Estimation de l aire d une région curviligne. Exemple 1 Estimer l aire de la région sous une hyperbole. Solution

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1 .8 Aperçu de l intégrle.8 APERÇU DE L INTÉGRALE Estimtion de l ire d une région curviligne Erreur d pproimtion Aire ecte d une région curviligne 4 Intégrle définie 5 Intégrle définie négtive 6 Propriétés de l intégrle définie 7 Théorème fondmentl du clcul 8 Recherche de primitives et intégrle indéfinie 9 Intégrtion pr chngement de vrile Clcul d ires plnes pr intégrtion FIGURE.8. L formule de Héron : soit s ( c)/ le demi-périmètre d un tringle. L ire A du tringle est donnée pr A s (s )(s )(s c).,6,5,4,,, y f () A c A A A A 4 4,5,5 4 FIGURE.8. L estimtion de l ire A sous l hyperole f() / à l ide de qutre rectngles d ires,, et 4 et de qutre rectngles circonscrits d ires A, A, A et A 4. Deu prolèmes fondmentu sont u cœur du clcul différentiel et intégrl. D ord, le prolème des tngentes, étudié précédemment, qui consiste à décrire les droites tngentes à une coure ; cette question est à l se du clcul différentiel. Ensuite, le prolème de l qudrture, ordé mintennt, qui consiste à déterminer l ire enfermée pr une coure ; cette question est à l se du clcul intégrl. Newton et Leiniz insi que les frères Bernoulli ont chcun le mérite d voir été les premiers à reconnître clirement l conneion étroite entre ces deu prolèmes. Estimtion de l ire d une région curviligne Dès l Antiquité, les géomètres s intéressèrent u clcul de l ire des figures plnes. Ils svient comment clculer l ire de n importe quelle surfce polygonle plne en l découpnt pr tringultion et en fisnt l somme des ires de chcun des tringles insi otenus. En prtique, ils utilisient l formule de Héron pour trouver l ire de chque tringle clculée à prtir de l mesure de ses trois côtés (figure.8.). Mis comment déterminer l ire de surfces délimitées pr des coures? Eemple Estimer l ire de l région sous une hyperole Trouvez une pproimtion de l ire A de l région comprise entre l e des et l hyperole f() /, entre les ornes et 4. L idée consiste à estimer l ire A en remplçnt l hyperole pr une coure en esclier qui lui soit voisine : l ire de chque rectngle otenu est fcile à clculer, et l somme S n des ires de ces n rectngles ser à peu près égle à A ; plus l se des rectngles ser petite, plus leur nomre ugmenter et plus l somme S n ser proche de l ire A de l région sous l coure. Sudivisons cette région d ire A en n ndes de lrgeur égle et formons sur chque nde un rectngle fermé u-dessous de l coure et un rectngle fermé u-dessus de l coure. Il est clir que l ire A est comprise entre l somme S n des ires des rectngles inscrits et l somme S n des ires des rectngles circonscrits (figure.8.). À l figure.8., nous consttons qu il y qutre rectngles circonscrits dont les coins supérieurs droits sont u-dessus de l coure, et qutre rectngles inscrits dont les coins supérieurs guches sont u-dessous de l coure. Clculons ces ires. L ire de chcun des rectngles est le produit de s se pr s huteur. Ici, les qutre rectngles sont de se (4 )/4,5. Les huteurs sont données pr l éqution de l coure. L ire totle des qutre rectngles inscrits est S 4 4 (,5)(/,5)(,5)(/)(,5)(/,5)(,5)(/4) (,5)(/,5 / /,5 /4) (,5)(,69476),6458.

2 .

