Algorithmique et Programmation Impérative 2 Maximier Tri arbre
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- Jean Sénéchal
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1 Algorithmique et Programmation Impérative 2 Maximier Tri arbre N.E. Oussous oussous@lifl.fr FIL USTL API2 - LST«A» p.1/33
2 Maximier - Définition Un arbre vide est considéré comme un maximier. API2 - LST«A» p.2/33
3 Maximier - Définition Un arbre vide est considéré comme un maximier. Un arbre binaire non vide est un maximier si et seulement si API2 - LST«A» p.2/33
4 Maximier - Définition Un arbre vide est considéré comme un maximier. Un arbre binaire non vide est un maximier si et seulement si sa racine porte la valeur maximale. API2 - LST«A» p.2/33
5 Maximier - Définition Un arbre vide est considéré comme un maximier. Un arbre binaire non vide est un maximier si et seulement si sa racine porte la valeur maximale. ses 2 sous-arbres principaux sont des maximiers. API2 - LST«A» p.2/33
6 Maximier - Définition Un arbre vide est considéré comme un maximier. Un arbre binaire non vide est un maximier si et seulement si sa racine porte la valeur maximale. ses 2 sous-arbres principaux sont des maximiers. À la racine des 2 sous-arbres principaux on trouve donc les 2ème et 3ème valeurs selon l ordre décroissant. API2 - LST«A» p.2/33
7 Maximier - Définition Un arbre vide est considéré comme un maximier. Un arbre binaire non vide est un maximier si et seulement si sa racine porte la valeur maximale. ses 2 sous-arbres principaux sont des maximiers. À la racine des 2 sous-arbres principaux on trouve donc les 2ème et 3ème valeurs selon l ordre décroissant. On a un ordre partiel : API2 - LST«A» p.2/33
8 Maximier - Définition Un arbre vide est considéré comme un maximier. Un arbre binaire non vide est un maximier si et seulement si sa racine porte la valeur maximale. ses 2 sous-arbres principaux sont des maximiers. À la racine des 2 sous-arbres principaux on trouve donc les 2ème et 3ème valeurs selon l ordre décroissant. On a un ordre partiel : Le père est plus grand que ses deux fils. API2 - LST«A» p.2/33
9 Maximier - Définition Un arbre vide est considéré comme un maximier. Un arbre binaire non vide est un maximier si et seulement si sa racine porte la valeur maximale. ses 2 sous-arbres principaux sont des maximiers. À la racine des 2 sous-arbres principaux on trouve donc les 2ème et 3ème valeurs selon l ordre décroissant. On a un ordre partiel : Le père est plus grand que ses deux fils. Pas d ordre entre les frères. API2 - LST«A» p.2/33
10 Maximier - Exemple API2 - LST«A» p.3/33
11 Maximier - Utilité La structure de maximier n est pas utilisée pour implémenter les primitives usuelles (recherche, insertion, suppression) sur les ensembles. API2 - LST«A» p.4/33
12 Maximier - Utilité La structure de maximier n est pas utilisée pour implémenter les primitives usuelles (recherche, insertion, suppression) sur les ensembles. Par exemple, la recherche d une valeur particulière peut amener à parcourir tout l arbre (donc être en Θ(n)). Elle nécessite de plus la gestion d une pile dont la hauteur est celle de l arbre lui-même. Cette recherche serait donc inefficace. API2 - LST«A» p.4/33
