Travaux dirigés de physique statistique PA 102 Concepts classiques... Correction

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1 Travaux drgés d hysqu statstqu PA 102 Cocts classqus... Corrcto Exrcc 1 Calculos l ombr d comlxos dstcts faço d réartr ls artculs das ls bots sous ls dvrss hyothèss statstqus : 1. Equlbr d artculs dscrabls das ds vaux d érg qulcoqus t dégéérés. O cosdèr qu la bot cotat ls artculs d érg ε st décomosé g comartmts ouvat cotr chacu u ombr qulcoqu d artculs. Pour trouvr l ombr d comlxos corrsodat, Das l vau, l y a g comartmts dsobls our la rmèr artcul, touours g our la duxèm, car r l trdt mécaqu classqu, tc... l y a doc g ossbltés offrts ar la dégéérscc d chaqu vau. Par allurs ls artculs état dscrabls chaqu rmutato ds artculs dora u ouvll comlxo. Ef, ls rmutatos ds artculs dot as u ouvl état, fal l ombr total d comlwo st doé ar W 1 =!! 2. Equlbr d artculs dscrabls das ds vaux d érg qulcoqus t dégéérés. S ls artculs sot dscrabls r st chagé lorsqu l o rmut dux artculs d u bot à l autr. L factur d rmutato!/! st doc ramé à 1... Das u bot doé l y a lus g réarttos dstcts mas w = C g 1+, comm das la réartto qu codut à la dstrbuto d Bos-Est. O comrd très faclmt c calcul, l y a tout +g 1 élémts à rmutr : ls g 1 aros ds clluls t ls artculs, ls aros sot dscrabls comm ls artculs, lurs rmutatos dovt as êtr comtablsés, falmt o a b xlctat o trouv w = g 1+! g 1!! = C g 1+ g = C g 1+ g 1 w = g g +1 g 1+! = g +0 g +1 g + 1 = g!! 1+ 0g 1+ 1g S l o ut far l hyothès d fabl dégéérscc g g tous ls trms du rodut sot égaux à 1 horms l rmr t l o obtt w = g! t doc W 2 = g! 1

2 O ut à rést s «lacr»das ls calculs d réartto d équlbr, d érg t d tro. 1. Equlbr avc dégéérscc artculs dscrabls W 1 =! détrmos la dstrbuto d équlbr, c st comm das l oly... dw 1 = d g d + = g +1 d = 0 du = d ε = 0 d = d = 0 avc tros multlcaturs o uls, o trouv a g +1 d +b d ε +c d = 0 a g +a+c+bε d = 0 ls varatos d état dédats, osat β = b/a t λ = x a+c a, l vt g! o = λg βε La cotrat sur l ombr d artculs rmt d avor = o = λg βε sot λ = g βε trodusat la focto d artto Z = g βε o obtt falmt o = Z g βε OadmtquZ = h 3 2πm/β 3/2.Crésultatstdédatdurstduroos,lrovt d u assag à la lmt comlètmt ustfé t d u résultat d mécaqu quatqu, l sra démotré cours u u lus tard! Par défto S 1 = kw 1, l xrsso d W 1 rmt doc d écrr S 1 = k +k g à l équlbr ous avos o g = Z βε doc g o = Z +βε 2

3 t our l tro d équlbr S 1 = k +k o Z +βε = k +k Z o +kβ ε = k +k Z +kβu = k Z +kβu utlsat l xrsso d Z gracusmt four ar ls gtls orgasaturs, o trouv S 1 = k + 3 2πm 2 +β U h 2 β o ut mêm allr lus lo écrvat l érg tr à l équlbr U = o ε = Z g βε ε o = Z o rcoaît la focto d artto t l o a U = Z Z β g βε = β Z Z = β avc l xrsso d Z o trouv, l équartto d l érg t l tro s smlf U = 3 2 β S 1 = 3 2 2πm 2 k h 2 β β g βε O a doc S 1 = S 1,,β E réussat dux systèms dtqus à la mêm tmératur, l ombr d artcul t l volum sot doublés aramètrs xtsfs comm dvrat l êtr l tro or S 1 2,2,β 2S 1 Il y a u roblèm car l tro st as xtsv das c modèl! 2. Equlbr avc dégéérscc fabl t dscrablté ds artculs. S ls artculs sot dscrabls, l sufft d tout rfar u trosèm fos avc la ouvll xrsso du ombr comlxos dstcts W 2 = g! C st l ombr d comlxos rs comt das la statstqu d Maxwll-Boltzma Corrgé. O costat qu W 1 =! W 2 3

