SESSION 2013 MPIN007! INFORMATIQUE. Durée : 3 heures!

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1 SESSION 2013 MPIN007 EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP " INFORMATIQUE Durée : 3 heures " N.B. : Le cndidt ttcher l plus grnde importnce à l clrté, à l précision et à l concision de l rédction. Si un cndidt est mené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d énoncé, il le signler sur s copie et devr poursuivre s composition en expliqunt les risons des inititives qu il été mené à prendre. " " Les clcultrices sont interdites PREAMBULE : les trois prties qui composent ce sujet sont indépendntes et peuvent être tritées pr les cndidts dns un ordre quelconque. Pour les cndidts ynt utilisé le lngge CML dns le cdre des enseignements d informtique, l prtie III (Algorithmique et progrmmtion en CML) se situe en pge 6. Pour les cndidts ynt utilisé le lngge PASCAL dns le cdre des enseignements d informtique, l prtie III (Algorithmique et progrmmtion en PASCAL) se situe en pge 13. 1/21

2 Prtie I : logique et clcul des propositions Lors d une sénce d un jeu informtique dérivé de l mythologie grecque, vous êtes ccompgné pr un couple de Sphinx. Ces crétures posent des énigmes logiques pour vous ider à progresser dns le jeu. Les énigmes suivent une règle que les Sphinx respectent scrupuleusement. Lorsque les Sphinx énoncent cette règle, ils disent toujours l vérité. Le premier Sphinx qui vous ccompgne énoncé l règle suivnte : «Dns les énigmes, je peux soit dire l vérité, soit mentir. Mis, pour une énigme donnée, l première et l dernière de mes ffirmtions seront de l même nture (soit vérité, soit mensonge) ; et toutes les utres ffirmtions seront de l nture opposée à ces deux là (mensonge, respectivement vérité, si les premières et dernières sont des vérités, respectivement des mensonges)». Le second Sphinx énoncé l règle suivnte : «Je suivris l même règle que mon compgnon». Question I.1 Considérons que l un des Sphinx fit une suite de n déclrtions A i dns une même énigme, proposer une formule du clcul des propositions qui représente l règle qu il respecte. Vous vous retrouvez fce à trois escliers, l un à guche, l utre à droite et le dernier u milieu entre les deux utres. Le premier Sphinx P énonce les ffirmtions suivntes : l esclier de guche est sûr, l esclier du milieu est sûr ou celui de droite n est ps sûr. Le second Sphinx S énonce les ffirmtions suivntes : ni l esclier de guche, ni celui du milieu ne sont sûrs, si les escliers de guche ou de droite sont sûrs, lors l esclier du milieu est sûr. Nous noterons G, M et D les vribles propositionnelles ssociées u fit que les escliers de guche, du milieu et de droite sont sûrs. Nous noterons P 1 et P 2, respectivement S 1 et S 2, les formules propositionnelles ssociées ux déclrtions du premier Sphinx, respectivement du second Sphinx. Question I.2 Représenter les déclrtions des deux Sphinx sous l forme de formules du clcul des propositions P 1, P 2, S 1 et S 2 dépendnt des vribles G, M et D. Question I.3 Appliquer l règle respectée pr les Sphinx que vous vez proposée pour l question I.1. Nous noterons P, respectivement S, l formule du clcul des propositions dépendnt des vribles P 1 et P 2, respectivement S 1 et S 2, qui correspond u respect de l règle pr le premier Sphinx, respectivement le second Sphinx, dns cette énigme. Nous noterons R l formule du clcul des propositions dépendnt des vribles P et S qui décrit le respect globl des règles pr les deux Sphinx dns cette énigme. Question I.4 En utilisnt le clcul des propositions (résolution vec les tbles de vérité), déterminer quel est (ou quels sont) le (ou les) esclier(s) qui est (ou sont) sûr(s)? Vous indiquerez explicitement les résultts intermédiires correspondnt ux formules P 1, P 2, P, S 1, S 2 et S. Vous vous retrouvez plus trd fce à trois portes de couleurs rouge, verte et bleu. Seul le premier Sphinx s exprime et énonce les ffirmtions suivntes : l porte rouge n est ps sûre ou l porte verte est sûre, si les portes rouge et verte sont sûres lors l porte bleue n est ps sûre, 2/21

3 l porte verte n est ps sûre mis l porte bleue est sûre. Nous noterons P 3, P 4 et P 5 les formules propositionnelles ssociées ux déclrtions du premier Sphinx. Nous noterons R, V et B les vribles propositionnelles ssociées u fit que les portes rouge, verte et bleue sont sûres. Question I.5 Représenter les déclrtions du Sphinx sous l forme de formules du clcul des propositions P 3, P 4 et P 5 dépendnt des vribles R, V et B. Question I.6 Appliquer l règle respectée pr le premier Sphinx que vous vez proposée pour l question I.1. Nous noterons P, l formule du clcul des propositions dépendnt des vribles P 3, P 4 et P 5 qui correspond u respect de l règle pr le premier Sphinx dns cette énigme. Question I.7 En utilisnt le clcul des propositions (résolution vec les formules de De Morgn), déterminer quelle est (ou quelles sont) l (ou les) porte(s) qui est (ou sont) sûre(s). Prtie II : utomtes et lngges Le but de cet exercice est l étude des propriétés des opértions de dérivtion à guche m 1.A et à droite A.m 1 d un utomte fini A selon un mot m. 1 Automte fini complet déterministe Pour simplifier les preuves, nous nous limiterons u cs des utomtes finis complets déterministes. Les résultts étudiés s étendent u cdre des utomtes finis quelconques. 1.1 Représenttion d un utomte fini complet déterministe Déf. II.1 (Automte fini complet déterministe) Soit l lphbet X (un ensemble de symboles), soit Λ le symbole représentnt le mot vide (Λ X), soit X l ensemble contennt Λ et les mots composés de séquences de symboles de X (donc Λ X ) ; un utomte fini complet déterministe sur X est un quintuplet A =(Q,X,i,T,δ) composé : d un ensemble fini d étts : Q ; d un étt initil : i Q ; d un ensemble d étts terminux : T Q ; d une fonction totle de trnsition confondue vec son grphe : δ Q X Q. Pour une trnsition δ(o, e) =d donnée, nous ppelons o l origine de l trnsition, e l étiquette de l trnsition et d l destintion de l trnsition. 1.2 Représenttion grphique d un utomte Les utomtes peuvent être représentés pr un schém suivnt les conventions : les vleurs de l fonction totle de trnsition δ sont représentées pr un grphe orienté dont les nœuds sont les étts et les rêtes sont les trnsitions ; un étt initil est entouré d un cercle i ; un étt terminl est entouré d un double cercle t ; 3/21

