x = x 2 x 1 Vitesse moyenne: taux moyen de déplacement entre deux instants

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1 PHYSQ 124: Mouvement non-uniforme 1 MOUVEMENT NON-UNIFORME 1 But Dans le cours, nous considérons surtout des problèmes de cinématique à accélération constante, ce qui constitue une classe de problèmes assez restreinte. La présente expérience 1 nous permet de revenir sur les concepts fondamentaux de cinématique But général (position et déplacement, vitesse moyenne et instantanée, et accélération) en observant un système où l accélération n est pas constante. Par conséquent, les équations de la cinématique à accélération constante ne sont pas valides dans le cas présent! Cette expérience a donc deux objectifs spécifiques. Le premier est de construire et Objectif 1 d analyser différents types de graphiques (par exemple, position en fonction du temps, vitesse instantanée en fonction du temps). Le second objectif vise à établir le lien Objectif 2 entre certains concepts mathématiques du calcul différentiel (par exemple, fonctions, dérivées) et la cinématique. Le terme uniforme signifie généralement que la vitesse est constante. En deux Définitions ou trois dimensions, un mouvement uniforme implique que la grandeur et la direction de la vitesse sont constantes. Par contre, l expression mouvement circulaire uniforme est utilisée pour décrire un mouvement autour d un cercle (donc, sa direction change) à vitesse constante. Une autre classe de mouvement, dit uniformément accéléré représente les cas où l accélération est constante. 2 Théorie Quelques définitions de base. Déplacement: changement de position Déplacement x = x 2 x 1 Vitesse moyenne: taux moyen de déplacement entre deux instants v = x t (Peut s écrire aussi v moy.) Vitesse instantanée: taux instantané de déplacement à un instant v moyenne v instantanée 1 Adapté de: Experiment 7 - Non-Uniform Motion, Phys 130/EN PH 131 Laboratory Manual, Department of Physics, University of Alberta.

2 PHYSQ 124: Mouvement non-uniforme 2 x v = lim 0 t (Peut s écrire parfois v inst, mais nous utilisons v dans le cours.) Accélération moyenne: taux moyen de changement de vitesse instantanée a moyenne a = v t (Peut s écrire aussi a moy.) Accélération instantanée: taux instantané de changement de vitesse v a = lim 0 t Exemple. Les points de la Figure 1 illustrent la position d un objet à des intervalles de temps séparés de 1/50 sec. Déterminons approximativement v 6 à l aide des points (5 et 7) les plus proches. L intervalle t entre les points 5 et 7 est de ( ) 2 50 sec. Si on considére ce temps suffisamment petit, alors v 6 est donné approximativement par la vitesse moyenne entre 5 et 7. Nous trouvons donc a instantanée Exemple v inst v 6 x t = x 7 x 5 t 7 t 5 = cm (7 5) 1 = 67.5 cm/s. s 50 3 Questions préliminaires (À compléter avant la séance de laboratoire. Insérez vos réponses dans la section Analyse des résultats de votre rapport.) Question 1. Un objet part du repos avec une accélération constante de valeur a = 10 m/s 2. (a) Calculez sa vitesse moyenne v entre t = 0 s et t = 8 s. (b) Calculez sa vitesse instantanée, v, au temps t = 4 s (la mi-temps). v vs v

3 PHYSQ 124: Mouvement non-uniforme 3 (c) Vous observez que les réponses en (a) et (b) sont égales. Expliquez pourquoi, en montrant vos calculs. Question 2. Considérez les positions suivantes: x 4 = 1.2 cm, x 5 = 1.7 cm, x 6 = 2.4 cm, x 7 = 3.0 cm, x 8 = 3.7 cm. Supposez qu il s écoule t = 0.02 s entre chaque paire de mesures successives. (a) Calculez la vitesse instantanée v 6 en utilisant x = x 7 x 5. (b) Même question, en utilisant x = x 8 x 4. (c) Quelle valeur donne la meilleure approximation de v 6 et pourquoi? Question 3. Dans cette expérience, la vitesse du chariot est déterminée en utilisant v = x t. (a) Trouvez l expression algébrique de l erreur sur v. (b) Expliquez pourquoi l erreur est constante pour toutes les valeurs de v dans cette expérience. (c) De la même façon, trouvez l expression algébrique de l erreur sur a (accélération instantanée). Question 4. Le schéma ci-dessous montre la position d un objet en fonction du temps. (a) Tracez un graphique qualitatif (c.-à-d. sans valeurs numériques exactes) de la vitesse instantanée en fonction du temps, et (b) le graphique de l accélération en fonction du temps. v vs v Erreur sur v x, v et a vs. t

4 PHYSQ 124: Mouvement non-uniforme 4 4 Matériel. La Figure 2, plus bas, représente une voie à air qui élimine pratiquement tout le frottement. Un chariot se déplace sur celle-ci. Les forces qu il subit proviennent de la gravité sur une masse tombant vers le sol et de deux ressorts. Au début du mouvement, le mouvement du chariot est causé par la gravité due la masse qui lui est attachée; par la suite, il est ralenti par les ressorts. Un étinceleur est fixé à une des extrémités de la voie, avec un ruban attaché au chariot. Le mouvement du chariot sera enregistré sur le ruban par l étinceleur qui brûlera un point chaque 1/50 seconde (c.-à-d. à une fréquence de 50 points par seconde). Voie à air La Figure 3, ci-dessous, montre une section d un tel ruban après une chute. (Comme nous l avons défini plus haut, la vitesse moyenne du glisseur de l origine au point 6 est Exemple de v v = x t = x 6 x 0 t 6 t 0 = 5.4 cm 6 1 = 45.0 cm/s.) s 50

