Cours de 6ème. Jean Roussie

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1 Cours de 6ème Jean Roussie 13 mai 2014

2 Chapitre 1 Nombres entiers et nombres décimaux 1.1 Les entiers naturels Numérotation décimale Notre système de numérotation est composé de 10 symboles appelés chiffres : On parle de numérotation décimale. A partir de ces dix chiffres, on peut écrire tous les nombres entiers naturels. Exemples Entiers naturels Les entiers naturels sont les premiers nombres utilisés dans l histoire des hommes car ils permettent de compter. Définition 1.1 (Entiers naturels) 0 est le plus petit des entiers naturels ; Tous les entiers naturels ont un suivant ; Si n désigne n importe quel entier naturel, son suivant sera n + 1. Explications Ecriture en chiffre des nombres entiers Dans la numérotation décimale, la position des chiffres est importante. Classe des milliards Classe des millions Classe des milliers Classe des unités C D U C D U C D U C D U Explications : Chiffres des dizaines de millions, des centaines de mille... Pour faciliter la lecture, on sépare les classes par des espaces : Remarque : Ne pas confondre nombre de et chiffre des. 1

3 1.1.4 Ecriture en lettre : Règles d orthographe Règle 1.1 (Règles d ecriture des nombres entiers) 1. mille est invariable - Exemple : Quatre mille 2. million et milliard s accordent - Exemple : Quatre millions 3. vingt et cent s accordent sauf : (a) S ils sont suivis par un autre nombre - Exemple : Quatre cent quatre-vingts (b) S il sont employés pour indiquer un rang - Exemple : Page quatre cent Exemples 1.2 Qu est-ce qu un nombre décimal Fraction décimale Définition 1.2 (Fraction décimale) Une fraction décimale est une fraction dont le numérateur est un nombre entier et le dénominateur est égal à 10, à 100, à Rappel : Fraction = Numérateur Dénominateur Nombre décimal Définition 1.3 (Nombre décimal) Un nombre décimal est un nombre que l on peut écrire sous la forme d une fraction décimale. Exemples : 4, 25 = n est pas un nombre décimal Valeur d un chiffre suivant son rang Partie entière Partie Décimale Classe des milliers Classe des unités Centaines Dizaines Unités Centaines Dizaines Unités Dixièmes Centièmes Millièmes Différentes écritures d un nombre décimal L écriture d un nombre décimal n est pas unique. On peut trouver d autre écritures à l aide du tableau ci dessus. Par exemple : 27, 54 = = =... 2

4 1.2.5 Précision, valeurs approchées d un nombre décimal Définition 1.4 (Précision d un nombre) On appelle précision d un nombre le rang du chiffre de plus petit rang que l on connait de ce nombre. Règle 1.2 (Valeur approché d un nombre à une certaine précision) 1. La valeur approchée au plus proche d un nombre à une certaine précision est le nombre de la précision considérée le plus proche du nombre donné. 2. La valeur approchée par défaut d un nombre à une certaine précision est le plus grand nombre de la précision considérée inférieur au nombre donné. 3. La valeur approchée par excès d un nombre à une certaine précision est le plus petit nombre de la précision considérée supérieur au nombre donné. Remarque : Les valeurs approchées par défaut et par excès encadrent le nombre donné : Valeur approchée par défaut < Nombre < Valeur approchée par excès 1.3 Comparaison et représentation des nombres décimaux Comparaison de deux nombres décimaux Vocabulaire : Le symbole > se lit est supérieur à Le symbole = se lit est égale à Le symbole < se lit est inférieur à Méthode 1.1 (Comparer deux nombres décimaux) Pour comparer deux nombres décimaux, on regarde : 1. Le rang du chiffre de plus haut rang ; 2. Si le rang du chiffre de plus haut rang est le même, la valeur du chiffre de plus haut rang ; 3. Si la valeur du chiffre de plus haut rang est la même, la valeur du chiffre du rang immediatement inférieur, et ce jusqu au premier rang qui nous permette de choisir... Définition 1.5 (Ordre croissant, ordre décroissant) Ranger par ordre croissant, c est ranger du plus petit au plus grand ; Ranger par ordre décroissant, c est ranger du plus grand au plus petit Repérage sur une demi-droite graduée Sur une demi-droite graduée, chaque point peut-être repéré à l aide de sa distance à l extremité de la demi-droite. Définition 1.6 (Abscisse d un point) On appelle abscisse d un point d une demi-droite graduée sa distance à l extrémité de la demi droite, exprimée dans l unité des graduations. Remarque : Le point O qui est l extrémité de la demi-droite et correspond à l abscisse 0 est appelé origine de la graduation. 3