3 monotone

4 4 Chpitre : Applictions des dérivées Preuve Supposons d ord que f est toujours décroissnte sur [, ]. Les rectngles intervennt dns le clcul de S n et S n sont tous de même se ( )n. Soit f() et f() les huteurs respectives des rectngles d ires A et n. Donc, lim n (S n S n ) lim (A n ) S n S n A n théorème.8. n lim n lim n [f() f()] [f() f()] [f() f()] ( lim n n ) lim n ( n ) Dns le cs où f est toujours croissnte sur [, ], il suffit de remplcer A n pr A n et de développer un rgument similire. ARCHIMÈDE Si écltnte est l renommée d Archimède (Syrcuse, Sicile, 87- v. J.-C.), tnt pour ses inventions que pour ses découvertes mthémtiques, que ce personnge ien réel semle tout à fit mythique. Il s illustre d ord qund, pour trouver l vleur de π, il conçoit un polygone de 96 côtés en doulnt le nomre de côtés d un hegone qutre fois de suite ; près voir compré le périmètre de ce polygone inscrit dns un cercle à celui du polygone circonscrit utour du même cercle, Archimède trouve l ecellente reltion /7 < π < /7. Au moyen de procédés imgintifs et précis du même genre, il otient des résultts tels que 65/5 < < 5/78 ; mlheureusement, nous n en possédons ps les démonstrtions. L idée de l infiniment petit étit ml vue chez les Grecs ; cel eplique pourquoi Archimède employit des pproimtions géométriques (pr eemple, un polygone presque circulire de 96 côtés) là où un mthémticien moderne utiliserit le concept de limite. Nénmoins, on le compte prmi les lointins précurseurs du clcul différentiel et du clcul intégrl. Le principe d Archimède, dit-on, servit à vérifier si l nouvelle couronne du roi de Syrcuse étit fite d or pur ou d llige ; en comprnt l flottilité de l or à celle d utres métu, Archimède urit découvert que l orfèvre vit triché! L necdote est musnte, mis Archimède urit plutôt ppliqué son principe à l construction de nvires siciliens. Prototype du svnt qui sert l ptrie en temps de guerre, connissnt très ien les coures proliques, il urit utilisé des miroirs proliques pour concentrer les ryons du soleil sur les nvires romins ssiégent Syrcuse fin de les incendier! En fit, il s gissit prolement de miroirs plts mnipulés pr une foule nomreuse sur l grève... L mrine grecque répét l epérience en 97 : 7 mrins firent flmer un petit teu à l ide de miroirs. Un soldt romin tu Archimède le jour de l prise de Syrcuse. Il vit 75 ns. On peut élrgir le théorème.8. u cs plus générl où f est continue sns être monotone, mis l preuve devient plus difficile et nous ne l présenterons ps dns cet ouvrge. En définitive, puisque lim (S n S n ), nous pouvons écrire lim S n lim S n n n n (ces deu limites eistent toujours si f est continue) et cel permet de définir l ire de l région curviligne délimitée pr le grphe d une fonction non négtive et l e des entre et. Aire ecte d une région curviligne.8. Définition Aire ecte A Soit f() une fonction continue non négtive sur un intervlle entre deu ornes et. Soit S n une somme d ires de rectngles inscrits dns l coure de f entre et, et soit S n une somme d ires de rectngles circonscrits à l coure f entre et. Alors, l ire A de l région entre et délimitée pr le grphe de f et l e des est définie pr L méthode d pproimtion utilisée pour le clcul d une ire est nlogue dns son principe à celle qui est utilisée pour le clcul d une pente de coure, c està-dire une dérivée : l dérivée est l limite d un quotient de différences lors que l ire est l limite d une somme de produits. Archimède réussi à clculer des ires de régions curvilignes vec ectitude grâce à s méthode géométrique d ehustion, dont s inspire l démrche de l eemple. L un de ses résultts les plus fmeu est le clcul de l ire d un segment prolique, que nous présentons mintennt en nottion moderne. Eemple Clculer l ire ecte de l région sous une prole Trouvez l ire ecte A de l région sous l prole f() entre les ornes et, où >. lim n S n lim S n A. n Sudivisons l intervlle [, ] en n prties égles de longueur /n (voir l figure.8.4).

5 .8 Aperçu de l intégrle 5 y n y FIGURE.8.4 Le clcul de l ire sous l prole f(). Tle.8. n S n S n ,5 6,5 8,5 4,5 67,565 76,565 48,5 69, , ,65 7, , Les n etrémités guches des sous-intervlles sont,,,, n (n ). Les n etrémités droites sont,,,, n n. Puisque f() est croissnte sur [, ], les n huteurs f( ),..., f( n ) élevées à l etrémité guche de chque sous-intervlle déterminent n rectngles inscrits à l coure, et les n huteurs f( ), f( n ) élevées à l etrémité droite de chque sous-intervlle déterminent n rectngles circonscrits. L ire totle des rectngles inscrits donne une pproimtion pr défut de A. S n f( ) f( ) f( ) f( n ) f() f() f() f((n)) () () ((n)) ( (n) ) () L ire totle des rectngles circonscrits donne une pproimtion pr ecès de A. S n f( ) f( ) f( ) f( n ) f() f() f() f(n) () () () (n) ( n ) () L tle.8. ci-contre pour 6 montre comment S n et S n vrient en fonction de n. Contrirement u cs de l hyperole, cette fois il est possile de clculer l limite de S n à l ide de l formule donnnt l source des crrés d entiers consécutifs : n n(n )(n ). 6 S n lim [() ( n )] lim n n lim n(n )(n ) () n 6 lim ( ) n(n )(n ) n n 6 lim n ( n n )( )( )( n 6 n n n ) lim ( ) () ( )( n 6 ) n n Cette trnsformtion permet le pssge à l limite. () () lim /n 6 n De même, pr un risonnement nlogue, lim n S n. Comme prévu, S n et S n ont l même limite de sorte que l ire A de l région sous l prole est égle à /. Voir les eercices 7 et 8.

6 6 Chpitre : Applictions des dérivées JACQUES BERNOULLI Issu d une fmille de commerçnts protestnts réfugiés en Suisse, Jcques Bernoulli (né et mort à Bâle, ) compte de nomreu mthémticiens éminents dns s prenté. Cependnt, il est le premier scientifique Bernoulli, comme le témoigne s devise : Invito ptre sider verso, «J étudie les stres contre le gré de mon père». Professeur de mécnique puis de mthémtiques à l université de Bâle, il connît les œuvres de Descrtes, Wllis et Brrow. Avec son jeune frère Jen, il étudie soigneusement les écrits mthémtiques de Leiniz, qui lui semlent oscurs ; il s efforcer donc de les défendre et de les epliquer plus clirement. En 69, un écrit de Jcques Bernoulli contient le mot «intégrle» entendu pour l première fois dns son sens moderne. Cependnt, l epression serit de Jen (vec qui les reltions iront se détériornt u fil des ns). On doit à Jcques des tetes sur le lien entre l lgère et l logique et sur l croissnce eponentielle. Il est l un des fondteurs de l science des proilités. 4 Intégrle définie Puisque lim n S n et lim n S n donnent l ire A ecte de l surfce sous une coure continue, nous disons que A est l ire intégrle sous l coure définie entre les deu ornes..8.4 Définition Intégrle définie Soit f() une fonction positive continue. L ire A sous f() délimitée pr un intervlle [, ] est égle à l limite commune de S n et S n qund n telle que définie précédemment et elle se nomme l intégrle définie de f() de à. À l ide d un nouveu symole,, cette intégrle définie de à s écrit f()d. Cette nottion fut créée pr Leiniz pour suggérer l fçon dont l intégrle est déterminée. est un «s» mjuscule llongé, première lettre du mot ltin summ. eprime l idée qu il fut fire une somme sur un intervlle de orne inférieure et de orne supérieure. L epression f()d ppelée «intégrnde» évoque les produits entre les huteurs f() et les petites ses d pour chque rectngle fisnt prtie de l somme. L nottion f()d se lit «l intégrle entre et de f de d» ou prfois «l intégrle entre et de f de pr rpport à». Les différents éléments de l nottion sont nommés ci-dessous. Borne supérieure Symole de l intégrle Borne supérieure Intégrnde f()d Intégrle de f de à Vrile d intégrtion () Lorsque l vleur de l intégrle été trouvée, on dit que l intégrle été évluée. Dns un cours plus vncé, on peut démontrer que l limite commune A des S n et S n qund n ne dépend ucunement de l fçon dont les rectngles sont choisis ; leurs ses peuvent être de longueurs inégles à condition que toutes ces longueurs tendent vers lorsque n. De plus, les rectngles n ont ps esoin d être forcément u-dessus ou udessous de l coure ; leurs huteurs peuvent être élevées à prtir de n importe quel point dns chcun des sous-intervlles. Voir les eercices 9 à 6.

