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1 Cours d informtique théorique de M. Arfi FMdKdD fmdkdd [à] free.fr Université du Hvre Année

2 Tle des mtières 1 Reltions et lois de composition internes Reltions Lois de compositions internes Monoïdes lires, mots, lngges Semi-groupes et monoïdes Monoïdes lires et mots Lngges Note importnte Automtes et lngges reconnissles Définitions et propriétés Représenttion pr grphe d étts Représenttion pr tle de trnsition Propriétés Lngges reconnissles Simplifiction d utomtes Stndrdistion Émondge Automtes déterministes et déterministion d utomtes Automtes déterministes Déterministion Automte miniml d un lngge reconnissle Minimistion d utomtes Logique? Éléments de clcul propositionnel Formules du clcul propositionnel Vleur de vérité d une formule Stisfiilité et conséquence tutologique Formes normles

3 Chpitre 1 Reltions et lois de composition internes 1.1 Reltions Définitions 1.1. Une reltion (inire) est un triplet R = (E, F, G). E est l ensemle de déprt de R, F son ensemle d rrivée et G une prtie du produit crtésien E E = (x, y)/x E, y F, ppelée grphe de R et souvent notée R. On note R : E F, ou encore E R F, pour désigner une reltion R de E dns F. On écrit hituellement xr y pour signifier que le couple (x, y) R. Lorsque E = F, on dit que R est une reltion sur E. Pour un élément x E, on note, suivnt l usge, R(x) l ensemle des imges de x pr l reltion R. R(x) = y F/xR y. Remrquons qu il est possile d voir R(x) = pour certins éléments x E. À ce titre, l ensemle complémentire, c est à dire {x E/R(x) }, est ppelé ensemle de définition de R, noté R. L notion d imge peut se générliser à toute une prtie X de E en posnt : R(X) = R(x) = y F/ x X, xr y x X Proposition 1.1. Soit R : E F une reltion. On, pour toutes prties X et X de E : R(X X ) = R(X) R(X ) Proposition 1.2. Toute reltion R : E F possède une reltion inverse (ou réciproque), notée R 1. Il s git de l reltion de F vers E qui est crctérisée pr : yr 1 x xr y Elle pour grphe R 1 = (y, x) F E/(x, y) R Exemple. On désigne pr ω = (E, F, E F) l reltion universelle de E vers F. Elle dmet ien sûr pour inverse l reltion universelle de F dns E. L reltion universelle sur un ensemle E, égle à s réciproque, est notée ω E. 2

4 CHAPITRE 1. RELATIONS ET LOIS DE COMPOSITION INTERNES 3 Définitions 1.2. Conformément à l définition donnée plus hut, on otient pour tout y F : R 1 (y) = x E/yR 1 x = x E/xR y On dit que R 1 est l ensemle des ntécédents de y pr l reltion R. On en déduit pour une prtie Y de F : R 1 (Y) = R 1 (y) = x E/ y Y, xr y y Y ou encore : R 1 (Y) = {x E/Y R(x) } Dns le cs où R(x) 1 pour tout x E, on dit que l reltion R : E F est une fonction : chque élément de l ensemle de déprt u plus une imge. On retrouve l notion hituelle d ppliction lorsque R(x) = 1 pour tout x E : tout élément de l ensemle de déprt exctement une imge. En définitive, une ppliction f : E F correspond à l reltion E, F, (x, f (x))/x E L écriture stndrd y = f (x) se sustitue lors à x f y. Et de mnière réciproque, toute reltion R : E F peut être ssimilée à l ppliction τ : E (F) = 2 F, qui à x ssocie R(x). Exemple. Pour un ensemle E, on note l digonle de E E : = {(x, x)/x E} L reltion Id E = (E, E, ) est ppelée identité ou ppliction identique sur E. C est l reltion qui correspond à l églité sur un ensemle. Définition 1.3. Soit f : E F une ppliction. On dit que f est injective si tout élément de F u plus un ntécédent dns E. Proposition 1.3. Soit f : E F une ppliction. Les ffirmtions suivntes sont équivlentes : 1. f est injective. 2. x, x E, f (x) = f (x ) x = x. 3. x, x E, x x f (x) f (x ). Définition 1.4. On dit qu une ppliction f : E F est surjective si tout élément de F u moins un ntécédent dns E, c est à dire : y F, x E, y = f (x) Proposition 1.4. Une ppliction f : E F est surjective si et seulement si f (E) = F. Définition 1.5. Une ppliction f : E F est ijective si elle est à l fois injective et surjective. On dit que c est une ijection. Dns ce cs, tout élément de F exctement un ntécédent dns E.

5 CHAPITRE 1. RELATIONS ET LOIS DE COMPOSITION INTERNES 4 Définition 1.6. Soient R : E F et S : F G deux reltions. L reltion composée notée S R : E G pour expression : x(s R)z y F, xr y et ysz Cel donne lors pour un élément x de E : (S R)(x) = S(R(x)) = S(y) = z G/ y F, xr y et ysz y R(x) Remrque. L composition hituelle g f des deux pplictions f et g constitue ien évidemment cs prticulier de cette définition. On v s intéresser mintennt ux reltions définies sur un ensemle E. Définitions 1.7. Soit donc R une telle reltion. On dit que R est : réflexive si : x E, xrx. symétrique si : x, y E, xr y yrx. ntisymétrique si : x, y E, xr y et yrx x = y. trnsitive si : x, y, z E, xr y et yrz xrz. Une reltion R à l fois réflexive et trnsitive est une reltion de préordre. Si de plus R est ntisymétrique, on dit qu il s git d une reltion d ordre prtiel. Une reltion d ordre totl est une reltion d ordre R telle que pour tout couple (x, y) E E, on it xr y ou yrx. Remrque. L ensemle des reltions sur E peut à son tour être muni d une reltion d ordre prtiel. On ordonne ses éléments pr inclusion de leurs grphes. Ainsi, on dir que R est plus fine que S, ou que S est plus grossière que R, si R S. Définition 1.8. Une reltion d équivlence est une reltion R sur E réflexive, symétrique et trnsitive. L prtie R(x), pour un élément x E, est ppelée clsse d équivlence de x pr R (ou modulo R). Elle est souvent notée ẋ ou encore C x, voire C(x). Définition 1.9. Les clsses d équivlences modulo R forment ce qu on ppelle une prtition de E, en ce sens qu elles sont deux à deux disjointes et que leur réunion fit E. L ensemle de toutes ces clsses, noté E/R, est ppelé ensemle quotient de E pr R : E/R = {R(x)/x E}. L index de R est le crdinl de E/R (le nomre de clsses). On prle de reltion d équivlence d index fini pour signifier que le crdinl de E/R est fini. On définit en outre l projection nturelle (ou cnonique) π : E E/R qui ssocie x à R(x) = ẋ. L ppliction π est surjective et vérifie de plus l églité π 1 (π(c)) = C pour toute clsse d équivlence C. Exemple. L reltion universelle ω E sur un ensemle E, de même que l ppliction identité Id E, constituent deux reltions d équivlences sur E. L première est l plus grossière des reltions sur E et possède une seule clsse. L seconde est l équivlence l plus fine, et pour index E. L identité représente ussi une reltion d ordre sur E, et cet ordre est purement prtiel dès que E > Lois de compositions internes Définition Soit E un ensemle. On ppelle loi de composition interne (lci) ou opértion (inire) sur E toute ppliction de E E dns E.