13 Maximier - Utilité La structure de maximier n est pas utilisée pour implémenter les primitives usuelles (recherche, insertion, suppression) sur les ensembles. Par exemple, la recherche d une valeur particulière peut amener à parcourir tout l arbre (donc être en Θ(n)). Elle nécessite de plus la gestion d une pile dont la hauteur est celle de l arbre lui-même. Cette recherche serait donc inefficace. Un maximier est par contre utilisé pour extraire le maximum parmi un ensemble de valeurs. API2 - LST«A» p.4/33
14 Maximier - Cueillette La suppression de l élément maximal est, par contre, plus efficace. On remplace cet élément par le plus grand de ses successeurs. API2 - LST«A» p.5/33
15 Maximier - Cueillette La suppression de l élément maximal est, par contre, plus efficace. On remplace cet élément par le plus grand de ses successeurs. On recommence l opération avec le successeur utilisé. API2 - LST«A» p.5/33
16 Maximier - Cueillette La suppression de l élément maximal est, par contre, plus efficace. On remplace cet élément par le plus grand de ses successeurs. On recommence l opération avec le successeur utilisé. On supprime la feuille utilisée en dernier. API2 - LST«A» p.5/33
17 Cueillette - Exemple API2 - LST«A» p.6/33
18 Cueillette - Exemple API2 - LST«A» p.6/33
19 Cueillette - Exemple API2 - LST«A» p.6/33
20 Cueillette - Exemple API2 - LST«A» p.6/33
21 Cueillette - Exemple API2 - LST«A» p.6/33
22 Cueillette - Exemple API2 - LST«A» p.6/33
23 Cueillette - Exemple API2 - LST«A» p.6/33
24 Cueillette - Exemple API2 - LST«A» p.6/33
25 Cueillette - Code procedure Supprimer_Max(var T : Maximier) ; X : Curseur ; Begin X := Racine(T) ; While not Est_Feuille(X) Do Begin Determiner quel successeur possède la valeur maximale ; Recopier cette valeur; Descendre X du coté où se trouvait la valeur maximale ; end ; // while Supprimer(X); End ; // Supprimer_Max API2 - LST«A» p.7/33
26 Pré-Maximier Un Pré-Maximier est un arbre dont les 2 sous-arbres principaux sont des maximiers. API2 - LST«A» p.8/33
27 Pré-Maximier Un Pré-Maximier est un arbre dont les 2 sous-arbres principaux sont des maximiers. Un pré-maximier n est pas nécessairement un maximier, cela dépend de la valeur portée à la racine. API2 - LST«A» p.8/33
28 Pré-Maximier Un Pré-Maximier est un arbre dont les 2 sous-arbres principaux sont des maximiers. Un pré-maximier n est pas nécessairement un maximier, cela dépend de la valeur portée à la racine. La transformation en maximier (Réorganisation) se fait par une méthode analogue à celle utilisée pour la suppression du maximum. API2 - LST«A» p.8/33
29 Pré-Maximier Maximier Si le pré-maximier n est pas un maximier, il faut API2 - LST«A» p.9/33
30 Pré-Maximier Maximier Si le pré-maximier n est pas un maximier, il faut Échanger la valeur portée à la racine avec la valeur maximale de ses successeurs, API2 - LST«A» p.9/33
31 Pré-Maximier Maximier Si le pré-maximier n est pas un maximier, il faut Échanger la valeur portée à la racine avec la valeur maximale de ses successeurs, Réorganiser le successeur avec lequel a eu lieu l échange. API2 - LST«A» p.9/33
32 Pré-Maximier Maximier Si le pré-maximier n est pas un maximier, il faut Échanger la valeur portée à la racine avec la valeur maximale de ses successeurs, Réorganiser le successeur avec lequel a eu lieu l échange. La réorganisation nécessite le parcours d une seule branche, avec un traitement en Θ(1) à chaque nœud parcouru. API2 - LST«A» p.9/33
33 Réorganisation - Exemple API2 - LST«A» p.10/33
34 Réorganisation - Exemple API2 - LST«A» p.10/33
35 Réorganisation - Exemple API2 - LST«A» p.10/33
