Phénomène d induction

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1 Execces du chapte I2 Langevn-Wallon, PTI Phénomène d nducton Execce 1 : gne du couant ndut Execces [ ] Dans chacun des ccuts c-dessous, la spe cculae et/ou l amant dot sont déplacés dans le sens ndqué pa la double flèche. Indque le sgne du couant appaassant dans la spe pendant le déplacement = = Execce 2 : pe en otaton Ω B θ B 2 - Détemne le moment magnétque nstantané de la spe. [ ] Consdéons une spe conductce cculae de suface et de ésstance électque. Cette spe est mse en otaton à la vtesse angulae Ω = θ constante autou d un de ses damètes, qu défnt l axe, vo les fgues en pespectve et vue de dessus c-conte. Elle est placée dans un champ magnétque unfome et statonnae B othogonal à. 1 - Établ l expesson de la f.é.m. ndute dans la spe. En dédue celle du couant ndut dans la spe. 3 - En dédue le couple de Laplace nstantané pus moyen qu s exece su la spe. Quel est qualtatvement son effet su le mouvement de la spe? Auat-on pu le pévo sans calcul? Execce 3 : Plaque de cusson à nducton [ ] Le chauffage du fond métallque des casseoles et autes poêles de cusson peut ête éalsé pa effet Joule des couants nduts dectement dans le fond de la casseole pa un champ magnétque vaable, les couants de Foucault. Logé dans une table suppot en céamque, un bobnage almenté en couant snusoïdal, appelé nducteu, génèe ce champ. L nducteu a un ayon de 5 cm et compte vngt spes de cuve de ésstance électque 1 = 18 mω et d auto-nductance L 1 = 30 µh. Il est almenté pa une tenson hamonque v 1 de pulsaton ω. Du pont de vue électomagnétque, on modélse le fond de casseole pa une spe cculae unque, femée su elle-même, appelée ndut. L ndut a une ésstance 2 = 8,3 mω et une auto-nductance L 2 = 0,24 µh. Le tansfet d énege électque s effectue pa couplage nductf ente l nducteu et l ndut d nductance mutuelle M = 2 µh. 1 - En s appuyant su un schéma électque équvalent, établ les équatons électques elatves aux deux ccuts. 2 - En dédue l expesson lttéale de la foncton de tansfet H = I 2 /I En dédue l mpédance d entée Z e = V 1 /I 1 du système. 4 - La pulsaton ω est chose ben plus gande que 1 /L 1 et 2 /L 2. mplfe les deux expessons pécédentes et calcule numéquement leu module. 5 - On soulève la casseole. Indque qualtatvement comment vae l ampltude du couant appelé pa l nducteu. 1/2 Étenne Thbege, 30 ma 2017,

2 Execces I2 : Phénomène d nducton Langevn-Wallon, PTI Execce 4 : Mesue d une nductance mutuelle e 0 u 1 (t) L1 M L 2 u 2 (t) [ ] Le montage c-conte pemet de mesue le coeffcent d nductance mutuelle ente deux bobnes. Les deux bobnes se font face comme su la fgue. La pemèe bobne est montée en sée avec une ésstance = 100 Ω et un généateu de tenson e 0 hamonque de féquence f = 2,0 khz. Les tensons u 1 et u 2 sont mesuées gâce à un osclloscope supposé déal, c est-à-de de ésstance d entée nfne. 1 - Quelle est l ntensté cculant dans la bobne 2? D apès la lo de compotement habtuelle de la bobne, que vaudat alos la tenson u 2? Pouquo cette lo n est elle pas applcable telle quelle c? 2 - Expme la tenson u 2 en foncton de M et u Calcule M sachant que les tensons lues à l osclloscope ont des ampltudes U 1 = 3,00 V et U 2 = 0,50 V. 4 - On fat toune la bobne su elle-même dans le plan de la pallasse. Indque sans calcul comment est modfée la valeu de M losque l angle de otaton vaut 180? 