6 CHAPITRE 1. RELATIONS ET LOIS DE COMPOSITION INTERNES 5 Nottion. On utilise très fréquemment une écriture infixée pour décrire de telles lois : x y, x y, x y, x y, x y, x y, ou simplement x y, de préférence à l nottion préfixée clssique en mtière d pplictions. Définition Lorsqu un ensemle E est muni d une opértion, on dit que le couple (E, ) forme un mgm. Dns le cs où E est fini, on peut consigner l loi qui le structure dns un tleu dénommé tle de Pythgore. Exemple. Soit l ensemle E = {,, c}. L tle ci-près décrit une opértion sur E. c c c c On y constte en prticulier que = et =. Définition Soit E un ensemle. Une loi définie sur E est dite : 1. commuttive si : x, y E, x y = y x 2. ssocitive si : x, y, z E, x (y z) = (x y) z Selon le cs, le mgm (E, ) est lors qulifié de commuttif ou ssocitif. Exemple. L ddition et le produit usuels des réels sont à l fois commuttifs et ssocitifs. Pr contre, l soustrction dns et l division dns \{0} ne possèdent ucune de ces deux propriétés. Définition Soient (E, ) et (F, ) deux mgms. Un homomorphisme, ou simplement morphisme, est une ppliction ϕ : E F telle que : x, y E, ϕ(x y) = ϕ(x) ϕ(y) En d utres termes, un morphisme est une ppliction qui préserve l loi. Qund E = F, et =, on dit que ϕ est un endomorphisme. On dit qu un morphisme ϕ : (E, ) (F, ) est un isomorphisme si s reltion réciproque ϕ 1 est églement un morphisme. Proposition 1.5. Un morphisme ϕ est un isomorphisme si et seulement s il est ijectif. Démonstrtion. Si ϕ est un isomorphisme, il est clir qu il est ijectif, puisque s reltion réciproque ϕ 1 est en prticulier une ppliction. Inversement, si ϕ est un morphisme ijectif, on otient pour tous y 1, y 2 F : ϕ 1 (y 1 y 2 ) = ϕ 1 ϕ ϕ 1 (y 1 ) ϕ ϕ 1 (y 2 ) = ϕ 1 ϕ ϕ 1 (y 1 ) ϕ 1 (y 2 ) = ϕ 1 (y 1 ) ϕ 1 (y 2 ) On en déduit que ϕ 1 est un morphisme. Exemple. L fonction log : + \ {0} représente un morphisme, et même un isomorphisme, de ( + \{0}, ) sur (, ), puisque, outre le fit qu elle soit ijective, on : log = log log

7 CHAPITRE 1. RELATIONS ET LOIS DE COMPOSITION INTERNES 6 Définition Soit (E, ) un mgm. On dit qu un élément e E est idempotent si e e = e. Le mgm est qulifié d idempotent lorsque tous ses éléments le sont. Ni l existence, ni l unicité d un idempotent dns un mgm ne sont systémtiques. Exemple. On voit en prticulier ici que l ensemle des entiers nturels peut à lui seul disposer de plusieurs structures différentes : ( \ {0}, +) est un mgm sns idempotents. (, +) contient exctement un idempotent, l entier 0. (, ) contient deux idempotents : 0 et 1. Qunt u mgm ssocitif et commuttif (, min), vec il est tout entier idempotent. m min n = inf(m, n) On v voir mintennt deux sortes d idempotents remrqules. Définition Soit (E, ) un mgm. On dit qu un élément e E est sornt si x E, x e = e x = e Pr nlogie vec l multipliction dns, un tel élément est souvent ppelé zéro, voire noté 0. Son existence n est ps ssurée (cr il s git d un idempotent prticulier). Cependnt il est fcile d étlir son unicité. Définition Soit (E, ) un mgm. On dit qu un élément e E est neutre pour l loi si : x E, x e = e x = x Toujours pr nlogie vec le produit des réels, un élément neutre est ussi ppelé unité, et souvent noté 1. Son existence n est ps toujours ssurée. Mis lorsqu il existe, un tel élément est unique. Définition Soit (E, ) un mgm dmettnt un élément neutre e. On dit qu un élément x E est symétrisle pour l loi, s il existe x E vérifint x x = x x = e. On dit que l élément x est symétrique de x pour cette loi. Dns certins cs, on emploie des termes prticuliers. Lorsque l loi est dditive, on prle d opposé pour désigner un symétrique. Lorsque l loi est ssimille à un produit, on dit inverse. Ni l existence, ni l unicité d un symétrique ne sont certines pour un élément donné quelconque. Pr exemple, dns le mgm ssocitif (, ) de neutre 1, tout réel est inversile à l exception de 0. L tle qui suit fournit l exemple d un élément dmettnt deux symétriques dns un mgm commuttif : e e e e e e Ici l élément n dmet que pour symétrique, lors que dmet et en tnt que symétriques. Cel vient du fit que l loi considérée ici n est ps ssocitive. On en effet : () = e = et () = e =.

8 CHAPITRE 1. RELATIONS ET LOIS DE COMPOSITION INTERNES 7 Proposition 1.6. Dns le cdre d une loi ssocitive disposnt d une unité, lorsqu un élément possède un symétrique, ce dernier est unique. Démonstrtion. Notons l opértion en question et e sont élément neutre. Supposons pr l surde qu il existe un élément x ynt deux symétriques : x et x. On otient lors, l loi étnt ssocitive : D où x = x. x = x e = x (x x ) = (x x) x = e x = x Définition Soit (G, ) un mgm. On dit qu il s git d un groupe si : 1. l loi est ssocitive (mgm ssocitif), 2. l loi dmet un élément neutre, 3. tout élément de G est symétrisle pour l loi. Exemples. G = {1} est un groupe. ( /2, +) est un groupe : ( \ {0}, ) est un groupe, (, +) ussi. (, +), ( \ {0}, ), églement... Définition Le groupe (G, ) est dit commuttif, ou élien, lorsque l loi est commuttive. Définition Soit (G, ) un groupe et H une prtie de G. On dit que (H, ) est un sous-groupe de (G, ) lorsque (H, ) est lui-même un groupe (pour l loi induite pr celle de G). On plusieurs crctéristions pour un sous-groupe. Proposition 1.7. (H, ) est un sous-groupe de (G, ), d élément neutre e, si : 1. e H 2. x, y H, x y H (stilité de l composition). 3. x H, x 1 H (stilité de l inverse). Proposition 1.8. (H, ) est un sous groupe de (G, ) si : 1. H, 2. x, y H, x y 1 H. Exemple. (, +) est un sous groupe de (, +). ( \ {0}, ) est un sous groupe de ( \ {0}, ).

9 Chpitre 2 Monoïdes lires, mots, lngges 2.1 Semi-groupes et monoïdes Définition 2.1. On ppelle semi-groupe un mgm ssocitif. L loi dns un semi-groupe est générlement notée multiplictivement, de symole «.». On note souvent simplement S tout le semi-groupe (S,.). Exemple. ( \ {0}, +), (, min),... Définition 2.2. On ppelle sous semi-groupe d un semi-groupe S toute prtie T de S qui constitue un semi-groupe pour l loi induite pr celle de S. En fit, T est un sous semi-groupe de S si et seulement si T est stle pour l loi de S : x, y T, x y T Lorsque l loi est commuttive, on dit que le semi-groupe est commuttif. Dns ce cs, l loi est souvent notée dditivement. Définition 2.3. Si S et T représentent deux semi-groupes. On ppelle morphisme de S dns T toute ppliction ϕ : S T telle que : x, y S, ϕ(x y) = ϕ(x)ϕ(y) Définition 2.4. On ppelle monoïde tout semi-groupe possédnt un élément neutre. Ce dernier est générlement noté 1. On note générlement M tout le monoïde (M,., 1). Exemples. (, +, 0) est un monoïde, insi que ( { }, min, ),... Définition 2.5. Soient M un monoïde et N M. On dit que N est un sous-monoïde de M si : 1. 1 M N, 1 M étnt l élément neutre de M, 2. x, y N, x y N, N sous semi-groupe de M. 8