36 Réorganisation - Exemple API2 - LST«A» p.10/33
37 Réorganisation - Exemple API2 - LST«A» p.10/33
38 Réorganisation - Exemple API2 - LST«A» p.10/33
39 Réorganisation - Exemple API2 - LST«A» p.10/33
40 Réorganisation - Code procedure Reorganiser(var T : Maximier) ; X : Curseur ; Begin X := Racine(T) ; Repeat if not Est_Vide(sag(X)) then begin G := X; G := sag(g) ; if not Est_Vide(sad(X)) then begin D := X; D := sad(d) ; if Valeur(D) > Valeur(G) and Valeur(D) > Valeur(X) then begin Changer_Valeur(X, Valeur(D)); X := D; end else if Valeur(G) > Valeur(D) and Valeur(G) > Valeur(X) then begin Changer_Valeur(X, Valeur(G)); X := G; end else exit; end else begin Changer_Valeur(X, Valeur(G)); X := G; end; end else if not Est_Vide(sad(X)) then begin Changer_Valeur(X, Valeur(D)); X := D; end else exit; until false ; // Repeat End ; API2 - LST«A» p.11/33
41 Fabrication d un maximier Un arbre binaire quelconque contient des maximiers : toutes ses feuilles. API2 - LST«A» p.12/33
42 Fabrication d un maximier Un arbre binaire quelconque contient des maximiers : toutes ses feuilles. Les sous-arbres de hauteur 2 sont donc des pré-maximiers. API2 - LST«A» p.12/33
43 Fabrication d un maximier Un arbre binaire quelconque contient des maximiers : toutes ses feuilles. Les sous-arbres de hauteur 2 sont donc des pré-maximiers. Par réorganisations successives, on peut transformer tous les sous-arbres de hauteur 2 en maximiers, puis ceux de hauteur 3, etc... API2 - LST«A» p.12/33
44 Fabrication d un maximier Un arbre binaire quelconque contient des maximiers : toutes ses feuilles. Les sous-arbres de hauteur 2 sont donc des pré-maximiers. Par réorganisations successives, on peut transformer tous les sous-arbres de hauteur 2 en maximiers, puis ceux de hauteur 3, etc... Il faudra donc parcourir les sous-arbres par hauteurs croissantes (les sous-arbres les plus profonds en premier). API2 - LST«A» p.12/33
45 Fabrication - Exemple API2 - LST«A» p.13/33
46 Fabrication - Exemple API2 - LST«A» p.13/33
47 Fabrication - Exemple API2 - LST«A» p.13/33
48 Fabrication - Exemple API2 - LST«A» p.13/33
49 Fabrication - Exemple API2 - LST«A» p.13/33
50 Fabrication - Exemple API2 - LST«A» p.13/33
51 Fabrication - Exemple API2 - LST«A» p.13/33
52 Fabrication - Code récursif Cet algorithme s exprime facilement de façon récursive procedure Fabriquer_maximier(C : Curseur) Begin if not Est_Vide(sag(X)) then begin G := X; G := sag(g) ; Fabriquer_maximier(G) ; end; // if if not Est_Vide(sad(X)) then begin D := X; D := sad(d) ; Fabriquer_maximier(D); end; // if // on a maintenant un pré-maximier Reorganiser(C); End ; // Fabriquer_maximier API2 - LST«A» p.14/33
53 Fabrication - Code itératif Cet algorithme peut aussi s exprimer (informellement) de façon itérative par for h := 2 to hauteur(arbre) do begin Réorganiser tous les sous-arbres de hauteur h ; end; // for Mais l interface d arbre proposée jusqu ici ne permet pas d implémenter aisément cette version itérative, faute de moyen efficace pour parcourir tous les sous-arbres d une hauteur donnée. API2 - LST«A» p.15/33
54 Tri-Arbre : Heapsort L utilisation des maximiers peut amener à une méthode de tri appelée Tri-arbre ou Heapsort. Description informelle de l algorithme : Tri_Arbre(var T : Tableau) Begin Constituer un arbre contenant les valeurs de T; Fabriquer un maximier à partir de cet arbre; for i:=low(t) to high(t) do begin Ranger le maximum dans T[i] ; Retirer le maximum de l arbre ; end; // for End ; // Tri_Arbre En pratique, cette méthode de tri est employée dans le cas d une implémentation d arbre bien particulière : le tas. API2 - LST«A» p.16/33
