Double fentes et réseaux

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1 Chapitre 8 Double fentes et réseaux 8.1 Fentes d Young Dans tout ce paragraphe, nous étudions la diffraction de Fraunhofer par une ouverture constituée de deux fentes (F 1 ) et (F 2 ) parallèles, fines, de largeur e selon u x, et longues, de longueur b selon u y, dont les centres O 1 et O 2 sont distants de a Cas d une source ponctuelle Calcul de l éclairement Le dispositif étudié est représenté sur la figure ci-dessous. La source ponctuelle émet une onde plane dont la direction u située dans le plan xoz, fait avec Oz un angle θ. On observe en un point M à l infini dans la direction u située dans le plan de figure xoz, et faisant avec Oz un angle θ. L amplitude complexe diffractée en M est donnée par l expression du principe de Huygens-Fresnel avec α = u u x = sin θ θ et α = u u x = sin θ θ : a(m) = KA 0 exp(ik 0 (SOM)) exp ( ik 0 (θ θ)x ) dx (F 1 ) (F 2 ) Les fentes étant disjointes, l intégrale est additive : a(m) = a 1 (M) + a 2 (M) avec a i (M) = KA 0 exp(ik 0 (SOM)) exp ( ik 0 (θ θ)x ) dx F i 1

2 2 CHAPITRE 8. DOUBLE FENTES ET RÉSEAUX Ainsi tout se passe comme si chaque fente émettait une onde, les ondes émises étant cohérentes. Le choix de l origine O est sans influence sur le résultat du calcul des amplitudes. Choisissons donc O 1 comme origine pour le calcul de a 1 et O 2 pour le calcul de a 2. +e/2 a i (M) = KA 0 exp(ik 0 (SO i M)) e/2 exp(ik 0 (θ θ)x)dx ( π(θ ) θ)e = KA 0 e exp( i k 0 (SO i M))sinc Après factorisation des termes communs, l amplitude totale diffractée s écrit : ( π(θ ) θ)e a(m) = KA 0 e sinc [exp ( ik 0 (SO 1 M)) + exp ( ik 0 (SO 2 M))] La différence de marche δ = (SO 2 M) (SO 1 M) apparaît sur la figure en traçant les plans d ondes : δ = (O 2 H 2 ) (O 1 H 1 ) = O 2 H 2 H 1 O 1 = a sin θ a sin θ = a(θ θ) D où : exp ( ik 0 (SO 1 M)) + exp ( ik 0 (SO 2 M)) = exp ( ik 0 (SO 1 M)) [1 + exp(ik 0 δ)] = exp ( ik 0 (SO 1 M)) [ 1 + exp ( ik 0 a(θ θ) )] En définitive, l amplitude complexe reçue en M s écrit : ( π(θ ) θ)e [1 ( a(m) = KA 0 e exp ( ik 0 (SO 1 M)) sinc + exp ik0 a(θ θ) )] Et en prenant le carré du module, nous obtenons l éclairement : ( π(θ I(M) = K 2 A 2 0e 2 sinc 2 ) [ ( θ)e 2πa(θ )] θ) cos Cette expression peut se mettre sous la forme : ( 2πa(θ ) θ) I(M) = I 0 (M) R(M) avec R(M) = cos où I 0 (M) est l éclairement qui serait diffractée par une seule des deux fentes, et où I(M) est la fonction d interférences à deux ondes, correspondant aux deux ondes d amplitudes a 1 et a 2, fictivement émises par les centres O 1 et O 2 des deux fentes d Young.

3 8.1. FENTES D YOUNG 3 Contenu physique Avec e << a, la fonction de diffraction joue le rôle d enveloppe de la fonction d interférences. En pratique, l éclairement en dehors de la frange centrale de diffraction est négligeable, et on observe des franges d interférences équidistantes de l interfrange angulaire δθ = /a dans la frange centrale de diffraction de demi-largeur angulaire θ = /e. Ainsi, la diffraction joue ici un rôle favorable sur la largeur du champ d interférences Cas d une fente source de largeur ɛ La source est ici une fente S de largeur ɛ, parallèle à u y dont le centre est confondu avec le foyer-objet de la lentille mince (L 1 ). Nous supposons ici les fentes diffractantes infiniment fines, de telle sorte que la diffraction est isotrope dans les plans y = constante. Comme, en l absence de diffraction dans la direction u y, l éclairement en un point M de l écran est créé exclusivement par le segment S 1 S 2 des points de la fente source qui ont même ordonnée que M. Découpons le segment S 1 S 2 en éléments de longueur dx S centrés sur le point courant S d abscisse x S. Avec θ = x S /f 1, la contribution de dx S à l éclairement en M vaut : di(m) = I 0 ɛ dx S [ cos ( 2πa(θ )] θ) Les différentes sources quasi-ponctuelles S sont distinctes, donc incohérentes ; leurs éclairements en M sont donc additifs : +ɛ/2 [ ( I 0 2πa(θ )] I(M) = ɛ dx θ) S cos ɛ/2 L intégrale se calcule aisément : I(M) = I 0 + I 0 ɛ [ λ0 f 1 ( 2πa(θ 2πa sin + x S /f 1 )] +ɛ/2 ɛ/2 Soit : [ I(M) = I f 1 ( 2πa(θ 2πaɛ sin + ɛ/2f 1 ) f ( 1 2πa(θ 2πaɛ sin ɛ/2f 1 ) )] Puis en factorisant les sinus : [ I(M) = I f 1 ( ) ( πɛa 2πaθ )] πaɛ sin f 1 cos