90? Même queston s l on algne les axes des deux bobnes. Execce 5 : Peut-on néglge l auto-nducton? n [ ] Comme ndqué en cous, on fat tès souvent l appoxmaton de néglge l auto-nducton dans les ccuts ne compotant aucun bobnage. On s ntéesse dans cet execce à la valdté de cette appoxmaton pou un ccut a po quelconque schématsé c-conte, d autonductance L. Le schéma ne péjuge pas de la pésence ou non de bobnages. Le ccut, de suface totale et de ésstance, est plongé dans un champ magnétque extéeu B ext = B 0 cos ωt n. 1 - Commençons pa ne pende en compte que la f.é.m. ndute pa le champ B ext. Calcule son flux au taves du ccut, et en dédue le schéma électque équvalent. Que vaut l ntensté? 2 - Consdéons en plus le phénomène d auto-nducton. Expme le flux magnétque au taves du ccut et epésente le schéma électque équvalent. Établ l équaton dfféentelle véfée pa. 3 - Passons mantenant en notaton complexe. Expme le appot H = E L / E ext des ampltudes de la f.é.m. auto-ndute et de la f.é.m. ndute pa le champ extéeu. En dédue à quelle condton su la pulsaton la f.é.m. auto-ndute est néglgeable. 4 - Pou fxe les dées, calcule numéquement la pulsaton et la féquence caactéstques avec des valeus de et L utlsées habtuellement en TP d électonque. Quel ésultat connu etouve-t-on? 5 - En poposant des odes de gandeu asonnables, efae le même calcul pou un ccut de même ésstance mas à une seule «spe» composée d un fl de cuve de TP. L nductance d un ccut cculae de damète D est donnée pa D L = µ 0 (ln 8Dd ) 2 2 où d est le damète du fl de cuve. Est-l légtme de néglge l nductance du ccut? Annale de concous Execce 6 : Pncpe de fonctonnement d un généateu synchone y z x m 0 a x [oal CCP, ] Un amant de moment magnétque m 0 est placé dans le plan (Oxy). Un système mécanque le met en otaton à vtesse angulae ω constante autou de l axe (Oz). Une spe cculae de ayon a et de ésstance est placée su l axe (Ox) à dstance x a. Donnée : en coodonnées polaes d axe colnéae à m, un moment magnétque m placé à l ogne cée en un pont M quelconque un champ magnétque B(M) = µ 0 m 4π 3 (2 cos θ u + sn θ u θ ) 1 - Détemne l ntensté du couant ndut dans la spe. En dédue la pussance électque qu elle eçot. 2 - Expme le couple magnétque sub pa l amant 3 - Quel pussance le système mécanque dot-l foun à l amant pou manten la vtesse constante? Conclue : en quo a-t-on modélsé un généateu électque udmentae? 2/2 Étenne Thbege, 30 ma 2017,

3 Coecton des execces du chapte I2 Langevn-Wallon, PTI Phénomène d nducton Execce 1 : gne du couant ndut Execces appelons que pou un amant dot, le champ sot pa le od : les lgnes de champ sont oentées du od ves le ud. La pemèe étape consste à détemne le sens de vaaton du champ magnétque vu pa la spe au cous du déplacement. On dédut alos de la lo de Lenz le sens du champ magnétque ndut B nd, qu tend à atténue les vaatons de B. On détemne ensute pa la ègle de la man dote le sens éel du couant dans la spe. Enfn, pa compaason ente le sens éel du couant et le sens > 0 ndqué su la fgue on en dédut le sgne de. Attenton à ne pas fae de confuson : ce sont les vaatons de champ pendant le déplacement qu comptent, pas le sens de ce champ. Le champ ndut peut ndfféemment enfoce ou atténue le champ extéeu, tout dépend des vaatons. Attenton également, le champ et le couant nduts n exstent dans la spe que pendant le déplacement elatf de l amant et de la spe. 1 Le sens éel du couant ndqué su le schéma cental est celu de la flèche ndquant le sens postf, donc nd > 0. B début B p nd Bnd B fn stuaton ntale en cous stuaton fnale 2 La physque est dentque à la stuaton pécédente, seule change la conventon su le sens postf du couant : on dédut mmédatement < 0. 