Architecture Élémentaire IUP-GMI (FC) N.E. Oussous. Copyright c 2003

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1 Architecture Élémentaire IUP-GMI (FC) N.E. Oussous GO Février 2003 Copyright c 2003 oussous@lifl.fr Date de la dernière révision : Février

2 Table des matières 2 Multiplication et division des nombres binaires Table des matières 1. La multiplication 2. Multiplication signée 3. La division 4. Division signée Page 2 of 47 Sommaire Quit

3 1: La multiplication 3 1. La multiplication D abord un exemple : On multiplie, en base dix, les nombres et. Le premier opérande s appelle le multiplicande et le second le multiplicateur. Le résultat est le produit. Page 3 of 47 Sommaire Quit

4 1: La multiplication 4 Si l on ignore le bit du signe, et si le nombre de chiffres du multiplicande est et le nombre de chiffres du multiplicateur est, alors le produit aura chiffres. Comme pour l addition, on doit gérer les cas de débordement. Dans l exemple, on a choisi les chiffres et dans les deux nombres. Lorsqu on multiplie le multiplicande par un chiffre du multiplicateur, le résultat est soit le multiplicande soit. En binaire, on n a que ces deux choix. On suppose, pour le moment, que l on ne multiplie que les nombres positifs. On va présenter différents algorithmes de multiplication. Page 4 of 47 Sommaire Quit

5 1: La multiplication 5 Premier algorithme : C est l algorithme que l on pratique à la main. On suppose que le multiplicateur est placé dans un registre bits et que l on utilise un registre bits pour le produit, celui-ci étant initialisé à. Puisque le multiplicande sera décalé vers la gauche de un chiffre à chaque étape, on le placera dans la partie droite d un registre bits complété à gauche par des zéros. Le bit de poids faible du multiplicateur (Multiplicateur ) détermine s il faut ajouter ou non le multiplicande au registre Produit. Page 5 of 47 Sommaire Quit

6 1: La multiplication 6 Algorithme1 : begin for!#" to step do if Multiplicateur then Ajouter Multiplicande au produit; Placer le résultat dans le registre Produit; fi$ Décaler le registre Multiplicande à gauche de 1 bit; Décaler le registre Multiplicateur à droite de 1 bit; od end$ Page 6 of 47 Sommaire Quit

7 1: La multiplication 7 Première version du matériel pour la multiplication Multiplicande Décaler à gauche bits UAL 64 bits Multiplicateur Décaler à droite bits Produit bits Écrire Contrôle Page 7 of 47 Sommaire Quit

8 1: La multiplication 8 Exercice 1. Question 1.1. En utilisant des nombres % bits, multiplier &('*)+ par,-'.)/+, soit ' ' Page 8 of 47 Sommaire Quit

9 1: La multiplication 9 Problèmes avec le premier algo : La moitié des bits du multiplicande est toujours à, une UAL bits complète est longue et peu économique puisque la moitié des bits de l additionneur ajoutait à la somme intermédiaire. Idée d un deuxième algo : Les décalages à gauche du multiplicande font que les bits de poids faible du produit ne sont jamais modifiés une fois créés. On fixe le multiplicande par rapport au produit et on n additionne que bits. On décale à droite le produit. Page 9 of 47 Sommaire Quit

10 1: La multiplication 10 Au départ, Les registres bits Multiplicande et Multiplicateur sont initialisés à leurs valeurs. Le registre bits Produit est initialisé à. Ensuite, On ne fait qu une somme sur bits, donc seule la moitié gauche du registre Produit est modifiée pendant l addition. Page 10 of 47 Sommaire Quit

11 1: La multiplication 11 Algorithme2 : begin for!#" to step do if Multiplicateur then Ajouter Multiplicande à la moitié gauche du produit; Placer le résultat dans la moitié gauche du registre Produit; fi$ Décaler le registre Produit à droite de 1 bit; Décaler le registre Multiplicateur à droite de 1 bit; od end$ Page 11 of 47 Sommaire Quit

12 1: La multiplication 12 Deuxième version du matériel pour la multiplication Multiplicande bits UAL 32 bits Décaler à droite Produit Écrire bits Multiplicateur Décaler à droite bits Contrôle Page 12 of 47 Sommaire Quit

13 1: La multiplication 13 Exercice 2. Question 2.1. On reprend l exemple précédent avec le nouvel algorithme : Page 13 of 47 Sommaire Quit

14 1: La multiplication 14 Dans l algo précédent, le nombre de décalages fait sur le registre Produit est égal à la taille du registre Multiplicateur. Dans le dernier algorithme, on place le multiplicateur dans les bits de poids faible du registre Produit. C est donc le bit de poids faible du registre Produit qui doit être testé. Au départ, Le registre bits Multiplicande est initialisé à sa valeur. Le multiplicateur est affecté à la partie droite du registre Produit. La partie gauche est initialisée à. Page 14 of 47 Sommaire Quit

15 1: La multiplication 15 Algorithme3 : begin for!#" to step do if Produit then Ajouter Multiplicande à la moitié gauche du produit; Placer le résultat dans la moitié gauche du registre Produit; fi$ Décaler le registre Produit à droite de 1 bit; od end$ Page 15 of 47 Sommaire Quit

