Table des matières. PCSI( ) Calcul algébrique Lycée Baimbridge

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1 PCSI( ) Calcul algébriue Lycée Baimbridge Table des matières Itroductio... I- Sommes et produits Défiitios Propriétés Chagemet d'idice Sommes et produits télescopiues Suites arithmétiues et géométriues À savoir! Les sommes doubles...7 a- Somme double rectagulaire...7 b- Somme double triagulaire...8 II- Coefficiets biomiaux Défiitio et propriétés Triagle de Pascal et formule du biôme de Newto...9 1/1

2 PCSI( ) Calcul algébriue Lycée Baimbridge Itroductio Calcul : mot d'origie latie. Calculus : cailloux. Algèbre : mot d'origie arabe. Al-Khwarizmi ( ). Titre de so ouvrage «Kitab al-mukhtasar fi hisab al-jabr wa'l-muabala» Abrégé du calcul par la restauratio et la comparaiso. Il veait du Khwarezm, ue provice de l'ouzbékista. So om latiisé est l'origie du om algorithme. Babyloe : résolutio d'éuatios du secode degré Diophate (3 ièm e siècle): icoue Al-khwarizmi : Fraçois Viète ( ) : uatités coues et icoues. Travail sur le cas gééral et o sur des exemples umériues. Descartes : otatio modere. Puissace et exposat. Galois ( ) : structures de groupe. /1

3 PCSI( ) Calcul algébriue Lycée Baimbridge I- Sommes et produits. 1- Défiitios Défiitio : famille de réels, famille de complexes idexés par u esemble I, o vide. Applicatio de I à valeurs das K=R ou C ui à associe K. Soit I u esemble fii et o vide et ( ) ue famille de ombres complexes. O ote : la somme des élémets de la famille ( ) le produit des élémets de la famille ( ) Remarue : l'additio et la multiplicatio sot commutatives. Doc l'ordre des termes 'a pas d'importace. Cas particuliers : I= la somme vaut 0 et le produit 1. Avec I = 1, ={ N, 1 1 } o a : = =a 1 +a +...+a. Avec termes. I= m, ={ N,m 1 } o a : = =a m +a m a i=m (m+1) Exemples : = k k ; = ;!= k par covetio 0!=1 Remarue : idice est «muet». Le om de l'idice 'a pas d'importace, comme pour le om de la variable pour l'itégratio. = j=1 a j = 3/1

4 PCSI( ) Calcul algébriue Lycée Baimbridge - Propriétés ( +b i )= α =α ( ) + b i Les deux propriétés précédetes sot éuivaletes à : (α +β b i )=α ( ) + ( β b i ) 1= ( b i )= ( i I )( i I b i ) α =α p où p est le cardial de I. O peut regrouper les termes, car les opératios sot associatives. k 0 = + k=k k 0 =a 0 + +a +1 = m=0 a m + 1 a m+1 m=0 3- Chagemet d'idice. k =1 1 = +1 = = +1 1 k= b k = b k 4/1

5 PCSI( ) Calcul algébriue Lycée Baimbridge Exemples : S = S S = S = k k +1 = +1 k k =1 k = 0 +1 k= (+1k) S =(+1)S S = (+1) 4- Sommes et produits télescopiues ( a +1 k)=a a +1 1 k =1 k =1 ( +1 ) = a +1 a 1 Exemples : Étude de : S = La série est divergete. l( 1+ 1 k) = l( k+1 k ) = (l( k +1)l(k))=l(+1)l(1)=l(+1) O pourra e déduire ue la série harmoiue est divergete car : l ( 1+ 1 ) 1 même u éuivalet : l() et o aura (k+1) k =k+1 S 1 +=(+1) 1 S 1 = ++11= +=(+1) (k+1) 3 k 3 =3k +3k+1 3S +3S 1 +=(+1) 3 1 3S =(+1) 3 3 (+1) (+1) 3S =(+1) ( (+1) 3 1 ) =(+1) (+1) 3 =(+1) S =(+1) + =(+1) (+1) S = (+1)(+1) 6 De même : (k+1) 4 k 4 =4k 3 +6k +4k+1 5/1

6 PCSI( ) Calcul algébriue Lycée Baimbridge 5- Suites arithmétiues et géométriues. Défiitio : suite arithmétiue. u +1 =u +r Et u =u 0 + r Défiitio : suite géométriue. v +1 = v et v = v 0 Somme des termes cosécutifs d'ue suite arithmétiue. ( premier terme+derier terme) S=(ombres de termes) S= u k = (u 1+u ) S= u k =(m+1) (u m+u ) k=m Démostratio : Par récurrece. Ou o remarue ue : u 0 +u =u 1 +u Somme des termes cosécutifs d'ue suite géométriue. k = = Avec 1. A=(1) ( k) ( = A= k+1 k = +1 1 k) k = Soit v ue suite géométriue de raiso 1. v =v 0 k k = k +1 k S= v k = v 0 k =v 0 k =v /1