3 Le sens éel du couant est opposé au sens postf, donc nd < 0. B début B nd nd Bp B fn stuaton ntale en cous stuaton fnale 4 Les vaatons de champ vues pa la spe sont les mêmes qu à la queston 1, le sens éel du couant ndut est donc le même... mas comme le sens chos postf du couant est opposé, alos nd < 0. 5 Comme la spe et l amant se déplacent de la même façon, le flux magnétque au taves de la spe ne vae pas pendant l expéence. Il n y a donc aucun couant ndut : nd = 0. 6 Le déplacement de la spe enfoce l effet du déplacement de l amant. Cette fos, le champ vu pa la spe dmnue au cous du mouvement, le champ ndut à donc tendance à le enfoce. On a donc nd < 0. B début B p nd Bnd B fn stuaton ntale en cous stuaton fnale 1/7 Étenne Thbege, 30 ma 2017,

4 Coecton execces I2 : Phénomène d nducton Langevn-Wallon, PTI Execce 2 : pe en otaton otons n le vecteu nomal à la spe, défn tel que θ = π/2 losque n et B sont colnéaes et de même sens. Le sens postf de la spe est alos défn à pat de ce vecteu n. On chost l ogne du temps t = 0 losque θ = 0 : la lo hoae θ(t) s éct donc tout smplement θ = Ωt. 1 Comme le champ magnétque est unfome à l échelle de la spe, on en dédut son flux au taves de la spe φ(t) = B ( n = B cos θ π ) = B sn θ = B sn Ωt. 2 La f.é.m. ndute dans la spe e se dédut de la lo de Faaday, e = dφ = ΩB cos Ωt sot e(t) = ΩB cos Ωt. Le sgne de la f.é.m dépend du temps ca le vecteu nomal n est d oentaton fxée, donc le flux change de sgne. Le couant ndut dans la spe, oenté dans le sens de e, vaut smplement = e d où (t) = ΩB cos Ωt. 2 Le moment magnétque nstantané de la spe vaut m(t) = (t) n sot m(t) = Ω2 B cos Ωt n. 3 Le couple de Laplace qu s exece su la spe est Γ = m B [ = Ω2 B ( π ) ] cos Ωt B sn 2 θ e = Ω2 B 2 cos Ωt cos (θ) e ce qu donne fnalement Γ(t) = Ω 2 B 2 cos 2 Ωt e et Γ = Ω 2 B 2 e. 2 La composante su de ce couple est toujous négatve, c est-à-de qu l tend à fene la spe dans son mouvement (dans le sens postf) autou de. Ce ésultat auat pu se pévo ca ce couple ésulte de phénomènes d nducton, généés pa le mouvement de la spe autou de l axe. On sat donc d apès la lo de modéaton de Lenz qu l a pou effet de s oppose à ce mouvement, et donc de voulo fene la spe. Execce 3 : Plaque de cusson à nducton 1 Attenton! Dès los qu l y a auto-nducton (et champ extéeu de façon généale), la lo de compotement habtuelle de la bobne ne s applque plus. La tenson à ses bones se détemne à pat de la lo de Faaday. Un schéma de pncpe et un schéma électque équvalent fasant appaaîte des généateus nduts sont epésentés fgue 1. On peut asonne ndfféemment su l un ou su l aute, à condton de se méfe de la lo de compotement de la bobne s on chost le schéma de gauche, et de ne pas ouble l auto-nducton s on chost le schéma de dote. Les deux généateus de f.é.m. e 1 et e 2 oentées dans le même sens que les couants tadusent l effet de l nducton dans les ccuts. Pa défnton, on a φ 1 = L M 2 d où e 1 = dφ 1 et de même φ 2 = L M 1 d où e 2 = dφ 2 Pa applcaton de la lo des malles, on en dédut v 1 + e 1 = 1 1 et e 2 = 2 2 d 1 = L 1 M d 2 = L 2 d 2 M d 1. 2/7 Étenne Thbege, 30 ma 2017,