4 un étt qui est à l fois initil et terminl est entouré d un triple cercle it ; une rête étiquetée pr le symbole e X v de l étt o à l étt d si et seulement si δ(o, e) =d. Exemple II.1 L utomte E =(Q,X,i,T,δ) vec : Q = {A,B,C,D,E} X = {, b} i = A T = {D} δ(a, ) =B δ(b, ) =C δ(c, ) =E δ(d, ) =C δ(e,)=e δ(a, b) =C δ(b, b) =B δ(c, b) =D δ(d, b) =E δ(e,b)=e est représenté pr le grphe suivnt : A b b B C E b b D,b 1.3 Lngge reconnu pr un utomte fini déterministe Soit δ l extension de δ à Q X Q définie pr : q Q, δ (q, Λ) = q e X, m X, o Q, d Q, δ (o, e.m) =d q Q, (δ(o, e) =q) (δ (q, m) =d). Soit X un lphbet, un lngge sur X est un sous-ensemble de X. Le lngge sur X reconnu pr un utomte fini déterministe est : L(A) ={m X d T, δ (i, m) =d}. Notons que certins étts et trnsitions ne sont ps utiles dns l description d un lngge cr ils ne permettent ps d ller de l étt initil à un étt terminl. Exemple II.2 Le sous-utomte de E (exemple II.1) composé des étts et trnsitions utiles est représenté pr le grphe suivnt : A b b B C b D 4/21

5 Question II.1 Donner, sns l justifier, une expression régulière ou ensembliste représentnt le lngge sur X = {, b} reconnu pr l utomte E de l exemple II.1. 2 Opértions de dérivtion 2.1 Définitions Soient les opértions internes sur les utomtes finis complets déterministes définies pr : Déf. II.2 (Dérivées selon un mot) Soient A =(Q,X,i,T,δ) un utomte fini complet déterministe et m X, les utomtes m 1.A (dérivtion à guche selon m) et A.m 1 (dérivtion à droite selon m) sont définis pr : m 1.A =(Q,X,δ (i, m),t,δ) A.m 1 =(Q,X,i,{q Q t T,t = δ (q, m)},δ). Question II.2 En considérnt l exemple II.1, construire les utomtes.b 1.E, b 1.E, E. 1 et E..b 1 (seuls les étts et les trnsitions utiles, c est-à-dire ccessibles depuis les étts initiux, devront être construits). Question II.3 Crctériser les lngges reconnus pr.b 1.E, b 1.E, E. 1 et E..b 1, pr une expression régulière ou ensembliste. 2.2 Propriétés Question II.4 Montrer que : si A est un utomte fini complet déterministe et si m X est un mot, lors m 1.A et A.m 1 sont des utomtes finis complets déterministes. Question II.5 Montrer que : m X, n X, o Q, q Q, d Q, q = δ (o, m) d = δ (q, n) d δ (o, m.n). Question II.6 Soit A un utomte fini complet déterministe, montrer que : { m X, n X,n L(m 1.A) m.n L(A) m X, n X,m L(A.n 1 ) m.n L(A). 5/21

6 Prtie III : lgorithmique et progrmmtion en CML Cette prtie doit être tritée pr les étudints qui ont utilisé le lngge CML dns le cdre des enseignements d informtique. Les fonctions écrites devront être récursives ou fire ppel à des fonctions uxiliires récursives. Elles ne devront ps utiliser d instructions itértives (c est-à-dire for, while,...) ni de références. 1 Exercice : le tri rpide L objectif de cet exercice est d étudier une implnttion prticulière d un lgorithme de tri d une séquence d entiers et d en proposer une évolution pour méliorer ses performnces dns le pire cs. Déf. III.1 Une séquence s de tille n de vleurs v i vec 1 i n est notée v n,...,v 1. S tille n est notée s. Une même vleur v peut figurer plusieurs fois dns s, nous noterons crd(v, s) le crdinl de v dns s, c est-à-dire le nombre de fois que v figure dns s vec : crd(v, v n,...,v 1 )=crd{i N 1 i n, v = v i }. Le type entiers représente une séquence d entiers. Le type triplet représente un triplet contennt une première séquence d entiers située à guche du triplet, puis un entier situé u milieu du triplet et enfin une seconde séquence d entiers située à droite du triplet. Les définitions de ces types sont : type entiers == int list;; type triplet == entiers * int * entiers;; Soit le progrmme en lngge CML : let rec eclter e l = mtch l with [] -> ([], e, []) t::q -> let (g, v, d) = (eclter e q) in if (t <= v) then (t::g, v, d) else (g, v, t::d);; let rec trier l = mtch l with [] -> [] t::q -> let (g, v, d) = (eclter t q) in ((trier d)));; Soit l constnte exemple définie et initilisée pr : let exemple = [ 3; 1; 4; 2];; 6/21

