T. RADO (Szeged - Ungheria) SUR L'AIRE DES SURFACES CONTINUES

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1 3ff T. RADO (Szeged - Ungheria) SUR L'AIRE DES SURFACES CONTINUES 1. - Le but de la communication présente est d'exposer et d'éclairer un problème relatif à la théorie de Taire des surfaces courbes, problème qui me semble fécond et qui résume, sous une forme très intuitive, plusieurs questions importantes et encore ouvertes de cette théorie. Les développements suivants se rapportent à des surfaces données par des équations paramétriques x=x(u, v), y=y(u, v), z=z(u, v). Nous ne supposerons pas qu'à deux couples différents (u, v) correspondent deux points distincts de la surface; ü s'ensuit que les surfaces que nous auons considérer ne sont pas déterminées par l'ensemble de leurs points (*). Je rappeue qu'il y a des théories, ceue de M. CARATHéODORY par exemple, où l'on considère des surfaces pour ainsi dire amorphes, qui ne sont d'abord que des ensembles de points quelconques et qui ne se révèlent comme des surfaces que par la façon dont eues se comportent envers un certain procédé pour mesurer l'aire. Pour distinguer de ces surfaces amorphes les nôtres, je les désignerai dans la suite comme des surfaces paramétriques Il y a un grand nombre de définitions pour l'aire d'une surface paramétrique; pour arriver au problème que j'ai en vue, U me suffit cependant de constater la diversité extrême de ces définitions. En effet, cette diversité conduit à penser qu'u n'y a guère de fait intuitif qui aurait, à lui seul, assez d'autorité pour imposer d'une manière péremptoire teue ou teue définition mathématique pour l'aire. Dés lors, il y a heu de recourir, pour mesurer l'aire d'une surface,. au principe suprême de tout procédé de mesure, au principe de la coupure,. et qui s'énonce dans le cas actuel comme il suit. Soit S une surface paramétrique et soit A (S) son aire; au heu de définir Faire A(S), nous essayerons ( d ) Il en résulte la nécessité de se servir de définitions très précises pour toutes le» notions concernant ces surfaces. Nous adopterons les définitions données par M. FRéCHET dans son Mémoire Sur la distance de deux surfaces, «Annales de la soc. polonaise math.» f t. 3 (1924), pp

2 356 COMUNICAZIONI de tirer de l'idée intuitive que nous possédons de cette quantité des hmites inférieures et des hmites supérieures pour eue, puis et c'est là que commencera l'étude mathématique nous chercherons à établir que ces hmites constituent une coupure, au sens de DEDEKIND Quant aux limites inférieures, la propriété la plus évidente de l'air e intuitive A(S) est la suivante: la projection orthogonale de la surface S sur un plan quelconque p possède une aire n au plus égale à l'aire de /S; on a donc 7t^A(S). Décomposons alors S en un nombre quelconque de surfaces partieues S iy..., Sjc, prenons arbitrairement autant de plans Pi,...,pjc et désignons par ni,..., nk les aires des projections orthogonales de Si sur pi,..., de SU sur p^. En vertu de la remarque précédente, nous aurons n L TIJC^>A(S). Soit P la hmite supérieure de toutes les sommes ainsi obtenues ; nous aurons aussi P^A(S). Cette quantité P, vous l'aurez déjà remarqué, n'est autre chose que l'aire de S au sens de PEANO ; à présent, nous devons la considérer seulement comme une hmite inférieure pour l'aire intuitive A (S). J'aurai encore à considérer une seconde quantité analogue, que l'on obtient en partant de la propriété intuitive suivante : soient a, b, c les aires des projections orthogonales de la surface S sur les plans coordonnés xy, yz, zx; on a l'inégahté (a 2 + b 2 + c 2 ) i l 2 ^ A(S). En décomposant de nouveau S en des surfaces partieues Si,..., Sj c, on obient alors des inégalités de la forme (cp i + V i + <iï l l*+... +(al + b\ + 4) i,2^â(s). En désignant par G la limite supérieure de la somme dans le premier membre, on a aussi G*A(S). J'ai désigné cette seconde limite inférieure pour l'aire par G, pour rappeler que cette quantité a été étudiée d'une manière approfondie par GEöCZE. Ayant obtenu, de deux manières différentes, des Umites inférieures pour l'aire, passons à la recherche de limites supérieures. Nous les déduirons de la propriété fondamentale, mise en évidence par LEBESGUE, que l'aire est une fonctionnelle semi-continue inférieurement. Cela signifie que pour toute suite de surfaces S n tendant vers Son a l'inégahté Um A(S n )^A(S). Soit alors, en particuher, JŒ n une suite de polyèdres tendant vers S; l'aire A(II n ) se calcule par des formules élémentaires et de la semi-continuité il résulte que la quantité Um A(II n ) est une hmite supérieure pour A(S). La hmite inférieure, que nous désignerons par L, de ces limites supérieures est alors également une hmite supérieure (et même la meiueure en son espèce): A(S)^L.