5 Coecton execces I2 : Phénomène d nducton Langevn-Wallon, PTI M v 1 L 1 L 2 2 v 1 e 1 e 2 2 chéma de pncpe chéma avec généateus nduts Fgue 1 chéma équvalents à une plaque à nducton. Il est possble de asonne dectement su le schéma de pncpe... mas attenton à la lo de compotement de la bobne. Une aute epésentaton possble fat nteven dectement des généateus nduts... mas attenton à ne pas ouble l auto-nducton. sot d 1 v 1 = L 1 + M d 2 d 2 0 = L 2 + M d 1 2 Tadusons l équaton de fonctonnement de l ndut (ccut 2) en complexes, 0 = 2 I 2 + jωl 2 I 2 + jωmi 1, ce qu condut à H = jmω 2 + jωl 2 3 D apès l équaton de fonctonnement de l nducteu, V 1 = ( 1 + jωl 1 )I 1 + jωmi 2 d où Z e = 1 + jωl 1 + jmωh sot Z e = 1 + jωl 1 + (Mω)2 2 + jωl 2. 4 Dans l hypothèse tès haute féquence, les expessons se smplfent en H = M et Z L e = jl 1 ω (1 M 2 ) 2 L 1 L 2 uméquement, I 2 I 1 = 8,3 et Z e = 2,1 Ω. On emaque que la qualté du couplage nductf appaaît dans l expesson de Z e : s le couplage est pafat, M = L 1 L 2, alos l mpédance d entée du système est nulle, sgne d une tansmsson pafate de l énege électomagnétque. On etouve exactement le même ésultat à popos du tansfomateu. emaquons auss que la dfféence de nombe de spes dans l nducteu et l ndut pemet au couant à l ndut d ête nettement supéeu au couant à l nducteu, et donc de foun davantage d effet Joule dans le fond de la casseole. 5 Qualtatvement, s l on élogne la casseole le couplage sea mons bon (M dmnue) et donc l mpédance d entée augmente. Plus pécsément, comme la casseole est élognée de l nducteu qu est souce de champ magnétque, le flux vu pa l ndut dmnue comben même le couant dans l nducteu seat mposé, ce qu ndque que M dmnue. l mpédance d entée augmente alos que la tenson d almentaton v 1 ne change pas, alos la défnton de Z e monte que l nducteu appelle mons de couant. Execce 4 : Mesue d une nductance mutuelle 1 Comme l osclloscope est déal, tout se passe comme s la bobne 2 état en ccut ouvet, le couant la tavesant est donc nul : t, 2 (t) = 0. D apès la lo de compotement, on auat u 2 = L 2 d 2 = 0... ce qu est faux! 3/7 Étenne Thbege, 30 ma 2017,

6 Coecton execces I2 : Phénomène d nducton Langevn-Wallon, PTI La lo de compotement de la bobne n est pas applcable c ca elle est étable en ne tenant compte que de l autonducton, cf. cous, alos qu c l faut également pende en compte l nducton mutuelle ente les deux bobnes L 1 et L 2. 2 On peut asonne ou ben su le schéma de l énoncé en se méfant de la tenson aux bones de la bobne, ou ben su le schéma électque équvalent de la fgue 2, qu fat dectement appaaîte des généateus nduts qu tadusent à la fos l nducton pope et mutuelle. En tout cas, l vaut meux évte de mélange les deux. En vetu de la lo de Faaday et comme 2 = 0, le double effet de l auto-nducton et de l nducton mutuelle est epésenté pa les généateus de f.é.m. d 1 e 1 = L 1 M d 2 = L d 1 1 Pa applcaton de la lo des malles au ccut 2, et e 2 = L 2 d 2 M d 1 = M d 1. u 2 = M d 1 d où u 2 = M du 1. e 0 u 1 (t) 1 e 1 e 2 2 =0 u 2 (t) Fgue 2 chéma électque équvalent au dspostf de mesue d nductance mutuelle. 3 Tadusons la elaton pécédente en epésentaton complexe : Comme U 1,2 = U 1,2 alos U 2 = jω M U 1. U 2 = ω M U 1 d où M = U 2 2π f U 1 = 1,3 mh. 4 Losque la bobne 2 est tounée de 180, elle etouve exactement la confguaton géométque de dépat excepté le sens de banchement des fls, qu est nvesé : on mesue alos u 2 = u 2, et le même calcul que pécédement monte que la valeu de M est nchangée. En toute gueu, M change de sgne, mas le sgne d une nductance mutuelle dépend des oentatons des couants, donc de conventons, et n a donc pas vament de petnence physque. Losque la bobne est tounée de 90, beaucoup mons de lgnes du champ magnétque céé pa la bobne 1 peuvent tavese la bobne 2, s ben que le flux φ 1 2 est nettement dmnué à couant 1 fxé, ce qu veut de que M est plus fable. Au contae, s la bobne 2 est placée su le même axe que la bobne 1 alos davantage de lgnes de champ ssues de la bobne 1 tavesent la bobne 2, donc le flux φ 1 2 est plus élevé à couant 1 fxé, donc M est plus gande. Execce 5 : Peut-on néglge l auto-nducton? 