Introduction. Chapitre Définition

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1 Chapitre 1 Introduction Les systèmes de contrôle sont utilisés partout dans la vie courante : dans les automobiles, les fours, la robotique, l aérospatiale, avions, etc... Le contrôle de systèmes est un partie importante des procédés industriels et manufacturiers : pression, vitesse, température, humidité, viscosité, etc... L évolution de ce domaine permet d atteindre des performances de plus en plus optimales et augmente la précision du contrôle de ces systèmes. 1.1 Définition Un système de contrôle est composé d un ensemble de sous-systèmes et procédés assemblés pour contrôler la sortie de procédés. Par exemple, un système simple est un thermomètre qui contrôle la température d une pièce. Avantages Les systèmes de contrôle permettent d atteindre des précisions qui seraient autrement impossible. Ils permettent aussi de faire des opérations à distance. On peut aussi transformer la forme d une entrée (ex : un thermomètre a comme entrée une position, et comme sortie la chaleur). Ils sont aussi utilisés pour compenser lorsqu un système est soumis à des perturbations. 1

2 Historique Parmi les premiers à utiliser du contrôle, il y a les anciens Grecs. On note aussi ici certains travaux importants : Watt : 18e siècle, réglage de la vitesse d une locomotive Minorsky : 1922, Stabilité selon les équations différentielles Nyquist : 1932, Stabilité dans le domaine fréquentiel Huzen : 1934, Servo-mécanismes : Réponse en fréquence 1960 : Variables d état Types de systèmes Comme mentionné plus haut, un système de contrôle produit une sortie ou réponse pour une entrée (ou stimulus) donnée. Deux facteurs font que la sortie est différente de l entrée. On prend l exemple de la figure 1.1 : Amplitude Régime transitoire erreur Sortie Entrée Temps Figure 1.1 Exemple de réponse d un système La sortie ne change pas instantanément ; c est le temps de réponse du système. Pendant ce temps de réponse, le système a un comportement bien particulier : la réponse transitoire. La précision de la réponse détermine l erreur en régime permanent. Dans certains cas, on peut tolérer une erreur en régime permanent non-nulle, alors que dans d autre cas, elle doit être nulle. Gabriel Cormier 2 GELE5313

3 Il y a deux types de système : en boucle ouverte, et en boucle fermée. En boucle ouverte, le système est de la forme donné à la figure 1.2. Perturbation Entrée + + Sortie Contrôleur Procédé Figure 1.2 Système en boucle ouverte Un système en boucle ouverte ne peut pas corriger pour des perturbations. Par contre, en boucle fermée, il y a du feedback entre la sortie et l entrée, comme à la figure 1.3. Perturbation Entrée Sortie Contrôleur Procédé Contrôle Figure 1.3 Système à boucle fermée En boucle fermée, le système permet de corriger pour des perturbations. 1.2 Analyse et objectifs de design Les systèmes de contrôle sont dynamiques : ils répondent à une entrée en ayant une réponse transitoire puis en se stabilisant à une réponse en régime permanent. Il y a trois paramètres importants à considérer lors du design de systèmes de contrôle : la réponse transitoire, réduire l erreur en régime permanent, et la stabilité Réponse transitoire La réponse transitoire est importante. Dans certains cas, il est important d atteindre le régime permanent le plus rapidement possible, tandis que dans d autres cas on ne peut pas osciller. Gabriel Cormier 3 GELE5313