10 CHAPITRE 2. MONOÏDES LIBRES, MOTS, LANGAGES 9 Exemple. Considérons le monoïde U 1 = {1, 0}, idempotent et commuttif, donné pr l tle de Pythgore suivnte : élément neutre, 0 sornt. On remrque que {0}, {1} et U 1 sont tous des monoïdes inclus dns U 1. Pourtnt, seuls {1} et U 1 sont des sous monoïdes de U 1. Proposition 2.1. Soit M un monoïde. L ensemle des éléments inversiles de M constitue un groupe (mximl) inclus dns M. On l ppelle groupe des unités de M. Définition 2.6. Soient M et N deux monoïdes. Un morphisme de monoïdes ϕ : M N est une ppliction qui vérifie : 1. x, y M, ϕ(x y) = ϕ(x)ϕ(y) 2. ϕ(1) = 1 Exemple. L fonction exponentielle représente un morphisme de monoïdes (et même un isomorphisme) de (, +) dns ( + \ {0}, ). Elle est ijective et vérifie : 1. e x+y = e x e y 2. e 0 = 1 Définition 2.7. Soient S un semi-groupe et X, Y deux prties de S. On pose XY = {x y/x X, y Y} L opértion sur les prties insi définies donne à l ensemle (S) = 2 S une structure de semi-groupe. On dit qu il s git du produit dns (S), induit pr celui de S. Si mintennt P représente une prtie de S. On définit s puissnce itérée de l mnière suivnte : P 1 = P P n+1 = P n P = PP n, n 1 Puis finlement, P + = P n = p 1 p 2... p n /n > 0, p i P, 1 i n n>0 L opértion unire «+» qui vient d être définie porte le nom d étoile propre. Définition 2.8. Soient S un semi-groupe et P S. On ppelle sous semi-groupe de S engendré pr P le plus petit sous semi-groupe de S contennt P (u sens de l inclusion). On dit dns ce cs que P représente un ensemle, ou un système, de générteurs de T. Proposition 2.2. Pour toute prtie P de S, P + représente le sous semi-groupe de S engendré pr P. Exemple. On ( \ {0}, +) = {1} + = 1 +.

11 CHAPITRE 2. MONOÏDES LIBRES, MOTS, LANGAGES 10 Remrque. Si M désigne mintennt un monoïde, (M) est églement un monoïde lorsqu on le munit de l loi induite pr celle de M. L prtie {1}, souvent confondue vec l élément 1, joue lors le rôle d élément neutre pour ce produit. Pour une prtie P de M, on ussi l puissnce itérée : Puis l on pose P 0 = {1} P n+1 = PP n = P n P, n 0 P = P n = P + {1} = p 1 p 2... p n /n 0, p i P pour 1 i n n 0 On convient que le produit vide (otenu ici pour n = 0) pour vleur 1. L opértion insi définie porte le nom d étoile. De même que pour le semi-groupes, si P M, on ppelle sous-monoïde de M engendré pr P le plus petit sous-monoïde N de M contennt P. On dit ussi que P représente un ensemle de générteurs de N. Proposition 2.3. P représente le sous-monoïde de M engendré pr P, pour tout P M. Exemple. On (, +) = {1} = 1. Et pour tout élément n de, dns le monoïde ( { }, min, ), on {n} + = {n}, et {n} = {n} + { } = {n, }. 2.2 Monoïdes lires et mots Définition 2.9. Soit Σ un ensemle de symoles, ppelé lphet. Les éléments de Σ sont ussi ppelés des lettres. Un mot sur l lphet Σ est une suite finie ( i ) 1 i n de lettres, que l on note simplement n. L concténtion de deux mots n et p consiste en leur simple juxtposition : 1... n 1... p. Cette opértion confère à l ensemle des mots sur Σ, noté Σ +, une structure de semi-groupe, ppelé semi-groupe lire sur Σ, ou de se Σ. Il est en effet fcile de vérifier que cette loi, ppelée produit de concténtion, est ssocitive. En djoignnt à Σ + un mot spécil, ppelé mot vide et noté 1 ou ɛ, vérifint uɛ = ɛu = u, pour tout mot u, on otient un monoïde Σ = Σ + {ɛ}. Ce monoïde porte le nom de monoïde lire sur l lphet Σ. Si w est un mot de Σ, on note w s longueur, c est à dire le nomre de lettres de Σ qui le composent. L nottion w désigne le nomre d occurrences de l lettre dns le mot w. D utre prt, pour un mot w de longueur n, on note w i ou w(i) l i e lettre de w, pour i {1, 2,..., n}. Exemple. Si w =, sur Σ = {, }, que l on peut ussi écrire 2. On : w = 5, w = 3, w = 2, w(4) =. Si w = ɛ, on w = 0. Définition Soient u et v deux mots de Σ. On dit que v est un fcteur de u s il existe deux mots x, y Σ tels que u = x v y. Si le produit x y 1, on dit que v est un fcteur propre de u. Lorsque x vut 1, on dit que v est un fcteur guche, ou préfixe, de u (préfixe propre si y 1). Lorsque y vut 1, on dit que v

12 CHAPITRE 2. MONOÏDES LIBRES, MOTS, LANGAGES 11 est un fcteur droit, ou suffixe, de u (suffixe propre si x 1). Enfin, on dir qu un mot v = n, i Σ, est un sous-mot de u s il existe des mots u 0 u 1 u 2... u n tels que u = u 0 1 u 1 2 u 2... n u n. En fit, le mot v est ici une sous-suite (ou suite extrite) de l suite u. Exemple. Pour w = 2 : est un fcteur propre de w, 2 est un préfixe propre de w, est un suffixe propre de w, 2 est un sous mot de w, qui n est ps fcteur de w. Définition On définit plusieurs reltions d ordre sur Σ. Pour u, v Σ : L ordre préfixiel est un ordre prtiel donné pr : u v u est préfixe de v. L ordre lexicogrphique (ordre du dictionnire) est un ordre totl représentnt une extension de l ordre préfixiel. Il fut définir uprvnt un ordre sur les lettres de Σ. Pr exemple : En supposnt <. L ordre hiérrchique est un utre ordre totl dns lequel on clsse les mots d ord selon l longueur vnt de les clsser selon l ordre lexicogrphique. Pr exemple : Pour les mots de l exemple précédent. Remrque. Clssiquement, on utilise un rre pour représenter les mots de Σ. Pr exemple, si l lphet Σ = {,, c}, on ur l structure rorescente suivnte : ɛ c. c. c. On verr en TD qu il est possile d utiliser cette structure pour représenter des ensemles de mots, c est à dire des lngges. 2.3 Lngges Définition On ppelle lngge tout élément de (Σ ), c est à dire toute prtie du monoïde lire Σ.

13 CHAPITRE 2. MONOÏDES LIBRES, MOTS, LANGAGES 12 Exemple. Sur Σ = {, } : L = {,, 2, 3 } est un lngge fini. K = { n n /n 0} = {ɛ,, 2 2,...} est un lngge infini. Remrque. Comme on l déjà vu pour les monoïdes en générl, (Σ ) une structure de monoïde de neutre {ɛ}, lorsqu il est munit du produit de concténtion de deux lngges : LK = {uv/u L, v K} Exemple. L = {, } et K = {, }, sur Σ = {, }. Alors LK = {,,, }. Le produit de concténtion n est ps commuttif. Définition Le produit de concténtion insi étendu ux lngges permet de définir l notion de puissnce itérée d un lngge, comme dns le cs d un monoïde en générl, puis celle d étoile propre et d étoile. Si L désigne un lngge de Σ : L + = L n = w 1 w 2... w n /n > 0, w i L, 1 i n n>0 L = L n = w 1 w 2... w n /n > 0, w i L, 1 i n = L + {ɛ} n 0 Remrque. On noté Σ le monoïde lire engendré pr l lphet Σ. Cette nottion est justifiée pr le fit que l on : Σ = Σ n n 0 Définition On dit qu un lngge L Σ est propre lorsqu il ne contient ps le mot vide ɛ. Exemples. Sur l lphet Σ = {, } : le singleton L = {} représente un lngge propre et l on : L + = {} n = {,,,... } = {} + = () + n>0 L = {} + {ɛ} = {ɛ,,,,... } = () On v mintennt s intéresser à une fmille prticulière et remrqule des lngges, celle des lngges rtionnels. Définition Soit Σ un lphet. L fmille des lngges rtionnels, notée Rt(Σ ) est l plus petite fmille de lngges de Σ vérifint les conditions suivntes : 1. Rt(Σ ), 2. Σ, {} Rt(Σ ), 3. Rt(Σ ) est fermée (stle) pr union et produits finis, c est à dire : L 1, L 2 Rt(Σ ), L 1 L 2 et L 1 L 2 sont ussi dns Rt(Σ ). 4. L Rt(Σ ), L Rt(Σ ), fermeture pr étoile. Les trois opértions : union, produit et étoile, qui interviennent dns l définition, sont qulifiées d opértions rtionnelles.