1 Compte tenu du sens de su le schéma, le vecteu nomal oenté est le vecteu + n. Ans, φ ext = B ext n = B 0 cos(ωt). u le schéma électque, fgue 3, la f.é.m. ndute e ext est oentée dans le même sens que l ntensté et vaut e ext = dφ ext = + B 0 ω sn(ωt), d où on dédut l ntensté ndute pa le champ extéeu ext = e ext / de la lo d Ohm, ext = B 0 ω sn(ωt). 4/7 Étenne Thbege, 30 ma 2017,

7 Coecton execces I2 : Phénomène d nducton Langevn-Wallon, PTI e = e ext 1 - ans auto-nducton e = e ext + e L 2 - Avec auto-nducton Fgue 3 chémas électques équvalents. 2 En tenant compte de l auto-nducton, φ = φ ext + L donc φ = B 0 cos(ωt) + L. Il n est pas possble de emplace pa l expesson obtenue à la queston pécédente : cette expesson est valable losque seul le champ extéeu est ps en compte, alos qu on s ntéesse désomas en plus à l auto-nducton. Le schéma électque équvalent est epésenté fgue 3. La f.é.m. ndute tent compte des deux contbutons au flux et vaut e = dφ = B 0 ω sn(ωt) L d D apès la lo des malles, e =, d où on dédut 3 À pat des asonnements pécédents, on dentfe L d + = B 0 ω sn(ωt). e ext = dφ ext donc E ext = jω B 0 et de même e L = L d donc E L = jωl I, d où on touve H = jωl I = L I jω B 0 B 0 O d apès l équaton dfféentelle obtenue à la queston pécédente, L expesson fnale est donc H = jω L I + I = jω B 0 sot I = jω B 0 + jlω. L B 0 jω B 0 + jlω d où H = Lω 2 + L 2 ω = L 2 ω 2 La foce électomotce auto-ndute dès los que H 1, c est-à-de losque /Lω 1 sot ω L Pou epende des temes plus famles en électocnétque, on vent d établ que la f.é.m. auto-ndute de la bobne état néglgeable en égme tès basse féquence... là même où l on affmat cet automne qu elle état équvalente à un fl, c est-à-de que son compotement «bobne» n appaassat pas. Comme le compotement «bobne» est justement de l auto-nducton... la boucle est bouclée! 4 Pou L = 100 mh et = 1 kω, l auto-nducton est néglgeable dans la lmte ω ad s 1 sot f 1,6 khz. 5 Consdéons pa exemple d 1 mm et D 1 m. On touve alos L H, ce qu donne comme condton ω ad s 1 sot f Hz. Pou toutes les féquences usuelles en électonque, lmtées au plus à Hz, néglge l auto-nducton du ccut est donc légtme. 5/7 Étenne Thbege, 30 ma 2017,

8 Coecton execces I2 : Phénomène d nducton Langevn-Wallon, PTI Annale de concous Execce 6 : Pncpe de fonctonnement d un généateu synchone [oal CCP] 1 Comme la dstance ente la spe et l amant est ben plus gande que le ayon de la spe, on peut consdée le champ magnétque généé pa l amant unfome et vaut B a (θ) = µ 0 m 0 4π x 3 (2 cos θ u + sn θ u θ ) en étant tès vglant à la défnton de l angle θ sevant à epée la poston de la spe, vo fgue 4. axe de éféence m 0 θ < 0 uθ u x Fgue 4 Oentaton elatve de la spe pa appot à l amant. Comme dans l expesson du champ magnétque donné pa l énoncé, les coodonnées utlsées sont les coodonnées polaes de cente O et d axe l axe de l amant. Compte tenu de l oentaton de la spe, spécfée su le schéma, le flux du champ magnétque au taves de la spe vaut