55 La structure de Tas La structure de tas permet de représenter, dans un tableau, un arbre quasi-équilibré, dont les feuilles à profondeur maximale sont situées le plus à gauche possible. API2 - LST«A» p.17/33
56 La structure de Tas La structure de tas permet de représenter, dans un tableau, un arbre quasi-équilibré, dont les feuilles à profondeur maximale sont situées le plus à gauche possible. Elle consiste à ranger les valeurs portées par les nœuds API2 - LST«A» p.17/33
57 La structure de Tas La structure de tas permet de représenter, dans un tableau, un arbre quasi-équilibré, dont les feuilles à profondeur maximale sont situées le plus à gauche possible. Elle consiste à ranger les valeurs portées par les nœuds par profondeur croissante API2 - LST«A» p.17/33
58 La structure de Tas La structure de tas permet de représenter, dans un tableau, un arbre quasi-équilibré, dont les feuilles à profondeur maximale sont situées le plus à gauche possible. Elle consiste à ranger les valeurs portées par les nœuds par profondeur croissante de gauche à droite (pour une profondeur donnée). API2 - LST«A» p.17/33
59 La structure de Tas La structure de tas permet de représenter, dans un tableau, un arbre quasi-équilibré, dont les feuilles à profondeur maximale sont situées le plus à gauche possible. Elle consiste à ranger les valeurs portées par les nœuds par profondeur croissante de gauche à droite (pour une profondeur donnée). un arbre = un tableau un curseur = un indice du tableau un nœud = une case du tableau API2 - LST«A» p.17/33
60 Tas - Exemple API2 - LST«A» p.18/33
61 Tas dans 1 tableau d indices 1..n T(1) T(2) T(3) T(4) T(5) T(6) T(7) T(8) T(9) T(10) T(11) T(12) Racine 1 Successeur gauche 2i Successeur droite 2i + 1 i Prédecesseur 2 Est_Feuille 2i > n Possède 2 successeurs 2i < n Possède 1 seul successeur 2i = n Dernier nœud interne n 2 API2 - LST«A» p.19/33
62 Tas - Cas général T[low(T)] T[low(T)+1] T[low(T)+2] T[low(T)+3] T[low(T)+4] T[low(T)+5] T[low(T)+6] T[high(T)] Racine low(t) Successeur gauche 2i low(t) + 1 Successeur droite 2i low(t) Prédecesseur (i + low(t) 1) 2 Est_Feuille 2i low(t) + 1 > high(t) Possède 2 successeurs 2i low(t) + 1 < high(t) Possède 1 seul successeur 2i low(t) + 1 = high(t) 1 Dernier nœud interne (high(t) + low(t) 1) 2 API2 - LST«A» p.20/33
63 La structure de Tas Les moins API2 - LST«A» p.21/33
64 La structure de Tas Les moins Les arbres auront une taille maximale, celle du tableau. API2 - LST«A» p.21/33
65 La structure de Tas Les moins Les arbres auront une taille maximale, celle du tableau. Un nœud est associé à une case (fixée) du tableau. la suppression d un nœud ou l insertion d un nouveau nœud sont impossibles. API2 - LST«A» p.21/33
66 La structure de Tas Les moins Les arbres auront une taille maximale, celle du tableau. Un nœud est associé à une case (fixée) du tableau. Les plus API2 - LST«A» p.21/33
67 La structure de Tas Les moins Les arbres auront une taille maximale, celle du tableau. Un nœud est associé à une case (fixée) du tableau. Les plus Pas besoin de pointeurs. API2 - LST«A» p.21/33