14 CHAPITRE 2. MONOÏDES LIBRES, MOTS, LANGAGES 13 Remrque. L réunion de deux lngges est très souvent notée dditivement : on écrit L + K pour L K. Exemples. {ɛ} est un lngge rtionnel, cr on {ɛ} =. Σ est rtionnel : Σ = Σ {}. Σ est rtionnel. () est un lngge rtionnel. En effet : {} = ({}{}). Si w Σ, {w} est rtionnel. Si w = 1... n, on {w} = { 1 }... { n }. Tout lngge fini est rtionnel. En effet, si L est fini, L = w L {w}. Définition On ppelle morphisme de monoïdes lires tout morphisme de monoïdes entre deux monoïdes lires ϕ : Σ Γ, u, v Σ, ϕ(uv) = ϕ(u)ϕ(v) ϕ(ɛ) = ɛ Proposition 2.4 (Stilité pr morphisme). Soit Σ un lphet, 1. Si ϕ : Σ Γ est un morphisme de monoïdes lires : 2. Si de plus ϕ est surjectif, lors : L Rt(Σ ), ϕ(l) Rt(Γ ) K Rt(Γ ), L Rt(Σ ), ϕ(l) = K Définition Soit Σ un lphet. Considérons l lphet Σ = Σ {, ɛ, +,, (, )} On définit l ensemle des expressions rtionnelles sur Σ comme étnt le plus petit lngge de Σ stisfisnt les conditions suivntes : 1., ɛ sont des expressions rtionnelles. 2. Σ, est une expression rtionnelle. 3. Si α et β sont des expressions rtionnelles, (α+β) et (αβ) le sont églement. 4. Si α est une expression rtionnelle, α ussi. Dns l écriture des expressions rtionnelles, on omet très souvent les prenthèses inutiles pour l compréhension : on écrit pr exemple u lieu de (). Définition On définit une ppliction de l ensemle des expressions rtionnelles sur Σ dns celui des lngges de Σ, γ L(γ), de l mnière suivnte : 1. L( ) =, L(ɛ) = {ɛ}, 2. L() = {}, Σ, 3. L((α + β)) = L(α) L(β) = L(α) + L(β) et L((αβ)) = L(α)L(β), 4. L(α ) = L(α) On dit que l expression γ représente ou dénote le lngge L(γ). Remrque. À une expression rtionnelle correspond toujours un lngge unique (γ est une ppliction). Mis γ n est ni injective ni surjective : il existe des lngges qui ne peuvent ps être représentés pr une expression rtionnelle. De plus, un même lngge peut dmettre plusieurs (voire une infinité) d expressions rtionnelles.

15 CHAPITRE 2. MONOÏDES LIBRES, MOTS, LANGAGES 14 Exemples. Le lngge L = { n n /n > 0} sur Σ = {, } n ps d expression rtionnelle à dmettre pour le moment. L expression dénote le lngge {}, tout comme l expression ( ) et (( )... ). Remrque. Il est très cournt, dns l littérture, de confondre un lngge vec les expressions multiples qui le dénotent. Pr exemple, on écrir : L = = {}, ou Σ = {, } = ( + ) = ( + ). Théorème 2.1. Soit Σ un lphet. Un lngge L sur Σ est rtionnel si et seulement s il existe une expression rtionnelle sur Σ dénotnt L. R,S,T étnt des expressions rtion- Formulire des expressions rtionnelles nelles : 1. R + S = S + R R + R = R = R + = + R (R + S) + T = R + (S + T) 2. Rɛ = ɛr = R R = R = (RS)T = R(ST) 3. mis RS SR en générl, R(S + T) = RS + RT (S + T)R = SR + TR 4. R = R R = (R ) = (ɛ + R) 5. = ɛ = ɛ en prticulier, R = ɛ + R + R R k + R k+1 R k 0 6. en prticulier R = ɛ + RR = ɛ + R R = ɛr +, (R + S) = (R + S ) = (R S ) = (R S) R = R (SR ) mis (R + S) R + S en générl,

16 CHAPITRE 2. MONOÏDES LIBRES, MOTS, LANGAGES R R = RR = R + R(SR) = (RS) R (R S) = ɛ + (R + S) S (RS ) = ɛ + R(R + S) Proposition 2.5 (Règle d Arden). Soient L,S,T trois lngges sur un lphet Σ. Si ɛ / S, on L = SL + T L = S T Démonstrtion. Montrons que l condition est suffisnte. Supposons L = S T. Il en résulte, puisque S = ɛ + SS : L = (ɛ + SS )T = T + SS T = T + SL = SL + T Donc L = SL + T. On n utilise ps dns ce sens l hypothèse ɛ / S. Montrons mintennt que l condition est nécessire, en supposnt que ɛ / S. On L = SL + T. = S(SL + T) + T = S 2 L + ST + T = S 2 (SL + T) + ST + T = S 3 L + S 2 T + ST + T = S k+1 L + S k T + S k 1 T + + ST + T k 0 On v d ord montrer que L S T. Soit w L. Posons l = w et considérons l églité : L = S l+1 L + (S l T + + ST + T) Comme ɛ / S, tout mot de S l+1 L doit être constitué de l + 1 symoles u moins, donc w / S l+1 L. Puisque w L, il est nécessirement dns l l S l T + + ST + T = S k T = S k T S T k=0 k=0 donc w S T. Reste à montrer l inclusion S T L. Soit lors w S T = S n T n 0 = S n T n 0

17 CHAPITRE 2. MONOÏDES LIBRES, MOTS, LANGAGES 16 Il reste donc i 0 tel que wins i T. Si l on considère ici l églité L = S i+1 L + S i T + S i 1 T + + T on s perçoit isément que w L. 2.4 Note importnte Remrque. Pour un lphet Σ, on ppelé le monoïde Σ des mots finis de Σ monoïde «lire». Cette qulifiction s explique pr le fit que tout mot non vide de Σ possède une décomposition unique comme produit de lettres de Σ. Une utre justifiction est fournie pr l propriété suivnte. Proposition 2.6 (propriété universelle des semi-groupes et monoïdes lires). Soit ϕ : Σ S une ppliction d un lphet Σ dns un semi-groupe (resp. monoïde) S. Il existe lors un morphisme unique ϕ : Σ + S (resp. Σ S) vérifint ϕ() = ϕ() pour tout Σ. De plus, ϕ est surjective si et seulement si ϕ(σ) représente un système de générteurs de S. Exemple. Si Σ est un lphet, considérons l ppliction η : Σ (, +) définie pr 1. D près l proposition précédente, il existe un morphisme unique η : Σ (, +) tel que η() = η() = 1, Σ. Il s git du morphisme qui, à un mot de Σ, ssocie s longueur.