16 1: La multiplication 16 Troisième version du matériel pour la multiplication Multiplicande bits UAL bits Décaler à droite Produit Écrire bits Contrôle Exercice 3. Question 3.1. On reprend le même exemple avec le nouvel algorithme. Page 16 of 47 Sommaire Quit

17 2: Multiplication signée Multiplication signée Les algorithmes précédents traitent des nombres positifs. Pour utiliser ces algos pour des nombres signés, il faut convertir le multiplicateur et le multiplicande en nombres positifs, se souvenir des signes originaux. L algo doit être exécuté fois, en excluant le bit de signe du calcul. Enfin, on prendra l opposé du produit si les signes originaux diffèrent. Page 17 of 47 Sommaire Quit

18 2: Multiplication signée 18 L algorithme de Booth C est une approche plus élégante de la multiplication des nombres signés. Si l on est capable d additionner et de soustraire, alors il existe de multiples moyens pour calculer un produit. Booth a découvert son algorithme en cherchant une rapidité maximale, persuadé qu un décalage était plus rapide qu une addition. La clé de l algo réside dans le fait qu il classifie le groupe de bits en un début, milieu ou une fin d une série de. Page 18 of 47 Sommaire Quit

19 2: Multiplication signée 19 on observe deux bits à la fois : Bit courant Bit à droite Explication Exemple Début d une série de 10 : Milieu d une série de 11 : Fin d une série de 01 : Milieu d une série de 00 : Page 19 of 47 Sommaire Quit

20 2: Multiplication signée 20 1 AlgoBooth : 2 begin 3 for!;" to step do 4 if <>= then? Milieu d une chaîne de A@ 5 pas d opération arithmétique; 6 elsif <>= then? Fin d une chaîne 7 ajouter Multiplicande à la moitié gauche du produit; 8 elsif <>= then? Début d une chaîne de B@ 9 soustraire le Multiplicande de la moitié gauche du produit; 10 elsif <>= then? Milieu d une chaîne 11 pas d opération arithmétique; 12 fi$ 13 Décaler le registre Produit à droite de 1 bit; 14 od 15 end$ < est le bit courant et = est le bit à droite de <. Au départ, = vaut. Page 20 of 47 Sommaire Quit

21 2: Multiplication signée 21 A noter que l opération à effectuer est identifiée en fonction des valeurs des deux bits. Il est nécessaire que le décalage à droite du produit conserve le signe du résultat intermédiaire. Il faut donc étendre le signe lorsque le produit est décalé vers la droite. Dans l exemple suivant, on va multiplier par, soit C.D( par C4D-. Page 21 of 47 Sommaire Quit

22 2: Multiplication signée 22! Itération Multi- Algo. 3 Booth plicande Produit Produit L étape 2 de la deuxième itération transforme E C.D( en Ë C.D( au lieu de Ë C.D(. Ce décalage est appelé un décalage à droite arithmétique. Page 22 of 47 Sommaire Quit

23 2: Multiplication signée 23 Exercice 4. Question 4.1. Appliquer l algorithme de Booth pour calculer le produit & '.)/+F7 G, '*)/+IH G#J '.)/+, soit 0K02140 'L3M5-+N7 1K14091 '4365-+IH 1-1K1-1O ' Page 23 of 47 Sommaire Quit

24 2: Multiplication signée 24 Pour les multiplications réelles, MIPS fournit une paire de registres bits pour le produit bits, appelés Hi (pour High, haut) et lo (pour low, bas) deux instructions de multiplication mult pour la multiplication signée et multu pour la multiplication non signée. Ces deux instructions ignorent les débordements, et c est donc le logiciel qui doit déterminer si le produit est trop grand pour tenir sur bits. une instruction mflo (pour move from lo) pour récupérer le produit bits normal. Page 24 of 47 Sommaire Quit

25 2: Multiplication signée 25 Pourquoi l algorithme de Booth fonctionne pour les entiers signés en complément à deux? Soient P le multiplicateur et Q le multiplicande. En s intéressant aux bits du multiplicateur dans l algorithme de Booth, on obtient : R R TSVU Opération ne rien faire ajouter Q soustraire Q ne rien faire A la place de ce tableau, on peut utiliser l expression W.P TSVUYX P LZ. W.P[TSVU X PB Z X ne rien faire ajouter Q soustraire Q Page 25 of 47 Sommaire Quit

26 2: Multiplication signée 26 e Puisque chaque décalage à gauche du multiplicande peut être considéré comme une multiplication par une puissance de, l algo. de Booth peut s écrire comme la somme suivante : \K W*P SVUEX P( Z Q W*P( X P U\Z Q U W*P :^]IX P(_^ Z Q _L W*P _^ X P _ U Z Q _ U On remarque que X P P a`bu W X P cp 4Z P En factorisant Q, on obtient : Q W4W*P _ U X _ U Z W*P _L _L Z K\ W*PdU U Z W*P ZLZ Q P Page 26 of 47 Sommaire Quit

27 3: La division La division Comme pour la multiplication, on commence par un exemple de division de deux nombres en base dix formés uniquement de et de. Dividende f Diviseur - Quotient f - g Reste f La taille du dividende est limitée par la somme des tailles du diviseur et du quotient. Page 27 of 47 Sommaire Quit

28 3: La division 28 Le plus difficile dans l algorithme de division est le choix du chiffre du quotient. