Exercices corrigés sur les séries entières

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1 Exercices corrigés sur les séries etières Eocés Exercice Détermier le rayo de covergece des séries etières a z suivates : a l, a l, a, a e /3, a +!, a arcsi + π 4. Exercice Détermier le rayo de covergece de la série etière selo les valeurs de a, b R +. a + b z Exercice 3 Détermier le rayo de covergece des séries etières a z suivates : { si est pair, a sio. { si k N: k a 3 sio. Exercice 4 Détermier le rayo de covergece R des séries etières réelles a x suivates, puis calculer leurs sommes sur ] R, R[ : a, a, a. Exercice 5 Détermier le rayo de covergece R des séries etières réelles a x suivates, puis calculer leurs sommes sur ] R, R[ : π a +, a cos 3. Exercice 6 Calculer,, 3 +. Exercice 7 Calculer le développemet e série etière e zéro des foctios suivates : x fx x x, gx lx 5x + 6, hx cos t dt. Exercice 8 Calculer, selo les valeurs du paramètre réel t, le développemet e série etière e zéro de la foctio fx x tx +.

2 Exercice 9 Calculer le développemet e série etière e zéro des foctios suivates : x si a fx arcta avec a ], π[, gx arcsi x. x cos a Exercice Soit Vérier que f p x : f p x p k x x x p. λ k x k avec λ k p k k p! Ck p. E déduire le développemeet e série etière e zéro de la foctio f p. Exercice O pose a et b, puis pour tout N, a + a b et b + 3a + 4b. Calculer les rayos de covergece et les sommes des séries etières a! x et b! x. Exercice Motrer que l'équatio diéretielle 3xy + 5xy x admet ue solutio développable e série etière autour de zéro. Exercice 3 O se propose d'obteir le développemet e série etière de la foctio tagete. Pour x ] π/, π/[, o pose fx tg x. E remarquat que f + f, motrer qu'il existe ue suite P de polyômes à coeciets das N telle que f P f pour tout N. E utilisat la formule de Taylor avec reste itégral, motrer que la série de MacLauri de f a u rayo de covergece R supérieur ou égal à π/. 3 O ote a les coeciets du développemet précédet et g la somme de la série etière a. Motrer que, pour tout etier, + a + a k a k. E déduire que, pour tout x ] π/, π/[, fx gx, et que R π/. 4 Calculer a, a,..., a 7. 5 Vérier que la foctio x th x est développable e série etière. Préciser le rayo de covergece et la valeur des coeciets e foctio des coeciets a ci-dessus. k

3 Solutios Solutio de l'exercice O a : doc R. a + l + l + + l + lorsque, a l l l Puisque a / l lorsque, la règle d'hadamard implique que R. Puisque a / lorsque, la règle d'hadamard implique que R. Puisque a / e /3 e /3 lorsque, la règle d'hadamard implique que R. O a : car a + a + + +!! + + e lorsque, l + l +. Doc R /e. O a : [ + ] +. O doit doc développer arcsi à l'ordre e /. Puisque arcsi x x /, o obtiet arcsi /, puis + a arcsi + π 4 arcsi + arcsi arcsi : α. Or, il est facile de voir que α / lorsque, de sorte que R. 3

4 Solutio de l'exercice Si a, alors a et doc R. Supposos doc a. Si b >, alors a a a / + b, doc b + b a b lorsque. La règle d'hadamard motre alors que R b/a. Si b, alors a + b a, doc a / + b a a lorsque. / La règle d'hadamard motre alors que R /a. Si b <, alors a + b a, doc a + b / a lorsque. La règle d'hadamard motre alors que R /a. Solutio de l'exercice 3 Das les deux cas, o utilise la règle d'hadamard. O a : { a / / si est pair, sio. or, l / l, doc / e lorsque. Il s'esuit que lim sup a /, et que R. O a : { a / si k N: k 3 sio. O voit doc que lim sup a /, ce qui implique que R /. Solutio de l'exercice 4 O a : Calculos la somme : a + +, doc R. a x x x x x, où la deuxième égalité s'explique par le fait que x est la dérivée de x, x ], [. x 4

5 O a : Calculos la somme : a + +, doc R. a x x x x x 3, où la deuxième égalité s'explique par le fait que x est la dérivée secode de O a : puis, d'après ce qui précède, x x, x ], [. x a + + a, doc R, + x x + x x x 3 + x x x + x x 3. Solutio de l'exercice 5 O a : a + a + lorsque, doc R. Par réductio de la fractio ratioelle e élémets simples, + x, de sorte que + + D'ue part, x x + + et d'autre part, pour x, x + x x x + + x t dt [ Fialemet, la somme est ulle si x et, pour x, x + x x x dt l x, t x. + ] x [ ] x x x l x + x + x. l x + x +. 5

