Limites : Résumé de cours et méthodes 1 Limite d une fonction en + et en

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1 - Limite infinie en + et en Limites : Résumé de cours et méthodes Limite d une fonction en + et en Soit f une fonction définie sur un intervalle admettant + comme borne supérieure.on dit que f a pour ite + en + (ou que f () tend vers + quand tend vers + ) lorsqu on peut toujours trouver un assez grand pour que f () soit aussi grand que l on veut. On écrit alors que f () = +. Remarque : on définit de la même façon, f () = f () = + f () = = + = 2 = + 2 = + 3 = + 3 = = + -2 Limite finie en + et en On dit qu une fonction f a pour ite le réel l en + (ou que f () tend vers l quand tend vers + ) lorsqu on peut toujours trouver un assez grand pour que f () soit aussi proche de l que l on veut. On écrit alors que f () = l. Ý Ð On dit alors que la droite D d équation y = l est asymptote horizontale à la courbe C f en +. S - Limites c P.Brachet -

2 Remarque : on définit de la même façon f () = l. Ý Ð La droite D d équation y = l est dite asymptote horizontale à la courbe C f en. = 0 = 0 2 = 0 2 = 0 3 = 0 3 = 0 = 0 2 Limite d une fonction en a (a réel) 2- Limite infinie en a Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme ]a, b[. On dit que f a pour ite + en a (par valeurs supérieures) lorsqu on peut toujours trouver un assez proche de a ( > a) pour que f () soit aussi grand que l on veut. On écrit alors que f () = +. a >a Ü Remarque : on définit de la même façon, Ü Ü Ü a f () = >a a f () = + <a a f () = <a Dans ces quatre cas, on dit que la droite D d équation = a est asymptote verticale à la courbe C f. 2 c P.Brachet - S - Limites

3 >0 <0 = + >0 = <0 2 = + 2 = + >0 <0 3 = + 3 = >0 = Limite finie en a Soit f une fonction définie sur un intervalle contenant a ou de borne a. On dit que f a pour ite le réel l en a lorsqu on peut toujours trouver un assez proche de a pour que f () soit aussi proche de l que l on veut. On écrit alors que a f () = l. Si f est définie en a et si f est la fonction racine carrée, ou une fonction polynome, ou une fonction rationnelle alors f () = f (a). a Eemple : : = = 3 3 Opérations sur les ites On note FI (pour forme indéterminée) les cas où les théorèmes ne permettent pas de conclure. 3- Limite d une somme Si f a pour ite et si g a pour ite alors f + g a pour ite Eemples : l l l + l l + + l FI + = Limite d une produit Si f a pour ite et si g a pour ite alors f g a pour ite l l l l l 0 + (signe de l) l 0 (signe de l) ± FI = >0 0=0 + = + S - Limites c P.Brachet - 3

4 Eemples : 3-3 Limite de l inverse = + Si f a pour ite alors a pour ite f l 0 l ± 0 0 (par valeurs +) + 0 (par valeurs ) 2 2 = ( ) 2 = (car = 0 ) 2 Remarque : Quand le dénominateur tend vers 0, il faut déterminer et justifier s il le fait par valeurs positives ou négatives (on peut s aider d un tableau de signes). Eemples : = 0, 2 2 =, <2 car = + car 2 = 0 ( 2 < 0,pour < 2) 2 <2 3-4 Limite d un quotient 2 >2 2 = +, car 2 = 0 + ( 2 > 0,pour > 2) Pour étudier la ite de f g, on écrit que f g = f g. On détermine alors la ite de f et de, ce qui permet d en déduire la ite g de f g. Eemples : ) + = ( + ) ( = + >0 > = > > ( ) ( 2 + 3) = + (car + = 0 + ) + ( ) 2 > +3=4 + ( ) = (23 ) + = (car + = ) 4 Cas des fonctions polynomes et rationnelles en + et en On utilise la propriété suivante (uniquement valable en + et en ) : En + et en, une fonction polynome a la même ite que son terme de plus haut degré. En + et en, une fonction rationnelle (c est à dire, un quotient de deu polynomes) a la même ite que le rapport des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur. 2 >2 Eemples : = 32 = + (3 2 est le terme de plus haut degré de ce polynome) = 23 = (2 3 est le terme de plus haut degré de ce polynome) 4 c P.Brachet - S - Limites

