L algorithme du Simplexe

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Marie Laframboise
il y a 6 ans
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1 LPSIL Année TD MathOpt - Feuille - Correction L algorithme du Simplexe. Correction de l exercice (a) i. Oui réalisable ii. Non (valeur négative) iii. Non (contrainte non vérifiée) (b) Non (par exemple, (, 0, 0) est meilleur). Correction de l exercice (a) Réalisable mais non de base (b) Réalisable et de base (c) De base mais non réalisable (d) De base mais non réalisable (e) De base mais non réalisable (f) Ni réalisable ni de base (g) Réalisable mais non de base (il y a trois équations vérifées mais elles ne sont pas indépendantes, en effet x + x x = 6 est la somme de x + x x = 8 et 4x + x x = ). Correction de l exercice () Maximize x + x + 4x Sous les conditions: x + x + x 4 x + x x + x + x 7 x, x, x 0 On introduit les variables d écart et on écrit le dictionnaire: Si x entre en base x 4 = 4 x x x x = x x x 6 = 7 x x x 7 z = x + x + 4x On choisit de faire entrer x qui a le plus fort cœfficient à la place de x qui correspond à l équation avec la contrainte la plus forte sur x. Le dictionnaire se réécrit :

2 Si x entre en base x = x x x 4 = + x x + x x 6 = x + x z = 0 + x + x 4 x On choisit de faire entrer x qui a le plus fort cœfficient à la place de x 4 qui correspond à l équation avec la contrainte la plus forte sur x. Le dictionnaire se réécrit : Si x entre en base x = + x x 4 + x x = x x x 6 = 4 x + x 4 + x 4 z = x x 4 + x On choisit de faire entrer x qui a le plus fort cœfficient à la place de x qui correspond à l équation avec la contrainte la plus forte sur x. Le dictionnaire se réécrit : x = x x x = x x 4 + x x 6 = + x + x 4 + x z = x x 4 Toutes les variables dans l expression de z ont des cœfficients négatifs : z est optimal avec comme solution x =, x = et x = 0. Remarque : On peut faire d autres itérations (pas dans ce cours car on vous demande d appliquer la règle du plus fort cœfficient) en choisissant de faire entrer x d abord. On trouve la solution après avoir écrit les deux dictionnaires suivants : x = x x x 4 = x x + x x 6 = x + x z = + x x x x = x x x = x x 4 + x x 6 = + x + x 4 + x z = x x 4 Enfin, si on fait entrer la variable x, on obtient directement le dictionnaire : x = 4 x x x 4 x = x x x 6 = x x + x 4 z = x x 4

3 4. Correction de l exercice 4 On définit les variables d écart et on obtient le premier dictionnaire : x 4 = 0 x x + x x = 0 x + x x x 6 = 0 x + x x z = x + x x La variable x a le plus grand coefficient positif, c est donc elle qui entre en base. La contrainte x 4 0 est celle qui borne le plus la croissance de x, elle limite en effet l augmentation de x à alors que les contraintes x 0 et x 6 0 ne bornent pas la croissance de x. C est donc x qui quitte la base et après avoir effectué le pivot, on obtient le dictionnaire : x = x + x x 4 x = 0 x x 4 x 6 = 4x + x x 4 z = x + x x 4 La variable x entre en base et on remarque qu aucune variable n est candidate pour quitter la base, puisqu aucune des variables de base (x, x et x 6 ) n impose une borne supérieure sur la croissance de x. Cela signifie que le problème est non borné.. Correction de l exercice a. Première phase. On définit et on résout le problème auxiliaire : Maximiser x 0 Sous les contraintes : x x x 0 x x x 0 x + x x 0 4 x, x, x 0 0 On introduit les variables d écart et on obtient le premier dictionnaire : () x = x + x + x 0 x 4 = + x + x + x 0 x = 4 x x + x 0 Ce dictionnaire n est pas réalisable, puisque la solution de base associée (x 0 = x = x = 0, x =, x 4 = et x = 4) viole les contraintes de positivité des variables pour x et x 4. On va donc rendre ce dictionnaire réalisable en effectuant un pivot : x 0 entre en base et la variable d écart violant le plus la contrainte de positivité (x 4 car < ) quitte la base. Remarque : Cette manière de choisir la variable quittant la base n est employée que dans ce cas précis où l on désire rendre le premier dictionnaire du problème auxiliaire réalisable. Une fois que le dictionnaire est réalisable, on effectue l algorithme du simplexe.