5 Chapitre 2 Distance et cercle 2.1 Objets et outils de la géométrie Monde réel et monde imaginaire Le monde décrit par la géométrie est un monde dans lequel les objets sont idéaux, c est à dire imaginaires Les objets de la géométrie Un objet géométrique est caractérisé par deux choses : Sa forme Sa dimension Définition 2.1 (Le point) Le point est le plus petit objet géométrique que l on puisse imaginer. Remarques Définition 2.2 (Objet géométrique) Un objet géométrique est un ensemble de points. Tous les objets géométriques sont des ensembles de points. Ils sont regroupés en familles ou ensembles présentant des propriétés communes. L ensemble des propriétés qui caractérisent une famille d objets géométriques s appelle une définition (figure 2.1 page 5) Les figures géomètriques Une figure géométrique est une illustration particulière d une situation géométrique. Les figures géométriques utilisent des conventions de dessin. Exemple : Représentation d un point 4

6 Un diamètre est une Corde corde passant par le centre du cercle Cercle Une corde est un Segment corde dont les extrémités sont sur le Cercle Une cercle est un ensemble de Points points situés à la même distance d un point appelé centre du cercle. Un segment de droite est la ligne Ligne la plus courte entre deux points. Points Une ligne est un ensemble non interrompu de Points entre deux points appelés extrémités Un point est le plus petit objet géométrique que l on puisse imaginer. FONDATION La géométrie est une construction de la pensée dont les briques sont des objets imaginaires qui n existent que par le sens que nous leur donnons : Leur définition. Ne pas connaître la définition d un objet empêche de comprendre tous les objets qui sont construits à partir de celui-ci. Figure 2.1 Une construction imaginaire au service de la réalité 5

7 2.1.4 Les outils de la géométrie Les outils de la géométrie servent à tracer des figures représentant des objets géométriques. Les outils de bases de la géométrie sont : La règle : Sert à tracer des traits et à mesurer des distances. La compas : Sert à reporter des distances L équerre : Sert à tracer des perpendiculaires et des parallèles. 2.2 Droites et distances Ligne droite entre deux points Définition 2.3 (Ligne) Une ligne est une ensemble de points qui relie sans interruption deux points appelés extrémités de la ligne. Définition 2.4 (Ligne droite) Entre deux points, parmi toutes les lignes les reliant, la ligne droite est la ligne dont la longueur est la plus petite. La ligne droite est le plus court chemin d un point à un autre. Définition 2.5 (Segment de droite) Soient A et B deux points. On appelle segment de droite [AB] la ligne droite dont A et B sont les extrémités Droites et demi-droites Définition 2.6 (Droite) On appelle droite une ensemble de points qui n a ni début, ni fin, et dont tout morceau non interrompu est un segment de droite. Notations 2.1 (Droite définie par deux points) La droite définie par les points A et B est notée (AB). Remarque : Points alignés. Définition 2.7 (Demi-droite) Soit A et B deux points. La partie de la droite (AB) qui commence au point A, comprend le point B et continue sans interruption jusqu à l infini s appelle la demi-droite [AB). 6

8 Notation Segment [AB] Droite (AB) Demi-droite [AB) Distance AB AB = 5 cm par exemple 2.3 Ensembles de points - Cercles Rappels sur les ensembles Un ensemble est un regroupement d objets. Définition 2.8 (Elément d un ensemble) Un objet appartenant à un ensemble est un élément de l ensemble. Notations 2.2 (Appartenance et non appartenance à un ensemble) Soit x est un objet et A est un ensemble. On note : x est un élément de A : x A x n est pas un élément de A : x A Définition 2.9 (Egalité de deux ensembles) Soient A et B deux ensembles : Si tous les éléments de A sont aussi des éléments de B et que tous les éléments de B sont aussi des éléments de A, on dit que les ensembles A et B sont égaux. On note que A et B sont égaux : A = B Définition 2.10 (Intersection et réunion de deux ensembles) Soient A et B deux ensembles : L intersection des ensembles A et B et l ensemble des objets appartenant à la fois à A et à B. On note l intersection de A et B : A B La réunion des ensembles A et B et l ensemble des objets appartenant à A ou à B. On note la réunion de A et B : A B 7