6 O a : Or, et lim sup a / / π / cos 3. / puisque l / l lorsque, π / cos 3 puisque cos π 3 pour tout 3N. Doc lim sup a /, de sorte que R. Soit f : ], [ R la somme de la série etière. Alors, f est dérivable, et sa dérivée satisfait f x π cos 3 x Re j x Re j jx Re où j : e iπ/3. Rappelos que j j, que j 3 et que + j + j. O a alors : f j j x j x x Re jx j Re x + x + x x + x + x +. j, jx O e déduit que fx x t + t + t + dt l x + x +. Solutio de l'exercice 6 D'après l'exercice 4, o a : x x avec x, doc. D'après l'exercice 4, o a : x + x x 3 avec x, doc 6. O a : Solutio de l'exercice 7 La décompositio e élémets simples doe : fx x x x/ + x x + x + x. 6

7 O a : doc x 5x + 6 x x 3 6 x x, 3 gx l x 5x + 6 l 6 + l x + l x 3 l 6 + l 6 + O a, avec u rayo de covergece ii, x/ x/ t dt + t dt + x/3 x/3 t dt t dt x/ + x/3 + l l x 3. cos u u! doc cos t t4! La foctio h est développable e série etière, avec rayo de covergece ii, et pour tout x R, x x hx t4 dt t 4!! dt x 4+!4 +. Solutio de l'exercice 8 Si t <, o pose θ : arccos t ], π[, de sorte que x tx + x x cos θ + x e iθ x e iθ. O écrit alors ue décompositio e élémts simples : x tx + a x e iθ + b x e iθ, et par ideticatio, o trouve a i si θ b. 7

8 Aisi, x tx + i si θ x e iθ x e iθ i si θ e iθ eiθ + xe iθ xe iθ e iθ e iθ x e iθ e iθ x i si θ e i+θ e i+θ x i si θ si + θ si θ x où la troisième égalité est valide pour x <. Si t, alors Si t, alors x xt + x x x xt + x Si t >, o écrit t ch avec θ >, et alors + x. + x. x tx + x x ch θ + x e θ x e θ. O écrit alors ue décompositio e élémts simples : et par ideticatio, o trouve Aisi, x tx + x tx + a x e θ + a sh θ b. b x e θ, sh θ x e θ x e θ sh θ e θ eθ + xe θ xe θ e θ e θ x e θ e θ x sh θ e +θ e +θ x sh θ sh + θ x, sh θ où la troisième égalité est valide pour x < e θ. 8

9 Si t <, o écrit xt x t, et o obtiet le développemet souhaité e s'appuyat sur le cas précédet. Solutio de l'exercice 9 Si cos a, la foctio f est déie sur R. Si cos a, la foctio f est déie sur ] [ ] [, cos a cos a,. Pour x das le domaie de déitio, f x cos a si a cos ax si a x x cos a + si a x si a x cos a + x cos a si a x cos a + x si a si a x x cos a +. x si a x cos a D'après l'exercice 8, f est développable e série etière et, pour tout x ], [, f x si + a x. O peut alors itégrer terme à terme, et obteir ue série etière de même rayo de covergece : fx f + x f x dx La foctio f est deux fois dérivable sur ], [, et l'o a : f x x arcsi x et f x Doc, pour x ], [, o a le système si + a x + +. x x arcsi x + 3/ x x x f x + x. S { x f x xf x, f f. D'après la théorie des équatios diéretielles, le système S détermie f arcsi de maière uique. Cherchos maiteat la solutio de S au voisiage de zéro, sous forme d'ue série etière de rayao de covergece R > : pour x < R, fx a x, f x a x, f x E itroduisat ces expressios das l'équatio diéretielle, o obtiet : a x. x a x x a x, 9

10 soit soit soit ecore soit e a x a x a x, a x a x, + + a + x a x, + + a+ a x. Puisque f, a. Puis, par uicité du développemet e série etière de la foctio costate égale à, o obtiet a, a, puis N, a Il s'esuit que les coeciets d'ordre impair sot tous uls, et que puis, iductivemet, a 4 4 3, a , a , La série etière a 4 4 3!.!!! est solutio du système S sur ] R, R[, où R est le rayo de covergece, que ous calculos maiteat. +! x +! +!! 4x + + x lorsque. D'après la règle de d'alembert, la série coverge absolumet pour x < et diverge grossièremet pour x >. O a doc R. E coclusio, f est déeloppable e série etière, et x ], [, arcsi x x! x.! Solutio de l'exercice Faisos ue récurrece sur p. Pour p, λ, doc la formule est satisfaite.

11 Supposos la formule satisfaite à l'ordre p. Alors, f p x p p k k Or, par décompositio e élémets simples, Par ideticatio, o trouve de sorte que Doc, f p x p p k k p k x k x p k p! Ck p x k a x k + a p k b, b x p. x p. x k x p p kx k + p kx p. p k k p! Ck p p k k p! Ck p p k x k p p k x p x k k + p! Ck p p k x p k p p p k k!p k! x k + p k k!p k! k k p p k k p p! Ck p x k + p k k!p k! x p. k Reste à vérier que Or, k p! : λ p p p k k!p k!. k x p p p k p! k!p k! k p p k p! k!p k! k p p k Cp k k p p k Cp k k p.