4 4 CHAPITRE 8. DOUBLE FENTES ET RÉSEAUX En faisant apparaître le sinus-cardinal, il vient : ( 2πaθ )] I(M) = I 0 [1 + V cos avec ( ) πɛa V = sinc f 1 V est ici une constante, de telle sorte que l éclairement évolue entre I max = I 0 (1 + V ) et I min = I 0 (1 V ). Le facteur de contraste est alors égal à C = V. Il s annulle pour : πɛa f 0 = nπ avec n entier soit ɛ = f 1 a Ainsi les franges se brouillent périodiquement et le premier brouillage a lieu lorsque : ɛ max = f 1 a En pratique, le contraste n est convenable que pour ɛ < ɛ max. Le critère de non brouillage des franges peut-être exprimé à l aide de la variation maximale de l ordre d interférences lorsque S se déplace sur la source étendue : p = [ aθ + Soit au premier brouillage : aɛ 2 f 1 ] [ aθ aɛ 2 f 1 ] = aɛ f 1 p max = aɛ max f 1 = 1 Lorsqu un dispositif interférentiel est éclairé par une source suffisamment étendue, les franges d interférences se brouillent et on obtient un éclairement uniforme. Le critère semi-quantitatif de brouillage que nous avons obtenu est tout à fait général : p max Diffraction par des fentes multiples Réseau Intensité Considérons le cas de N fentes parallèles, infiniment longues suivant Oy et étroites de largeur e, séparées par la distance a, de centre à centre. On

5 8.2. DIFFRACTION PAR DES FENTES MULTIPLES RÉSEAU 5 place l origine des coordonnées au centre de la première fente. On note O i le centre de la ième fente. La source ponctuelle émet une onde plane dont la direction u située dans le plan x0z, fait avec Oz un angle θ. On observe en un point M à l infini dans la direction u située dans le plan de figure xoz, et faisant avec Oz un angle θ. L amplitude complexe diffractée en M est donnée par l expression du principe de Huygens-Fresnel avec α = u u x = sin θ θ et α = u u x = sin θ θ : a(m) = KA 0 exp(ik 0 (SOM)) exp ( ik 0 (u u) OP ) dx Nfentes Le domaine d intégration peut-être scindé en N partie de largeur e correspondants au N traits du réseau : a(m) = KA 0 exp(ik 0 (SOM)) nème fente Soit en introduisant le centre de chaque fente : exp ( ik 0 (u u) OP ) dx a(m) = KA 0 exp(ik 0 (SOM)) exp [ ( ik 0 u u) OO n)] exp ( ik 0 (k k) O n P ) dx nème fente Par périodicité les intégrales dans le terme de droite ont toutes la même valeur : s fente (M) = exp(ik 0 (k k) O n P)dX = esinc π (θ θ) e nème fente La valeur de la somme discrète peut se calculer rapidement sous la forme de la somme d une suite géométrique : exp [ n=0 ( ik 0 u )] u) OO n = exp [ ik 0 ( θ θ ) na ] = exp [ ik 0 (u u) OO n ] = 1 exp [ik 0 N(θ θ)a] 1 exp [ik 0 (θ θ)a] = exp ik0n(θ θ)a 2 exp ik 0(θ θ)a 2 exp [ ik 0 ( θ θ ) a ] n En prenant le module au carré de l amplitude on obtient l intensité au point M : I(M) = K 2 A 2 0e 2 sinc 2 π (θ θ) e sin 2 π(θ θ) sin 2 π(θ θ)a sin π(θ θ) sin π(θ θ)a

6 6 CHAPITRE 8. DOUBLE FENTES ET RÉSEAUX A nouveau, l intensité de la figure de diffraction est modulée par une enveloppe, la fonction : sin 2 π(θ θ) sin 2 π(θ θ)a Celle-ci possède des maxima principaux lorsque (θ θ) = m /a et la valeur de ces maxima vaut N 2. Les minima se produisent pour : (θ θ) = ±, ±2, ±3,..., ±(N 1), ± (N + 1) Entre les minima, il y a un maximum secondaire, donc la position est approximativement : (θ θ) = ± 3 2, ± 5 2, Résolution d un spectromètre à réseau On définit la largeur effective d une raie spectrale comme étant la largeur angulaire entre deux zéros situés de par et d autre d un maxima principal. Pour une direction d incidence donnée, cette largeur est donnée par : θ = 2 C est la largeur angulaire d une raie spectrale due à l élargissement instrumental. On constate que cette largeur est proportionnelle à la dimension du réseau. Un autre paramètre très important est la variation de l angle de diffraction par rapport à la longueur d onde du rayonnement ou dispersion angulaire, définit par : D = dθ dλ Pour les réseaux, cela vaut : D = m a Le pouvoir de résolution spectrale R d un spectromètre à réseau est défini par : λ R = ( λ) min

7 8.2. DIFFRACTION PAR DES FENTES MULTIPLES RÉSEAU 7 où ( λ) min est la plus petite différence de longueurs d onde que l on peut résoudre. En limite de résolution, elle est égale à la distance angulaire entre le maxima et le premier minima, soit : ( θ ) min = Puis en utilisant la dispersion angulaire : D où : ( λ) min = ( θ ) min /D = mn R = mn Le pouvoir de résolution dépend du nombre de traits éclairés et de l ordre dans lequel on observe!