18 Chpitre 3 Automtes et lngges reconnissles Le ut de ce chpitre est d introduire un outil importé de l informtique théorique : les utomtes finis. Les lngges ssociés à ces utomtes sont les lngges reconnissles. 3.1 Définitions et propriétés Définition 3.1. Un utomte est un quintuplet (Q, Σ, δ, I, F) dns lequel : Q est l ensemle des étts de l utomte, Σ est un lphet fini, δ Q Σ Q représente l ensemle des trnsitions de l utomte, I Q est l ensemle des étts initiux, F Q est l ensemle des étts finux. On dit que l utomte est fini lorsque son ensemle d étts Q est fini. On dispose de deux modes de représenttion pour un utomte Représenttion pr grphe d étts Il s git de l plus fréquente. On utilise un grphe orienté et vlué dont les sommets sont les étts de l utomte et dont les rêtes sont les éléments de δ. On dessine i j pour signifier que l on une trnsition étiquetée mennt de l étt i à l étt j. On ien sûr ici : i, j Q et (i,, j) δ. Dns ce grphe, on crctérise les étts initiux pr une flèche entrnte et les étts finux pr une flèche sortnte, ou prfois un doule cercle. Notons que si (i,, j) δ et (i,, j) δ vec, on ne représente sur le grphe qu un seul rc étiqueté, : 17

19 CHAPITRE 3. AUTOMATES ET LANGAGES RECONNAISSABLES 18 i j i, j Exemple. Donner le grphe de l utomte A = (Q, Σ, δ, I, F) vec Σ = {, }, Q = {1, 2, 3}, I = {1}, F = {3}, δ = {(1,, 1), (1,, 2), (1,, 3), (2,, 3), (2,, 3), (3,, 2)}. 1 3, Représenttion pr tle de trnsition Il est possile de décrire δ dns un tleu T de dimension 2. Ce tleu est ppelé tle de trnsition de l utomte. Les colonnes sont indicées pr les éléments de Q, et les lignes pr les lettres de l lphet Σ : On lors (i,, j) δ T[, i] = j. δ 1... i... n.... j. Exemple. Pour l utomte de l exemple précédent, on otient l tle de trnsition : δ , Propriétés Remrque. Si l on considère δ comme un lphet fini dont les lettres sont les trnsitions de l utomte, lors on peut définir des mots sur δ Q Σ Q comme l concténtion de trnsitions. Cette concténtion n est ps définie pour des trnsitions quelconques, mis uniquement pour des trnsitions «consécutives». Définition 3.2 (δ ). Soit A = (Q, Σ, δ, I, F) un utomte fini : q Q, (q, ɛ, q) δ

20 CHAPITRE 3. AUTOMATES ET LANGAGES RECONNAISSABLES 19 si, pour p 1, w = p Σ ( i Σ), et s il existe p + 1 étts q 0,..., q p Q tels que (q i 1, i, q i ) δ pour tout i {1,..., p} lors (q 0, w, q p ) δ On dit lors que w est l trce d un chemin dns A mennt de l étt q 0 à q p. On dit que deux trnsitions (p,, q) et (p,, q ) de l utomte A sont consécutives si q = p. p q = p q Un chemin dns un utomte est une suite de trnsitions consécutives. L longueur d un chemin est définie comme étnt le nomre de trnsitions qui le constitue. Définition 3.3. Soit A = (Q, Σ, δ, I, F) un utomte. On dit qu un chemin C = (p, w, q) δ dns A est réussi s il mène d un étit initil p I à un étt finl q F. De plus, l trce w d un chemin réussi est un mot dit ccepté (ou reconnu) pr l utomte A. 3.2 Lngges reconnissles Définition 3.4. Soit A = (Q, Σ, δ, I, F) un utomte fini. On ppelle lngge reconnu (ou ccepté) pr l utomte A le lngge des mots cceptés pr cet utomte. Si l on note L(A) ce lngge, on peut écrire L(A) = {w Σ / p I, q F, (p, w, q) δ } On dir que deux utomtes A et A sont équivlents s ils reconnissent le même lngge, c est à dire si L(A) = L(A ). Remrque. Le mot vide ɛ est ccepté pr un utomte A = (Q, Σ, δ, I, F) si et seulement si I F. Définition 3.5. On dit qu un lngge L Σ est reconnissle s il existe un utomte fini A sur Σ reconnissnt L, c est à dire tel que L = L(A). Proposition 3.1. Un lngge L Σ est reconnissle si et seulement si L \ {ɛ} est reconnissle. On note Rec(Σ ) l fmille des lngges reconnissles du monoïde lire Σ. Exemple. Considérons sur l lphet Σ = {, } l utomte suivnt :

21 CHAPITRE 3. AUTOMATES ET LANGAGES RECONNAISSABLES 20 Clculons le lngge reconnu pr cet utomte. Le grphe d étts nous fournit directement le système d équtions L 1 = L 1 + L 4 (1) L 2 = L 4 (2) L 3 = (3) L 4 = L 4 + L 3 + ɛ (4) en notnt L i le lngge reconnu dns l utomte à prtir de l étt i (comme si i étit initil). On L(A) = L 1 L 2. L éqution (4) nous donne, puisque L 3 =, L 4 = L 4 +ɛ, de l forme L = SL+T vec S = {} et T = {ɛ}. D près l règle d Arden, on otient : D où En l injectnt dns (1), on otient L 4 = ɛ = L 2 = L 4 = = + L 1 = L 1 + En ppliqunt de nouveu l règle d Arden, cel donne L 1 = = Finlement, L(A) = L 1 L 2 = + + Exemple. Considérons, sur Σ = {, }, l utomte A donné pr le grphe d étts : 1 2 3, S tle de trnsitions est lors donnée pr :

22 CHAPITRE 3. AUTOMATES ET LANGAGES RECONNAISSABLES 21 Clculons le lngge reconnu pr cet utomte. D près le grphe d étts, on otient imméditement le système d équtions : L 1 = L 1 + L 2 (1) L 2 = L 1 + L 3 (2) L 3 = L 3 + L 3 + ɛ (3) On cherche L(A) = L 1. L éqution (3) nous donne imméditement : L 3 = ( + )L 3 + ɛ On pplique lors l règle d Arden, puisque ɛ / + = Σ : On injecte le résultt dns (2) : Puis dns (1) : L 3 = ( + ) ɛ = ( + ) L 2 = L 1 + ( + ) L 1 = L 1 + L ( + ) = ( + )L ( + ) On pplique de nouveu l règle d Arden, pour otenir enfin : L(A) = L 1 = ( + ) 2 ( + ) Exemple. Montrons que les deux utomtes suivnts sont équivlents : , Clculons d ord L(A 1 ) : A 1 A 2 D où Pr l règle d Arden. Clcul de L(A 2 ) : L1 = ( + )L 1 + L 2 L 2 = ɛ L 1 = ( + )L 1 + = ( + ) = L(A 1 ) L1 = L 1 + L 2 L 2 = L 1 + L 2 + ɛ

23 CHAPITRE 3. AUTOMATES ET LANGAGES RECONNAISSABLES 22 On voit ien que l on L 2 = L 1 + ɛ D où L 1 = L 1 + L 1 + = ( + )L 1 + = ( + ) = L(A 2 ) Donc L(A 1 ) = L(A 2 ) et les deux utomtes sont équivlents. Proposition 3.2. Les propositions suivntes regroupent des propriétés de l fmille Rec(Σ ) des lngges reconnissles de Σ. 1. Tout lngge fini de Σ est reconnissle. 2. Rec(Σ ) est stle (fermé) pour l union finie : L, K Rec(Σ ), L K = L + K Rec(Σ ) 3. Rec(Σ ) est fermée pr complémenttion : L Rec(Σ ), L c = Σ \ L Rec(Σ ) Corollire 3.1. Rec(Σ ) est fermée pour l intersection finie : L, K Rec(Σ ), L K Rec(Σ ) Démonstrtion. On utilise les lois de de Morgn : (L K) c = L c K c L K = (L c K c ) c Définition 3.6. Soient E un ensemle et F une fmille de prties de E, c est à dire un sous-ensemle de (E) = 2 E. On dit que F est une lgère de Boole si : 1. F, 2. X F, X c F (fermeture pr complémentire), 3. X, Y F, X Y F (fermeture pr union finie). Proposition 3.3. En vertu des propriétés énoncées uprvnt, on le résultt suivnt : pour tout lphet Σ, Rec(Σ ) est une lgère de Boole. On de plus le célère théorème suivnt, dû à Kleene. Théorème 3.1 (Kleene). Pour tout lphet fini Σ, on Rec(Σ ) = Rt(Σ ). En d utres termes, si l lphet est fini, un lngge est reconnissle si et seulement s il est rtionnel.