3 T. RADO: Sur l'aire des surfaces continues 357 Cette quantité L, vous l'aurez déjà remarqué, n'est autre chose que l'aire de S au sens de LEBESGUE. A présent, nous devons la considérer seulement comme une limite supérieure pour l'aire La détermination, conformément au principe de la coupure, de l'aire intuitive A(S) revient à présent à établir l'une au moins des égahtés P=L, G=L. Je me hâte cependant d'observer qu'on arrive à ce même problème par des considérations mathématiques exemptes de toutes spéculation philosophique, et cela en étudiant l'aire au sens de LEBESGUE, c'est-à-dire la quantité que nous avons désignée par L. En effet, au point de vue intuitif, cette quantité n'est qu'une hmite supérieure pour l'aire; en tout cas, L est le résultat de hmitations unilatérales, tandis que, pour maîtriser une quantité on doit l'attaquer des deux côtés à la fois, c'est-à-dire par des hmitations bilatérales. Les quantités que nous avons désignées par P et G fournissent précisément des hmitations complémentaires à L, et c'est ce qui exphque qu'on les rencontre forcément dans toute recherche approfondie sur l'aire au sens de LEBESGUE L'étude des relations entre les quantités P, G, L occupe une large place dans les travaux de GEöCZE ; dès l'abord, il s'est heurté à une difficulté sur laqueue il y a heu d'insister, puisqu'eue semble constituer la difficulté spécifique de toute la théorie. Soit par exemple S une portion de surface sans points multiples, située entièrement dans un plan et hmitée par une courbe de JORDAN. L'aire de S au sens de LEBESGUE est alors égale, comme on trouve, à l'aire intérieure de la figure, tandis que P et G sont au moins égales à l'aire de la projection de S sur son propre plan, c'est-à-dire à la mesure extérieure de la figure. Ceci montre déjà que l'on a en général P>L, G>L, c'est-à-dire que les hmitations utihsées ne sont pas compatibles en général. Dans le cas simple que nous venons d'envisager il est d'ailleurs clair que l'on obtient des Umitations compatibles en convenant de néguger la frontière de la surface. On conçoit cependant que dans le cas général d'une surface paramétrique continue on rencontrera des difficultés à déterminer les points gênants et superflus de la surface d'aiueurs, on doit prendre garde de ne pas néguger trop, de peur d'obtenir des Umites inférieures trop faibles. Les développements que GEöCZE a consacré à l'étude de la difficulté signalée sont d'une extrême compucation et constituent, je pense, la cause principale de ce que ses travaux sont si difficiles à suivre et dans leurs détails et dans leur ensemble Pour obtenir, d'une façon simple et maniable, des Umitations compatibles pour l'aire, je me suis proposé d'essayer la notion suivante. Soit S une surface, p un plan et TI la projection orthogonale de S sur p. Pour écarter les points superflus de la projection n, je définis l'ensemble des point essentiels, le noyau

4 358 COMUNICAZIONI de la projection, de la manière suivante. Un point Q de la projection n appartient au noyau, si pour toute suite de surfaces S n tendant vers S, le point Q est contenu, pour n assez grand, dans la projection orthogonale de S n sur p. Je reprends alors les procédés qui nous ont conduit aux hmites inférieures P et G, en remplaçant partout les projections par leurs noyaux. Les procédés ainsi modifiés fournissent deux quantités nouveues, que je désignerai, pour ne pas compuquer les notations, par les mêmes lettres P et G. De la définition même du noyau, on déduit alors immédiatement deux propriétés importantes de ces quantités. En premier Ueu, les Umites modifiées sont compatibles avec la hmite supérieure L, c'est-à-dire que l'on a, pour toute surface paramétrique continue, les inégahtés P^L, G^L. En second heu, les quantités modifiées P et G participent de la propriété fondamentale de L, aire au sens de LEBESGUE, c'est-à-dire qu'eues sont des fonctionneues semi-continues inférieurement dans le champ des surfaces paramétriques continues (*). Dès lors, il y a heu de se demander et même d'espérer que les hmitations modifiées fournissent une coupure pour l'aire, c'est-à-dire que l'on a, pour toute surface paramétrique continue, les éga- Utés P=L, G=L. La démonstration générale de ces égalités constitue précisément le problème sur lequel je voudrais appeler votre bienveillante attention En posant ce problème, je devrais aussi le justifier, en montrant que c'est là un bon problème au sens de M. HILBERT; je voudrais donc ajouter quelques remarques sur ce sujet. D'abord, les résultats que j'ai pu obtenir dans cette voie, permettaient de retrouver d'une manière très simple ed de compléter sur des points essentiels tous les résultats acquis antérieurement sur l'aire au sens de LEBESGUE, résultats dus principalement à GEöCZE et à M. TONELLI ( 2 ). D'une manière générale, on peut dire que toutes les fois où l'on réussit à démontrer les égahtés P=L et G=L, la démonstration fournit du même coup la solution d'un problème central de la théorie, à savoir du problème du calcul de l'aire, au sens de LEBESGUE, d'une surface paramétrique à l'aide de ses coordonnées x(u, v), y(u, v), z(u, v), problème qui fut posé à M. LEBESGUE (comme U l'a raconté dans une Note récente) ( 3 ) par CAMILLE JORDAN, dès que celui-ci prît (*) Voir mon Mémoire Über das Flächenmass rektifizierbarer Flächen, «Math. Annalen», sous presse. ( 2 ) Voir les Mémoires suivants (qui contiennent aussi des références détaillées aux travaux de GEöCZE et de M. TONELLI): a) T. RADO, Sur Vaire des surfaces courbes. Acta litt, ac sc. regiae univ. hung. Franc-Jos. Szeged, t. 3 (1927), pp ; h) S. SAKS, Sur Vaire des surfaces z = f(x,y), idib, pp ; c) T. RADO, Über das Flächenmass rektifizierbarer Flächen «Math. Annalen», sous presse. ( 3 ) H. LEBESGUE, Quelques remarques sur la définition de Vaire des surfaces, «Fundamenta matematicae», t. VIII, 1926, pp

