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1 Université de Rennes1 Année 5/6 Outils Mathématiques 4 Intégrales de surfaces résumé 1 Surfaces paramétrées éfinition 1.1 Une surface paramétrée dans l espace, est la donnée de trois fonctions de classes C 1 sur un domaine de R, x(u, v) s(u, v) = y(u, v). z(u, v) Proposition 1. Si pour (u, v ) les vecteurs x (u (u, v ), v ) = y ((u, v ) z ((u, v ) x (u (u, v ), v ) = y (u, v ) z (u, v ) sont linéairement indépendants, le plan qu ils engendrent est le plan tangent à la surface au point s(u, v ). Leur produit vectoriel (u, v ) (u, v ) est un vecteur normal à la surface ( orthogonal à au plan tangent). le vecteur unitaire ν(u, v ) = s appelle la normale orientée au point s(u, v ). (u, v ) (u, v ) (u, v ) (u, v ) Exemple 1.3 On utilise les coordonnées sphériques sur la sphère unité cos θ cos φ s(θ, φ) = cos θ sin φ, θ ] π, π [, φ [ π, π] sin θ Quel est la normale déterminée par cette paramétrisation? Solution On calcule θ φ = sin θ cos φ cos θ sin φ sin θ sin φ cos θ cos φ = cos θ cos φ cos θ sin φ = cos θs(θ, φ). cos θ cos θ sin θ Comme cos θ >, ν(θ, φ) = s(θ, φ) est la normale (c est le vecteur radial rentrant à la sphère).

2 Aire.1 Aire d un parallélogramme L aire d un parallélogramme est le produit de la base par la hauteur. Si les sommets du parallélogramme P sont, a, b et a + b, alors aire(p ) = a b. en effet, soit c la projection de b sur la droite engendrée par a, alors c est colinéaire à a et a est orthogonal à b c. où a b = a (b c) = a. b c = base hauteur. Si la surface paramétrée S est définie par s(u, v), l image d un rectangle de sommet (u, v) et dont les côtés δu et δv sont très petits est approximativement un paraléllogramme construit sur les vecteurs donc son aire est voisine de (u, v) δuδv δu et δv, Ceci motive la définition suivante: x(u, v) éfinition.1 L aire d une surface paramétrée S définie par s(u, v) = y(u, v), (u, v), est donnée par z(u, v) l intégrale double aire(s) = (u, v) dudv. Exemple. Calculer l aire du triangle de sommets a = (1,, ), b = (, 1, ) et c = (,, 1). Solution: On utilise la paramétrisation s(u, v) = a + u(b a) + v(c a) où u, v et u + v 1. On calcule où aire(s) = (u, v) = (b a) (c a) (u, v) dudv = (b a) (c a).aire() ici = {(u, v) R ; u + v 1, u, v } c est un triangle d aire 1, d où aire de S est égale à (b a) (c a) dans le cas particulier où a = (1,, ), b = (, 1, ) et c = (,, 1) on a (b a) (c a) = ( 5, 1, 3) = 35 d où aire(s) = 35. Exemple.3 Calculer l aire de la sphère de centre et de rayon R? Solution: On utilise les coordonnées sphériques sur la sphère de centre et de rayon R R cos θ cos φ s(θ, φ) = R cos θ sin φ, θ ] π, π [, φ [ π, π] R sin θ On calcule θ φ = R sin θ cos φ R cos θ sin φ R sin θ sin φ R cos θ cos φ = R cos θ cos φ R cos θ sin φ = R cos θs(θ, φ). R cos θ R cos θ sin θ où (u, v) = R cos θ Par conséquent aire(s) = R cos θdθdφ = R π dφ cos θ = 4πR. π