24 CHAPITRE 3. AUTOMATES ET LANGAGES RECONNAISSABLES Simplifiction d utomtes Stndrdistion Définition 3.7. Un utomte fini A = (, Σ, δ, I, F) est dit stndrd s il possède un seul étt initil, utrement dit I = {i}, et si Σ, q Q, (q,, i) / δ. Proposition 3.4. Un lngge est reconnissle si et seulement s il existe un utomte fini stndrd qui le reconnît. Démonstrtion. Il est clir que l condition est suffisnte. On v étlir s nécessité en proposnt un lgorithme de stndrdistion fournissnt un utomte équivlent. Soit A = (Q, Σ, δ, I, F) un utomte quelconque. On construit un utomte A = (Q {i}, Σ, δ, {i}, F ) stndrd équivlent à A de l mnière suivnte : i / Q F si I F = F = F {i} sinon δ = δ (i,, q)/ p I, (p,, q) δ Exemple. L utomte suivnt est non stndrd : , On l utomte stndrd équivlent : 1 2 4, 0 3, On constte lors que l étt 4 devient «inutile». On verr plus trd qu il s git d un étt non ccessile. D où l utomte stndrd «réduit» équivlent :

25 CHAPITRE 3. AUTOMATES ET LANGAGES RECONNAISSABLES , 0 3, On s perçoit églement que l étt 3 est ussi «inutile» cr il ne conduit ps vers un étt finl. On dit que c est un étt non coccessile. Si on le retire, on otient l utomte dit émondé : 1 2, Émondge Définition 3.8. Soit A = (Q, Σ, δ, I, F) un utomte fini. On dit qu un étt q Q de l utomte est ccessile s il existe p I et w Σ tels que (p, w, q) δ. En d utres termes, l étt q est ccessile s il existe un chemin dns l utomte mennt d un étt initil à q. On dit que l utomte A est ccessile lorsque tous ses étts le sont. On dit qu un étt q Q est coccessile s il mène à un étt finl, utrement dit s il existe un étt f F et un mot w Σ tels que (q, w, f ) δ. L utomte A est dit coccessile lorsque tous ses étts le sont. Définition 3.9. Un utomte émondé est un utomte à l fois ccessile et coccessile. Tout utomte qui ne l est ps peut être émondé selon le procédé suivnt, ppelé émondge. Ce procédé s effectue en deux étpes sur un utomte A = (Q, Σ, δ, I, F). Construction de l ensemle Acc des étts ccessiles. On pose Acc 0 = I, puis Acc n+1 = Acc n q Q/ q Acc n, Σ, (q,, q) δ On démontre que l suite d ensemles insi construite finit pr sttionner, c est à dire qu il existe n 0 0 tel que Acc n = Acc n0, n n 0. Acc = Acc n0 est lors l ensemle des étts ccessiles de l utomte A. Construction de l ensemle C des étts ccessiles et coccessiles. On commence pr poser C 0 = Acc/cpF, puis C n+1 = C n q Acc/ q C n, Sigm, (q,, q ) δ Comme précédemment, on démontre que l suite (C n ) n 0 insi construite est sttionnire, c est à dire qu il existe n 0 pour lequel C n = C n0 pour tout

26 CHAPITRE 3. AUTOMATES ET LANGAGES RECONNAISSABLES 25 n n 0. C = C n0 représente lors l ensemle des étts à l fois ccessiles et coccessiles dns l utomte A. D où l utomte émondé A e = (C, Σ, δ, I, F ) otenu à prtir de A et donné pr : I = I C, F = F C, δ = {(p,, q) δ/p, q C}. 3.4 Automtes déterministes et déterministion d utomtes Automtes déterministes Définition Un utomte A = (Q, Σ, δ, I, F) est dit déterministe s il possède un seul étt initil ( I = 1), et si q Q, Σ, q Q/(q,, q ) δ 1. En d utres termes, A est déterministe si I est un singleton, et q Q, Σ, il existe u plus un étt q Q pour lequel (q,, q ) δ. De fçon équivlente, A est déterministe s il possède un étt initil unique, et si pour deux flèches quelconques de même origine et de même étiquette, (q,, q ) et (q,, q ) de δ, on q = q. Exemple. L utomte suivnt, qui reconnît sur Σ = {, } le lngge L = Σ n est ps déterministe : 1 2, En effet, mlgré son étt initil unique, on pourtnt (1,, 1) et (1,, 2) qui pprtiennent à δ. Proposition 3.5. Soit A un utomte déterministe et q un étt de A. Un mot w est l trce d u plus un chemin d origine q. Définition On dit qu un utomte A = (Q, Σ, δ, I, F) est complet si : q Q, Σ, q /(q,, q ) δ 1 En d utres termes, un utomte est complet lorsqu une trnsition est toujours possile de n importe quel étt. Exemple. L utomte suivnt n est ps complet : 1 2 cr il n existe ps de trnsition d étiquette d origine 2.

27 CHAPITRE 3. AUTOMATES ET LANGAGES RECONNAISSABLES 26 Remrque. Un utomte qui n est ps complet peut toujours être complété en rjoutnt un nouvel étt ppelé étt puits, vers lequel on dirige toutes les trnsitions mnquntes. Pr exemple, l utomte précédent peut être complété insi : 1 2 3, Proposition 3.6. Dns un utomte déterministe complet, on : q Q, Σ, q /(q,, q ) δ = 1 On de plus le théorème suivnt, qui représente une extension du théorème de Kleene. Théorème 3.2. Soient Σ un lphet fini et L un lngge de Σ. Les conditions suivntes sont équivlentes : 1. L est rtionnel. 2. L est reconnissle (reconnu pr un utomte fini). 3. L est reconnu pr un utomte fini déterministe. 4. L est reconnu pr un utomte fini déterministe complet. On de plus l proposition suivnte, qui est importnte. Proposition 3.7. Si L Σ est le lngge reconnu pr un utomte fini déterministe complet A = (Q, Σ, δ, i, F), lors l utomte fini déterministe complet A = (Q, Σ, δ, i, Q \ F), otenu en chngent l ensemle des étts finux en son complémentire dns Q, reconnît le lngge complémentire de L : L c = Σ \ L. Exemple. Sur Σ = {, } :,, 1 2 Cet utomte, déterministe complet, reconnît le lngge L = {ɛ}. D près l proposition précédente, on en déduit que le lngge L c = Σ \ {ɛ} = Σ + est reconnu pr l utomte :,, 1 2

28 CHAPITRE 3. AUTOMATES ET LANGAGES RECONNAISSABLES Déterministion Définition Soit A = (Q, Σ, δ, I, F) un utomte fini, supposé non déterministe. L utomte D = (Q D, Σ, δ D, I D, F D ), ppelé utomte déterminisé de A est défini de l mnière générle suivnte : Q D (Q) = 2 Q I D = {I} F D = {P Q D /P F } δ D = (P,, P )/P, P Q D, Σ et P = {q /(q,, q ) δ, q P} L ensemle Q D des étts du déterminisé D est clculé comme étnt l ensemle des prties ccessiles et coccessiles de (Q). L ensemle Q D possède donc u mximum 2 n étts, n étnt le nomre d étts de l utomte A de déprt. Exemple. Considérons l utomte non déterministe suivnt : 0 1 2, Pour fciliter les clculs, commençons d ord pr dresser une tle : {0} {1} {2} {0, 1} {0, 2} {1, 2} {0, 1, 2} {0, 1} {2} {0, 1, 2} {0, 1} {2} {0, 1, 2} {0} {0, 1} {0} {0, 1} {0, 1} {0, 1} Ce qui permet d étlir l utomte suivnt, en prtnt de l étt initil {0, 2}, , 2 0, Du clcul qui vient d être effectué, on ne conserve que l prtie ccessile, en leu. L prtie en rouge, à lquelle on ne peut ccéder depuis l étt initil, est inutile. On otient u out du compte le déterminisé D, vec Q D = {{0}, {0, 1}, {0, 2}, {0, 1, 2}}, I D = {{0, 2}}, et F D = {{0, 2}, {0, 1, 2}}, l prtie noire.