9 Figure 2.2 Ensembles Cercle Définition 2.11 (Ligne fermée) Une ligne fermée est une ligne dont le parcours ramène au point de départ. Une ligne fermée permet de séparer un intérieur dont on peut déterminer la la surface est infinie. Remarque : Une ligne fermée n a pas d extrémités. Définition 2.12 (Cercle) Un cercle de centre O est l ensemble de tous les points situés à une même d Cette distance est appelée rayon du cercle. Définition 2.13 (Segments associés à un cercle) Rayon : Un rayon d un cercle est un segment de droite dont une de cercle et l autre extrémité est un point du cercle.

10 Figure 2.3 Rayon, corde, diamètre et arc de cercle Définition 2.14 (Arc de cercle) Une partie de cercle délimitée par deux points est appelée un arc de cercle

11 Chapitre 3 Addition, soustraction et multiplication de décimaux 3.1 Addition et soustraction de décimaux Vocabulaire Définition 3.1 (Somme et différence - Terme) Une somme est le résultat d une addition ; Une différence : est le résultat d une soustraction ; Les nombres entrant en jeu dans une somme ou oun différence sont appelés des termes. Exemples : est une somme dont les termes sont 5 et 3 ; 5 3 est une différence dont les termes sont 5 et 3. Remarques : Lorsqu on effectue la somme de deux termes, on dit qu on les ajoute ou qu on lesadditionne ; Lorsqu on effectue la différence de deux termes, on dit qu on soustrait ou qu on retranche le second terme au premier Technique Méthode 3.1 (Poser une addition ou une soustraction) Pour poser une addition ou une soustraction, on aligne sur une même colonne les chiffres de même rang. On effectue le calcul dans l ordre croissant des rangs (de la droite vers la gauche) sans oublier les retenues , , , , , , 9 8 Remarque : Pour aligner les chiffres de même rang, il suffit d aligner les virgules et de bien faire attention à n écrire qu un seul chiffre par colonne. 10

12 3.1.3 Ordre de grandeur d une somme Pour calculer l ordre de grandeur d une somme ou d une différence, on va remplacer les termes par des valeurs approchées avec lesquelles le calcul sera facile à effectuer de tête. Les valeurs approchées choisies devront être de même précision. Remarque : Ordre de grandeur au plus proche, par excès ou par défaut Ordre des termes dans une somme ou une différence Méthode 3.2 (Sens de calcul) Lorsqu une expression ne comprend que des additions et des soustractions, le calcul s effectue dans le sens de lecture : De la gauche vers la droite. Exemple : Méthode 3.3 (Changement de l ordre des termes) Pour modifier l ordre des termes sans modifier le résultat du calcul, il faut déplacer avec le terme le signe opératoire qui le précède. Exemple : Remarque : Si une opération ne comprend que des additions, on peut changer l ordre des termes comme on veut Calcul avec des durées Méthode 3.4 (addition et soustraction de durées) Les durées s expriment en système sexadécimal. On procède des plus petites durées (secondes) vers les plus grandes sans oublier les retenues : 1 minute = 60 secondes 1 heure = 60 minutes 1 jour = 24 heures 1 semaine = 7 jours j h mn s + 4 j 1 8 h 5 2 mn 5 5 s 1 s j h mn s 5 j h mn s 4 1 j h mn 5 5 s 0 j 2 1 h 3 4 mn 5 1 s 3.2 Multiplication de décimaux Vocabulaire Définition 3.2 (Produit - Facteur) Un produit est le résultat d une multiplication Les nombres entrant en jeu dans un produit sont appelés des facteurs. 11