5 = 7 = 3 = + (on ne garde que le terme de plus haut degré au numérateur et au dénominateur - il faut ensuite obligatoirement simplifier le quotient obtenu) = = 4 = 0 5 Asymptote oblique à une courbe Soit f une fonction définie sur un intervalle de borne + et a, b deu réels (a 0). Si f () (a + b) = 0 alors la droite D d équation y = a + b est dite asymptote oblique à la courbe C f en +. Ý Ü Remarques : De la même façon, si f () (a + b) = 0 alors la droite D d équation y = a + b est dite asymptote oblique à la courbe C f en. Une même droite peut-être asymptote oblique en, ou en +, ou au deu infinis. Il faut donc vérifier la ite de f () (a + b) à tous les infinis possibles (selon ce qu indique l ensemble de définition de f ). Eemple : Soit f définie sur ]0; + [ par f () = et D la droite d équation y = 3 +. Montrons que D est une asymptote oblique à la courbe C f : Vu l ensemble de définition, le seul «infini» où D puisse être asymptote est On a f () (3 + ) = 3 = Cela prouve bien que D est asymptote oblique à la courbe C f en +. = = 0. 6 Bilan sur les asymptotes Asymptotes verticales : Elles n eistent que pour tendant vers un nombre fini. Si f () = ± alors la droite d équation = a est asymptote verticale à la courbe C f. a >a ou <a Asymptotes horizontales : Elles n eistent que pour tendant vers un «infini» (elles peuvent être asymptotes en un infini, ou au deu infinis). Si ± f () = l (l réel) alors la droite D d équation y = l est asymptote horizontale à la courbe C f. Pour étudier la position relative entre l asymptote D et la courbe C f, il suffit d étudier le signe de f () l : Si pour tout d un intervalle I, f () l > 0 alors C f est au dessus de D sur I. Si pour tout d un intervalle I, f () l < 0 alors C f est en dessous de D sur I. Asymptotes obliques : Elles n eistent que pour tendant vers un «infini» (elles peuvent être asymptotes en un infini, ou au deu infinis). Si ± f () (a + b) = 0 alors la droite D d équation y = a + b est asymptote oblique à la courbe C f. Pour étudier la position relative entre l asymptote D et la courbe C f, il suffit d étudier le signe de f () (a + b) : Si pour tout d un intervalle I, f () (a + b) > 0 alors C f est au dessus de D sur I. Si pour tout d un intervalle I, f () (a + b) < 0 alors C f est en dessous de D sur I. S - Limites c P.Brachet - 5

6 7 Théorèmes de comparaison en + ou en Etant donné f, u et v trois fonctions définies sur un intervalle I de borne + : Si pour tout de I, f () u() et si u() = + alors on peut affirmer que à une fonction tendant vers + tend aussi vers +» ) Si pour tout de I, f () v() et si v() = alors on peut affirmer que f () = +. ( «une fonction supérieure f () =. ( «une fonction inférieure à une fonction tendant vers tend aussi vers» ) Si pour tout de I, u() f () v() et si u() = v() = l (l réel) alors on peut affirmer que f () = l. ( «une fonction encadrée par deu fonctions tendant vers l tend aussi vers l» - cette propriété est appelée «théorème des gendarmes» ) Remarques : On a la même propriété quand tend vers. On n utilise ces théorèmes que pour les ites que ne l on sait pas déterminer directement Eemples : Pour tout > 0, + 3. Or, = +. On peut en conclure que + 3 = + Pour tout >, < + < 2. Or, = 0 et 2 = 0. On peut donc en conclure que + = 0. 6 c P.Brachet - S - Limites