29 CHAPITRE 3. AUTOMATES ET LANGAGES RECONNAISSABLES 28 Proposition 3.8. L prtie ccessile d un utomte déterministe complet est un utomte déterministe complet équivlent. Ce qui justifie le fit de ne conserver que l prtie ccessile du déterminisé, comme on l fit pour l exemple précédent. Proposition 3.9. Le déterminisé d un utomte quelconque est un utomte complet équivlent. 3.5 Automte miniml d un lngge reconnissle Définition Soient Σ un lphet fini et L un lngge Σ. Pour tout mot u Σ, on pose u 1 L = {v Σ /uv L} u 1 L est ppelé quotient (ou résiduel) à guche de L pr u. Exemple. Si L = {ɛ}, pour tout mot u Σ, on L = {ɛ}, si u = ɛ u 1 L = u 1 {ɛ} = u 1 ɛ = sinon Si L = Σ, et u Σ, Si L = Σ 2 sur Σ = {, }, on u 1 L = u 1 Σ = {v Σ /uv Σ } = Σ 1 L = {, } = Σ = 1 L Si L = { 2, 3,, } sur Σ = {, }, on otient : 1 L = {, ɛ} 1 L = { 2, } () 1 L = () 1 L = {} Définition Au lieu d un simple mot, l définition précédente peut s étendre à tout un lngge. Ainsi, si K et L sont deux lngges de Σ, on ppelle résiduel (ou quotient) à guche de L pr K le lngge : K 1 L = u 1 L = v Σ / u K, uv L = v Σ /Kv L u K Exemples. Si L = Σ, pour tout lngge K, on : si K = K 1 Σ = Σ sinon Si L = 2, 3,, sur Σ = {, }, on otient : Σ 1 L = {, } 1 = 1 L 1 L = {, 2,, ɛ} Remrque. On dispose de définitions symétriques de résiduel (ou quotient) à droite :

30 CHAPITRE 3. AUTOMATES ET LANGAGES RECONNAISSABLES 29 Pour un mot u : Lu 1 = {v Σ /vu L} Pour un lngge K : LK 1 = Lu 1 = v Σ / u K, vu L = v Σ /vk L u K Mis, pour nous, cette définition n ur ps esoin d être employée. Proposition Les formules suivntes fcilitent le clcul des résiduels. désigne une lettre, u, v des mots et L,L 1,L 2 des lngges. u 1 (L 1 L 2 ) = (u 1 L 1 ) (u 1 L 2 ) u 1 (L 1 L 2 ) = (u 1 L 1 ) (u 1 L 2 ) u 1 (L 1 \ L 2 ) = u 1 L 1 \ u 1 L 2 ( 1 L u 1 1 )L 2, si ɛ / L 1 (L 1 L 2 ) = ( 1 L 1 )L 2 ( 1 L 2 ), sinon 1 L = ( 1 L)L (uv) 1 L = v 1 (u 1 L) Définition Soit mintennt L Σ un lngge reconnissle. Nous ppellerons utomte miniml de L l utomte déterministe complet A = (Q, Σ, δ, q 0, F) défini comme suit : Q = {u 1 L/u Σ } q 0 = L, l étt Q otenu en prennt u = ɛ F = {u 1 L/u L} δ = {(q,, 1 q)/q Q, Σ} = {(u 1 L,, 1 (u 1 L))/u Σ, Σ} = {(u 1 L,, (u) 1 L)/u Σ, Σ} On conviendr que, pour un tel lngge reconnissle L, l ensemle des étts Q de l utomte miniml insi décrit est fini. On se trouve ien en présence d un utomte fini. Proposition On démontre, et nous l dmettrons, que l utomte miniml d un lngge reconnissle L est un utomte fini ccessile reconnissnt effectivement L. Le terme miniml est dû u fit que cet utomte possède un nomre d étts minimum, prmi les utomtes déterministes complets qui reconnissent L. Construction de l utomte miniml On prt de l étt initil q 0 = L en posnt Q 0 = {L}, puis on clcule de proche en proche les utres étts pr l suite d ensemles : Q i+1 = Q i 1 q/q Q i, Σ Comme l ensemle des étts de l utomte est fini, il existe nécessirement n, pour lequel Q n = Q n+1 = Q. À prtir d un rng donné, l suite (Q i ) i 0 devient sttionnire. On teste ensuite les étts otenus un pr un pour retrouver les étts finux éventuels. Exemple. L = Σ, vec Σ = {, }. On prt de l étt initil q 0 = L en fisnt Q 0 = {Σ }. On otient lors Ce qui donne Donc Q = {Σ }, d où l utomte miniml 1 Σ = 1 Σ = Σ Q 1 = Q 0 = {Σ }

31 CHAPITRE 3. AUTOMATES ET LANGAGES RECONNAISSABLES 30 L = Σ, que l on réécrit 1, Exemple. L = {ɛ}, sur Σ = {}. On pose u déprt Q 0 = {L}. On otient : 1 L = 1 ɛ = Ce qui donne Q 1 = {L, }. On de plus 1 = D où Q 2 = Q 1 = Q = {L, }. On en déduit lors l utomte miniml : L = {ɛ} que l on réécrit 1 2 Exemple. L = {w Σ / w > 0}, sur Σ = {, }. On Q 0 = {L}. Et 1 L = {w Σ /w L} = {w Σ / w > 0} = Σ 1 L = {w Σ /w L} = {w Σ / w > 0} = {w Σ / w > 0} = L Ainsi Q 1 = Q 0 {Σ, L} = {Σ, L}. On de plus 1 Σ = 1 Σ = Σ. Ce qui donne finlement Q 2 = Q 1 = Q = {L, Σ }. D où l utomte : L Σ, que l on réécrit

32 CHAPITRE 3. AUTOMATES ET LANGAGES RECONNAISSABLES , Clculons à prtir de l utomte une expression rtionnelle pour L. On le système d équtions : L1 = L 1 + L 2 L 2 = ( + )L 2 + ɛ On cherche L(A) = L 1. L seconde éqution nous donne pr l règle d Arden : On remplce ensuite dns l première : L 2 = ( + ) ɛ = ( + ) L 1 = L 1 + ( + ) On pplique pour finir à nouveu l règle d Arden : L(A) = L 1 = ( + ) Une utre expression pour L étit prévisile vnt même de clculer l utomte miniml. Il s git de L = (+) (+). Seulement, celle provennt de l utomte tient compte de l première occurrence de. Exemple. L = {w Σ / w > 0 et w > 0}, sur Σ = {, }. On prt de l ensemle Q 0 = {L}, L étt initil. Puis : 1 L = w Σ /w L = w Σ / w > 0 et w > 0 = w Σ / w > 0 = L 1 1 L = w Σ /w L = w Σ / w > 0 et w > 0 = w Σ / w > 0 = L 2 On otient Q 1 = {L, L 1, L 2 }. De plus, 1 L 1 = w Σ /w L 1 = w Σ / w > 0 = w Σ / w > 0 = L 1 1 L 1 = w Σ /w L 1 = w Σ / w > 0 = Σ