7 Question III.1 Détiller les étpes du clcul de (trier exemple) en précisnt pour chque ppel ux fonctions eclter et trier, l vleur du prmètre et du résultt. Déf. III.2 (Symbole de Kronecker) Soient deux vleurs v 1 et v 2, le symbole de Kronecker δ est une fonction δ(v 1,v 2 ) égle à l vleur 1 si v 1 et v 2 sont égles et à l vleur 0 sinon. Question III.2 Soient les entiers e et v, soient les séquences d entiers p = p n,...,p 1 de tille n, g = g r,...,g 1 de tille r et d = d s,...,d 1 de tille s, telles que (g,v,d) = (eclter e p), montrer que : () i, 1 i n, δ(p i,e)+crd(p i,p)=crd(p i,g)+δ(p i,v)+crd(p i,d) (b) 0 s n (c) 0 r n (d) n = s + r (e) i, 1 i r, g i v (f) i, 1 i s, v < d i Question III.3 Soit l séquence p = p m,...,p 1 de tille m, soit l séquence r = r n,...,r 1 telle que r = (trier p), montrer que : () m = n (b) i, 1 i m, crd(p i,r)=crd(p i,p) (c) i, 1 i < n, r i r i+1 Question III.4 Montrer que le clcul des fonctions eclter et trier se termine quelles que soient les vleurs de leurs prmètres respectnt le type des fonctions. Question III.5 Donner des exemples de vleurs du prmètre s de l fonction trier qui correspondent ux meilleur et pire cs en nombre d ppels récursifs effectués. Montrer que l complexité dns les meilleur et pire cs de l fonction trier en fonction du nombre de vleurs dns les séquences données en prmètre sont respectivement de O( s ln( s )) et O( s 2 ). Cette estimtion ne prend en compte que le nombre d ppels récursifs effectués. L complexité dns le pire cs de l fonction trier peut être rmenée à celle du meilleur cs pr une modifiction simple de l fonction eclter. Question III.6 Ecrire une nouvelle version de l fonction eclter telle que l complexité dns le pire cs de l fonction trier soit égle à s complexité dns le meilleur cs. Question III.7 Prouver que cette nouvelle version de l fonction eclter stisfit les propriétés énoncées dns l question III.2. 2 Problème : représenttion de dictionnire vec des rbres Ptrici L utilistion de dictionnires joue un rôle prépondérnt dns l nlyse utomtique d informtions en lngge nturel. Il est donc essentiel de pouvoir exploiter ceux-ci efficcement dns des progrmmes, c est-à-dire de pouvoir tester rpidement si un mot fit prtie d un dictionnire, tout en minimisnt l occuption en mémoire de l représenttion informtique du dictionnire. L objectif de ce problème est l étude des rbres Ptrici (Prcticl Algorithm To Retrieve Informtion Coded In Alphnumeric ce qui signifie lgorithme prtique pour retrouver des informtions codées pr des crctères lphnumériques) introduit pr D. Morisson et G. Gwehenberger pour réduire l tille des rbres lexicogrphiques qui permettent un test d pprtennce rpide. 7/21

8 2.1 Préliminires : mots et séquence de mots Un dictionnire contient une séquence de mots composés de crctères. Déf. III.3 (Mot) Un mot m est une séquence de tille n de crctères c i vec 1 i n. Il est noté c n,...,c 1. S tille n est notée m. Un mot est représenté pr le type mot dont l définition est : type mot == chr list;; Nous supposons prédéfinie l fonction length : mot -> int telle que l ppel (length m) sur un mot m renvoie l vleur entière m. Son clcul se termine quelle que soit l vleur de son prmètre. Exemple III.1 L expression suivnte : [ f ; ; c ; e ] est lors ssociée u mot fce. Déf. III.4 (Séquence de mots) Une séquence s de tille n de mots m i vec 1 i n est notée m n,...,m 1. S tille n est notée s. Une séquence de mots est représentée pr le type mots dont l définition est : type mots == mot list;; Nous supposons prédéfinie l fonction length : mots -> int telle que l ppel (length s) sur l séquence s renvoie l vleur entière s. Son clcul se termine quelle que soit l vleur de son prmètre. Exemple III.2 L expression suivnte : [ [ ; s ] ; [ f ; ; c ; e ] ; [ l ; ] ] est lors ssociée à l séquence de mots s, fce, l Distinction de deux mots L structure des rbres Ptrici impose de distinguer et clsser les mots pr leur premier crctère. Question III.8 Ecrire en CML une fonction distinguer de type mot -> mot -> bool telle que l ppel (distinguer m1 m2) sur deux mots m1 et m2 renvoie l vleur true si m1 et m2 ne sont ps vides et si le premier crctère de m1 est strictement plus petit que le premier crctère de m2 et l vleur flse sinon. 8/21