7 PCSI( ) Calcul algébriue Lycée Baimbridge S=( premier terme) raisoombres determes 1 raiso1 6- À savoir! a b =(ab)(a 1 +a b+a 3 b +...+b 1 ) 1 a b =(ab) ( 1 a 1k b k) =(ab) ( b 1k) Démostratio : (ab) ( 1 (ab) ( 1 (ab) ( 1 (ab) ( 1 1 a 1k b k) =a k) 1 a 1k b = k) 1 a 1k b = k) 1 a 1k b = 1 a 1k b k b a 1k b k 1 a a 1k b k b a 1k b k 1 b k a 1 k b k +1 1 b k a (1+k) b k+1 Das la deuxième somme o fait le chagemet d'idice : k '=k+1 (ab) ( k) 1 1 a 1k b = b k a k ' b k ' =a b k '=1 Exemples : X 1=( X 1)( X 1 + X ) Quelles sot les racies du polyômes : 1+ X X 1? O peut aussi faire apparaître ue somme télescopiue. A savoir : k= (+1) k =1 k = (+1)(+1) 6 k =1 k =( 3 (+1) ) 7/1

8 PCSI( ) Calcul algébriue Lycée Baimbridge 7- Les sommes doubles. a- Somme double rectagulaire Matrices Défiitio : Soiet I et J deux esembles fiis et o vide. O cosidère (j ) (i, j) I J de ombres complexes. O ote (i, j) I J j la somme des élémets de la famille (j ) (i, j) I J. ue famille Cas particuliers : I = 1, et J = 1, 1 i 1 j j = j=1 j = j j=1 Plus gééralemet : m i p j j = i=m j = j= p j j=p i=m Produits de deux sommes fiis ( ( i=m )( j=1 )( j= p Exemples : 1 i 1 j 1 i 1 j b j) = 1 i 1 j b j) = m i p j (i+ j)= j=1 (ij)=( i)( j=1 b j = j=1 b j = i=m (i+ j)= j= p b j = b j j=1 b j = ( i+ j=1 i) = (+1) (+1) j= p i=m j)= b j i+( (+1) ) = (+1) + (+1) b- Somme double triagulaire. 8/1

9 PCSI( ) Calcul algébriue Lycée Baimbridge 1 i j j = j=i j j = j j=1 Exemples : 1 i i j ( i j) = j=1 1 i i j j ( i j) = i j = j=1 = 1 ( (+1)(+) 1) j=i 1 j j i j = 1 i= j=1 j i j=i 1 j j( j+1) O e sait pas calculer la somme des iverses. = j=1 +1 j+1 = 1 ( j+1)= 1 j=1 j= +1 j= 1 (( j=1 j) 1 ) 9/1

10 PCSI( ) Calcul algébriue Lycée Baimbridge II- Coefficiets biomiaux. 1- Défiitio et propriétés. Défiitio : Soit N et p Z ( p) =! p!( p)! si 0 p et ( p) =0 sio (p<0 ou p>) Formule de symétrie. ( p) = ( p) - Triagle de Pascal et formule du biôme de Newto ( p) = ( 1 p1) + ( 1 p ) Démostratio : ( 1 p1) + ( 1 ( 1 p1) + ( 1 ( 1 p1) + ( 1 ( 1 p1) + ( 1 ( 1 p1) + ( 1 p ) = p ) = (1)! ( p1)!((1)( p1))! + (1)! p!((1) p)! = (1)! ( p1)!( p)! + (1)! p!(1 p)! p ) = (1)! ( p1)!(1 p)! ( 1 p + 1 p) p ) = (1)! ( p1)!(1 p)! ( p+ p p( p)) p ) = (1)! ( p1)!(1 p)! ( p( p)) (1)! p( p1)!( p)(1 p)! =! p!( p)! = ( p) Formule du biôme de Newto Soit N,(a,b) C. O a : (a+b) = ( k) ak b k. 10/1

11 PCSI( ) Calcul algébriue Lycée Baimbridge Remarue : o a aussi : (a+b) = Démostratio : ( k) ak b k Iterprétatio du produit (a+b) et déombremet. Par récurrece : Vraie pour =0. Hérédité. O suppose la formule vraie au rag, démotros là au rag +1. (a+b) +1 =(a+b)(a+b) =(a+b) (a+b) +1 = ( k) ak b k ( k) ak+1 b k +( k) ak k +1 b Das la première somme o fait:k'=k+1 +1 (a+b) +1 =( k '=1 k '1) ak ' b +1k ' + ( k) ak b +1k (a+b) +1 = +1( k =1 k1) ak b +1k + ( k) ak b +1k (a+b) +1 = ( 0) a0 b +1 + (( k1) + ( k)) b +1k + ( ) a+1 b 0 (a+b) +1 = ( +1 0 ) a0 b +1 + (a+b) +1 = +1( +1 k ) ak b +1k La formule est doc vraie au rag +1. ( +1 k ) ak b +1k + ( +1) a+1 b 0 11/1

12 PCSI( ) Calcul algébriue Lycée Baimbridge Coclusio : la formule du biôme de Newto est démotrée. Applicatios : = ( k) Liéarisatio : cos (θ)=( 4 eiθ +e iθ 4 ) Polyôme de Tchebycheff : cos(4x)=r((cos( x)+isi(x)) 4 ) 1/1