7 .8 Aperçu de l intégrle 7 y f () sin p/ p p/ p FIGURE.8.5 L intégrle de l fonction sinus de à p égle. 5 Intégrle définie négtive Dns notre définition géométrique de l intégrle de f() en tnt qu ire, l fonction f() ne devit ps être négtive sur l intervlle [, ] ; cependnt, il est clir que cette hypothèse n est ps nécessire pour l définition nlytique de l intégrle en tnt que limite d une somme S n de produits. Nous fisons l somme de petites quntités de l forme f( k ) et pssons à l limite ; ce procédé reste prfitement vlide même si certines des vleurs f( k ) sont négtives. L interpréttion géométrique de ce fit est l suivnte : pour les prties de coure situées u-dessous de l e des, f( k ) prend des vleurs négtives de sorte que les ires sous l e des sont comptés négtivement, tndis que les ires u-dessus de l e sont comptées positivement. On dit que l intégrle de f() est l somme lgérique des ires comprises entre l coure et l e des. Eemple 4 Trouver l intégrle de l fonction sin sur [, π] Évluez p sin d. (figure.8.5.) L symétrie de l coure révèle que l ire de l région de à p u-dessus de l e des est égle à l ire de l région de p à p u-dessous de l e des. D près l discussion qui précède, il est clir que l portion d intégrle négtive nnule l portion d intégrle positive. Donc p sin d. 6 Propriétés de l intégrle définie Certines règles simples pour clculer l intégrle définie découlent directement de s définition ou de son interpréttion en tnt qu ire sous une coure. Pr eemple, d près l définition de l intégrle, il est évident que.8.5 Définition f()d Dns certins prolèmes, il rrive que l on doive clculer une intégrle f()d où. Dns ce cs, ( )/n devient négtif et lors, comme les ordonnées f() ne chngent ps, le signe des f() est chngé ; pr conséquent, il en est insi pour l intégrle elle-même. En d utres mots, l vleur de l intégrle de à est l inverse dditif de l vleur de l intégrle de à..8.6 Définition Si <, lors f()d f()d Une utre propriété est évidente, ussi ien d près s définition nlytique que d près son interpréttion géométrique (voir l figure.8.6) : si f() est intégrle sur [, c] et si pprtient à cet intervlle, lors peut être choisi comme point de division dns toutes les sommes S n utilisées dns le clcul d une limite donnnt l intégrle. En d utres mots, chque somme peut être séprée en deu sommes, l une pour [, ] et l utre pour [, c]. Puisque l limite d une somme égle l somme des limites, on en conclut que l intégrle sur [, c] est l somme des intégrles sur [, ] et sur [, c].

8 8 Chpitre : Applictions des dérivées y y f().8.7 Théorème Additivité de l intégrle définie c c f()d f()d f()d FIGURE.8.6 L dditivité de l intégrle définie. L intégrle de f() sur [, c] peut être séprée. c f() d f() d c f() d c f() d f() d c f() d f() d c f() d En remplçnt c pr dns l formule précédente, on retrouve l formule.8.6. c f()d f()d f()d d où Propriété.8.5. f()d f()d Eemple 5 Clculer l ire d une région située sous un segment prolique Évluez 6 d. D près l propriété.8.7, nous pouvons écrire Donc, 6 6 d 6 d d. 6 d d d. Or, d. D près l eemple. Finlement l intégrle recherchée est 6 6 d 6. À prtir des propriétés des limites d une somme et d un multiple de fonctions, on peut prouver les deu propriétés suivntes de l intégrle définie..8.8 Théorème L intégrle de l somme de deu fonctions est égle à l somme des intégrles de ces fonctions. [ f() g()]d f()d g()d.8.9 Théorème L intégrle du produit d une fonction f() pr une constnte est égle u produit de l constnte pr l intégrle de f(). cf()d c f()d