12 Il s'esuit que f p x Par suite, pour tout x ], [, p p k k!p k! x k k f p x p p k k p! Ck p k p p! p p! k p k+ Cp k k p p k x/k x k k+ Ck p k k x. λ k x k. Solutio de l'exercice O a, sous forme matricielle, [ ] a+ a b b, d'où l'o tire que a b A a b [, où A : 3 4 Le calcul de a et b repose alors sur le calcul de A, qui peut se faire e diagoalisat A. O vérie sas peie que les valeurs propres de A sot et, et que A admet la famille { } B :, 3 pour base de vecteurs propres. O rappelle que, si Λ désige la matrice de l'edomorphisme caoiquemet associé à A das la base B, alors [ ] [ ] Λ P AP, où P 3 est la matrice de passage de la base caoique à la base B. Aisi, A P ΛP, puis A P Λ P. U calcul élémetaire doe [ ] 3 P, puis A et o obtiet alors Il s'esuit que [ 3 ] [ a b ] [ 3 ] ]. [ A ], a! x 3 +! x et b! x 3! x.

13 D'ue part et d'autre part, 3 + +!! lorsque, !! lorsque, de sorte que les rayos de covergeces sot tous deux iis. E, pour tout x R, a! x 3 x! x! 3e x e x et b! x 3 x! x 3 e x e x.! Solutio de l'exercice O cherche yx sous la forme yx a x, x ] R, R[. E appliquat le théorème de dérivatio terme à terme des séries etières, o doit avoir alors y x et l'équatio diéretielle s'écrit alors soit soit ecore, a x, x ] R, R[, 3x a x + 5x a x x, [ 3a + a x 5a x +] x, [ 3 + a x 5a + x +] 5a x x. O e déduit que a, que 5a 5a et que, pour tout, 3 + a 5a. Aisi, a, a 5, puis a a k 5 3k k +. k O obtiet doc : yx 5 x + k 5 3k + x. 3

14 Puisque a + a 5 lorsque, le rayo de covergece de la série etière est égal à l'ii. Solutio de l'exercice 3 La foctio f est le quotiet de deux foctios de classe C sur I ] π/, π/[ dot le déomiateur e s'aule pas sur cet itervalle. C'est doc elle-même ue foctio de classe C sur I. Cosidéros la propriété P Il existe u polyôme P à coeciets das N tel que f P f sur I. Il est clair que P est vraie, avec P X. O remarque que, puisque f + f, la propriété P est aussi vraie, avec P + X. Supposos maiteat la propriété P k vraie pour tout k {,..., }, avec, et motros que P + est ecore vraie. O a : f + + f f Cf k k f k k CP k k fp k f k CP k k P k f, k où la troisième égalité résulte de la formule de Leibiz. O a doc bie f + P + f, où le polyôme P + : CP k k P k k est à coeciets das N d'après l'hypothèse de récurrece. D'après la formule de Taylor avec reste itégral, pour tout x I, fx k f k x k + k! x x t f + t dt.! La foctio tagete état impaire, seuls les termes d'ordre impair de la partie polyômiale sot o uls, et il sut de cosidérer la derière formule pour x [, π/[. D'après la questio, f k u P k tg u pour tout u [, π/[. Par coséquet, pour x [, π/[, x x t f + t dt,! et la suite des sommes partielles de la série de MacLauri de f satisfait : f k x x k x t fx f + t dt fx. k! k! Cette suite, qui est croissate puisque les termes f k x k /! sot positifs, est doc majorée. O e déduit qu'elle est covergete. Aisi, la série de MacLauri de f est covergete pour tout x I, de sorte que so rayo de covergece est supérieur où égal à π/. 4

15 3 Posos a : f! O a vu que, pour tout N, N et gx : P + a x x CP k k P k. E divisat cette équatio par! et e l'évaluat e tg, o obtiet k ] π, π [. P + tg! k P k tg k! P k tg, soit + a + k! a k a k. k Tous les coeciets de la série de MacLauri sot doc doés par cette derière relatio, avec les valeurs iitiales a et a. Vérios que f coïcide avec la somme de sa série de MacLauri sur l'itervalle I. O a : g x + a + x a k a k k a k a k k x x ak x k a k x k. k La derière double somme apparaît comme le produit de Cauchy de la série a x avec ellemême, et o e déduit que g x + g x. De plus, g a. Pour x I, posos alors hx : arctggx. La foctio h est dérivable sur I, et pour tout x I, h x g x + g x, et e itégrat, o obtiet hx h + x x. Aisi, pour tout x I, gx tg x fx. La foctio tagete est doc développable e série etière à l'origie, et coïcide avec sa série de MacLauri pour tout x I. Comme gx fx ted vers l'ii lorsque x ted vers π/ par valeurs iférieures, o voit que le rayo de covergece est iférieur ou égal à π/, doc e fait égal à π/. 4 O sait déjà que a a a 4 a 6 et que a. La relatio + a + k a ka k, valable pour tout N, permet d'obteir : a 3 3, a 5 5 a

16 5 Pour tout x R, th x sh x ch x ex e x e x + e x e iix e iix i siix e iix + eiix cosix i tgix, et doc, pour tout x I, th x i a + ix + a + x +. Le rayo de covergece de cette série etière est bie sûr ecore égal à π/. 6