Commande en boucle fermée et par retour d état de l'alunissage de Lunar Lander

Transcription

1 Polytch'Nic-Sophi, Cours Comm pr Oritur, séc 4 J-Pul Stromboi, SI4 SAR t VIM t MAM4 VIM Comm boucl frmé t pr rtour étt l'luissg Lur Lr Cotu u cours :. Pricip l comm pr rtour 'étt. Efft l iscrétistio sur ls vlurs proprs 3. Rprouir l tmps répos u vlur propr réll 4. Rprouir l tmps croismt ux vlurs proprs complxs cojugués 5. Comm pr rtour étt l vitss Lur Lr 6. Comprisos ux rtours étt pour l luissg * ocumt 7/3/3 Pg

2 Pricip l comm pr rtour étt À tout istt, l vctur comm st clculé à prtir l vlur u vctur étt rtouré pr ls cpturs, t u vctur étt ésiré, ou cosig. Soit l équtio étt : X A X B U Voici l loi comm pr rtour étt : U K ( C X ) C st l cosig, ou référc, l comm C X st l rrur comm K st l mtric comm ou gi u rtour étt il s git u systèm boucl frmé, loi comméqutio étt, ou cor u cotr réctio (fbck) 7/3/3 pg

3 7/3/3 Pg 3 Formultio u rtour 'étt pour Lur Lr ( ) / lu y x g B X A U B X A X ( ) ( ) y x X C K A - B K st l mtric étt u systèm bouclé B K st l mtric comm K st u mtric ( ligs, 4 colos) Qustio : commt clculr K? (3) / ) ( lu g B KC B X K B A X

4 Clcul K pr plcmt s vlurs proprs l mtric étt u systèm bouclé (pol mppig) Ls vlurs proprs v l mtric étt, ou pôls l foctio trsfrt, ou cor rcis u polyôm crctéristiqu, étrmit tièrmt l comportmt ymiqu u procssus ou u systèm tmps iscrt: Stbilité ou istbilité ( v <, vlur propr stbl u ss EBSB) Rpiité t tmps répos (R(v) ptit, vlur propr rpi ) Régim trsitoir : Apérioiqu (v réll) oscillt (vlurs proprs complxs cojugués) répos pil (vlurs proprs ulls) O clcul K mièr à imposr (à plcr) ls vlurs proprs l mtric A -B K 7/3/3 Pg 4

5 Efft l iscrétistio sur ls vlurs proprs Propriété à vérifir : soit u procssus tmps cotiu mtric étt A, qu l o iscrétis vc l pério échtillog T. Soit A, l mtric étt u procssus iscrétisé. O émotr : A I AT A T... A T!... E coséquc, tout vlur propr v l mtric A o pr iscrétistio l vlur propr v A, vc : v AT vt O vérifi mitt c résultt qu o utilis pour rprouir l comportmt ymiqu : D u vlur propr v réll D u pir vlurs proprs complxs cojugués : v, v* 7/3/3 Pg 5

6 Rprouctio u comportmt périoiqu u vlur propr réll impost u tmps répos vlt 3/ s& s( t) s( t) p t s() rci équtio crctéristiqu s( tr5 %).5s() tr5% 3/ u vlur propr p -, Hz s z T s s( kt ) k k T s k rci équtio crctéristiqu vlur propr zxp(-*t), Hz, T/5s kt.8.8 obsrvtio.6.4 obsrvtio tmps t (s) Qull st l rltio tr z t p? T z tmps t (s) 7/3/3 Pg 6 T p

7 Rprouctio u comportmt iicil siusoïl morti ux vlurs proprs complxs cojugués && s( t) mω s& ( t) ω s( t) ω ( t), < m < ( T p z mωt ± i m ω p, p ) m ± i m ( z, z ω ω ) p ( ( z z z z ) s ( z z) s z zs ) mω p ω, < m < T.4 m.77, wr/s.4 m.77, wr/s, T/5s. t c. obsrvtio.8.6 t r5% obsrvtio tmps t (s) tmps t (s) 7/3/3 Pg 7

8 Efft l'mortissmt réuit m t l pulstio propr ω sur l tmps répos à 5% ( bsciss, o port t/ ω t o t) ( p, p) mω ± iω m, < m < ( p, p ) mω ± ω m, m 3 Amplitu Stp Rspos m m m m m Tim (sc.) 7/3/3 Pg 8 m tr5%

9 t r5 ω Abqu % foctio l mortissmt réuit m trcé pr Scilb (otr qu u miimum, o tc 3.4/w) tcw*3.4s 7/3/3 Pg 9