9 2.1.2 Ajout d un préfixe dns une séquence de mots L extrction de l ensemble des mots représentés pr un rbre Ptrici repose sur l jout d un préfixe à l ensemble des mots représentés pr les sous-rbres de chque noeud. Question III.9 Ecrire en CML une fonction prefixer de type mot -> mots -> mots telle que l ppel (prefixer m s) sur un mot m et une séquence de mots s renvoie une séquence de mots contennt les mêmes mots que s préfixés pr le mot m. L lgorithme utilisé ne devr prcourir qu une seule fois l séquence s. Cette fonction devr être récursive ou fire ppel à des fonctions uxiliires récursives. Question III.10 Clculer une estimtion de l complexité de l fonction prefixer en fonction du nombre d éléments de l séquence de mots s. Cette estimtion ne prendr en compte que le nombre d ppels récursifs effectués. 2.2 Arbres lexicogrphiques et Arbres Ptrici Les rbres lexicogrphiques sont des rbres n-ires utilisés pour représenter des dictionnires et, plus générlement, des ensembles de mots. Les liens entre deux noeuds consécutifs dns l rbre, c est-àdire entre un noeud père et un noeud fils, sont étiquetés pr un crctère. L séquence des crctères qui étiquettent les liens le long d un chemin de l rcine de l rbre jusqu à un noeud forme donc un mot. Un noeud peut être terminl si le mot qui conduit de l rcine à ce noeud est un mot du dictionnire, ou non-terminl si ce mot n est qu un préfixe d un mot du dictionnire. Exemple III.3 (Arbre lexicogrphique) Voici un exemple d rbre lexicogrphique représentnt le dictionnire contennt les mots : s, f, fble, fcile et l. Les noeuds terminux, respectivement non terminux, sont de couleur noire, respectivement blnche : s b l f e c l i e l e Dns les rbres Ptrici, les liens entre noeuds sont étiquetés pr des mots u lieu de crctères. Les chemins entre deux noeuds ne contennt ucun brnchement sont lors remplcés pr un lien unique étiqueté pr le mot composé des crctères étiquetnt le chemin complet dns l rbre lexicogrphique contennt églement ce mot. 9/21

10 Exemple III.4 (Arbre Ptrici) Voici un exemple d rbre Ptrici représentnt le même dictionnire que l exemple III.3. Les noeuds terminux, respectivement non terminux, sont de couleur noire, respectivement blnche : s ble f c l e ile Déf. III.5 (Arbre Ptrici) Un rbre Ptrici est composé de noeuds qui peuvent être terminux ou non-terminux. L ensemble des noeuds de l rbre Ptrici est noté N (), l ensemble des noeuds terminux est noté T (). L rcine de l rbre Ptrici est un noeud. Chque noeud n N() est composé d une séquence éventuellement vide de p fils f i N() notée F(n) = f p,...,f 1 vec p N et d une séquence éventuellement vide de p étiquettes ssociées m i notée E(n) = m p,...,m 1 qui sont des mots. Un rbre Ptrici est vlide si et seulement si : un noeud n qui ne possède ps de fils est terminl ; le noeud situé à l rcine de l rbre est non terminl suf s il ne possède ucun fils ; les étiquettes de chque noeud doivent être distinctes et ordonnées de mnière croissnte selon l reltion définie dns l question III.8. Question III.11 Exprimer le fit qu un rbre Ptrici est vlide sous l forme d une propriété V AP (). Nous noterons < l reltion définie dns l question III.8. Un rbre Ptrici est représenté pr le type ptrici et le type uxiliire fils. Le type fils représente l séquence des fils et étiquettes ssociées d un noeud, c est-à-dire une liste de pires contennt un élément de type mot et un élément de type ptrici. Les définitions en CML de ces types sont : type ptrici = Noeud of bool * fils nd fils == (mot * ptrici) list;; Dns l ppel Noeud(fin, fils), les prmètres fin et fils sont respectivement un drpeu booléen qui indique si le noeud est terminl, ou non terminl et l liste des fils et étiquettes ssociées de ce noeud de l rbre. Chque élément de cette liste est une pire contennt d une prt le mot qui étiquette le lien entre le noeud et son fils, et d utre prt le fils. 10/21

11 Exemple III.5 L expression suivnte : let mot_s = [ ; s ] in let mot_f = [ f ; ] in let mot_ble = [ b ; l ; e ] in let mot_c = [ c ] in let mot_e = [ e ] in let mot_ile = [ i ; l ; e ] in let mot_l = [ l ; ] in Noeud(flse, [ ( mot_s, Noeud(true, [])) ; ( mot_f, Noeud(true, [ ( mot_ble, Noeud(true, [])) ; ( mot_c, Noeud(flse, [ ( mot_e, Noeud(true, [])) ; ( mot_ile, Noeud(true, [])) ])) ])) ; ( mot_l, Noeud(true, [])) ]) est lors ssociée à l rbre Ptrici représenté grphiquement dns l exemple III.4 (pge 10) Crétion d un rbre Ptrici Question III.12 Ecrire en CML une fonction creer de type mot -> ptrici telle que l ppel (creer m) sur un mot m renvoie un rbre Ptrici vlide contennt uniquement le mot m Clcul du nombre de mots contenus dns un rbre Ptrici Question III.13 Ecrire en CML une fonction compter de type ptrici -> int telle que l ppel (compter ) sur un rbre Ptrici vlide renvoie le nombre de mots contenus dns l rbre. L lgorithme utilisé ne devr prcourir qu une seule fois l rbre. Cette fonction devr être récursive ou fire ppel à des fonctions uxiliires récursives. 11/21