3 . Invariance Théorème.4 L aire ne dépend pas du choix du paramétrage émonstration: Changer de paramétrage, c est remplaçer (u, v) par (u, v ) qui sont fonction inversible de u et v. après la formule de dérivation des fonctions composées, le nouveau paramétrage s 1(u,v = s(u, v) satisfait: 1 = = ( 1 ) = = = et on conclut avec la formule de changement de variables dans les intégrales doubles. 3 Flux (u, v) (u, v ) Etant donné un fluide en mouvement dans l espace, sa vitesse est un champ de vecteurs V. La quantité de matièrequi, pendant une unité de temps, traverse un morceau de surface S, est proportionnelle à la densité volumique, à l aire de S, à l intensité de la vitesse, mais dépend aussi de la direction de la vitesse: elle est proportionnelle à la direction de la normale à S. Il faut alors préciser si on s intéresse au flux sortant ou rentrant, d où la nécessité d orienter S. 3.1 Orientation éfinition 3.1 Orienter une surface c est choisir en chaque point l un des deux vecteurs unitaires orthogonaux au plan tangent, de façon continue. Une paramétrisation d une surface S détermine une orientation, donnée par la normale ν(u, v) = (u, v) (u, v) éfinition 3. Soit V (x, y, z) un champ de vecteurs sur R 3. Soit S une surfarce orientée par un choix de normale unitaire ν. Le flux de V à travers S est l intégrale flux( V, S) = V.ν da où da désigne l élément d aire. Remarque 3.3 Soit s(u, v), (u, v), une paramétrisation de la surface S compatible avec l orientation choisie. Le flux du champs V à travers S est donné par l intégrale double flux(v, S) = V (s(u, v). (u, v) (u, v) dudv Exemple 3.4 Calculer le flux du champ de vecteurs V (x, y, z) = (x, y, ) à travers la sphère unité orientée par la normale rentrante? Réponse: Comme les coordonnée spériques déterminent la normale rentrante, et en intégrant flux(v, S) = ( ) V (s(θ, φ)). (θ, φ) (θ, φ) = θ φ π π cos θ cos φ cos θ sin φ. cos θ cos φ cos θ sin φ = cos 3 θ. cos θ sin θ cos 3 θdθdφ π 3 π 4 cos θ 1 [ 4 cos(3θ)dθ = π 3 4 sin θ 1 ] π 1 sin(3θ) π = 8π 3

4 3. Invariance Théorème 3.5 Le flux d un champ de vecteurs à travers une surface paramétrée ne dépend pas du paramétrage mais seulement de son orientation. Changer l orientation change le signe du flux. émonstration: ceci dépend de la définition en fonction de la normale et de l élément d aire. Comme c est la valeur absolue du jacobien du changement de variables qui intervient dans la formule du changement de variables, si on change d orientation, le jacobien est négatif donc égal à l opposé de sa valeur absolue, d où le changement du signe pour le flux. 3.3 Angle solide éfinition 3.6 On appelle angle solide d une surface vue d un point p le flux à travers cette surface du champ de vecteurs V p défini en tout point q p par V p (q) = q p q p 3 Exemple 3.7 Toute sphère centrée en p à un angle solide égal à 4π Solution: En effet, en tout point q de la sphère centrée en p et de rayon R on a V p (q).ν(q) = R. où le flux de V p le long de la sphère est égal à R.aire(S) = R.4πR = 4π. 4 Lien entre intégrale triple et intégrale de surface Théorème 4.1 (Formule d Ostrodradsky) Soit S une surface fermée qui délimite un domaine U de R 3. Soit V un champ de vecteurs de classe C 1 défini sur U. On paramètre S de sorte que le vecteur normal pointe vers l extérieur de U. Alors div(v )dxdydz = flux(v, S) U émonstration: pour simplifier, on suppose U convexe. Soit x sa projection sur le plan {x = }. Alors V x U = {(x, y, z) R 3 ; (y, z) x f 1 (y, z) x f (Y, Z)} On a U x dxdydz = x V x (f (y, z), y, zdydz = flux(v 1, S) où V 1 est le champ de vecteurs (V x,, ). e même on trouve V y U y dxdydz = flux(v, S) et V z U z dxdydz = flux(v 3, S) Comme V = V 1 + V + V 3, on trouve la formule annoncée. Corollaire 4. Soit V un champ de vecteurs est de casse C 1 sur un convexe U de R 3. Si V a une divergence nulle, alors son flux à travers toute surface fermée contenue dans U est nul. Exemple 4.3 Calculer le volume de la boule unité B à l aide du champ de vecteurs V (x, y, z) = x y solution: On a div(v ) =. On oriente la sphère unité S par la normale sortante. La formule d ostrogradsky nous donne vol(b) = div(v )dxdydz = flux(v, S) = 8π B 3 où le volume de la boule unité est égal à 4π 3. Exemple 4.4 Soit p R 3 et V p le champ de vecteurs défini par V p (q) = q p q p. 3 Soit U un domaine de R 3. Alors le flux de V p à travers le bord de U est nul ou vaut 4π suivant que p soit à l intérieur ou non de U. Solution: Un calcul direct nous donne que div(v p )(q) =. Si U ne contient pas p, le tyhéorème d Ostrogradsky s applique, et le flux de V p à travers le bord de U est nul. Si p n est pas dans l intérieur de U, il existe r > tel

