TS1 - Contrôle n 7 de mathématiques

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1 Ercic TS - Contrôl n 7 d mthémtiqus Un réprtur d vélos chté 0 % d son stock d pnus à un prmir fournissur, 0 % à un duièm t l rst à un troisièm. L prmir fournissur produit 80 % d pnus sns défut, l duièm 95 % t l troisièm 85 %. ) L réprtur prnd u hsrd un pnu d son stock. ) Construir un rr d proilité trduisnt l sitution, t montrr qu l proilité qu c pnu soit sns défut st égl à 0,875. ) Schnt qu l pnu choisi st sns défut, qull st l proilité qu'il provinn du duièm fournissur? On donnr l vlur rrondi du résultt à 0 près. ) L réprtur choisit di pnus u hsrd dns son stock. On suppos qu l stock d pnus st suffismmnt importnt pour ssimilr c choi d di pnus à un tirg vc rmis d di pnus. Qull st l proilité qu'u plus un ds pnus choisis présnt un défut? On donnr l vlur rrondi à 0. ) On not X l vril létoir qui donn l nomr d kilomètrs prcourus pr un pnu, sns crvison. On fit l'hypothès qu X suit un loi ponntill d prmètr λ. On rppll qu pour tout nomr rél k positif: P(X k) = λ 000λ ) Montrr qu P( X 000) = ) ns ctt qustion, tout trc d rchrch, mêm incomplèt, ou d'inititiv, mêm non fructuus, sr pris n compt dns l'évlution. L proilité qu l pnu prcour ntr t 000 kilomètrs sns crvison étnt égl à, détrminr l vlur rrondi à 0 près du prmètr λ. k 0 λ λ d Ercic Qustion d cours Prérquis: positivité t linérité d l'intégrl Soint t du réls d'un intrvll I d Y tls qu. émontrr qu si f t g sont du fonctions continus sur I tlls qu pour tout rél d l'intrvll I, f() g() lors Prti A ) Soit un rél supériur ou égl à. Clculr n fonction d l'intégrl ( ) t dt. f ()d g()d. ) émontrr qu pour tout rél t pprtnnt à l'intrvll [ ; + [, on : t t ) éduir d c qui précèd qu pour tout rél supériur ou égl à, on : + ln ( )

2 Prti B Soit h l fonction défini sur Y pr h() = + j ) dns lqul on trcé ls Sur l grphiqu ci-dssous, l pln st muni d'un rpèr orthogonl (O ; i ; cours rprésnttivs ds fonctions h t logrithm népérin sur l'intrvll [; ]. On trcé églmnt l droit (d) d'éqution =. ) ) émontrr qu h()d = 0. ) Illustrr sur l grphiqu l résultt d l qustion précédnt. ) On not d l domin du pln délimité pr l droit (d) t ls cours rprésnttivs ds fonctions h t logrithm népérin sur l'intrvll [; ]. ) Montrr qu l fonction ln() st un primitiv d l fonction ln() sur ]0 ; + [. ) Clculr l'ir d d n unités d'ir. (d)

3 TS - Corrction du contrôl n 7 d mthémtiqus Ercic ) ) F n désign l'événmnt: «L pnu provint du fournissur n n» désign l'événmnt: «L pnu présnt un défut» On l'rr ci-contr: F 0,8 0, L proilité qu l pnu soit sns défut st égl à: 0, P( ) = P(F ) + P(F ) + P(F ) = P( F ) PF ( ) + P( F ) ( ) ( ) ( ) PF + P F PF = 0, 0,8 + 0, 0,95 + 0, 0,85 = 0,875 0, F 0,95 0,05 ) L proilité qu l pnu provinn du duièm fournissur schnt qu'il st sns défut st égl à: P ( F ) ( ) P ( ) ( ) ( ) P ( ) P F P F PF 0, 0,95 = = = 0,875 = = 0, à 0 près 0, F 0,85 0,5 ) Soit Y l vril létoir égl u nomr d pnus présntnt un défut prmi ls 0 pnus choisis u hsrd. L tirg étnt ssimilé à un tirg vc rmis, l vril létoir Y suit donc un loi inomil d prmètrs n = 0 t p = p() = p( ) = 0,5 L proilité qu'u plus un ds pnus choisis présnt un défut st égl à: 0 0 P(Y ) = P(Y = 0) + p(y = ) = 0,5 0, ,5 0, = 0, ,5 0,875 = 0,69 à 0 près ) ) P( X 000) = P(X 000) P(X ) On in montré qu P( X 000) = = λ λ λ λ λ λ λ d λ d = λ d + λ d = λ d + λ d = λ = λ 000 d 000 λ ( λ λ = = ) λ 000λ λ 000λ ) On doit résoudr l'éqution: P( X 000) = En posnt = = λ 000λ ( ) + = 0 λ λ λ, l'éqution dvint donc: + = 0

4 + = 0 = 0 = Rmrqu: Vu l difficulté d l fctoristion, pour un fois, mêm si on pouvit l'évitr, j n'nlèvri ps d point si vous vz fit l clcul du discriminnt :-) Pr conséqunt, on : λ = Ercic Qustion d cours λ = ln λ = ln ( ) λ = 0,00 à = ln() 0 près Positivité: f st un fonction continu sur un intrvll [; ] (donc vc ) Si f() 0 pour tout [; ] lors ( ) Linérité: f t g sont du fonctions continus sur un intrvll [; ] ( ) + = ( ( ) + ( )) f d g()d f g d Ici, f t g sont du fonctions continus sur I donc sur [; ] On sit qu, pour tout [; ], on f() g() donc f() g() 0 f d 0 Pr conséqunt, d'près l propriété d l positivité, on n déduit qu ( ( ) ( )) t d'près l propriété d l linérité, on n déduit qu f ( ) d ( ) On in montré qu f ( ) d ( ) g d g d 0 f g d 0 Prti A t t dt = t = = ) ( ) = + ( ) ( ) ) Soit u l fonction défini sur [ ; + [ pr u(t) = t t t t t + t = = = t t t t Rmrqu: Allz, prc qu j suis gntill, ps d point n moins si vous vz clculé... C'st in prc qu c'st l drnir S d l'nné... :-) Pour tout t [ ; + [, on : t > 0 t (t ) 0

5 On n déduit donc qu u(t) 0, soit t t On in montré qu t t pour tout t [ ; + [ ) étnt supériur ou égl à t ls fonctions t t t t t étnt continus sur [ ; + [, on put donc ppliqur l qustion d cours à l'inéglité démontré à l qustion ) On donc: ( t) dt dt t + ln ( t) l prmièr intégrl été clculé à l qustion ) + ln ( ) ln ( ) + ln ( ) On in montré qu pour tout supériur ou égl à, on + ln ( ) Prti B ) ) ( ) h d = + d = + 6 On in montré qu ( ) 6 = + + = = + + = = + = h d = 0 ) L'ir colorié n roug u dssus d l' ds scisss st égl à l'ir colorié n roug n dssous d l' ds scisss. ) Soit v l fonction défini sur ]0 ; + [ pr v() = ln() v'() = ln() + v'() = ln() + v'() = ln() Pr conséqunt, l fonction v st in un primitiv d l fonction ln() ( ) ) L'ir du domin d st égl à ( ) ( ) ln() h() pour tout [; ] ln h d cr nous vons montré dns l prti A qu ln d h d = ln d 0 = ln ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) Pr conséqunt, on : = ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ln ln = ln 0 + = 8ln =,55 u à 0 près

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