10 Plcmt s pôls (vlurs proprs) vc Scilb L foctio ppol Scilb clcul l mtric K tll qu ls vlurs proprs l mtric A -B K sot clls u vctur vp[v,v,v3,v4] imposé. Rstrictio ppol : o oit ppliqur ppol séprémt pour ls trés comm Lur Lr. E fit K[Kh,,;,,Kv] vc Khppol((:,:), b(:,), vz(:)); Kvppol((3:4,3:4), b(3:4,), vz(3:4)); Applictio à l comm vitss Lur Lr Applictio à l comm l vitss Lur Lr (vc Mtlb t l foctio plc (équivlt ppol Scilb) 7/3/3 Pg

11 7/3/3 Pg Applictio à l comm vitss Lur Lr (sisir v u clvir pour c mo cotrôl) Ls équtios à cosiérr éjà vus : L iscrétistio o : L loi comm st vc L mtric étt st : Dux vlurs proprs : Exmpl : fixr s vlurs proprs ulls : lu y x g y x && && Bu g y x V y x V lu y x / && && & & & Bu T V V ( ) V K c u k k K T k T k BK A T k k { }, k T k T

12 Clcul l comm vitss Lur Lr vc ux vlurs proprs ulls (répos pil uré T) Pour clculr l gi K u rtour étt ot l répos pil, Mtlb utilis l foctio plc(.) cr il y plusiurs trés comms. L foctio ltiviw Mtlb clcul l rtour à l'équilibr puis l'étt x. mvi 6839; mful86.5; m mvi mful v45; rg v/m; T.4; Azros(); B[rg,;,rg]; Cy(); llss(a,b,c,); llc(ll,t); gt(ll,'') bgt(ll,'b') % spécifictio s vlurs proprs vcpol[ ] Kplc(,b,vcpol); % o k 4.53, k 4.53 x[;]; sbfss(-b*k, b*k, C,, T); ltiviw('iitil',sbf,x) mxcommx(k) % o mxcom4.53 vx vy.5 rtour à l'équilibr puis x, vlur propr pério échtillog (T.4 s) rtour à l'équilibr puis x, vlur propr pério échtillog (T.4 s) 7/3/3 Pg

13 Clcul l comm vitss Lur Lr vc ux vlurs proprs rélls t o ulls :.5 t.75 mvi 6839; mful86.5; m mvi mful v45; % vitss éjctio gz rg v/m; T.4; Azros(); B[rg,;,rg]; Cy(); llss(a,b,c,); llc(ll,t); gt(ll,'') bgt(ll,'b') % choix s vlurs proprs vcpol[.5,.75] Kplc(,b,vcpol); % o k.7, k.63 x[; ]; iitil(ss(-b*k,b*k,c,,t),x) mxcommx(k) % mxcom.7 x x pério échtillog (T.4 s) rtour à l'équilibr puis x, vlur propr.75 7/3/3 Pg rtour à l'équilibr puis x, vlur propr pério échtillog (T.4 s)

14 Comm vitss LL vc ux vlurs proprs complxs cojugués (msqrt()/, wr/s) %% vlurs proprs complxs coj.. mvi 6839; mful86.5; m mvi mful v45; rg v/m; T.4; Azros(); B[rg,;,rg];.8 Cy(,); llss(a,b,c,);.6 llc(ll,t); gt(ll,'') bgt(ll,'b').4 % clcul s vlurs proprs pol[-i, --i]*sqrt()/. vcpolxp(t*pol) Kplc(,b,vcpol); % x[;-]; iitil(ss(-b*k,b*k,c,,t),x) -. mxcommx(k) % mxcom vitss horizotl (m/s) vlurs proprs complxs cojugués, msqrt()/, ω r/s tmps (sc) 7/3/3 Pg 4

15 Aluissg vc s vlurs proprs rélls, sur ls ux xs horizotl t vrticl, t tr5%4s Sisir u clvir pour l mo rtour étt, L fichir Kr.txt cotit 8 vlurs :.33,.,.,.,.,.,.33,. O impos qutr vlurs proprs rélls, t tr5%4s 7/3/3 Pg 5

16 Aluissg vc s vlurs proprs complxs cojugués, sur ls xs horizotl t vrticl, msqrt()/ t tr5%4s Scilb trouvé l mtric K suivt :.88 K Il y 8 vlurs s l fichir Kr.txt, Ls vlurs proprs sot s pirs complxs cojugués vc tr5%4s, w r/s t msqrt()/ Vérifir : l tmps croismt tc vut 4.6s qu tr5% vut 4s 7/3/3 Pg 6