9 .8 Aperçu de l intégrle 9 Il est prfois commode d utiliser le fit que l vleur d une intégrle ne dépend ucunement du nom de l vrile choisie comme vrile d intégrtion. En effet, l vleur de l intégrle définie d une fonction sur un intervlle donné ne dépend que de l fonction elle-même et ucunement de l lettre représentnt l vrile d intégrtion. Pr eemple, on peut très ien décider de représenter cette vrile, dite vrile muette, pr les lettres t ou u plutôt que pr l lettre ; insi, les trois epressions suivntes sont rigoureusement équivlentes : f()d f(t)dt f(u) du. Eemple 6 Évluer une intégrle d près les propriétés Évluez 4 ( 5 7)d. Or, 4 ( )d 4 4 d 5d 7d Propriété d 5 d 7d Propriété d Aire d un rectngle. et Donc d 8 Aire d un tringle. 4 d. Aire sous une prole (eemple ). 4 4 ( )d ( ) 5(8) 8. Voir les eercices 7 à. 7 Théorème fondmentl du clcul À l eemple, nous vons clculé l intégrle 4 d en utilisnt l formule de l somme de crrés d entiers consécutifs : n n(n )(n ). 6 Afin de clculer d pr l même méthode, il fudrit utiliser l formule de l somme de cues d entiers consécutifs : n n(n ) [ ] Le clcul plus générl de q d vec notre méthode des sommes de produits serit possile en utilisnt l formule de Bernoulli pour l somme q q q n q..

10 Chpitre : Applictions des dérivées y FIGURE.8.7 L ire sous l hyperole entre et 4. A f () (4, ) A (, f ()) A (, ) (4, ) (4, f (4)) (4, ) (4, f (4)) (4, f (4 )) FIGURE.8.8 Un grossissement de l figure.8.7. En fit, il semle que l évlution ecte de l intégrle de chque fonction eige que l on trouve une formule permettnt de simplifier une somme de produits spécifique dont on cherche l limite. Il n y ps de technique générle pour effectuer cette réduction : chque cs demnde une pproche prticulière. Y urit-il une utre pproche que l limite d une somme pour évluer des intégrles définies? Comme cette question difficile une grnde importnce utnt prtique que technique, elle préoccupé les mthémticiens depuis l Antiquité. Certins rrivient à intégrer plusieurs fonctions prticulières pr divers moyens ingénieu, mis les progrès pour trouver une méthode générle se fisient ttendre. Leiniz et Newton développèrent chcun de leur côté une méthode générle efficce pour clculer les intégrles d un très grnd nomre de fonctions vriées. Ils mirent en évidence l conneion étroite entre le prolème de l intégrle et le prolème de l dérivée mlgré l différence pprente entre les deu procédés limites utilisés. Tous deu étlirent insi le théorème fondmentl du clcul énonçnt que l intégrtion et l dérivtion sont, en fit, des processus inverses l un de l utre, un peu comme le sont les opértions d ddition et de soustrction. Leur stuce? Introduire du mouvement dns le clcul de l ire sous une coure en envisgent non plus une ire fie mis une ire vrile. Pour comprendre à l ide d un eemple, reprenons le prolème non résolu de l ire ecte sous l hyperole f() / entre et 4 (eemple ) ; cette ire A est symolisée pr : 4 d. Imginons d ord que le segment joignnt les points (, ) et (, f()) est un élstique couvert de peinture leue ; à chque etrémité de l élstique se trouve un nneu enfilé utour de l coure à un out et utour de l e à l utre out. Si nous déplçons les deu nneu respectivement jusqu u points (4, ) et (4, f(4)), l peinture de l élstique lisser sur l surfce une trce colorée en leu sur l surfce de l figure.8.7. L ire A de cette surfce colorée en leu est précisément celle que nous recherchons. Nous pouvons fire vrier cette ire en déplçnt l élstique prllèlement à lui-même. L ire de l région colorée c est-à-dire l intégrle devient insi une fonction A() de s orne supérieure vrile. Nous nous proposons mintennt de résoudre le prolème suivnt : Quelle est l dérivée de cette ire vrile A()? Si, près l voir enduit de peinture rouge, nous déplçons encore l élstique sur une petite distnce, l peinture lisser une trce dditionnelle colorée en rouge (figure.8.8). Appelons A l ire de cette nde. L vrition A divisée pr l vrition est ectement le quotient des vritions requis pour clculer l dérivée de l ire vrile A(). L dérivée recherchée est donc : lim A. Pour évluer l limite de ce quotient, oservons l figure.8.8 : l nde d ire A est comprise entre, d une prt, un rectngle inscrit de se et de huteur f(4 ) et, d utre prt, un rectngle circonscrit de se et de huteur f(4). De sorte que f (4 ) A f (4). En divisnt pr, nous otenons A f (4 ) f (4). Lorsque tend vers zéro, f(4 ) tend vers f(4), f étnt continue sur son domine, c est-à-dire

11 .8 Aperçu de l intégrle lim f(4 ) f(4). Donc, pr le théorème du sndwich, lim f(4 ) lim A lim f(4), f(4) lim A f(4), d où lim A f(4) qui peut s écrire da f(4). d 4 En ppliqunt le même risonnement u cs d une orne supérieure quelconque u lieu de 4, nous otenons le résultt remrqule suivnt : da f(). d En d utres mots, le tu d ccroissement de l ire A pr rpport à est égl à l huteur de l coure f() évluée à l orne supérieure d intégrtion. C est là l essence du théorème fondmentl. Voilà, enfin, une indiction précieuse pour otenir l ire A de l région entre f() et l e des en fonction de l orne supérieure : il fut trouver une fonction F() dont l dérivée soit f() ; une telle fonction F() est ppelée primitive de f()..8. Définition Primitive Une fonction F() telle que F() f() est une primitive de f(). Eemple 7 Clculer l vleur ecte d une intégrle Trouvez l vleur ecte de 4 d. Pour évluer 4 d, demndons-nous quelle est l fonction dont l dérivée est /. Nous connissons une fonction qui stisfit à cette condition : ln. En effet, d (ln ). d Mis l fonction ln n est ps l seule à dmettre / comme dérivée. Rppelons le deuième corollire du théorème de l moyenne.7.4 (voir à l section.7) et résumons : Si f () g() pour tout dns ], [, lors il eiste une constnte C telle que f() g() C. pour tout dns [, ]. En d utres mots, les fonctions ynt l même dérivée ne diffèrent entre elles que pr une vleur constnte. Donc, toutes les fonctions de l forme ln C dmettent / comme dérivée. Le prolème insi posé semle voir une infinité de solutions de l forme A() ln C.