33 CHAPITRE 3. AUTOMATES ET LANGAGES RECONNAISSABLES 32 Pr symétrie, on otient D où Et encore D où Ce qui donne l utomte : 1 L 2 = Σ 1 L 2 = L 2 Q 2 = {L, L 1, L 2, Σ } 1 Σ = Σ = 1 Σ Q = Q 3 = Q 2 = {L, L 1, L 2, Σ } L L 1 L 2 Σ, On otient en fin de compte l utomte miniml : , Cet utomte nous fournit le système d équtions : L 1 = L 2 + L 3 (1) L 2 = L 2 + L 4 (2) L 3 = L 3 + L 4 (3) L 4 = ( + )L 4 + ɛ (4) Le lngge cherché est L(A) = L 1. On pplique l règle d Arden à (4) : L 4 = (+ ). On injecte ensuite dns (3) puis dns (2) : et L 3 = L 3 + ( + ) L 2 = L 2 + ( + ) Ce qui donne, à nouveu pr l règle d Arden : L 3 = ( + )

34 CHAPITRE 3. AUTOMATES ET LANGAGES RECONNAISSABLES 33 et D où finlement : L 2 = ( + ) L(A) = L 1 = L 2 + L 3 = + ( + ) + + ( + ) = ( )( + ) 3.6 Minimistion d utomtes On v présenter ici un procédé de construction de l utomte miniml d un lngge rtionnel à prtir d un utomte quelconque, pourvu qu il soit déterministe complet, reconnissnt ce lngge. Soit A = (Q, Σ, δ, q 0, F) un utomte fini, supposé dns toute l suite déterministe complet. On sit que dns ces conditions, pour tout étt q Q et tout mot u Σ, il existe un unique étt q Q, pour lequel (q, u, q ) δ. On conviendr de noter q.u l étt q en question. Définition On dit qu un mot u Σ sépre deux étts p et q si p.u et q.u ne sont ps de même nture vis-à-vis de l ccepttion, c est à dire si p.u F et q.u / F ou ien p.u / F et q.u F. Exemple. Soit, sur l lphet Σ = {, }, l utomte : 1 2 3, 4 On constte ici que le mot sépre les étts 1 et 2, puisque 1. = 4 F et 2. = 2 / F. Le mot sépre, qunt à lui, les étts 3 et 4 cr 3. = 2 / F et 4. = 4 F. Remrque. Le mot vide ɛ sépre toujours, quelque soit l utomte, les étts finux des utres étts. Effectivement, si q / F et f F, on otient q.ɛ = q / F et f.ɛ = f F. Définition Soit A = (Q, Σ, δ, q 0, F) un utomte fini déterministe complet. On considère l reltion sur Q définie pr : q q ucun mot de Σ ne sépre q et q On vérifie isément que l reltion constitue une reltion d équivlence sur l ensemle des étts Q, ppelée équivlence de Nérode ssociée à l utomte A. On note q l clsse d équivlence d un étt q pr cette reltion. Il est fcile de se convincre qu à l intérieur d une même clsse, tous les étts sont des étts d ccepttion (finux) ou ucun ne l est.

35 CHAPITRE 3. AUTOMATES ET LANGAGES RECONNAISSABLES 34 L équivlence de Nérode permet de définir à prtir de A un nouvel utomte A ppelé quotient de A : A = Q, Σ, δ, q 0, F vec Q = Q/ F = F/ ( q,, q ) δ p q, p q, (p,, p ) δ Proposition L utomte A insi otenu à prtir d un utomte déterministe complet A est équivlent à A. De plus, A est églement déterministe complet. Définition Pour tout entier i, on définit une reltion d équivlence sur Q, notée i, pr : q i q u Σ j, q.u F et q.u F ou ien q.u / F et q.u / F 0 j i En d utres termes, q et q sont i équivlents si ucun mot de longueur inférieure ou égle à i ne les sépre. De plus, on clirement i+1 i : q, q Q, q i+1 q q i q. Proposition Si i+1 = i, pour un certin i, lors, pour tout k 0, i i+k = i. Et pr conséquent = i. Construction Comme le nomre de mots de longueur inférieure ou égle à i sur l lphet Σ est fini, on peut pour tout i clculer l équivlence i. On sit que l on = p, vec p Q 2. En effet, 0 possède 2 clsses : F et Q \ F. Tnt que i+1 i, i+1 ur u moins une clsse de plus que i. Et comme il ne peut y voir qu u plus Q clsses (dns le cs où tous les étts sont séprés), on ur nécessirement = p, vec p Q 2. Exemple. Considérons l utomte déterministe complet suivnt : , 5 6 On v procéder à l minimistion de cet utomte, selon l méthode qui vient d être proposée.

36 CHAPITRE 3. AUTOMATES ET LANGAGES RECONNAISSABLES 35 Longueur 0 : mot ɛ. ɛ Les étts soulignés sont les étts finux de l utomte. On sit que 0 prtge Q en deux clsses : F et Q \ F, c est à dire {1, 2, 6, 7} et {3, 4, 5}. Longueur 1 : Dns une même clsse, on regroupe entre eux tous les étts qui donnent lieu ux mêmes soulignements (ou sences de soulignement) u même endroit. Pr l première moitié du tleu, on otient les nouvelles clsses {1}, {2, 6}, {7}, et l seconde donne les clsses {4} et {3, 5}. Longueur 2 : On constte que les clsses otenues pour 1 ne sont ps ltérées pr le clcul de 2. On lors 2 = 1 =. Pr conséquent l équivlence de Nérode ssociée à l utomte possède 5 clsses : {1}, {2, 6}, {7}, {3, 5} et {4}. Et on otient l utomte suivnt : {1} {2, 6} {4} {3, 5} {7},

37 CHAPITRE 3. AUTOMATES ET LANGAGES RECONNAISSABLES 36 Proposition L utomte A otenu de cette mnière à prtir d un utomte déterministe complet A reconnissnt L Σ est en fit indépendnt de A (mis dépend plutôt de L). Il coïncide en effet vec l utomte miniml de L clculé directement à prtir de L pr résiduels (voir section précédente).

38 Chpitre 4 Logique? 4.1 Éléments de clcul propositionnel En logique clssique, celle qui nous intéresse ici, on mnipule exclusivement deux vleurs de vérité : «vri» et «fux», que l on note V et F ou encore 1 et 0. Certines théories logiques plus récentes, notmment l logique «floue», utorisent l emploi de plusieurs vleurs de vérité, voire une infinité. Définition 4.1. On ppelle proposition tout énoncé ffirmtif, pouvnt d illeurs revêtir une forme négtive, uquel il est possile d ttriuer, de mnière exclusive, l une des deux vleurs de vérité de l logique stndrd. Exemple. Considérons les énoncés suivnts : «Il fit froid» est une proposition. «Il ne fit ps eu» est une utre proposition, exprimée de fçon négtive. «Est-ce l fin du cours?» n est ps une proposition. «Révisez pour le prtiel!» n est ps non plus une proposition. Si p désigne une proposition, on écrit p : V ou p : F selon que p possède l vleur «vri» ou «fux». 4.2 Formules du clcul propositionnel On se donne tout d ord un ensemle V dont les éléments portent le nom de vriles (propositionnelles). Pour relier les vriles et les formules que l on v définir, on recours à des connecteurs (propositionnels), c est à dire des éléments de l ensemle C = {,,,, }. On considère ussi l ensemle de prenthèses P = {(, )}. On convient que les trois ensemles V, C et P insi présentés sont deux à deux disjoints. Définition 4.2. On définit l ensemle des formules comme étnt le plus petit lngge de (V C P) vérifint les propriétés suivntes : 1. V 2. Si F, (F) 3. Si F, G, lors (F G), (F G), (F G) et (F G) sont ussi des éléments de. 37

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