4 Comme exemple : un ascenseur. Lorsqu on monte d étage et que l ascenseur s arrête, la décélération est graduelle. L ascenseur n oscille pas non plus autour de la position finale avant de s arrêter Réponse en régime permanent L erreur en régime permanent est un paramètre important aussi. Un deuxième objectif de design sera de minimiser l erreur en régime permanent. Exemple : Lorsqu un ascenseur s arrête à un étage, on veut que le bas de l ascenseur soit au même niveau que le plancher, et pas 30 cm plus haut (ou plus bas) Stabilité Un bon design des paramètres en régime transitoire et permanent sert à rien si le système n est pas stable. Pour expliquer la stabilité, on commence en premier par le fait que la réponse totale d un système est la somme d une réponse naturelle et une réponse forcée. Réponse totale = Réponse naturelle + Réponse forcée (1.1) La réponse naturelle dépend seulement du système, et pas de l entrée, tandis que la réponse forcée dépend de l entrée. Pour qu un système de contrôle soit utile, la réponse naturelle doit (1) éventuellement devenir zéro ou (2) osciller. Dans certains systèmes, la réponse naturelle augmente sans arrêt au lieu de s atténuer. Éventuellement, la réponse naturelle est beaucoup plus grande que la réponse forcée et le système n est plus contrôlable. Cette condition, l instabilité, peut détruire la composantes physiques du système. On veut donc faire le design d un système stable. Autres considérations Il y a d autre facteurs à considérer lors du design de système de contrôle : Dimensionnement : la taille des composants aura un impact sur le design. Coût : La précision requise du système de contrôle affectera beaucoup les coûts. Même si un système donne un contrôle excellent, des coût exhorbitants peuvent Gabriel Cormier 4 GELE5313

5 dérailler le projet. Robustesse : Le système de contrôle devrait être capable de fonctionner même si les paramètres du système changent. Les changements entre les paramètres et la valeur de sortie ne sont pas nécessairement linéaires, ce qui rend l impact d une variation des paramètres difficile à prévoir. Un système robuste sera mieux en mesure de fonctionner face à ces variations. Par contre, dans le cadre de ce cours, on se limitera au trois paramètres principaux présentés. 1.3 Processus de design : Méthodologie Dans l étude des systèmes de contrôle, on doit être en de mesure de suivre une méthodologie qui permet d arriver à un objectif le plus rapidement possible. Le flot de design est montré à la figure 1.4. Modélisation Simplification Analyse Contrôle Figure 1.4 Méthodologie de design 1. Modélisation du système : Dans tous les cas, afin d étudier un système, on doit être en mesure de modéliser ce système par une série d équation, et ensuite y formuler une fonction de transfert pour chacun des éléments du système. Une bonne connaissance des outils mathématiques est nécessaire pour transformer les fonctions de transfert en formes utiles. Un système de contrôle ne fonctionnera pas correctement si le modèle utilisé est faux. Il faut aussi faire un choix approprié de la technologie : système analogique vs numérique, méthode de contrôle, etc.[ch.2, Ch.10] 2. Réduction et caractérisation : La prochaine étape consiste à réduire l ensemble des sous-systèmes à un système équivalent. L algèbre des blocs et les équations relatives aux systèmes de premier et second ordre sont utilisées ici pour simplifier les calculs. [Ch.3, Ch.4, Ch.8] 3. Analyse du design : On analyse ensuite le système par rapport à certains critères, notamment la stabilité, la réponse transitoire, et l erreur statique. [Ch.5, Ch.6] 4. Contrôle : Il s agit de concevoir les contrôleurs pour obtenir la caractéristique voulue du système. Plusieurs méthodes sont possible, comme l analyse par diagramme de Bode, pour les contrôleurs à avance de phase, retard de phase et avance-retard de phase, ou la technique de Ziegler-Nichols, pour les contrôleurs P, PI, et PID. [Ch.7 et Ch.9] Gabriel Cormier 5 GELE5313

