] 1;3] 3) I = ] ;2] et J = [ 2; + [ Exercice n 10 (correction) Déterminer I J dans chacun des cas suivants : I = [ ] J = [ ] I = ] ] J = ] + [ I = ] [ J = ] 2; + [ 1) 0;3 et 4;6 2) ;2 et 2; 3) ;2 et Exercice n 11 (correction) Déterminer I J dans chacun des cas suivants : a) I = ] ;3] et J = [ 3; + [ b) I = ] 2;5] et J = ] 4;6] c) I = ] 2;5] et J = ] 5; + [ d) I = ] ;3] et J = [ 0;1] Exercice n 12 (correction) Dans chacun des cas ci-dessous, déterminer I maximum. a) I = ] 4;2] et ] 2; [ b) I = ] ;4] et [ 3; [ c) I = [ 1;3] et ] ;5] d) I = ] 10; 3] et ] 4;6] J et I J en simplifiant leur écriture au J = + I J =... I J =... J = + I J =... I J =... J = I J =... I J =... J = I J =... I J =... Seconde - Intervalles Page 11/16 Version du 01/10/2016

12 REUNION D'INTERVALLES - CORRECTION Correction de l'exercice n 9 (retour à l'énoncé) 1) I J = ] ;6] 2) I J = [ 0;5[ 3) I J= ] ; + [ L'intervalle ] ; + [ correspond à l'ensemble de tous les nombres réels. On le note Il est parfaitement possible que l'écriture d'une union de deux intervalles ne puisse pas se simplifier Correction de l'exercice n 10 (retour à l'énoncé) 1) I J [ 0;3] [ 4;6] =, écriture non simplifiable. 2) I J ] ;2] ] 2; [ ] ; [ = + = +. 3) I J ] ;2[ ] 2; [ = +, écriture non simplifiable. Correction de l'exercice n 11 (retour à l'énoncé) a) I J = ] ; + [ b) I J = ] ; + [ c) I J = ] 2;6] d) I J = ] ;3] Correction de l'exercice n 12 (retour à l'énoncé) a) I = ] 4;2] et ] 2; [ J = + I J = I J = ] 4; + [ b) I = ] ;4] et J = [ 3; + [ I J = [ 3; 4] I J = ] ; + [ Seconde - Intervalles Page 12/16 Version du 01/10/2016

13 c) I = [ 1;3] et J = ] ;5] I J = [ 1;3] I J = ] ;5] d) I = ] 10; 3] et ] 4;6] simplifiable) J = I J = I J ] 10; 3] ] 4;6] = (non Seconde - Intervalles Page 13/16 Version du 01/10/2016

14 INTERVALLES - INCLUSION Définition : Lorsqu'un intervalle J est tout entier contenu dans un intervalle I, on dit que J est INCLUS dans I et on note J I Exemples : L'intervalle J = [ 1;3] est tout entier contenu dans l'intervalle [ 0;4] appartenant à J (donc compris entre 1 et 3) appartiennent aussi à I. I = car tous les nombres Seconde - Intervalles Page 14/16 Version du 01/10/2016

15 INTERVALLES - INCLUSION - EXERCICES Exercice n 13 (correction) Dans chacun des cas, dire si l'intervalle J est inclus dans l'intervalle I en justifiant si ce n'est pas le cas. J = ] + [ I = [ 3; + [ 1) 2; et J = [ [ I = [ 0;2] 2) 1;3 et J = [ ] I = [ 1;3[ 3) 0;2 et Seconde - Intervalles Page 15/16 Version du 01/10/2016

16 INCLUSION D'INTERVALLES - CORRECTION Correction de l'exercice n 13 (retour à l'énoncé) 1) FAUX exemple 2,5 J mais 2,5 I 2) FAUX exemple 0,5 J mais 0,5 I 3) VRAI Seconde - Intervalles Page 16/16 Version du 01/10/2016