13 Exemple : Technique La méthode consistant à poser une multiplication a été vue en primaire. Méthode 3.5 (Poser une multiplication) a. On pose un facteur sur chaque ligne et on multiplie le premier facteur par chaque chiffre du second : Dans l ordre croissant des rangs ; Sans oublier les retenues ; En changeant de ligne et en décalant le résultat vers la gauche à chaque rang. b. On effectue l addition des nombres obtenus ; c. On décale la virgule vers la gauche de la somme des nombres de chiffres après la virgule dans les deux facteurs , 6 5 8, , Table de multiplication ere ligne : Nombres de 1 à 10 La 1 ere ligne et la 1 ere colonne sont composées des même nombres dans le même ordre, la 2 nde ligne et la 2 nde colonne aussi et ainsi de suite. Si on connait les nombres d une ligne, on connait ceux de la colonne correspondante. 2 nde ligne : Nombres pairs de 2 à eme ligne : La table de 3 est facile à mémoriser. 4 eme ligne : La table de 4 se retrouve facilement à partir de la table de 5. 5 eme ligne : La table de 5 est facile à mémoriser. 6 eme ligne : La table de 6 se retrouve facilement à partir de la table de 5. 7 eme ligne : Il faut apprendre 7 7 et eme ligne : Il faut apprendre eme ligne : Règle des doigts 10 eme ligne : Dizaines de 10 à

14 3.2.4 Multiplication par une puissance de 10 Méthode 3.6 (Multiplier par une puissance de 10) Multiplier un nombre décimal par une puissance de 10 revient à déplacer la virgule de ce nombre : Du même, nombre de rangs Dans le même sens Que l on doit déplacer la virgule à partir de 1 pour obtenir la puissance de Ordre de grandeur d un produit Définition 3.3 Ordre de grandeur d un nombre] L ordre de grandeur d un nombre est sa valeur approchée à la précision de la valeur du rang de chiffre de plus haut rang. Exemples : , ,007 Remarque : Un ordre de grandeur peut s écrire sous la forme du produit d un nombre entier compris entre 1 et 9 et d une puissance de 10 : = , ,004 = 4 0,001 Méthode 3.7 (Ordre de grandeur d un produit) L ordre de grandeur d un produit de facteurs s obtient en effectuant le produit des ordres de grandeurs des facteurs. Remarque : Résultat plausible aberrant. Multiplier n agrandit pas toujours Règles de calcul mental Méthode 3.8 (Règles de calcul mental) Pour effectuer mentalement le calcul de l ordre de grandeur d un produit il faut bien connaître : Les tables de multiplication de 1 à 12. Les règles de multiplication par les puissances de 10 ( , 100, 10, 0,1, 0,01...). Connaître la table de 25 :

15 Chapitre 4 Parallèles et perpendiculaires 4.1 Droites et demi-droites Notations La définition d une droite a été donnée précédemment (définition 2.6 page 6). Nous allons préciser les notations utilisées pour les désigner : Notations 4.1 (Droites) Une droite se note à l aide de parenthèses : (AB) est la droite passant par les points A et B ; (d) est la droite nommée d. Remarque : Pour ne pas confondre une droite désignée par son nom et une droite désignée par deux points, on ne nomme une droite que par une lettre unique. On peut par contre, s il y a plus d une droite à considérer, utiliser : Un indice, qui est une lettre ou un nombre ajouté en bas à droite du nom : (d 0 ), (d 1 ), (d a )... Un ou plusieurs apostrophes : (d ) (d prime ), (d ) (d seconde )...

16 4.1.2 Droite support d un segment et d une demi-droite Les définition d une demi-droite (définition 2.7 page 6) et d un segment de droite (définition 2.5 page 6) ont été données précédemment. Définition 4.1 (Droite support d un segment de droite ou d une demi-droite) La droite support d un segment (ou d une demi-droite) est la droite dont ce segment (ou cette demidroite) est une partie. Exemples : La droite support de [AC] est (AC) ; La droite support de [BA) est (AB) ; La droite support de (BC] est (BC).

