UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE U.F.R. SEGMI Année universitaire Mathématiques: Mise à niveau. Séance 02: Puissances et racines

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1 UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE U.F.R. SEGMI Année universitaire L Économie Cours de M. Desgraupes Mathématiques: Mise à niveau Séance 0: Puissances et racines Table des matières Valeurs absolues Puissances. Puissances négatives Racines Puissances fractionnaires Inégalités et carrés Somme de puissances Pourcentages 7 3. Définition Calculs de taux Exercices 9 Valeurs absolues La valeur absolue d un nombre réel est la valeur de ce nombre privée de son signe. Si le nombre est x, sa valeur absolue est notée x. s :, 34 =, 34 +, 34 =, 34 5, 67 = 5, 67 Dans le dernier exemple, on a x = 5, 67, ce qui est équivalent à x = 5, 67. Par conséquent, on voit que dans ce cas x = 5, 67 = x. Ce résultat est vrai pour toute valeur négative x. On en déduit donc la définition officielle de la fonction valeur absolue : { x si x 0 f(x) = x = x si x < 0

2 En 0, les deux définitions coïncident. La fonction valeur absolue est continue. On peut donc calculer sa dérivée : { f si x > 0 (x) = si x < 0 En x = 0, la fonction n est pas dérivable car il y a une dérivée à gauche (égale à -) et une dérivée à droite (égale à ) qui ne sont pas égales entre elles. Le graphe de la fonction valeur absolue est en forme de V. abs(x) x Puissances. Puissances négatives On étend la notion de puissance aux nombres entiers négatifs au moyen de la convention a = a Changer le signe d un exposant revient à inverser la quantité sur laquelle porte cet exposant. Cela permet de définir a n pour un entier relatif n Z. De manière générale, on a : a n = a n avec n Z

3 En particulier, si un dénominateur porte une puissance négative, on peut le remonter au numérateur : a = a et = an a n Les propriétés algébriques vues dans le cas des exposants positifs restent valables lorsqu on utilise des exposants négatifs : dans un produit, les exposants s ajoutent : a m a n = a m+n dans une composition, les exposants se multiplient : ( a m ) n = a mn la puissance d un produit est le produit des puissances : ( ab ) n = a n b n il en est de même pour les quotients : avec m Z et n Z.. Racines ( a b ) n = a n Racines carrées La racine carrée d un nombre réel a est un nombre b réel tel que b = a. Puisque b est une quantité toujours positive, on en déduit que nécessairement a doit être positif. Il n y a pas de racine carrée réelle pour un nombre négatif. 3 est racine de 9 car 3 = 9. Mais on sait aussi que ( 3) = 9, ce qui signifie que -3 est aussi racine carrée de 9. C est un résultat général : si b est racine carrée, alors b l est aussi. Il n y en a pas d autre. Un nombre strictement positif a donc deux racines carrées réelles qui sont opposées l une de l autre. On les note respectivement b pour celle qui est positive et b pour celle qui est négative. La racine de 0 est 0 : 0 = 0. Remarques importantes : b n 3

4 une expression placée sous une racine carrée doit nécessairement être positive ou nulle. on a l identité suivante a = a Quand on prend la racine d une expression élevée au carré, on obtient la valeur absolue de cette expression. si a et b sont deux nombres positifs, on a ab = a b. Autrement dit, la racine (positive) d un produit est le produit des racines (positives). Attention : la racine d une somme n est pas la somme des racines. Racines cubiques La racine cubique d un nombre réel a est un nombre b réel tel que b 3 = a. Puisque b 3 est une quantité de même signe que b, on peut prendre la racine cubique d un nombre négatif. est racine de 8 car 3 = 8. On calcule aussi que ( ) 3 = 8, ce qui signifie que - est racine cubique de -8. C est un résultat général : si b est racine cubique de a, alors b est racine cubique de a. Un nombre réel a possède une seule racine cubique réelle. On la note 3 a. La racine cubique de 0 est 0 : 3 0 = 0. Les propriétés précédentes des racines carrées et cubiques se généralisent au cas de racines n-ièmes. Par définition, une racine n-ième de a est un nombre b tel que b n = a. Si le nombre n est pair (n = m), la situation est la même que pour les n racines carrées : a n existe que si a est positif. Il y a deux racines réelles opposées l une de l autre et elles sont notées n a et n a. Si le nombre n est impair (n = m+), la situation est la même que pour les racines cubiques : n a existe pour tout nombre réel a et il y a une seule racine réelle notée n a..3 Puissances fractionnaires Notation On convient de noter les racines n-ièmes au moyen d exposants fractionnaires de la manière suivante : n a = a n En particulier, on écrit : a = a 3 a = a 3 4

