MATHEMATIQUES, PARTIE II

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1 111 MPT Examen de mathématiques 2013 Page : 1/14 MATHEMATIQUES, PARTIE II Durée de l examen : 120 minutes Modalités de l examen : Les moyens auxiliaires suivants sont autorisés : Formulaires (sans exemples résolus) Calculatrice de poche ou calculatrice graphique. Le manuel de l utilisateur est autorisé Outils pour la géométrie Seules les solutions accompagnées d une résolution claire, comportant un développement mathématique structuré seront prises en considération pour la correction de votre travail. Les résultats sont à donner, si possible, sous leur forme exacte! Arrondir les résultats numériques à 4 chiffres significatifs après la virgule. Ecrire au stylo ou à l encre. Les problèmes sont à résoudre sur la feuille de donnée (recto verso). Les schémas ne sont pas à l échelle. Chaque feuille de donnée rendue doit comporter votre nom ainsi que la classe ( de même pour d éventuelles feuilles supplémentaires sans oublier le numéro du problème) Chaque problème de la partie I résolu correctement vaut 4 points. Chaque problème de la partie II résolu correctement vaut 6 points. Nombre de points maximum : 60 points. La note 6 est atteinte avec 54 points

2 333 MPT Examen de mathématiques 2013 Page : 3/14 Problème 1 : Une étude scientifique a établi qu entre les années 1953 à 2003 la glace du pôle nord a fondu à raison d un taux de 5,4 % par décennie. Pour tous les calculs, prendre l année 1953 comme année initiale. a) Selon cette étude, en quelle année la masse de glace du pôle aura-t-elle diminué de moitié? b) La décroissance exponentielle de la masse m de glace peut se donner selon la formule m( t) m e t suivante : 0 Calculer λ, le temps t est donné en année. c) Une nouvelle étude révèle que depuis 1953 la moitié de la masse de glace aura déjà fondu en Calculer dans cette situation le nouveau taux de fonte de la glace par décennie.

3 555 MPT Examen de mathématiques 2013 Page : 5/14 Problème 2 : Un avion, volant horizontalement à une vitesse constante de 200 km/h plein Nord, a passé au-dessus d une station de repérage au sol à 14h. Un autre avion, à une altitude de 1km supérieure à celle du premier avion, volant horizontalement à une vitesse constante de 400 km/h vers l Est, passe au-dessus de la même station à 14h30. a) Esquisser la situation dans le système de coordonnées ci-dessous. 1P b) Soit la variable t correspondant au nombre d heures après 14h30. Donner une expression algébrique de la distance d séparant les deux avions en fonction du temps t. 2,5P c) Combien de temps t après 14h30 les deux avions sont-ils à une distance de 200 km? 2,5P Altitude Est Station de repérage au sol Nord

4 777 MPT Examen de mathématiques 2013 Page : 7/14 Problème 3 : L aire totale d un cube est de 100 cm 2. a) Calculer le volume de ce cube. 1P b) Calculer l angle α entre la diagonale du cube et une diagonale adjacente d une face du cube. 1P c) On inscrit un cylindre dans le cube. Calculer le volume du cylindre. 1P d) On circonscrit une demi-sphère autour du cube selon l esquisse. Le centre de la demi-sphère se situe au milieu de la base du cube. Calculer le volume de cette demi-sphère. 1,5P e) Calculer le volume de la calotte définie par l intersection du plan, passant par les quatre points de contact du cube, avec la demi-sphère. 1,5P Point de contact

5 999 MPT Examen de mathématiques 2013 Page : 9/14 Problème 4 : Soit la fonction racine carrée suivante : f ( x) 2 x 2 3 a) Donner le domaine de définition ainsi que le domaine des valeurs de cette fonction. Représenter graphiquement cette fonction dans le système de coordonnées ci-dessous. b) Soit la droite suivante : g ( x) 0,5x 3 Calculer algébriquement la distance d séparant les deux points d intersection entre la fonction racine f(x) et la droite g(x). c) Donner par un calcul algébrique la fonction réciproque f 1 ( x ) de la fonction racine f(x). Représenter graphiquement f 1 ( x ) dans le même système de coordonnées.

6 MPT Examen de mathématiques 2013 Page : 11/14 Problème 5 : Soit les trois sommets d un triangle dans l espace : A (1;2;3) B (3;2;1) et C (2;3;1) a) Calculer les coordonnées du point M milieu de segment c du triangle. b) Calculer l angle γ du triangle. c) Une droite d passe par les points A et B. Calculer les coordonnées du point D correspondant à l intersection de la droite d avec le plan défini par les axes x et y.

7 MPT Examen de mathématiques 2013 Page : 13/14 Problème 6 : Soit la fonction trigonométrique suivante : y 2sin 9x x en radian 4 a) Donner le déphasage par rapport à sin(x). 1P b) Calculer les coordonnées du premier maximum pour 0 x. c) Calculer y 2sin 9x 1 4 x R 3P Donner toutes les solutions réelles en les présentant sous une forme générale.