17 4.2 Position relatives des droites et demi-droites Droites sécantes, droites parallèles Deux droites ne peuvent être que sécantes ou parallèles. Définition 4.2 (Droites sécantes) Deux droites sécantes sont deux droites dont l intersection est un point unique. Ce point est appelé point d intersection des deux droites. (figure 4.1) Remarque : Les droites étant par définition infinies, deux droites sécantes peuvent se croiser en dehors d une figure. Définition 4.3 (Droites parallèles) Deux droites qui ne sont pas sécantes sont parallèles. On dit que deux droites parallèles ont même direction. (figure 4.1) Propriété 4.1 (Droites parallèles) Si deux droites sont parallèles, alors : Soit elles n ont aucun point en commun ; Soit elles ont tous leurs points en commun et sont confondues. (figure 4.1) Notations 4.2 (Droites paralléles) On note que deux droites sont parallèles en écrivant le symbole entre elles : (d) parallèle à (d ) peut s écrire : (d) (d ) Figure 4.1 Sécantes et parallèles 16

18 Dessin : La parallèle à une droite se trace à l aide d une règle et d une équerre Perpendicularité, droites perpendiculaires Définition 4.4 (Pied d une perpendiculaire) Soient (d) une droite et A un point. On appelle pied de la perpendiculaire à (d) en A le point de (d) le plus proche de A. (figure 4.2) Figure 4.2 Pied de la perpendiculaire à (d) en M : H Définition 4.5 (Droites perpendiculaires) Soient (d) et (d ) deux droites. Elles sont perpendiculaires signifie que le pied de la perpendiculaire à (d) de tous les points de (d ) est élément de (d ). On note : (d) (d ) (figure 4.3) Remarques : Angle droit et sa représentation symbolique. Des droites perpendiculaires sont sécantes. 17

19 (a) Droites perpendiculaires (b) Droites non perpendiculaires Figure 4.3 Perpendicularité de deux droites Droites concourantes Définition 4.6 (Droites concourantes - Point de concours) Des droites qui se coupent en un même point sont appelées droites concourantes. Leur point d intersection unique est appelé point de concours. (figure 4.4) Figure 4.4 Droites concourantes 18

20 4.3 Propriétés et objets à connaître En mathématiques, une propriété sert à prouver (on dit à démontrer) quelque chose, elle permet de conclure quelque chose que quelque chose est vrai à partir de conditions réalisées. Une propriété se présente généralement sous la forme : Si conditions alors conclusion. Exemple : Si a est un passereau alors a est un oiseau. Le moineau est un passereau, donc le moineau est un oiseau. La vache n est pas un oiseau, donc la vache n est pas un passereau (en effet, si la vache était un passereau, alors la vache serait un oiseau) Propriétés des droites parallèles et perpendiculaires Propriété 4.2 (Axiome d Euclide) Par un point, on peut faire passer une droite unique qui est parallèle à une droite donnée. (figure 4.5) Remarque : L axiome d Euclide ne peut pas être prouvé, c est la fondation de la géométrie classique. Propriété 4.3 (Perpendiculaire passant par un point) Par un point, on peut faire passer une droite unique qui est perpendiculaire à une droite donnée. (figure 4.5) (a) Axiome d Euclide (b) Perpendiculaire en un point Figure 4.5 Parallèle et perpendiculaire passant par un point Propriété 4.4 (Droites perpendiculaires à une droite donnée) Si deux droites sont perpendiculaires à une droite donnée, alors elles sont parallèles entre elles. Exemple : Soient (d 1 ), (d 2 ) et (d) trois droites telles que (d 1 ) (d) et (d 2 ) (d), on a donc (d 1 ) (d 2 ) (figure 4.6). 19

21 Propriété 4.5 (Droites parallèles perpendiculaires à une droite donnée) Soient deux droites parallèles. Si une droite est perpendiculaire à une droite donnée, alors la deuxième droite est aussi perpendiculaire à cette droite donnée. Exemple : Soient (d 1 ), (d 2 ) et (d) trois droites telles que (d 1 ) (d 2 ) et (d 1 ) (d), on a donc (d 2 ) (d) (figure 4.6). Propriété 4.6 (Droite parallèle à des droites parallèle) Si deux droites sont parallèles, alors toute droite parallèle à l une est aussi parallèle à l autre. Exemple : Soient d, (d 1 ), (d 2 ) et (d ) trois droites telles que (d 1 ) (d 2 ) et (d 1 ) (d), on a donc (d 2 ) (d) (figure 4.6). Propriété 4.7 (Sécante à des droites parallèles) Si deux droites sont parallèles, alors toute droite sécante à l une est aussi sécante à l autre. Exemple : Soient (d ), (d 1 ) et (d 2 ) trois droites telles que (d 1 ) (d 2 ) et (d ) sécante à (d 1 ). On a donc (d ) sécante à (d 2 ) et (d). (figure 4.6) Médiatrice d un segment Définition 4.7 (Médiatrice d un segment) La médiatrice d un segment est l ensemble des points équidistants des extrémités de ce segment. Propriété 4.8 (Médiatrice d un segment) La médiatrice d un segment est la droite perpendiculaire à ce segment et qui passe par son milieu (figure 4.7). Remarque : Une médiatrice se trace au compas. Remarques : Si (d) est la médiatrice de [AB] et que C [AB], alors on peut en déduire trois choses : AC = BC ; (d) (AB) ; (d) coupe [AB] en son milieu. 20

