Magnétostatique : Lois générales & Applications

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1 Electromagnétisme Chapitre 4 Magnétostatique : Lois générales & Applications Plan du cours A. Lois générales de l électrostatique 1. Ecriture des équations de Maxwell 2. Propriétés topographiques du champ électrostatique B. Application n 1 : Champ magnétostatique produit par un câble 1. Premier modèle 2. Deuxième modèle 3. Exercice : Câble coaxial C. Application n 2 : Champ magnétostatique produit par un solénoïde 1. Présentation 2. Calcul du champ produit à l intérieur du solénoïde 3. Exercice : Analyse du champ produit par une bobine de longueur finie 4. Inductance propre du solénoïde Energie magnétique stockée 5. Exercice : Inductance mutuelle entre une bobine plate et un solénoïde D. Application n 3 : Dipôles magnétostatiques 1. De quoi s agit-il? 2. Champ magnétique créé par un dipôle dans l approximation dipolaire 3. Application au champ magnétique terrestre 4. Actions d un champ magnétique extérieur sur un dipôle 5. Quelques notions de base sur les aimants Electromagnétisme Chapitre 4 Page 1 sur 8

2 Documents et exercices de cours Exercice (A.2) : Champ magnétostatique ou non? Les quatre cartes ci-après représentent des lignes de champ. On admet que les champs associés sont parallèles au plan des schémas et qu ils sont invariants par translation perpendiculaire à ces schémas. Deux d entre eux ne peuvent être des lignes de champ magnétique ; lesquels et pourquoi? Exercice (A.2) : Etude d une carte de champ La carte suivante représente les lignes du champ magnétique créé par trois fils infiniment longs, perpendiculaires au plan du schéma, parcourus par les courants I 1, I 2 et I 3. Par convention, un courant dirigé vers le lecteur est positif. 1/ Déterminer sans aucun calcul le signe de I 1, I 2, I 3 et celui de la somme I1 + I2 + I3. 2/ Quelle est la valeur du champ B en A et en A? Electromagnétisme Chapitre 4 Page 2 sur 8

3 Exercice (B.1) : Poursuite de l étude de la carte de champ précédente On reprend l étude de la carte de champ magnétique précédente et on admet que I 2 = 1 A. Calculer une valeur approchée de I 1 et de I 3. Exercice (B.3) : Câble coaxial Un câble coaxial est constitué de deux cylindres C 1 et C 2 de même axe Oz : L âme C 1 est un cylindre conducteur de rayon a 1 ; L armature externe, ou gaine, est un cylindre de rayon intérieur a 2 et d épaisseur e a2 ; Le volume entre l âme et la gaine est rempli par un matériau isolant. Electromagnétisme Chapitre 4 Page 3 sur 8

4 Ce câble est utilisé dans un circuit électrique : l âme est alors parcourue par un courant I réparti uniformément dans son volume, tandis que la gaine est parcourue par un courant I réparti sur sa surface (l épaisseur de la gaine est négligée). 1/ Calculer le champ magnétostatique B créé en tout point de l espace par cette répartition de courants. Commenter le comportement du champ en r = a1 et en r = a2. 2/ On considère la surface rectangulaire verticale de hauteur h à l intérieur de l isolant représentée sur le schéma ci-dessus. Calculer le flux Φ du champ B à travers cette surface. 3/ On appelle coefficient d auto-induction la quantité L Φ =. Exprimer L, ainsi que Λ le coefficient d auto- I induction par unité de longueur. 4/ On peut montrer que la capacité par unité de longueur Γ de ce câble coaxial est donnée par Que peut-on dire du produit ΛΓ? πε 2 0 Γ =. ln ( a2 a1 ) Exercice (C.3) : Analyse du champ produit par une bobine de longueur finie Vingt spires circulaires, de même axe Oz, de même rayon R = 5 mm sont parcourues par le même courant I = 1 A. Le schéma représente les lignes de champ du champ magnétique créé par ce système, dans le plan contenant Oz. Dans la zone où les lignes de champ sont quasiment des droites parallèles, elles sont espacées de 1 mm. 1/ Commenter la carte de champ. 2/ Calculer une valeur approchée du champ en A, puis en C et en D. Commenter. Electromagnétisme Chapitre 4 Page 4 sur 8

5 Exercice (C.5) : Inductance mutuelle entre une bobine plate et un solénoïde Une bobine de N 2 spires enlace un solénoïde idéal de N 1 spires, de longueur l et de section S. 1/ Calculer l inductance mutuelle M de ces deux circuits, en respectant l orientation des circuits indiquée sur le schéma. 2/ La bobine, de résistance R, est fermée sur elle-même. Le solénoïde est parcouru par le courant ( ) ( ω ) i1 t = Im cos t. On suppose de plus que N2 N1. Montrer que l inductance L 2 est négligeable devant M et déterminer le courant i ( ) 2 t apparaissant dans la bobine. 3/ Proposer une méthode simple, utilisant un GBF et un oscilloscope pour mesurer M. Illustration (D.2) : Lignes de champ produites par un dipôle magnétique dans l approximation dipolaire Electromagnétisme Chapitre 4 Page 5 sur 8

6 Illustration (D.3) : Lignes de champ magnétique au voisinage du globe terrestre Exercice (D.4) : Equilibre d un dipôle magnétique entre deux disques en rotation Deux disques D 1 et D 2 isolants portent la même densité surfacique de charge σ sur leurs surfaces en regard. Ils tournent autour de leur axe commun O1 O 2 à vitesse angulaire constante ω = ω u (avec ω > 0 ). Un moment magnétique M est suspendu en O, milieu de O1 O 2, à une tige verticale, de constante de torsion C, et qui maintient le dipôle dans le plan horizontal. La position initiale (d équilibre) de M est telle que = u M >. La tige verticale n est M M, avec 0 alors pas tordue. 1/ Discuter qualitativement de l effet de la rotation des disques sur le dipôle magnétique. Justifier qualitativement l orientation du dipôle dans la position d équilibre initiale. 2/ On décide d inverser le sens de rotation des disques. Déterminer les positions d équilibre possibles de M et C discuter leur stabilité. On introduira le paramètre η = 2B0M, où B 0 est le champ magnétique créé par D 1 en O (on ne cherchera pas à calculer B 0 ). Electromagnétisme Chapitre 4 Page 6 sur 8

7 . Electromagnétisme Chapitre 4 Page 7 sur 8

8 Electromagnétisme Chapitre 4 Page 8 sur 8

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