5 Cette notation permet de définir la fonction puissance pour n importe quel nombre fractionnaire p q. On pose : a p q = ( q a ) p Calculer les quantités suivantes : 4 5 = (4 ) 5 = ( 4) 5 = 5 = 3 ( 5) 3 = ( 5 5 5) 3 = ( ( 5) 3) 3 = ( 5) 3 3 = = ( 5 ) 5 = () 5 5 = = = 4.4 Inégalités et carrés Il faut être très prudent avec les questions de signes lorsqu on élève au carré dans une égalité. On a l implication suivante : a = b = a = b Mais réciproquement, il faut écrire : a = b = a = ±b Il faut être encore plus prudent avec les questions de signes lorsqu on élève au carré dans une inégalité. On ne peut le faire que si les deux membres sont de même signe et on doit distinguer les deux cas suivants : si a et b sont tous les deux positifs, on a : a < b = a < b si a et b sont tous les deux négatifs, on a : a < b = a > b Ici le sens de l inégalité est renversé. si a et b ne sont pas de même signe, on ne peut pas conclure. Par exemple, 3 < et 9 > 4, tandis que < et <

6 Inversement, prendre la racine carrée dans une inéquation demande aussi de tenir compte des signes des expressions. Par exemple, en supposant que b est un nombre positif : a < b = b < a < b et non pas simplement a < b. En particulier, a < = < a < Les inégalités peuvent être strictes ou larges : a b = b a b.5 Somme de puissances La formule suivante permet de calculer la somme des N premières puissances d un nombre : + a + a + a a N = an+ a Notation L expression de gauche dans la formule précédente est habituellement notée N k=0 a k Ici k est un indice muet. On pourrait écrire N N a i ou a t. i=0 t=0 Calculer N. Corrigé N = N+ = N+ = N+ En prenant N = 3 par exemple, on vérifie facilement en effet que = 5 = 6 = 4. Calculer S = + + ( ) + ( ) ( ) N. Corrigé 6

7 S = ( ) N+ = ( ) N+ ( = N+ ) ( N+ ) = N+ = N+ N En prenant N = 3 par exemple, on vérifie facilement que S = + ( ( ) 3 ) + + = = 5 8 = Pourcentages 3. Définition Pourcentages L expression a% (lue a pour cent ) désigne, par convention, le rapport a 00 Ȯn l utilise souvent avec des valeurs de a comprises entre 0 et 00, ce qui fait que le rapport a/00 dans ce cas est un nombre dans l intervalle [0, ]. Par exemple, l expression 0% n est autre que le nombre 0, et l expression 75% n est autre que le nombre 0, 75 = 3/4. Les pourcentages sont utilisés principalement pour désigner la valeur de taux de variations de la forme r = Y X. Ils permettent de rapporter la valeur de ces quantités à une valeur commune (à savoir 00). On peut aussi écrire Y = r X. 3. Calculs de taux Taux de variations Supposons que r est un taux de variation (qu il soit exprimé en pourcentage ou pas). Le nombre r est positif dans le cas d une grandeur qui croît et négatif dans le cas d une grandeur qui décroît. La quantité X est augmentée de X = r X et devient donc X + X = X + r X = ( + r)x 7

8 On voit finalement que X a été multipliée par ( + r). Le terme ( + r) est appelé le coefficient multiplicateur associé au taux de variation r. On passe du taux de variation au coefficient multiplicateur en ajoutant. Inversement, on passe du coefficient multiplicateur au taux de variation en soustrayant. Par exemple, appliquer une augmentation de 0% revient à multiplier par,. De même, multiplier un nombre par 0,95 revient à lui appliquer une diminution de 5% (une variation de 5%). Multiplier une quantité par revient à lui appliquer un taux de variation de 00%. En effet = + donc r = = = = 00%. Appliquer n fois de suite un taux de variation r, revient à multiplier n fois par le coefficient multiplicateur m = + r. Cela revient finalement à multiplier par ( + r) n. Si on note Q n la valeur au temps n d une quantité qui augmente de r%, on trouve finalement que : Q n = Q 0 ( + r) n Si une quantité augmente au taux de % = 0, 0, elle est multipliée par,0. Au bout de 0 périodes, elle a été multipliée par, 0 0 =.046. Son taux de variation au total est donc de.046 = %. En conclusion, les taux de variation ne sont pas additifs: 0 fois % ne font pas 0% mais 0.46%! 8

9 4 Exercices Exercices complémentaires Exercice Pendant une année, une valeur boursière a augmenté chaque mois de 0.5%. Quel est son taux annuel d accroissement? Exercice Une grandeur Q augmente de 0% sur une année: calculer, en pourcentage, le taux mensuel qui donnerait le même accroissement. Exercice 3 Une quantité à triplé en deux ans. a) Quel est son taux d accroissement annuel? b) Quel est son taux d accroissement semestriel? Exercice 4 Une quantité a varié de %,.5%, -0.5% et -% au cours de quatre trimestres consécutifs. a) Calculer le taux de variation annuel de cette quantité. b) Quel est le taux de variation trimestriel moyen? Exercice 5 Un capital a perdu un tiers de sa valeur. augmenter pour retrouver sa valeur initiale? De quel pourcentage devrait-il Exercice 6 N Calculer la somme S N = (0, 75) k pour N =,, 3. À partir de quelle k=0 valeur de N cette somme sera-t-elle supérieure ou égale à 3,75? 9