4 Après avoir pivoté x 0 et x 4, on obtient le dictionnaire réalisable : x 0 = x x + x 4 x = x + x 4 x = 7 x x + x 4 w = + x + x x 4 Deux variables, x et x, sont candidates pour entrer en base. On choisit x. x sort de la base car elle borne le plus la croissance de x. En effet, x 0 0 x, x 0 x et x 0 x 7. On obtient le dictionnaire suivant : x = x + x 4 x 0 = x + x + x 4 x = 4 x + x x 4 w = + x x x 4 On peut noter que deux variables sont candidates pour quitter la base, x 0 et x, puisqu elles limitent toutes deux la croissance de x à, mais on choisit toujours, dans ce cas, x 0, c est une r On a alors : x = + x + x 4 x 0 x = x + x 4 x = x x 4 + x 0 On peut noter que la solution de base associée à ce dictionnaire est dégénérée. Ce dictionnaire est optimal. Puisque la valeur optimale du problème auxiliaire est nulle, ce dictionnaire fournit une solution réalisable du problème originel (x = et x = ). De plus, ce dictionnaire donne un dictionnaire réalisable pour le problème originel, il suffit en effet de recopier les trois premières lignes en oubliant tous les termes impliquant x 0 et d exprimer la fonction objectif originelle z en fonction des variables hors base x, x 4. z = x + x = ( x + x 4) + + x + x 4 = x + x 4 Deuxième phase. On résout maintenant le problème originel, en appliquant l algorithme du simplexe sur le dictionnaire réalisable obtenu lors de la première phase. x = + x + x 4 x = x + x 4 x = x x 4 0 z = x + x 4 x 4 entre en base, x sort de la base. L itération est dégénérée (z n augmente pas). On obtient : x = + x x x = x x x 4 = x x z = x 4 x Les coefficients de la fonction objectif sont tous négatifs, on a donc fini et la solution optimale est x =, x =. 4

5 b. Première phase. On définit et on résout le problème auxiliaire : Maximiser x 0 Sous les contraintes : x x x 0 x x x 0 x + x x 0 x, x, x 0 0 () On introduit les variables d écart et on obtient le premier dictionnaire : x = x + x + x 0 x 4 = + x + x + x 0 x = x x + x 0 Ce dictionnaire n est pas réalisable, on pivote x 0 et x 4 pour le rendre réalisable. x 0 = x x + x 4 x = x + x 4 x = x x + x 4 w = + x + x x 4 x entre en base. x 0 0 x, x 0 x et x 0 x. C est donc x qui quitte la base. On obtient le dictionnaire : x entre en base, x sort de la base. x entre en base, x sort de la base : x = x + x 4 x 0 = x + x + x 4 x = x + x x 4 w = + x x x 4 x 0 = 4 x + 4 x 4 + x 4 x = x + x 4 x = + 4 x 4 x 4 x w = + 4 x 4 x 4 x x 0 = + x + x 4 + x x = x + x 4 x x = x + x 4 w = x x 4 x Les coefficients de w étant tous négatifs, l algorithme est fini et la solution optimale du problème auxiliaire est x = 0, x =, x 0 = et w =. Le problème originel est donc non réalisable (se reporter au cours).

6 c. Première phase. On définit et on résout le problème auxiliaire : Maximiser x 0 Sous les contraintes : x x x 0 x x x 0 x x x 0 x, x, x 0 0 On introduit les variables d écart et on obtient le premier dictionnaire : () x = x + x + x 0 x 4 = + x + x + x 0 x = x + x + x 0 On pivote x 0 et x 4 pour rendre ce dictionnaire réalisable. On obtient ainsi : x 0 = x x + x 4 x = x + x 4 x = x + x 4 w = + x + x x 4 On choisit d entrer x en base. x 0 0 x, x 0 x et x 0 x. C est donc x qui quitte la base. On obtient le dictionnaire : x entre en base, x 0 sort de la base. x = x + x 4 x 0 = x + x + x 4 x = + x x 4 w = + x x x 4 x = + x + x 4 x 0 x = x + x 4 x = + x x 4 On a résolu le problème auxiliaire et en supprimant tous les termes relatifs à x 0, on a un dictionnaire réalisable pour le problème d origine. Il suffit maintenant d écrire la fonction objectif z du problème originel dans ce dictionnaire : z = x + x = ( x + x 4) + + x + x 4 = x + x 4 Deuxième phase. On résout maintenant le problème originel, en appliquant l algorithme du simplexe sur le dictionnaire réalisable obtenu lors de la première phase. x = + x + x 4 x = x + x 4 x = + x x 4 4 z = x + x 4 6

7 x 4 entre en base, x sort de la base. On obtient : x = 4 + x x x = + x x x 4 = 4 + x x z = + x 4x On choisit d entrer x en base et on constate qu aucune variable n est candidate pour quitter la base, car aucune contrainte ne limite la croissance de la variable x. Cela signifie donc que le problème est non borné. 7

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