12 2.2.3 Extrction des mots contenus dns un rbre Ptrici Question III.14 Ecrire en CML une fonction extrire de type ptrici -> mots telle que l ppel (extrire ) sur un rbre Ptrici vlide renvoie une séquence de mots contennt les mêmes mots que l rbre. L lgorithme utilisé ne devr prcourir qu une seule fois l rbre. Cette fonction devr être récursive ou fire ppel à des fonctions uxiliires récursives Vlidtion d un rbre Ptrici Question III.15 Ecrire en CML une fonction vlider de type ptrici -> bool telle que l ppel (vlider ) sur un rbre Ptrici renvoie l vleur true si l rbre Ptrici est vlide, c est-à-dire si V AP () et l vleur flse sinon. L lgorithme utilisé ne devr prcourir qu une seule fois l rbre. Cette fonction devr être récursive ou fire ppel à des fonctions uxiliires récursives Test d pprtennce d un mot à un rbre Ptrici Question III.16 Ecrire en CML une fonction ccepter de type mot -> ptrici -> bool telle que l ppel (ccepter m ) sur un mot m et un rbre Ptrici vlide renvoie l vleur true si l rbre contient le mot m et l vleur flse sinon. L lgorithme utilisé ne devr prcourir qu une seule fois l rbre. Cette fonction devr être récursive ou fire ppel à des fonctions uxiliires récursives Ajout d un mot dns un rbre Ptrici Question III.17 Détiller les étpes de l jout des mots fcteur, lmpe et lme dns l rbre Ptrici de l exemple III.4 en précisnt toutes les étpes et les rbres intermédiires. Question III.18 Ecrire en CML une fonction jouter de type mot -> ptrici -> ptrici telle que l ppel (jouter m ) sur un mot m et un rbre Ptrici vlide renvoie un rbre Ptrici vlide contennt le mot m et les mêmes mots que l rbre. L lgorithme utilisé ne devr prcourir qu une seule fois l rbre. Cette fonction devr être récursive ou fire ppel à des fonctions uxiliires récursives Fusion de deux rbres Ptrici Question III.19 Ecrire en CML une fonction fusionner de type ptrici -> ptrici -> ptrici telle que l ppel (fusionner 1 2) sur deux rbres Ptrici vlides 1 et 2 renvoie un rbre Ptrici vlide contennt exctement les mots contenus dns les rbres 1 et 2. L lgorithme utilisé ne devr prcourir qu une seule fois les rbres 1 et 2. Cette fonction devr être récursive ou fire ppel à des fonctions uxiliires récursives. 12/21

13 Prtie III : lgorithmique et progrmmtion en PASCAL Cette prtie doit être tritée pr les étudints qui ont utilisé le lngge PASCAL dns le cdre des enseignements d informtique. Les fonctions écrites devront être récursives ou fire ppel à des fonctions uxiliires récursives. Elles ne devront ps utiliser d instructions itértives (c est-à-dire for, while, repet,...). 1 Exercice : le tri rpide L objectif de cet exercice est d étudier une implnttion prticulière d un lgorithme de tri d une séquence d entiers et d en proposer une évolution pour méliorer ses performnces dns le pire cs. Déf. III.1 Une séquence s de tille n de vleurs v i vec 1 i n est notée v n,...,v 1. S tille n est notée s. Une même vleur v peut figurer plusieurs fois dns s, nous noterons crd(v, s) le crdinl de v dns s, c est-à-dire le nombre de fois que v figure dns s vec : crd(v, v n,...,v 1 )=crd{i N 1 i n, v = v i }. Le type ENTIERS représente une séquence d entiers. Nous supposons prédéfinies les constntes et les fonctions suivntes dont le clcul se termine quelles que soient les vleurs de leurs prmètres. Elles pourront éventuellement être utilisées dns les réponses ux questions : Vide est une constnte de vleur NIL qui représente une séquence vide d entiers ; FUNCTION E_Inserer(e:INTEGER;s:ENTIERS):ENTIERS; renvoie une séquence d entiers composée d un premier entier e et du reste de l séquence contenu dns s ; FUNCTION E_Tete(s:ENTIERS):INTEGER; renvoie le premier entier de l séquence s. Cette séquence ne doit ps être vide ; FUNCTION E_Queue(s:ENTIERS):ENTIERS; renvoie le reste de l séquence s privée de son premier entier. Cette séquence ne doit ps être vide ; FUNCTION E_Juxtposer(s1,s2:ENTIERS):ENTIERS; renvoie une séquence composée des éléments de l séquence s1 dns le même ordre que dns s1 puis des éléments de l séquence s2 dns le même ordre que dns s2. Le type TRIPLET représente un triplet contennt une première séquence d entiers située à guche du triplet puis un entier situé u milieu du triplet et enfin une seconde séquence d entiers située à droite du triplet. Nous supposons prédéfinies les constntes et les fonctions suivntes dont le clcul se termine quelles que soient les vleurs de leurs prmètres. Elles pourront éventuellement être utilisées dns les réponses ux questions : FUNCTION T_Creer(g:ENTIERS;v:INTEGER;d:ENTIERS):TRIPLET; renvoie un triplet contennt l séquence d entiers g, puis l vleur entière v et enfin l séquence d entiers d ; FUNCTION T_Guche(t:TRIPLET):ENTIERS; renvoie l séquence d entiers située à guche du triplet t ; FUNCTION T_Vleur(t:TRIPLET):INTEGER; renvoie l vleur entière située u milieu du triplet t ; 13/21

14 FUNCTION T_Droite(t:TRIPLET):ENTIERS; renvoie l séquence d entiers située à droite du triplet t. Soit le progrmme en lngge PASCAL : FUNCTION eclter(e:integer; s:entiers):triplet; VAR t, v : INTEGER; g, d : ENTIERS; BEGIN IF (s = Vide) THEN eclter := T_Creer( Vide, e, Vide) ELSE BEGIN t := E_Tete( s); q := E_Queue( s); r := eclter( e, q); g := T_Guche( r); d := T_Droite( r); v := Vleur( r); IF (t <= v) THEN eclter := T_Creer( E_Inserer( t, g), v, d) ELSE eclter := T_Creer( g, v, E_Inserer( t, d)) END END; FUNCTION trier(s:entiers):entiers; VAR q, g, rg, d, rd : ENTIERS; t, v : INTEGER; r : TRIPLET; BEGIN IF (s = Vide) THEN trier := Vide ELSE BEGIN t := E_Tete( s); q := E_Queue( s); r := eclter( t, q); g := T_Guche( r); v := T_Vleur( r); d := T_Droite( r); rg := trier( g); rd := trier( d); trier := E_Juxtposer( rg, E_Inserer( v, rd)) END END; Soit l constnte exemple définie et initilisée pr : CONST exemple : ENTIERS = E_Inserer( 3, E_Inserer( 1, E_Inserer( 4, E_Inserer(2, Vide)))); Question III.1 Détiller les étpes du clcul de trier(exemple) en précisnt pour chque ppel ux fonctions eclter et trier, l vleur du prmètre et du résultt. 14/21