68 La structure de Tas Les moins Les arbres auront une taille maximale, celle du tableau. Un nœud est associé à une case (fixée) du tableau. Les plus Pas besoin de pointeurs. Le passage d un nœud à ses successeurs se fait par adressage calculé. API2 - LST«A» p.21/33
69 La structure de Tas Les moins Les arbres auront une taille maximale, celle du tableau. Un nœud est associé à une case (fixée) du tableau. Les plus Pas besoin de pointeurs. Le passage d un nœud à ses successeurs se fait par adressage calculé. Possibilité de calculer également l emplacement du prédécesseur. API2 - LST«A» p.21/33
70 La structure de Tas Les moins Les arbres auront une taille maximale, celle du tableau. Un nœud est associé à une case (fixée) du tableau. Les plus Pas besoin de pointeurs. Le passage d un nœud à ses successeurs se fait par adressage calculé. Possibilité de calculer également l emplacement du prédécesseur. Possibilité de parcourir l arbre de bas en haut. API2 - LST«A» p.21/33
71 Réorganiser un Tas : Itératif procedure Reorganiser( C : Curseur ) ; I : Curseur ; begin I := C ; repeat if Possede_2_Successeurs(I) then begin if T[sag(I)] > T[sad(I)] and T[sag(I)] > T[I] then begin Echanger(T[I],T[sag(I)]); I := sag(i); end else if T[sad(I)] > T[sag(I)] and T[sad(I)] > T[I] then begin Echanger(T[I],T[sad(I)]); I := sad(i); end else // T[I] est la plus grande des 3 valeurs exit; end else if Possede_1_Seul_Successeur(I) and T[sag(I)]>T[I] then begin Echanger(T[I],T[sag(I)]); exit; end else exit; Until false ; end; // Reorganiser API2 - LST«A» p.22/33
72 Réorganiser un Tas : Récursif Reorganiser(T, C) g : Curseur ; d : Curseur ; Begin g := sag(c) ; d := sad(c) ; // on détermine max(t[c], T[g], T[d]) if g <= high(t) and T[g] > T[C] then max := g else max := C ; if d <= high(t) and T[d] > T[max] then max := d ; if max <> C then begin // c est un pré-maximier Echanger(T[C], T[max]) ; Reorganiser(T, max) ; end; // if End; // Reorganiser API2 - LST«A» p.23/33
73 Réorganiser Tas : Complexité Le temps d exécution de Reorganiser sur un sous-arbre de taille n enraciné en un nœud i est la somme du temps Θ(1) nécessaire pour corriger la relation entre les éléments T[C], T[sag(C)] et T[sad(C)], et le temps d exécution de Reorganiser sur un sous-arbre enraciné sur l un des deux fils du nœud i. API2 - LST«A» p.24/33
74 Réorganiser Tas : Complexité Le temps d exécution de Reorganiser sur un sous-arbre de taille n enraciné en un nœud i est la somme du temps Θ(1) et le temps d exécution de Reorganiser sur un sous-arbre enraciné sur l un des deux fils du nœud i. Les sous-arbres des fils ont chacun une taille au plus égale à 2n 3. Car c est un arbre binaire presque complet. API2 - LST«A» p.24/33
75 Réorganiser Tas : Complexité Le temps d exécution de Reorganiser sur un sous-arbre de taille n enraciné en un nœud i est la somme du temps Θ(1) et le temps d exécution de Reorganiser sur un sous-arbre enraciné sur l un des deux fils du nœud i. Les sous-arbres des fils ont chacun une taille au plus égale à 2n 3. Le pire des cas est atteint lorsque le dernier niveau est rempli exactement à moitié. API2 - LST«A» p.24/33
76 Réorganiser Tas : Complexité On aboutit à la relation de récurrence suivante : ( ) 2n T(n) T + Θ(1) 3 API2 - LST«A» p.25/33
77 Réorganiser Tas : Complexité On aboutit à la relation de récurrence suivante : ( ) 2n T(n) T + Θ(1) 3 On est dans le cas 2 du théorème général avec a = 1 b = 3 2 f(n) = Θ(1) Ainsi n log b a = n 0 = 1 et f(n) = Θ(n log b a ) API2 - LST«A» p.25/33