φ = B a u = πa 2 µ 0 m 0 4π x 3 2 cos θ = µ 0 m 0 a 2 2 x 3 cos θ et on en dédut la foce électomotce ndute dans la spe e = dφ = µ 0 m 0 a 2 2 x 3 ( θ sn θ ) l amant toune à vtesse angulae ω constante autou de l axe z, alos compte tenu du schéma on a θ = ωt (en supposant θ = 0 à t = 0), donc θ = ω, et alos e = + µ 0 m 0 a 2 2 x 3 ω sn ωt Fates tès attenton aux multples sgnes et compensatons de sgne! Et véfez qualtatvement le sgne fnal : pou t = 0 l amant est dans l axe de la spe, donc à t 0 l s en élogne, donc le flux au taves de la spe dmnue, donc d apès la lo de Faaday e > 0. Ouf, c est ce qu on vent de touve. Le couant ndut se détemne alos dectement à pat de la lo d Ohm, = e/, d où = µ 0 m 0 a 2 ω 2 x 3 sn ωt. La spe étant smplement ésstve, elle ne peut stocke d énege, et toute la pussance qu elle eçot est dsspée pa effet Joule. Ans, la pussance électque eçue pa la spe P e = 2 vaut ( µ0 m 0 a 2 ) 2 ω sn 2 ωt. P e = 1 2 x 3 2 Le champ céé pa l amant n exece pas de couple su l amant lu-même. On en dédut que le champ à l ogne de ce couple est donc le champ magnétque ndut pa la spe. L énoncé donne le champ céé pa un moment magnétque : l faut donc calcule le moment magnétque de la spe pou en dédue le champ qu elle cée, en étant patculèement vglant au epéage. Compte tenu de l oentaton du couant su la fgue 4, le moment magnétque de la spe vaut m sp = πa 2 u x = π µ 0 m 0 a 4 ω 2 x 3 sn ωt u x En coodonnées polaes d axe u x et d ogne le cente de la spe (et donc pas O!), l amant a pou coodonnées = x et θ = π, s ben que u = u x et u θ = u y. On en dédut que le champ magnétque céé en O au nveau de l amant pa la spe vaut B sp (O) = µ 0 m sp 4π x 3 [2 cos π( u x ) + sn π( u y )] 6/7 Étenne Thbege, 30 ma 2017,

9 Coecton execces I2 : Phénomène d nducton Langevn-Wallon, PTI sot et ans B sp (O) = µ 0 4π x 3 π µ 0 m 0 a 4 ω 2 x 3 sn ωt 2 u x B sp (O) = µ 0 2 m 0 a 4 ω 4 x 6 sn ωt u x Encoe une fos, pensez à véfe qualtatvement les sgnes! En connassant le sens du couant ndut d apès la queston pécédente ( > 0 pou t 0), on dédut de la ègle de la man dote que B sp dot ête poté pa + u x. Compte tenu du fat que les calculs ne sont pas tès sympathques, ces véfcatons qualtatves font vament pate des compétences testées à l oal du concous. Fnalement, le couple magnétque execé pa la spe su l amant vaut Γ = m 0 B sp (O) Le plus sû pou calcule le podut vectoel est de décompose les coodonnées de m 0 su la base u x, u y. Comme l amant toune à vtesse angulae ω (supposée) postve autou de u z, alos ce qu condut à Γ = m 0 [cos(ωt) u x + sn(ωt) u y ] µ 0 2 m 0 a 4 ω 4 x 6 sn ωt u x Γ = µ 0 2 m0 2 a 4 ω 4 x 6 sn2 ωt u z On véfe encoe et toujous le sgne : le couple est poté pa u z, c est-à-de qu l ésste au mouvement de l amant. D apès la lo de Lenz, c est complètement nomal, pusque ce couple est d ogne nductve... et que la cause de ce phénomène d nducton est le mouvement de l amant. 3 Pou manten la vtesse de otaton de l amant constante, le système mécanque dot foun à l amant sous fome d un couple une pussance exactement opposée à la pussance dsspée pa Γ. La pussance mécanque à foun vaut donc P m = Γω, d où P m = µ 0 2 m0 2 a 4 ω 2 4 x 6 sn 2 ωt. On emaque qu on a P m = P e, c est-à-de que toute la pussance mécanque foune à l amant est tansmse à la spe sous fome de pussance électque : on a ben modélsé un généateu électque smplfé. 7/7 Étenne Thbege, 30 ma 2017,

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