Ecoulement toroïdal d un métal liquide sous champ magnétique

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1 Ecoulement toroïdal d un métal liquide sous champ magnétique Thomas De Maet Bienvenue. Je vais vous présenter mon sujet de mémoire qui porte sur la MagnétoHydroDynamique. C est pourquoi avant toute chose je vais vous présenter de quoi il s agit.

2 MagnétoHydroDynamique La MHD est une extension de la mécanique des fluides classiques qui prend en compte les effets de conduction électrique. La Full MHD est un système complexe constitué des équations de Navier-Stokes, Maxwell, Ohm et de la force de Lorentz. Dans le cadre de ce mémoire, l approximation simplificatrice suivante est utilisée : R m = µ 0 σ v m L 1 L aspect théorique de la MHD est trop complexe pour l expliquer en 10 minutes. Cependant, pour savoir que quoi je parles, en voici un aperçu. La MagnétoHydroDynamique est un modèle se basant sur Navier-Stokes (l équation générale classique des fluides) qui prend en compte les forces électro-magnétiques comme forces de volume. On obtient donc un couplage fort entre la vitesse du fluide, le courant et le champs magnétique. L équation obtenue en full MHD est difficile à résoudre. Dans le cadre de mon mémoire, j étudie un petit écoulement de métal liquide, ce qui me permet d utiliser une hypothèse simplificatrice: le nombre de Reynolds magnétique, un nombre adimensionnel qui caractérise la convection par rapport à la diffusion du champ magnétique, est supposé très faible.

3 La MHD de par le monde La MHD est un phénomène présent naturellement dans les étoiles et sous terre. C est elle qui est responsable des arcs lors des éruptions du soleil et du champ magnétique terrestre par l intermédiaire de l effet dynamo du magma. Elle est utilisée dans l industrie lors de processus à haute température, comme en sidérurgie pour agir directement dans le volume du métal liquide et ainsi diriger et stabiliser les flux, ou dans la production de monocristaux de silicium. On utilise également les champs magnétiques pour confiner les plasma des tokamaks, réacteurs à fusion nucléaires aujourd hui à l essai.

4 On peut contrôler ces deux nombres adimensionnels, grâce à la source de champ magnétique pour le nombre d Hartmann et grâce à la source de tension pour le nombre de Reynolds. On peut définir un troisième nombre adimensionnel R qui est le rapport des deux. Des expériences menées sur un tore réel contenant du mercure ont montré que la transition d un écoulement laminaire vers un écoulement turbulent dépend de ce troisième nombre. Géométrie du problème Contrôle sur la vitesse par le courant, donc contrôle de Re Re = ρv ma µ Contrôle sur Ha par le champ magnétique Ha = Ba σ/µ Isolant électrique Conducteur électrique Tests sur R pour déterminer la transition vers la turbulence R = Re/Ha En ce qui concerne mon mémoire, j étudie numériquement l écoulement d un métal liquide au sein d un tore de section carrée dont voici un schéma de la moitié. Le liquide circule en rond, poussé par la force de Lorentz. Celle-ci est causée par l application d un champ électrique Dphi aux parois parallèles. Le courant électrique va alors de manière générale se déplacer de manière radiale, et perpendiculairement à un champ magnétique B également imposé. La force de Lorentz résulte alors du produit vectoriel de ces deux quantités et pousse le liquide dans la direction azimutale. Ceci est un comportement général: les profils de courant électrique et de vitesse ne sont pas aussi simples. L écoulement est caractérisé principalement par deux nombres adimensionnels. Le premier est bien connu et nommé nombre de Reynolds. Il caractérise les forces d inerties par rapport aux forces visqueuses. Rho, la masse volumique, et mu, la viscosité dynamique sont des caractéristiques du liquide tandis que vm est la vitesse moyenne et a la demi-épaisseur du tore. Le second nombre adimensionnel est le nombre d Hartmann qui est fort utilisé en MHD. Il caractérise la force de Laplace par rapport aux forces visqueuses. On y voit apparaître sigma la conductivité électrique et B le champ magnétique appliqué.