15 Déf. III.2 (Symbole de Kronecker) Soient deux vleurs v 1 et v 2, le symbole de Kronecker δ est une fonction δ(v 1,v 2 ) égle à l vleur 1 si v 1 et v 2 sont égles et à l vleur 0 sinon. Question III.2 Soient les entiers e et v, l séquence d entiers p = p n,...,p 1 de tille n, soient les séquences d entiers g = g r,...,g 1 de tille r et d = d s,...,d 1 de tille s, soit le triplet t, tel que t = eclter(e,p), g = T_Guche(t), v = T_Vleur(t) et d = T_Droite(t), montrer que : () i, 1 i n, δ(p i,e)+crd(p i,p)=crd(p i,g)+δ(p i,v)+crd(p i,d) (b) 0 s n (c) 0 r n (d) n = s + r (e) i, 1 i r, g i v (f) i, 1 i s, v < d i Question III.3 Soit l séquence p = p m,...,p 1 de tille m, soit l séquence r = r n,...,r 1 telle que r = trier(p), montrer que : () m = n (b) i, 1 i m, crd(p i,r)=crd(p i,p) (c) i, 1 i < n, r i r i+1 Question III.4 Montrer que le clcul des fonctions eclter et trier se termine quelles que soient les vleurs de leurs prmètres respectnt le type des fonctions. Question III.5 Donner des exemples de vleurs du prmètre s de l fonction trier qui correspondent ux meilleur et pire cs en nombre d ppels récursifs effectués. Montrer que l complexité dns les meilleur et pire cs de l fonction trier en fonction du nombre de vleurs dns les séquences données en prmètre sont respectivement de O( s ln( s )) et O( s 2 ). Cette estimtion ne prend en compte que le nombre d ppels récursifs effectués. L complexité dns le pire cs de l fonction trier peut être rmenée à celle du meilleur cs pr une modifiction simple de l fonction eclter. Question III.6 Ecrire une nouvelle version de l fonction eclter telle que l complexité dns le pire cs de l fonction trier soit égle à s complexité dns le meilleur cs. Question III.7 Prouver que cette nouvelle version de l fonction eclter stisfit les propriétés énoncées dns l question III.2. 2 Problème : représenttion de dictionnire vec des rbres Ptrici L utilistion de dictionnires joue un rôle prépondérnt dns l nlyse utomtique d informtions en lngge nturel. Il est donc essentiel de pouvoir exploiter ceux-ci efficcement dns des progrmmes, c est-à-dire de pouvoir tester rpidement si un mot fit prtie d un dictionnire, tout en minimisnt l occuption en mémoire de l représenttion informtique du dictionnire. L objectif de ce problème est l étude des rbres Ptrici (Prcticl Algorithm To Retrieve Informtion Coded In Alphnumeric ce qui signifie lgorithme prtique pour retrouver des informtions codées pr des crctères lphnumériques) introduit pr D. Morisson et G. Gwehenberger pour réduire l tille des rbres lexicogrphiques qui permettent un test d pprtennce rpide. 15/21

16 2.1 Préliminires : mots et séquence de mots Un dictionnire contient une séquence de mots composés de crctères. Déf. III.3 (Mot) Un mot m est une séquence de tille n de crctères c i vec 1 i n. Il est noté c n,...,c 1. S tille n est notée m. Un mot est représenté pr le type MOT. Nous supposons prédéfinies les constntes et les fonctions suivntes dont le clcul se termine quelles que soient les vleurs de leurs prmètres. Elles pourront éventuellement être utilisées dns les réponses ux questions : Vide est une constnte de vleur NIL qui représente un mot vide ; FUNCTION M_Inserer(c:CHARACTER;m:MOT):MOT; renvoie un mot composé d un premier crctère c suivi des crctères du mot m dns le même ordre que dns m ; FUNCTION M_Tete(m:MOT):CHARACTER; renvoie le premier crctère du mot m. Ce mot ne doit ps être vide ; FUNCTION M_Queue(m:MOT):MOT; renvoie le suffixe du mot m privé de son premier crctère. Ce mot ne doit ps être vide ; FUNCTION M_Juxtposer(m1,m2:MOT):MOT; renvoie un mot composé des crctères du mot m1 dns le même ordre que dns m1 puis des crctères du mot m2 dns le même ordre que dns m2 ; FUNCTION M_Tille(m:MOT):INTEGER; renvoie l vleur entière m. Exemple III.1 L expression suivnte : M_Inserer( f, M_Inserer(, M_Inserer( c, M_Inserer( e, Vide)))) est lors ssociée u mot fce. Déf. III.4 (Séquence de mots) Une séquence s de tille n de mots m i vec 1 i n est notée m n,...,m 1. S tille n est notée s. Une séquence de mots est représentée pr le type MOTS. Nous supposons prédéfinies les constntes et les fonctions suivntes dont le clcul se termine quelles que soient les vleurs de leurs prmètres. Elles pourront éventuellement être utilisées dns les réponses ux questions : Vide est une constnte de vleur NIL qui représente une séquence de mots vide ; FUNCTION S_Inserer(m:MOT;s:MOTS):MOTS; renvoie une séquence composée d un premier mot m suivi des mots de l séquence de mots s dns le même ordre que dns s ; FUNCTION S_Tete(s:MOTS):MOT; renvoie le premier mot de l séquence de mots s. Cette séquence ne doit ps être vide ; FUNCTION S_Queue(s:MOTS):MOTS; renvoie le reste de l séquence de mots s privée de son premier mot. Cette séquence ne doit ps être vide ; FUNCTION S_Juxtposer(s1,s2:MOTS):MOTS; renvoie une séquence de mots composée des mots de l séquence de mots s1 dns le même ordre que dns s1 puis des mots de l séquence de mots s2 dns le même ordre que dns s2 ; FUNCTION S_Tille(s:MOTS):INTEGER; renvoie l vleur entière s. 16/21

17 Exemple III.2 L expression suivnte : S_Inserer( M_Inserer(, M_Inserer( s, Vide)), S_Inserer( M_Inserer( f, M_Inserer(, M_Inserer( c, M_Inserer( e, Vide)))), S_Inserer( M_Inserer( l, M_Inserer(, Vide))), Vide)) est lors ssociée à l séquence de mots s, fce, l Distinction de deux mots L structure des rbres Ptrici impose de distinguer et clsser les mots pr leur premier crctère. Question III.8 Ecrire en PASCAL une fonction distinguer(m1,m2:mot):boolean; telle que l ppel distinguer(m1,m2) sur deux mots m1 et m2 renvoie l vleur true si m1 et m2 ne sont ps vides et si le premier crctère de m1 est strictement plus petit que le premier crctère de m2 et l vleur flse sinon Ajout d un préfixe dns une séquence de mots L extrction de l ensemble des mots représentés pr un rbre Ptrici repose sur l jout d un préfixe à l ensemble des mots représentés pr les sous-rbres de chque noeud. Question III.9 Ecrire en PASCAL une fonction prefixer(m:mot;s:mots):mots; telle que l ppel prefixer(m,s) sur un mot m et une séquence de mots s renvoie une séquence de mots contennt les mêmes mots que s préfixés pr le mot m. L lgorithme utilisé ne devr prcourir qu une seule fois l séquence s. Cette fonction devr être récursive ou fire ppel à des fonctions uxiliires récursives. Question III.10 Clculer une estimtion de l complexité de l fonction prefixer en fonction du nombre d éléments de l séquence de mots s. Cette estimtion ne prendr en compte que le nombre d ppels récursifs effectués. 2.2 Arbres lexicogrphiques et Arbres Ptrici Les rbres lexicogrphiques sont des rbres n-ires utilisés pour représenter des dictionnires et, plus générlement, des ensembles de mots. Les liens entre deux noeuds consécutifs dns l rbre, c est-àdire entre un noeud père et un noeud fils, sont étiquetés pr un crctère. L séquence des crctères qui étiquettent les liens le long d un chemin de l rcine de l rbre jusqu à un noeud forme donc un mot. Un noeud peut être terminl si le mot qui conduit de l rcine à ce noeud est un mot du dictionnire, ou non-terminl si ce mot n est qu un préfixe d un mot du dictionnire. 17/21

18 Exemple III.3 (Arbre lexicogrphique) Voici un exemple d rbre lexicogrphique représentnt le dictionnire contennt les mots : s, f, fble, fcile et l. Les noeuds terminux, respectivement non terminux, sont de couleur noire, respectivement blnche : s b l f e c l i e l e Dns les rbres Ptrici, les liens entre noeuds sont étiquetés pr des mots u lieu de crctères. Les chemins entre deux noeuds ne contennt ucun brnchement sont lors remplcés pr un lien unique étiqueté pr le mot composé des crctères étiquetnt le chemin complet dns l rbre lexicogrphique contennt églement ce mot. Exemple III.4 (Arbre Ptrici) Voici un exemple d rbre Ptrici représentnt le même dictionnire que l exemple III.3. Les noeuds terminux, respectivement non terminux, sont de couleur noire, respectivement blnche : s ble f c l e ile Déf. III.5 (Arbre Ptrici) Un rbre Ptrici est composé de noeuds qui peuvent être terminux ou non-terminux. L ensemble des noeuds de l rbre Ptrici est noté N (), l ensemble des noeuds terminux est noté T (). L rcine de l rbre Ptrici est un noeud. Chque noeud n N() est composé d une séquence éventuellement vide de p fils f i N() notée F(n) = f p,...,f 1 vec p N et d une séquence éventuellement vide de p étiquettes ssociées m i notée E(n) = m p,...,m 1 qui sont des mots. Un rbre Ptrici est vlide si et seulement si : un noeud n qui ne possède ps de fils est terminl ; le noeud situé à l rcine de l rbre est non terminl suf s il ne possède ucun fils ; les étiquettes de chque noeud doivent être distinctes et ordonnées de mnière croissnte selon l reltion définie dns l question III.8. Question III.11 Exprimer le fit qu un rbre Ptrici est vlide sous l forme d une propriété V AP (). Nous noterons < l reltion définie dns l question III.8. 18/21

19 Un rbre Ptrici est représenté pr le type de bse PATRICIA. L séquence des fils et étiquettes ssociées d un noeud est représentée pr le type de bse FILS. Une pire composée d un fils et de l étiquette ssociée est représentée pr le type de bse PAIRE. Nous supposons prédéfinies les constntes et les fonctions suivntes dont le clcul se termine quelles que soient les vleurs de leurs prmètres. Elles pourront éventuellement être utilisées dns les réponses ux questions : Vide est une constnte de vleur NIL qui représente une séquence vide ; FUNCTION P_Creer(mot:MOT;fils:PATRICIA):PAIRE; renvoie une pire contennt l étiquette mot et l rbre Ptrici fils ; FUNCTION P_Etiquette(p:PAIRE):MOT; renvoie l étiquette contenue dns l pire p ; FUNCTION P_Arbre(p:PAIRE):PATRICIA; renvoie l rbre contenu dns l pire p ; FUNCTION F_Inserer(p:PAIRE;s:FILS):FILS; renvoie une séquence de fils composée d un premier fils p et du reste de l séquence contenu dns s ; FUNCTION F_Tete(s:FILS):PAIRE; renvoie le premier fils de l séquence s. Cette séquence ne doit ps être vide ; FUNCTION F_Queue(s:FILS):FILS; renvoie le reste de l séquence s privée du premier fils. Cette séquence ne doit ps être vide ; FUNCTION F_Juxtposer(s1,s2:FILS):FILS; renvoie une séquence composée des éléments de l séquence s1 dns le même ordre que dns s1 puis des éléments de l séquence s2 dns le même ordre que dns s2 ; FUNCTION Noeud(fin:BOOLEAN;fils:FILS):PATRICIA; est une fonction qui renvoie un rbre Ptrici dont le noeud situé à l rcine est terminl si fin prend l vleur FALSE et non terminl sinon et dont les fils et leurs étiquettes ssociées sont contenus dns l séquence fils ; FUNCTION EstTerminl(:PATRICIA):BOOLEAN; est une fonction qui renvoie l vleur TRUE si le noeud situé à l rcine de l rbre est terminl et l vleur FALSE sinon ; FUNCTION Fils(:PATRICIA):FILS; est une fonction qui renvoie l séquence des fils et étiquettes ssociées de l rcine de l rbre Ptrici. 19/21