78 Réorganiser Tas : Complexité On aboutit à la relation de récurrence suivante : ( ) 2n T(n) T + Θ(1) 3 On est dans le cas 2 du théorème général avec a = 1 b = 3 2 f(n) = Θ(1) Ainsi n log b a = n 0 = 1 et f(n) = Θ(n log b a ) La solution est donc T(n) = O(log 2 n) API2 - LST«A» p.25/33
79 Fabriquer un Tas Les feuilles sont situées dans les dernières cases du tableau : T[( n 2 +1)..n]. En supposant que le tableau est indicé de 1 à n. On parcourt les sous-arbres par hauteurs croissantes en parcourant les cases du tableau en ordre inverse. API2 - LST«A» p.26/33
80 Fabriquer un Tas Les feuilles sont situées dans les dernières cases du tableau : T[( n 2 +1)..n]. On parcourt les sous-arbres par hauteurs croissantes en parcourant les cases du tableau en ordre inverse. procedure Fabriquer_Tas(var T : Arbre) ; begin for i:=dernier_arbre_h2 downto Racine do begin Reorganiser(i); // Reorganiser(T,i) end; end Fabriquer_Tas; Racine 1 et Dernier_arbre_h2 n 2. API2 - LST«A» p.26/33
81 Fabriquer un Tas Les feuilles sont situées dans les dernières cases du tableau : T[( n 2 +1)..n]. On parcourt les sous-arbres par hauteurs croissantes en parcourant les cases du tableau en ordre inverse. procedure Fabriquer_Tas(var T : Arbre) ; begin for i:=dernier_arbre_h2 downto Racine do begin Reorganiser(i); // Reorganiser(T,i) end; end Fabriquer_Tas; Le temps d exécution de Fabriquer_tas : Chaque appel à Reorganiser coûte O(log 2 n). Il existe O(n) appels de ce type. Donc, le temps d exécution est au plus O(n log n). API2 - LST«A» p.26/33
82 Exemple Soit le tableau suivant : API2 - LST«A» p.27/33
83 Exemple Soit le tableau suivant : Il lui correspond l arbre suivant : API2 - LST«A» p.27/33
84 Exemple i API2 - LST«A» p.28/33
85 Exemple i API2 - LST«A» p.28/33
86 Exemple i API2 - LST«A» p.28/33
87 Exemple i API2 - LST«A» p.28/33
88 Exemple 1 i API2 - LST«A» p.28/33
89 Exemple API2 - LST«A» p.28/33
90 Fabriquer Tas : Complexité Une analyse plus fine est basée sur les propriétés des tas : API2 - LST«A» p.29/33
91 Fabriquer Tas : Complexité Une analyse plus fine est basée sur les propriétés des tas : La hauteur d un tas à n éléments est h = log 2 n. API2 - LST«A» p.29/33
92 Fabriquer Tas : Complexité Une analyse plus fine est basée sur les propriétés des tas : La hauteur d un tas à n éléments est h = log 2 n. 1 sous-arbre de hauteur h, 2 sous-arbres de hauteur h 1, 4 sous-arbres de hauteur h 2 API2 - LST«A» p.29/33
93 Fabriquer Tas : Complexité Une analyse plus fine est basée sur les propriétés des tas : La hauteur d un tas à n éléments est h = log 2 n. 2 h i sous-arbres de hauteur i. Le temps de calcul de Reorganiser sur un nœud de hauteur h est O(h). API2 - LST«A» p.29/33
94 Fabriquer Tas : Complexité Une analyse plus fine est basée sur les propriétés des tas : La hauteur d un tas à n éléments est h = log 2 n. 2 h i sous-arbres de hauteur i. Le temps de calcul de Reorganiser sur un nœud de hauteur h est O(h). Le coût total pour Fabriquer_tas sera ( h h T(n) = 2 h i O(i) = O 2 h i=0 i=0 ) i 2 i API2 - LST«A» p.29/33
95 Fabriquer Tas : Complexité On a l égalité : i=0 i 2 i = 1/2 (1 1/2) 2 = 2 Obtenue en remplaçant x par 1/2 et k par i dans la formule : k=0 kx k = x (1 x) 2 API2 - LST«A» p.30/33
96 Fabriquer Tas : Complexité On a l égalité : i=0 i 2 i = 1/2 (1 1/2) 2 = 2 Donc, le temps d exécution de Fabriquer_tas peut être borné par O n log 2 n i=0 i 2 i = O ( n i=0 ) i 2 i = O(n 2) = O(n) API2 - LST«A» p.30/33