12 Chpitre : Applictions des dérivées y y f (t) Cette indétermintion n rien de surprennt si nous pensons que, dns le risonnement du théorème fondmentl, nous n vons ps tenu compte de l position fie de l orne inférieure. Nous rppelnt que celle-ci vut, il devient isé de déterminer C. En effet, puisque représente l orne supérieure de l intégrle, si, lors A ; utrement dit, A() d Définition.8.5. En remplçnt et A respectivement pr leurs vleurs et dns l formule A() ln C, nous trouvons A() ln () C, ln C d où C ln. En résumé, l ire délimitée pr l e des et l hyperole d éqution f() / entre une orne inférieure fie et une orne supérieure vrile est une fonction de s écrivnt A() d ln ln. Nous voulions clculer l ire ecte sous l hyperole entre les ornes et 4. Il est mintennt fcile de l otenir en posnt 4 dns l formule précédente : 4 d ln 4 ln ln (4/) ln, A() FIGURE.8.9 L intégrle vue comme fonction de s orne supérieure. C est pour éviter l confusion entre l orne supérieure d intégrtion et l vrile pprissnt dns l intégrnde que nous les représentons pr deu lettres différentes, respectivement et t. Notons que l nouvelle fonction A ne dépend ps de t ; elle ne dépend que de l vrile qui git comme orne supérieure de l intégrle. t L démrche que nous venons de fire se générlise de l fçon suivnte. Soit une fonction continue y f(). Considérons l intégrle de f() entre une orne inférieure fie et une orne supérieure vrile. Pour éviter l confusion entre l orne supérieure d intégrtion et l vrile pprissnt dns f(), nous écrivons cette intégrle sous l forme A() f(t)dt pour indiquer que nous voulons étudier l intégrle comme fonction A() de s orne supérieure. Dns le cs où f(t) est positive, A() représente l ire sous l coure y f(t) entre t et t. Une intégrle dont l orne supérieure est vrile est ppelée intégrle indéfinie (figure.8.9). Cette nouvelle fçon d interpréter une intégrle définie nous permet d énoncer l première prtie du théorème fondmentl de l fçon suivnte. Soit f continue sur [, ]. L dérivée de l intégrle indéfinie f(t)dt est égle à f (t) évluée en.

13 ( F ) F( ) ou ( ) f ( ) d= F( ) = F( ) F( ).

14 4 ( ) 4 d + = + sin (- / ) ( ). cos sin d π π π π π = = = =

15 + ( ) π d = 4 rc tn = 4(rc tn rc tn ) = 4 =π. 4

16 6 Chpitre : Applictions des dérivées Eemple Intégrer une somme de fonctions puissnces Trouvez une primitive de f() 4/. Récrivons f() sous une forme plus fcile à «dériver à reours». f() 4 /. F() 4 / 8 F() est une primitive prticulière de f() ; or, toutes les primitives de F() sont de l forme G() F() C. Donc, l solution l plus générle est : G() 8 C. / Vérifiction G() 8 4 f() Chercher une primitive de f() équivut à chercher l intégrle indéfinie f(t)dt. Puisque les ornes d intégrtion sont indéterminées, on note courment l intégrle indéfinie sns celles-ci, pour simplifier : f()d. L intégrle indéfinie de f() peut donc s écrire de deu fçons : f()d f(t)dt où est une constnte ritrire. Pr le deuième corollire du théorème de l moyenne (.7.4), nous svons que si F() est une primitive de f(), lors toute fonction ne différnt de F() que pr une constnte est ussi une primitive de f (). En nottion intégrle, nous indiquons cette propriété de l fçon suivnte : f()d f(t)dt C F() C. Puisque l orne inférieure est indéterminée, nous n vons évidemment ucun moyen de déterminer l constnte C dns l éqution précédente. En conséquence, si F() est une primitive de f(), lors l intégrle indéfinie de f() est plutôt, en fit, une fmille de primitives. Ne confondez ps l intégrle définie vec l intégrle indéfinie : une intégrle définie f()d est un nomre, lors qu une intégrle indéfinie est une fmille de fonctions..8.4 Définition Intégrle indéfinie Soit F une primitive de f. L ensemle de toutes les primitives de f est l intégrle indéfinie de f pr rpport à l vrile. L intégrle indéfinie s écrit insi : f()d F() C. L constnte ritrire C est ppelée constnte d intégrtion. Toute formule de dérivtion contient l solution d un prolème d intégrtion indéfinie en l interprétnt à l envers en tnt que formule d intégrle. On peut otenir une tle d intégrles indéfinies directement à prtir d une tle correspondnte de dérivées (voir l tle.8.).