4 mas l rasomt qu rmt d l comrdr st as auss sml qu cla... L rst st lus qu u calcul qu ous avos déà fat 3 fos : la dstrbuto d équlbr st touours cll d Maxwll-Boltzma car dw 1 = dw 2, l va doc d mêm d l érg tr U = ε. Par cotr, l tro t tous ls ottls qu sot costruts à artr d l tro F = U TS, G = H TS ar xml sot modfés. Pour l tro l calcul do à l équlbr S 2 = kw 2 = k +k g = k +k Z +βε = k +k Z +kβ = k 1+ Z + βu ε la mêm xrsso d la focto d artto Z rmt touours d écrr U = o a doc S 2 = k 1+ Z Z β β avc touours Z = h 3 2πm/β 3/2 o a matat S 2 = k πm h 2 β Z β O a touours S 2 = S 2,,β mas matat l raort ds dux gradurs xtsvs t rmt d écrr S 2 2,2,β = 2 S 2,,β L tro st b xtsv coformémt à l xérc t surtout à sa défto... L aradox d Gbbs st doc l suvat : Pour rtrouvr u xrsso corrct d l tro à artr d cosdératos statstqus l st écssar d cosdérr qu ls artculs classqus sot dscrabls. Ctt rorété st ourtat l aaag d la théor quatqu. Hstorqumt, Gbbs s état arcu dès la duxèm moté du XIX sècl qu l calcul d l tro utlsat la formul d Boltzma osat ds roblèms avc la statstqu d Maxwll-Boltzma. La corrcto aorté rtrat l factur! allat vr qu b lus tard lorsqu la mécaqu quatqu vdra mosr l dscrablté ds artculs. O arl alors d statstqu d Maxwll-Boltzma corrgé. Exrcc 2 Ls hoos état ds bosos l ombr d comlxos réalsabls ar lur réartto das ls dvrs états d érg st doé ar W = C +g 1 = +g 1!!g 1!. 4

5 Ls élctros état ds frmos, c mêm ombr st matat doé ar W = C g = g!! g! L ombr d comlxos réalsabls ar l mélag st l rodut W = W W. Sous l hyothès d Boltzma, l équlbr corrsod aux réarttos α t β qu rdt maxmal W ou, c qu st équvat, W. E outr chaqu réartto dot satsfar ls cotrats U = U +U = ε + ε = cst t = = cst ous vrros qu ls hoos corrsodt à ds mods d vbrato, ls sot sas css éms t absorbés, lur ombr total st as cosrvé. L état d équlbr corrsod à la soluto du roblèm d otmsato suvat : max W W avc, ε + ε = cst t = cst L xtrmum st attt lorsqu l o a smultaémt dw W = +g 1!!g 1! d + g!! d g! = 0 du = d ε + d ε = 0 d = d = 0 S ls quattés,, g t g sot touts très grads dvat 1, o ut utlsr la formul d Strg t l o a +g 1!!g 1! = [ +g 1!] [!] [g 1!] +g 1 +g 1 +g 1 + g 1g 1+g 1 = +g 1 +g 1 +g 1 g 1 +g +g +g g as +g 1!!g 1! = +g = +g g +g + g +g 5

6 d mêm g!! g g! g g + g g + g g = g g g t g!! g! l systèm à résoudr s écrt doc +g = g g g = d + g g 1 g d = 0 d ε + d ε = 0 d = 0 O multl chaqu lg ar u rél o ul t o fat la somm our trouvr a +g g d +a d +b d ε +b d ε +c rgrouat ls somms l vt [ ] a +g +bε d + [ a g d = 0 ] +bε +c d = 0 1 Ls quattés d sot dédats tr lls t dédats ds d. Ls dux combasos éars qu rréstt ls somms 1 sot doc ulls qu s tous ls coffcts ds dux somms sot uls, sot, a +g +bε = 0 g, a +bε +c = 0 comm a 0, o ut osr β = b/a t α = c/a our avor, = g xβε 1, = g x α+βε +1 O rtrouv b ls réarttos d équlbr d chaqu famll assocés au mêm aramètr β. 6