6 1.4 Méthodes de commande Il existe plusieurs méthodes pour faire le contrôle des systèmes. Certaines méthodes sont plus performantes, mais aussi plus coûteuses à implémenter. En ordre de complexité, les méthodes de commandes sont présentées à la figure 1.5. Empirique Essai-erreur Observation Classique Temps Fréquence Retour d état Commande avancée Adaptative Directe Indirecte Non-linéaire Adaptative Non-adaptative Intelligente Logique floue Réseau de neurones Algorithme génétique Figure 1.5 Méthodologie de commande des systèmes Les méthodes empiriques sont les pires méthodes à utiliser : il y a risque de briser le système en essayant de trouver la loi de commande appropriée. On se limitera dans ce cours aux méthodes classiques analogiques. L asservissement n est pas limité aux systèmes mécaniques ; on peut aussi faire de l asservissement sur les systèmes vivants. Comme exemple, les vaches : l entrée est la nourriture, et le produit est le lait. Un autre exemple est la croissance d algues marines pour la production de bio-diésel ; le système asservit peut modifier la quantité de nourriture fournie aux algues en mesurant la production de CO 2. Dans le design, on peut parfois sauter l étape de simulation et passer directement à l implantation pour les petits systèmes, sans danger de perte d argent ou de vie. L intérêt de la simulation se manifeste sous plusieurs formes. 1. La simulation peut être utilisée pour fins d apprentissage et d enseignement 2. L expérimentation du système réel peut être très coûteuse, dangereuse, demander beaucoup de temps, impossible, ou moralement inacceptable (ex : médical, nucléaire). 3. Permet d étudier la sensibilité du système aux changements de paramètres, de la structure du système ou de la commande. 4. La récolte de données sur le comportement du système peut être plus facile. Gabriel Cormier 6 GELE5313

7 1.5 Exemple : Régulateur de vitesse automobile Pour illustrer les avantages des systèmes de contrôle, on prend l exemple des régulateurs de vitesse dans les automobiles (cruise control). Le système de contrôle simplifié est montré à la figure 1.6. Route (pente) Accélérateur Contrôleur Actionneur Vitesse?? Moteur Automobile actuelle Capteur Tachymètre Bruit de mesure Figure 1.6 Système de régulation de vitesse automobile simplifié Pour faire une analyse quantitative de ce système, il faut définir le modèle du système. Le modèle n est autre que la fonction mathématique qui relie les différentes variables du système. Pour simplifier l analyse, on suppose que le système est linéaire et représenté par la figure 1.7. w : pente de la route 0.5 r Vitesse de référence u + Régulateur 10 y : vitesse (km/h) Figure 1.7 Système de régulation de vitesse automobile en boucle ouverte Si le régulateur est un simple gain de 1/10, la sortie est donnée par : ( ) r y = 10(u 0.5w) = w (1.2) = r 5w (1.3) Gabriel Cormier 7 GELE5313

8 On peut calculer la sortie du système pour différentes entrées, comme au tableau 1.1. On voit bien que l erreur est nulle lorsque la pente est nulle, mais aussitôt que la pente augmente, une erreur apparait. L erreur augmente plus la pente augmente. Tableau 1.1 Erreurs pour différentes entrées pour le système de régulation de vitesse Pente w Référence r (km/h) Sortie y (km/h) Erreur Erreur (%) (1%) % 2 (2%) % Le résultat dépend du gain 1/10 du régulateur. Ce gain est égal à l inverse du gain du système. En pratique, la connaissance du gain exact du système peut être difficile à déterminer. De plus, le gain peut être sujet à des changements. Donc s il y a erreur dans la détermination du gain K, il y aura aussi erreur à la sortie. Pour réduire cette erreur, on ajoute du feedback au système. Le système en boucle fermée est montré à la figure 1.8 w 0.5 r + u y Figure 1.8 Système de régulation de vitesse automobile en boucle fermée La sortie est calculée selon : y = 10(u 0.5w) (1.4) u = 100(r y) (1.5) En combinant ces équations, on obtient : y = 1000r 1000y 5w (1.6) ce qui donne : y = 0.999r 0.005w (1.7) Gabriel Cormier 8 GELE5313

9 Tableau 1.2 Erreurs pour différentes entrées pour le système de régulation de vitesse en boucle fermée Pente w Référence r (km/h) Sortie y (km/h) Erreur Erreur (%) % 1 (1%) % 2 (2%) % 10 (10%) % Si on applique maintenant différentes pentes au système, avec la même entrée de référence, on obtient les résultats du tableau 1.2. On voit bien, dans le tableau 1.2, que l erreur augmente de façon beaucoup moins significative avec le système en boucle fermée. L erreur est beaucoup plus petite en boucle fermée pour la même vitesse de référence et la même pente. Un gain plus élevé réduira cette erreur encore plus. Cependant, il y a une erreur avec une pente nulle : on a amélioré l erreur de façon globale, mais au détriment d un peu de précision. Gabriel Cormier 9 GELE5313