17 n - d ln C = + π/4 -π/4 π/4 ( ) cos sin + d sin cos tn = + + cos -π/4

18 8 Chpitre : Applictions des dérivées Eemple 7 Ajuster l intégrnde vec une constnte multiplictive Clculez ( 4) 7 d. Nous svons que 7 d 8 8 C, mis ttention, ( 4) 7 ( 4) d 8 C. (On peut le vérifier en dérivnt.) 8 Posons u 4. Alors, du/d. Il mnque le fcteur du/d à l intégrnde, mis nous pouvons fire un justement en multiplint et en divisnt l intégrnde pr. ( 4) 7 d ( 4) 7 d u 7 du du d d d u 7 du u 8 C 4 ( 4) 8 C u 4 4 On commence à comprendre mintennt le mécnisme de l méthode : il s git de remplcer une intégrle reltivement compliquée pr une intégrle plus simple. Dns l eemple 7, il fllit remplcer une epression contennt pr une vrile uiliire u, puis sustituer à et à d de nouvelles vleurs en fonction de u. Il devenit lors possile d évluer l intégrle en considérnt u comme vrile indépendnte : c est insi que nous vons fit un chngement de vrile. Enfin, dns le résultt otenu, nous vons remplcé, inversement, u pr s vleur en fonction de. À l eemple 8, u moment d effectuer l sustitution, nous trvillerons vec l différentielle plutôt qu vec l dérivée, cr c est équivlent et plus fcile à mnipuler : il fudr lors tenir compte de l reltion entre les différentielles d et du de l ncienne et de l nouvelle vrile. Eemple 8 L intégrnde s juste toute seule Clculez 4 d. Posons u 4. Alors, du/d 4. Il est églement possile d écrire cette reltion sous les formes différentielles du 4d, ou encore (/4) du d. En utilisnt cette dernière forme, l justement dû u fcteur 4 se fer utomtiquement. 4 d u / (/4) du u / du 4 u / C 4 / (/4) du d u / C 6 (4 ) / C u 4 6

19 .8 Aperçu de l intégrle 9 Eemple 9 Intégrer une fonction puissnce Clculez d. Posons u. Alors, du/d, insi du d. Nous otenons : d d u / du u / C (/) u / C ( ) / C. u Les eemples précédents 7 à 9 sont des cs prticuliers de l méthode générle du chngement de vrile. L méthode d intégrtion pr chngement de vrile Étpe Trouvez une fonction u g() fisnt prtie de l intégrnde dns le ut d écrire l intégrle sous l forme f(g()) g()d (à un fcteur constnt près). Étpe Clculez g() du/d. Étpe Fites les sustitutions u g() et du g()d pour mener l intégrle sous l forme f(u)du. ( ne doit plus figurer dns l nouvelle intégrle). Étpe 4 Intégrez pr rpport à l nouvelle vrile u. Étpe 5 Remplcez u pr g() dns le résultt pour eprimer ce dernier en fonction de l vrile initile. Eemple Appliquer l méthode du chngement de vrile Clculez cos (7 5) d. cos (7 5) d cos u 7 du Soit u 7 5; du/d 7 et insi, (/7) du d. cos u du Forme fmilière. 7 sin u C Intégrer pr rpport à u. 7 sin (7 5) C Remplcer u pr

20 Chpitre : Applictions des dérivées Eemple 5 Clculez d, où 4 7 > (i.e. > 7/ ). 4 7 Posons u 4 7. Alors du/d 8, insi du/8 d. Nous otenons 5 du d u 8 5 du 8 u 5 ln u C 8 5 ln ( 4 7) C. 8 Eemple Clculez sin cos d. Posons u sin. Alors du/d cos, insi du cos d. Nous otenons, sin cos d u du u C sin C Eemple Clculez d. ( ) d d. ( ) ( ) Posons u. Alors du/d, insi du/ d. Nous otenons ( ) ( ) du u u / du u / C (/) u / C C. d d

21 .8 Aperçu de l intégrle Eemple 4 Epliciter dns un chngement de vrile Évluez d. Soit u, du d. Ici, le chngement de vrile présente une difficulté nouvelle : d une prt, n est ps l dérivée de u ; d utre prt, souvenonsnous que ne doit plus pprître dns l intégrnde près le chngement de vrile. Il fut donc eprimer en fonction de u. Eplicitons dns l éqution relint et u : u, donc, (u ). Nous otenons d (u ) u du Soit u ; du d ; u. (u u ) u du (u u u u u) du (u 5/ u / u / ) du Développer le inôme. Distriutivité. Formes fmilières. C Intégrer pr rpport à u. 7/ 5/ / ( ) 4( ) ( ) 7/ 5/ / C, u 7 5 Voir les eercices 59 à 88. Nous pouvons églement évluer des intégrles définies vec l méthode du chngement de vrile. Eemple 5 Évluez 8 d. D près l eemple 4, 8 ( ) ( ) d 7/ ( ) 5/ / 7 5/ / 8 lterntive 448,4574 6,476 4,58. Nous pouvons procéder directement en fisnt ussi le chngement de vrile sur les ornes d intégrtion. Puisque u, les ornes et 8 deviennent u 4 et u 8 9. Nous otenons lors 9 d (u ) u du 8 u 7/ 4 u 5/ u / u u u 7/ 5/ / 7 5/ / 9 448,4574 6,476 4,58. 4 Voir les eercices 89 à 98.