97 Fabriquer Tas : Complexité On a l égalité : i=0 i 2 i = 1/2 (1 1/2) 2 = 2 Donc, le temps d exécution de Fabriquer_tas peut être borné par O n log 2 n i=0 i 2 i = O ( n i=0 ) i 2 i = O(n 2) = O(n) Ainsi, on peut construire un tas à partir d un tableau non ordonné en un temps linéaire. API2 - LST«A» p.30/33
98 Le tri par tas : Heapsort On construit un tas par Fabriquer_Tas à partir de T[1..n], n=length(t). API2 - LST«A» p.31/33
99 Le tri par tas : Heapsort On construit un tas par Fabriquer_Tas à partir de T[1..n], n=length(t). L élément maximum de T se trouve à la racine T[1]. API2 - LST«A» p.31/33
100 Le tri par tas : Heapsort On construit un tas par Fabriquer_Tas à partir de T[1..n], n=length(t). L élément maximum de T se trouve à la racine T[1]. On le place à sa position finale en l échangeant avec T[n]. API2 - LST«A» p.31/33
101 Le tri par tas : Heapsort On construit un tas par Fabriquer_Tas à partir de T[1..n], n=length(t). L élément maximum de T se trouve à la racine T[1]. On le place à sa position finale en l échangeant avec T[n]. On décrémente la taille du tableau en ne considérant que le sous-tableau T[1..(n-1)]. API2 - LST«A» p.31/33
102 Le tri par tas : Heapsort On construit un tas par Fabriquer_Tas à partir de T[1..n], n=length(t). L élément maximum de T se trouve à la racine T[1]. On le place à sa position finale en l échangeant avec T[n]. On décrémente la taille du tableau en ne considérant que le sous-tableau T[1..(n-1)]. On transforme T[1..(n-1)] en tas puisque les fils de la racine restent des tas. Il y aura éventuellement à descendre la nouvelle racine à sa place. API2 - LST«A» p.31/33
103 Exemple API2 - LST«A» p.32/33
104 Exemple i API2 - LST«A» p.32/33
105 Exemple i API2 - LST«A» p.32/33
106 Exemple i 16 API2 - LST«A» p.32/33
107 Exemple i 16 API2 - LST«A» p.32/33
108 Exemple i API2 - LST«A» p.32/33
109 Exemple i API2 - LST«A» p.32/33
110 Exemple i API2 - LST«A» p.32/33
111 Exemple i API2 - LST«A» p.32/33
112 Exemple i API2 - LST«A» p.32/33
113 Exemple i API2 - LST«A» p.32/33
114 Exemple i API2 - LST«A» p.32/33
115 Exemple i API2 - LST«A» p.32/33
116 Exemple i API2 - LST«A» p.32/33
117 Tri Tas : Code Tri_Tas(T) Begin Fabriquer_Tas(T) ; n := Length(T) ; for i:=n downto 2 do begin Echanger(T[1], T[i]) ; Reorganiser(T[1..n-1], 1) ; end; End ; API2 - LST«A» p.33/33
118 Tri Tas : Code Tri_Tas(T) Begin Fabriquer_Tas(T) ; n := Length(T) ; for i:=n downto 2 do begin Echanger(T[1], T[i]) ; Reorganiser(T[1..n-1], 1) ; end; End ; L appel à Fabriquer_Tas prend un temps en O(n). API2 - LST«A» p.33/33
119 Tri Tas : Code Tri_Tas(T) Begin Fabriquer_Tas(T) ; n := Length(T) ; for i:=n downto 2 do begin Echanger(T[1], T[i]) ; Reorganiser(T[1..n-1], 1) ; end; End ; L appel à Fabriquer_Tas prend un temps en O(n). Chacun des n 1 appels à Reorganiser prend un temps en O(log n). API2 - LST«A» p.33/33
120 Tri Tas : Code Tri_Tas(T) Begin Fabriquer_Tas(T) ; n := Length(T) ; for i:=n downto 2 do begin Echanger(T[1], T[i]) ; Reorganiser(T[1..n-1], 1) ; end; End ; L appel à Fabriquer_Tas prend un temps en O(n). Chacun des n 1 appels à Reorganiser prend un temps en O(log n). La complexité de Tri_Tas est donc en O(n log n). API2 - LST«A» p.33/33
Les arbres binaires de recherche
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