5 PHYSQ 124: Mouvement non-uniforme 5 5 Manipulations Préparation du montage 1. Avant de prendre les mesures, il vous faut installer l étinceleur, la masse, le ruban et les ressorts. 2. Attachez le ruban au chariot à l aide de papier gommé. 3. Avant que l étinceleur ne soit en marche, passez-y le ruban. 4. Attachez un ressort entre l étinceleur et le chariot. 5. Attachez le second ressort entre le chariot et la masse. Prise des données 1. Vous n avez qu un seul essai à effectuer. 2. Amenez le chariot le plus près possible de l étinceleur. 3. Mettez l étinceleur en marche. 4. Laissez glisser le chariot le long de la voie air. 5. Attrapez le chariot á l extrémité de la voie afin qu il ne revienne pas sur ses pas. 6. Votre ruban devrait contenir une quarantaine de points. Si vos points ne sont pas satisfaisants, faites un autre essai avec un ruban différent. 6 Analyse des résultats 1. Choisissez un des premiers points à l extrémité initiale du ruban et identifiez ce point 0 comme étant l origine. 2. Déterminez la distance entre chacun des autres points et l origine Construisez un tableau contenant les colonnes ci-dessous: position x (m) erreur δx (m) v inst (m/s) δv inst (m/s) t (s) δt (s) a (m/s 2 ) δa (m/s 2 ) Remarques: Pour v inst, vous n aurez pas de valeurs pour les premier et dernier points de votre tableau. Prenez 5% d erreur sur le temps t.

6 PHYSQ 124: Mouvement non-uniforme 6 4. Entrez vos mesures dans les quatre premières colonnes: x, δx, t et δt. 5. Utilisez Excel pour calculer toutes les autres valeurs de votre tableau. 6. Tracez un graphique de la position en fonction du temps. 7. Tracez un graphique de la vitesse instantanée en fonction du temps. 8. Tracez un graphique de l accélération en fonction du temps. 9. Pour tous vos graphiques, insérez une courbe de tendance s ajustant le mieux aux points de votre graphique (add Trendline, best fit). Utilisez vos points et leurs barres d erreurs comme guide. 10. La vitesse instantanée v à un instant t peut aussi être obtenue à partir d un graphique de x en fonction de t, tel qu illustré à la Figure 4, ci-dessous. Vous devez donc copier et coller votre graphique de la position en fonction du temps dans votre section d analyse et y tracers la droite tangente à un point où le graphique est le plus courbé. Vous devez utiliser la barre de dessin de MS Word pour tracer votre tangente à la courbe. L interprétation mathématique de la pente de la tangente est la dérivée de la fonction représentée par le graphique. Autrement dit, v est donnée par la droite tangente pour un graphique de x en fonction de t.

7 PHYSQ 124: Mouvement non-uniforme 7 Pour un point de votre choix, utilisez cette méthode pour déterminer la pente de la tangente pour le graphique de x en fonction de t. Vous aurez besoin de ce résultat un peu plus loin. 7 Résultats et discussion En rédigeant votre article, ou rapport, assurez-vous d inclure les points suivants dans votre section Résultats et discussion. 1. Expliquez brièvement comment vous avez estimé, ou calculé, les erreurs sur la position, le temps, la vitesse instantanée etl accélération. Montrez vos équations et incluez un exemple de calcul. 2. Insérez votre graphique de la position en fonction du temps. Expliquez brièvement l information contenue dans ce graphique. 3. Incluez votre second graphique de la position en fonction du temps, en y insérant le calcul et le tracé de la tangente. 4. Montrez vos calculs de la pente de la tangente et son erreur. Montrez l expression algébrique utilisée pour calculer la pente de la tangente et son erreur. 5. Insérez votre graphique de la vitesse instantanée en fonction du temps. Expliquez brièvement l information contenue dans ce graphique. 6. Comparez vos résultats obtenus aux étapes 3 et 4, d une part, et au temps t correspondant de l étape 5. Vous attendiez-vous à ce que ces deux valeurs soient égales? Expliquez. 7. Ajoutez votre graphique de l accélération en fonction du temps. Répétez les étapes 2 à 4 ci-dessus, cette fois, pour le graphique de la vitesse instantanée en fonction du temps. Expliquez brièvement l information contenue dans ce graphique. 8. Calculez la vitesse moyenne v du chariot sur son trajet total. Est-ce que cette valeur est appropriée pour trouver la vitesse instantanée v au milieu du trajet? Expliquez brièvement. 9. Sur votre graphique de la vitesse instantanée en fonction du temps, indiquez les instants t où l accélération est constante, nulle, augmente et diminue. Ceci peut être effectué facilement avec la barre de dession de MS Word.

8 PHYSQ 124: Mouvement non-uniforme Comment le graphique de x en fonction de t donne-t-il un aperçu des changements de vitesse du chariot? Expliquez brièvement. 11. Comment le graphique de v en fonction du temps t donne-t-il un aperçu des changements d accélération du chariot? Expliquez brièvement. 12. Que pouvez-vous conclure sur la nature de la vitesse v et de l accélération a au cours de la trajectoire du chariot? Répondez en pensant qualitativement aux forces qui produisent ce mouvement. 13. Suite à une expérience, on trouve que la position x d un objet en fonction du temps t peut être représenté par la fonction x(t) = 5t 3 3t 2 + 9t Utilisez des concepts mathématiques du calcul différentiel (par exemple, fonctions et dérivées) pour trouver les fonctions représentant la vitesse v(t) et l accélération a(t) de l objet. Présentez tous vos calculs, les étapes de votre démarche et une esquisse représentant les trois fonctions sur un même graphique. Vous pouvez créér vos données à l aide d Excel ou utiliser votre calculatrice graphique puis utiliser la barre de dessin pour reproduire la courbe de vos fonctions.