22 Chpitre : Applictions des dérivées y f () sin π π π π FIGURE.8. L ire de l région délimitée pr un cycle sinusoïdl complet et l e des. Prmi toutes les techniques d intégrtion, le chngement de vrile est certinement l plus employée. Nous n en verrons ps d utres dns l présente section qui n est seulement qu une introduction à l intégrle. Le succès de l méthode d intégrtion pr chngement de vrile dépend du choi d une sustitution ppropriée permettnt de trnsformer une intégrle «difficile» en une intégrle «fcile». Il fut trouver une sustitution u g() telle que g() soit une prtie de l intégrnde et telle que g() soit églement une prtie multiplictive de l intégrnde (à un fcteur constnt près). Cette méthode lisse encore une lrge prt u tâtonnement ; en dehors de quelques cs prticuliers, il n y ps de règle générle indiqunt quel chngement de vrile il fut effectuer : souvent, l intuition pourr seule servir de guide. Qunt u déutnt, qu il ne se décourge ps : il lui fudr essyer prfois plusieurs chngements de vrile vnt d rriver u ut. Clcul d ires plnes pr intégrtion Nous svons déjà comment utiliser l intégrle définie pour évluer l ire d une région comprise entre l e des et une coure y f() dns le cs simple où f() reste toujours u-dessus de l e des sur l intervlle d intégrtion [, ]. Cependnt, nous devons fire preuve de prudence en distingunt ire nette et ire totle. Tel qu illustré à l eemple 4, le clcul d une intégrle donne utomtiquement une ire nette dite lgérique, cr l ire des régions situées sous l e des est comptée négtivement, lors que l ire des régions situées u-dessus de l e des est comptée positivement. Afin de clculer l ire totle dite géométrique délimitée pr une fonction f() qui chnge de signe sur un intervlle [, ], nous sudivisons cet intervlle en morceu sur lesquels f() grde un signe constnt ; cel permet de décomposer l intégrle en une somme de plusieurs intégrles. L ire totle de l région comprise entre l coure et l e des est lors donnée pr l somme des vleurs solues de chcune de ces intégrles. Eemple 6 Clculer l ire totle de l région délimitée pr un cycle de l fonction sinus Clculez l ire totle A de l région délimitée pr y sin et l e des entre et π (figure.8.). y sin est positive de à p, et négtive de p à p. Nous devons donc séprer l intervlle [, p] en deu sous-intervlles : [, p] et [p, p]. L ire recherchée est A p sin d p sin d p cos p cos p p (cos p) (cos )(cos p) (cos p) ()() 4.

23 =

24 = +

25 .8 Aperçu de l intégrle 5 j77 EXERCICES.8 Approimtions à l ide de sommes de produits Au eercices à 4, représentez grphiquement chcune des fonctions suivntes sur l intervlle indiqué. Fites une prtition de l intervlle en le divisnt en qutre sous-intervlles d égles longueurs. Sur le grphique, trcez les rectngles ssociés à l somme f(c ) f(c ) f(c ) f(c 4 ) dns les trois cs suivnts : ) Les c k sont les ornes de guche des sous-intervlles. ) Les c k sont les ornes de droite des sous-intervlles. c) Les c k sont les milieu des sous-intervlles. (Note : Fites un grphique sépré pour chcun des cs.). f(), [, ]. f(), [, ]. f() sin, [, ] 4. f() sin, [, ] 5. Longueur d une route. En compgnie d un mi, vous vous enggez en voiture sur une route de terre sinueuse. Votre compteur de vitesse fonctionne, mis l odomètre (compteur de distnce) est en pnne. Pour connître l longueur de l route, vous notez l vitesse de l uto à intervlles réguliers de secondes. Vos données pprissent à l tle suivnte. Estimez l longueur de l route en prennt les ordonnées ) u ornes de guche des intervlles ; ) u ornes de droite des intervlles. Temps Vitesse (convertie en m/ s ; (s) m/ s 6 km/ h) Volume d une sphère solide. Pour estimer le volume V d une sphère solide de ryon 5, fites une prtition de son dimètre en cinq sous-intervlles de longueur. Découpez l sphère vec des plns perpendiculires u dimètre pssnt pr les ornes de guche de chcun des sous-intervlles ; puis dditionnez les volumes des disques cylindriques de huteur dont les ses circulires correspondent u sections sphériques découpées pr les plns. (Le premier cylindre à guche ser de ryon nul.) ) Trouvez l somme S 5 des volumes cylindriques. ) Eprimez l erreur d pproimtion V S 5 comme pourcentge de V rrondi à l entier près. 7. Aire d un cercle. Soit un polygone régulier à n côtés inscrit dns un cercle de ryon. ) Clculez l ire du polygone pour les vleurs suivntes de n. i) 4 (crré) ii) 8 (octogone) iii) 6 ) Comprez les ires des trois polygones ci-dessus vec l ire ecte du cercle. 8. (Suite de l eercice précédent) ) Soit un polygone régulier à n côtés inscrit dns un cercle de ryon. Clculez l ire d un seul des n tringles égu construit en joignnt le centre du cercle à chcun des sommets du polygone. ) Déterminez l limite de l ire du polygone inscrit qund n. c) Refites l même démrche pour un cercle de ryon quelconque r. Eprimer des limites de sommes comme des intégrles Au eercices 9 à, eprimez les limites de sommes comme des intégrles définies. 9. lim n [( n) ] où les k sont les ornes de droite des sous-intervlles d une prtition de [, ].. lim n [( n) ] où les k sont les ornes de droite des sous-intervlles d une prtition de [, ].. lim n [(( ) ( ) ( n n )) ] où les k sont les ornes de droite des sous-intervlles d une prtition de [7, 5].. lim n [(/( ) /( ) /( n )) ] où les k sont les ornes de droite des sous-intervlles d une prtition de [, ]. Évluer des intégrles définies en clculnt l ire Au eercices à 6, trcez les grphes des intégrndes correspondnt u intégrles définies suivntes et évluez ensuite l intégrle en vous servnt de l ire sous l coure. 4 d d 6. ( ) d Utiliser des vleurs connues et ppliquer les propriétés des intégrles définies pour clculer d utres intégrles 7. Soit f et g deu fonctions continues telles que 5 9 d 5 f() d 4, f() d 6, g() d 8.