20 Exemple III.5 Le progrmme suivnt : VAR exemple : PATRICIA; CONST mot_s : MOT = M_Inserer(, M_Inserer( s, Vide)); mot_f : MOT = M_Inserer( f, M_Inserer(, Vide)); mot_ble : MOT = M_Inserer( b, M_Inserer( l, M_Inserer( e, Vide))); mot_c : MOT = M_Inserer( c, Vide); mot_e : MOT = M_Inserer( e, Vide); mot_ile : MOT = M_Inserer( i, M_Inserer( l, M_Inserer( e, Vide))); mot_l : MOT = M_Inserer( l, M_Inserer(, Vide)); BEGIN exemple := Noeud(flse, F_Inserer( P_Creer( mot_s, Noeud(true, Vide)) F_Inserer( P_Creer( mot_f, Noeud(true, F_Inserer( P_Creer( mot_ble, Noeud(true, Vide)) F_Inserer( P_Creer( mot_c, Noeud(flse, F_Inserer( P_Creer( mot_e, Noeud(true, Vide)), F_Inserer( P_Creer( mot_ile, Noeud(true, Vide)), Vide)))), Vide)))), F_Inserer( R_Creer( mot_l, Noeud(true, Vide)), Vide)))) END ffecte à l vrible exemple l rbre Ptrici représenté grphiquement dns l exemple III.4 (pge 18) Crétion d un rbre Ptrici Question III.12 Ecrire en PASCAL une fonction creer(m:mot):patricia; telle que l ppel creer(m) sur un mot m renvoie un rbre Ptrici vlide contennt uniquement le mot m Clcul du nombre de mots contenus dns un rbre Ptrici Question III.13 Ecrire en PASCAL une fonction compter(:patricia):integer; telle que l ppel compter() sur un rbre Ptrici vlide renvoie le nombre de mots contenus dns l rbre. L lgorithme utilisé ne devr prcourir qu une seule fois l rbre. Cette fonction devr être récursive ou fire ppel à des fonctions uxiliires récursives. 20/21

21 2.2.3 Extrction des mots contenus dns un rbre Ptrici Question III.14 Ecrire en PASCAL une fonction extrire(:patricia):mots; telle que l ppel extrire() sur un rbre Ptrici vlide renvoie une séquence de mots contennt les mêmes mots que l rbre. L lgorithme utilisé ne devr prcourir qu une seule fois l rbre. Cette fonction devr être récursive ou fire ppel à des fonctions uxiliires récursives Vlidtion d un rbre Ptrici Question III.15 Ecrire en PASCAL une fonction vlider(:patricia):boolean; telle que l ppel vlider() sur un rbre Ptrici renvoie l vleur TRUE si l rbre Ptrici est vlide, c est-à-dire si V AP () et l vleur FALSE sinon. L lgorithme utilisé ne devr prcourir qu une seule fois l rbre. Cette fonction devr être récursive ou fire ppel à des fonctions uxiliires récursives Test d pprtennce d un mot à un rbre Ptrici Question III.16 Ecrire en PASCAL une fonction ccepter(m:mot;:patricia):boolean; telle que l ppel ccepter(m,) sur un mot m et un rbre Ptrici vlide renvoie l vleur TRUE si l rbre contient le mot m et l vleur FALSE sinon. L lgorithme utilisé ne devr prcourir qu une seule fois l rbre. Cette fonction devr être récursive ou fire ppel à des fonctions uxiliires récursives Ajout d un mot dns un rbre Ptrici Question III.17 Détiller les étpes de l jout des mots fcteur, lmpe et lme dns l rbre Ptrici de l exemple III.4 en précisnt toutes les étpes et les rbres intermédiires. Question III.18 Ecrire en PASCAL une fonction jouter(m:mot;:patricia):patricia; telle que l ppel jouter(m,) sur un mot m et un rbre Ptrici vlide renvoie un rbre Ptrici vlide contennt le mot m et les mêmes mots que l rbre. L lgorithme utilisé ne devr prcourir qu une seule fois l rbre. Cette fonction devr être récursive ou fire ppel à des fonctions uxiliires récursives Fusion de deux rbres Ptrici Question III.19 Ecrire en PASCAL une fonction fusionner(1,2:patricia):patricia; telle que l ppel fusionner(1,2) sur deux rbres Ptrici vlides 1 et 2 renvoie un rbre Ptrici vlide contennt exctement les mots contenus dns les rbres 1 et 2. L lgorithme utilisé ne devr prcourir qu une seule fois les rbres 1 et 2. Cette fonction devr être récursive ou fire ppel à des fonctions uxiliires récursives. Fin de l énoncé 21/21

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