22 (a) Perpendiculaires à une droite (b) Parallèles à une droite Figure 4.6 Propriétés des perpendiculaires et des parallèles Figure 4.7 Médiatrice d un segment 21

23 4.3.3 Triangles particuliers Définition 4.8 (Triangle rectangle) Un triangle rectangle est un triangle dont deux cotés sont perpendiculaires. Remarque : Triangle rectangle en un point. Définition 4.9 (Triangle isocèle) Un triangle isocèle est un triangle dont deux côtés ont la même longueur. Dessin : Un triangle isocèle se trace au compas. Remarque : Triangle isocèle en un point. Remarque : Triangle isorectangle. Définition 4.10 (Triangle équilatéral) Un triangle équilatéral est un triangle dont les 3 cotés ont même longueur. Remarque : Tous les triangles équilatéraux ont même forme Remarque : Tous les triangles équilatéraux sont des triangles isocèles. La réciproque n est pas vraie : Tous les triangles isocèles ne sont pas des triangles équilatéraux Quadrilatères particuliers Trapèzes Parallélogrammes Rectangles Losanges Carrés 22

24 Chapitre 5 La division 5.1 Division euclidenne de deux nombres entiers Multiples et diviseurs d un nombre entier Définition 5.1 (Multiples d un nombre entier) Soit a un nombre entier. Les multiples de a sont les produits de a par un nombre entier : {0 a; 1 a; 2 a; 3 a; 4 a; 5 a; 6 a;...} Exemples : 15 = 3 5 et 20 = 4 5 sont des multiples de = 3 4 et 15 = 3 5 sont des multiples de 3. Définition 5.2 (Diviseurs d un nombre entier) Soit a un nombre entier. Le nombre b 0 est un diviseur de a signifie que a est un multiple de b. Exemples : 15 = : 3, 5 et 1 sont des diviseurs de = : 3, 4, 2 et 1 sont des diviseurs de 48. Définition 5.3 (Nombre premier) Un nombre qui n a pour diviseurs que 1 et lui même est un nombre premier. Exemple : Les 10 plus petits nombres premiers sont : {2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29...} Propriété 5.1 (Produit de diviseur) Si les nombres a et b sont deux nombres premiers diviseurs du nombre c, alors le produit a b est aussi un diviseur de c. Exemples : 30 = ; 5 et 2 sont des nombres premiers diviseurs de 30 : 3 5 = 15 ; 3 2 = 6 et 5 2 = 10 sont donc aussi des diviseurs de = ; 5 sont des nombres premiers diviseurs de 30 : 3 5 = 15 et 3 3 = 9 sont donc aussi des diviseurs de

25 5.1.2 Critères de divisibilité Nombre Critère de divisibilité Exemples 1 1 est un diviseur de tous les nombres entiers. 2 2 est un diviseur de tous les nombres pairs (2 ; 4 ; 6 ;...) 8 ; 236 ; La somme des valeurs des chiffres du nombre doit être divisible par 3. 3 diviseur de : = 15 4 Le nombre formé par les 2 derniers chiffres doit être un divisible par ; Un nombre admet 5 pour diviseur s il finit par les chiffres 0 ou 5 35 ; 150 ; Un nombre est divisible par 6 s il est divisible par 3 et divisible par ; La somme des valeurs des chiffres du nombre est divisible par ; Le dernier chiffre est ; Division euclidienne de deux entiers 24