5 T. RADO: Sur l'aire des surfaces continues 359 connaissance de la Thèse de M. LEBESGUE. Cela est d'aiueurs en quelque sorte évident a priori; en effet, déterminer une quantité à l'aide de Umitations inférieures et supérieures est, pratiquement et théoriquement, la même chose que de calculer effectivement la quantité en question. L'importance du problème du calcul de l'aire à l'aide des coordonnées de la surface consiste en ceci, qu'en possession d'une formule pour l'aire la théorie devient accessible aux méthodes générales de l'analyse; à cet égard, je voudrais signaler une beue Note de M. SAKS ( l ) dans laqueue U déduit les principaux résultats de M. TONELLI et un théorème important nouveau sur la dérivation de l'aire, d'une formule générale pour l'aire, valable pour toute surface continue donnée par une équation de la forme z=f(x, y), formule que j'ai étabhe en étudiant les travaux de GEöCZE et de M. TONELLI Je voudrais ajouter que l'intuition géométrique indique presque immédiatement une solution absolument générale du problème que je viens de proposer. Il a été déjà observé qu'il s'agit au fond du calcul effectif de l'aire d'une surface paramétrique. Or, si les coordonnées x(u, v), y(u, v), z(u, v) d'une telle surface admettent des dérivées premières continues (en ce cas, je dirai que la surface est bonne), l'aire est nécessairement égale à la valeur de l'intégrale double classique à(x, y) 2 Hvi *)" /// p(u, v) + 2 d(z, x) à(u, v) + b(u, v) dudv. Dès lors, il est naturel, pour calculer l'aire d'une surface continue générale S, de procéder par approximation. Soit donc S n nne suite de bonnes surfaces tendant vers S et déduites de S à l'aide de quelque procédé d'approximation; si l'aire A(S n ) tendait vers l'aire A(S), le calcul de A (S) serait effectué. Or, l'aire est une fonctionneue semi-continue inférieurement, ce qui permet seulement d'affirmer que l'on a l'inégauté (1) UmA(S n )^A(S). Mais d'autre part, tout procédé raisonnable d'approximation a pour effet non seulement d'améuorer la dérivabiuté de la surface, mais aussi de la niveller, c'est-à-dire de rendre son auure plus uniforme. Or, il est intuitivement évident qu'en niveuant une surface on en diminue l'aire; ce point admis, on pourra affirmer que les surfaces d'approximation vérifient l'inégauté (2) A(S n )^A(S) La formule A(S) = tim A(S n ) résulte à présent immédiatement de (1) et de (2). En essayant de traduire en langage mathématique ce principe de calcul si immédiat, on se heurte cependant à une difficulté fondamentale. En effet, la ( 4 ) S. SAKS, loc. cit. O, b).

6 360 COMUNICAZIONI méthode réussit complètement pour les surfaces données par une équation de la forme z=f(x, y) (*) ; mais dans le cas des surfaces données sous forme paramétrique générale x=x(u, v), y=y(u,v), z=z(u,v), je n'ai pu décider s'il existe un procédé d'approximation jouissant de la propriété de fournir des surfaces d'approximation vérifiant l'inégahté (2) ( 2 ). Je pense qu'en approfondissant cette question d'approximation on parviendrait aussi à élucider certains points de la théorie du problème de Plateau, où l'on rencontre également des difficultés essentieues en passant au problème homogène, c'est-à-dire au problème relatif à des surfaces données sous forme paramétrique générale. O Voir loc. cit. O, a). ( 2 ) Il y a cependant une classe importante de surfaces données sous forme paramétrique générale, pour lesquelles on peut obtenir des résultats complets, à savoir la classe des surfaces rectifiables. D'après M. LEBESGUE, une surface paramétrique est dite reetifiable, si elle est susceptible d'une représentation paramétrique où les coordonnées x(u, v), y(u, v), z(u, v) vérifient une condition de Lipschitz. Ces surfaces jouissent de certaines propriétés de régularité, mises en évidence principalement par M. RADEMACHER, qui permettent de les traiter directement, sans avoir recours à des méthodes d'approximation [voir loc. cit. ( i ), c)].

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