5 Données expérimentales Experimental study of the instability of the Hartmann layer By P. M O R E S C O 1,2 AND T. A L B O U S S I È R E 1,2 Comportement laminaire Moreau 19 R 380, Transition à R=380 Friction factor F = IB v 2 mρ 2πr Mon mémoire se base sur une expérience réalisée par Moresco et Alboussière. Cette expérience est basée sur le fait que le Friction factor, une variable générale de l écoulement, a un comportement déterminé tant que l écoulement est laminaire. Ce comportement est représenté par la droite sur le graphe. Comme on peut le voir, une nette transition apparaît lorsque l écoulement devient turbulent. Leur résultat est une transition à R=380 quels que soient les nombres de Reynolds ou de Hartmann. Le but de mon mémoire est d observer un comportement semblable de manière numérique. J ai dans un premier temps étudié les écoulements laminaires et suis maintenant passé aux écoulements turbulents.

6 Laminaire: exemple de résultat Vitesses à champ magnétique B constant B=5 B=1 0 max. Couche limite de Hartmann Les écoulements en MHD subissent en général un amortissement dès lors qu on applique un champ magnétique. Celui-ci est plus important au centre que sur les parois de l écoulement, ce qui donne un profil en bouchon comme on peut le voir sur le graphe de la coupe verticale. Cela provoque l apparition de fines couches où le gradient de vitesse est très élevé. Celles-ci sont appelées couches limites de Hartmann. Dans le cas du tore, les simulations montrent un gradient de vitesse dans la direction radiale facilement explicable. En effet, le courant circulant horizontalement de l intérieur à l extérieur du tore, celui-ci doit être plus fort à l intérieur pour être conservé car les surfaces ne sont pas identiques. Un plus fort courant implique une plus grande force de Lorentz, qui à son tour implique une plus grande vitesse. Le code que j utilise et modifie de temps à autres s appelle YALES2 et est en cours de développement à l ULB. C est un programme de volumes finis codé en Fortran.

7 Discrétisation Raffinage pour la couche parallèle au champ Raffinage pour la couche limite de Hartmann turbulent: 1/6 e laminaire: 1/64 e La discrétisation utilisée pour le problème est une grille tridimensionnelle avec des raffinages aux bords pour tenir compte des grandes variations de valeurs. Dans le cas laminaire, je n ai utilisé qu une petite section de tore avec des conditions limites périodiques pour limiter le temps de calcul par rapport au tore complet. Dans le cas turbulent, il est nécessaire d avoir une plus grande portion de tore pour que les fluctuations ne s influencent pas d elles-même à travers les parois périodiques. Le calcul jusqu à convergence d une grille de 100x100x100 points prend environ une journée sur quatre processeurs pour le cas laminaire. Je n ai pas encore atteint la convergence sur le cas turbulent car le problème est hautement instable et nécessite des pas de temps plus petits ce qui prend plus de temps.

8 Laminaire: friction factor Canal droit 2/R Canal circulaire (à corriger) Resultats de la simulation Resultat theorique 2/R[...] Approximation 2/R 10 3 Resultats des simulations Resultat theorique 2/R[...] Approximation 2/R F F ! R !2 10! R Voici les résultats laminaires que j ai obtenu. Il s agit donc d obtenir numériquement les résultats théoriques dont une approximation est une pente en 2/R sur un graphe logarithmique. On voit que le vrai résultat théorique réel n en est pas très loin. Le cas du canal droit est assez bon, bien qu il diverge un peu pour de haut nombres d Hartmann. Le cas du tore laisse encore à désirer mais est déjà bien meilleur que précédemment. Je compte y aporter des améliorations prochainement.

9 La turbulence Démarrage de la turbulence à partir d un profil approximatif contenant de l aléatoire Le cas de la turbulence est difficile à traiter. On peut utiliser deux méthodes: soit partir d un écoulement laminaire et attendre qu il devienne turbulent en le sortant de son équilibre, ce qui numériquement nécessite une petite perturbation extérieure pour fonctionner. Soit partir d un écoulement déjà turbulent et essayer de le laminariser. C est cette deuxième méthode que je suis en train d utiliser.

10 Fin du travail Plan : Finaliser les résultats laminaires Vérifier la physique de l écoulement turbulent Trouver la transition vers le régime turbulent Essayer d apporter un point de vue numérique à la question de la raison de la turbulence Le gros de mon travail consiste pour l instant à trouver un set de paramètres qui garde l écoulement turbulent stable numériquement. Je compte obtenir quelques points d un graphe friction factor sur R d ici la fin de mon mémoire et j espère qu ils auront un profil semblable à ceux de l expérience de Moresco & Alboussière. Merci pour votre attention.