5 que la boule B(p, r) soit contenue dans U. soit U = U privé de cette boule. Alors le théorème d Ostrogradsky s applique dans U : le flux de V p à travers le bord de U est nul. Mais, comme le bord de U est constitué du bord de U et de la sprère S(p, r) muni de la normale pointant vers p. par conséquent flux(v p, U) = flux(v p, S(p, r)) = 4π. 4.1 Fluides incompressibles Considérons un fluide en mouvement dans l espace. Soit V son champ des vitesses et ρ sa densité volumique. Le bilan de matière entrant et sortant d un domaine est égal au flux du champ de vecteurs ρv à travers le bord. d après le théorème d Ostrogradsky, le bilan de matière entrant et sortant d un domaine infiniment petit est donné par la divergence de ρv. Si le fluide est incompressible, le bilan doit être nul. par conséquent, la condition div(ρv ) = caractérise l incompressibilité. 5 Lien entre l intégrale curviligne et l intégrale de surface éfinition 5.1 Soit S une surface orientée dont le bord est noté C. Le paramétrage du bord doit être choisit de sorte que lorsqu un observateur marche sur S (i.e. la normale orientée va de ses pieds à sa tête) le long du bord, la surface S se trouve sur sa gauche. Théorème 5. (Formule de Stokes) Soit S une surface orientée dont le bord est noté S. Soit V un champ de vecteurs de classe C 1 sur un voisinage de S. Alors (Formule de Stokes) flux( rot V, S) = circulation(v, S). émonstration: On considère le cas particulier où S est paramétrée par s sur un domaine du plan (le cas général s y ramène en découpant la surface en petits morceaux). On va se ramèner à la formule de Green-Riemann. On pose P (u, v) = V (s(u, v)). (u, v) et Q(u, v) = V (s(u, v)). (u, v). alors circulation(v, s C) = P dx + Qdy. après la formule de dérivation des fonctions composées on a C P Q = rot V. On applique la formule de Green-Riemann, on obtient flux( rot V, S) = rot V. dudv = P Q dudv = P dx + Qdy = circulation(v, S). C Corollaire 5.3 Soit S une surface sans bord. Soit V un champ de vecteurs de classe C 1 défini au voisinage de S. Alors le flux de rot V à travers S est nul.

6 Corollaire 5.4 Soit V un champ de vecteurs de classe C 1 défini sur un domaine U de R 3. On suppose que le rotationnel de V est nul. Soit C une courbe fermée qui borde une surface contenue dans U. Alors la circulation de V le long de C est nulle. Exemple 5.5 On considère le champ de vecteurs V défini en dehors de l axe z par V (x, y, z) = 1 x y x +y. vérifier que rot V = en dehors de l axe z. En déduire que la circulation de V le long de toute courbe fermée ne rencontrant pas l axe z est égale à π fois le nombre de tours que fait la courbe autour de l axe z. Solution: Soit c : t (x(t), y(t), z(t)) est une courbe fermée ne rencontrant pas l axe z. alors sa projection orthogonale σ(t) = (x(t), y(t)) sur le plan xy est une courbe fermée ne passant pas par l origine. La surface paramétrée (t, s) (x(t), y(t), sz(t)) à son bord formé des deux courbes C et σ, comme rot V = la formule de Stokes nous donne, circultion(v, C) = circulation(v, σ). Ensuite on remarque que V est tangent au plan xy et sa circulation coïncide avec l intégrale curviligne de la forme dθ. par conséquent, circulation(v, σ) est la variation totale de l angle polairele long de σ, qui vaut π fois le nombre de tours que σ fait autour de l origine. ce nombre coïncide avec le nombre de tours que fait C autour de l axe z.

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