26 6 Chpitre : Applictions des dérivées Appliquez les propriétés des intégrles définies pour évluer les intégrles suivntes. ) g() d ) g() d c) f() d d) f() d e) [ f() g()] d f) [4f() g()] d 8. Soit f et h deu fonctions continues telles que 9 5 f() d, f() d 5, h() d 4. Appliquez les propriétés des intégrles définies pour évluer les intégrles suivntes ) f() d ) [ f() h()] d c) [ f() h()] d d) f() d e) f() d f) [h() f()] d 9. Soit f() d 5. Évluez les intégrles suivntes. ) f(u) du ) f(z) dz c) f(t) dt d) [f()] d. Soit g(t) dt. Évluez les intégrles suivntes. ) g(t) dt ) g(u) du g(r) c) [g()] d d) dr Évluer des intégrles à l ide du théorème fondmentl ( e prtie) Au eercices à, évluez les intégrles définies suivntes. p p / p / u 9 7. ( 5) d.. ( ) d ( cos ) d (8y sin y) dy Dériver des intégrles définies à l ide du théorème fondmentl Au eercices à 4, trouvez les dérivées ) en évlunt l intégrle d ord et en dérivnt le résultt ensuite ; ) en dérivnt l intégrle directement. 9 4 u 5 du 4 d 9 7 d p / sec d (r ) dr u du u d.. sin d cos t dt t dt d d tn u d d t 4. u du 4. sec y dy dt du Aire d une région sous une coure Au eercices 5 à 8, trouvez l ire de l surfce comprise entre les coures suivntes, l e des et les ornes indiquées. 5. y, 6. y, 7. y 4, 8. y /, 8 9. Formule d Archimède pour l ire sous une une prole. Archimède (voir iogrphie p. 4) prouvé que l ire de l surfce sous une rche prolique vlit les deu tiers de l se multipliée pr l huteur de l rche. ) Utilisez une intégrle pour trouver l ire sous l rche prolique y 6,. ) Trouvez l huteur h de l rche. c) Montrez que l ire vut les deu tiers de l se multipliée pr l huteur h. d) Esquissez l rche prolique d éqution y h (4h/ ), où / / et où h et sont des nomres positifs. Utilisez ensuite le clcul intégrl pour évluer l ire de l région contenue entre l coure et l e des. 4. Apprendre en écrivnt. Soit f une fonction ynt une dérivée positive pour tout et soit f(). Quels sont les énoncés vris concernnt l fonction ci-dessous? Justifiez vos réponses. ) g est une fonction de prtout dérivle. ) g est une fonction de prtout continue. c) Le grphe de g possède une tngente horizontle en. d) g possède un mimum reltif en. e) g possède un minimum reltif en. f) Le grphe de g possède un point d infleion en. g) Le grphe de dg/d coupe l e des en. Trouver les primitives Trouvez une primitive pour chcune des fonctions suivntes ; dns l mesure du possile, fites-le mentlement. Vérifiez ensuite l ectitude de vos réponses pr dérivtion. 4. ) ) c) 4 / / g() f (t) dt / 4. ) sin ) sin c) sin sin 4. ) sec ) c) sec sec 44. ) sec tn ) 4 sec tn c) sec p tn p

27

28 8 Chpitre : Applictions des dérivées. y. (, 5) (, ) 5 y 4 4 y (, ) (, 4) Au eercices à 6, trcez le grphe des fonctions suivntes sur l intervlle donné. Puis, ) intégrez l fonction sur l intervlle ; ) évluez l ire de l région comprise entre le grphe et l e des.. y 6 8, [, ] 4. y 5 4, [, ] 5. y, [, ] 6. y 4, [, 5] Au eercices 7 à, évluez l ire des régions comprises entre les pires de coures ou de droites données. 7. y et y 8. y et y 9. y et y 4. y 7 et y 4 4 y 5 y 4 y (, 5) Aires entre deu coures Au eercices 7 à, vous devez évluer l ire de l région comprise entre deu coures lorsqu il n est ps possile de déterminer les points d intersection des coures pr des méthodes lgériques élémentires. Utilisez un logiciel de clcul symolique pour effectuer les tâches suivntes. 7. ) Trcer les coures dns l même fenêtre pour juger de leur forme et pour trouver le nomre de points d intersection. ) Utiliser l évluteur numérique d éqution pour trouver les coordonnées de tous les points d intersection. c) Intégrer f() g() sur les intervlles ornés pr chque pire de points d intersection consécutifs. d) Additionner toutes les intégrles trouvées en c). f(), g() 8. f() 4, g() 8 9. f() sin (), g(). f() cos, g() EXPLORATIONS À L ORDINATEUR Clcul d intégrles pr des sommes de produits Si votre logiciel de clcul symolique permet de trcer les rectngles ssociés u sommes de produits, vérifiez l convergence vers l vleur des intégrles définies données u eercices à 6, en prennt n 4,, et 5 sous-intervlles d égles longueurs dns chcun des cs. p p. ( ) d. ( ) d 4 p / 4. cos d 4. sec d 5. d 6. d ln

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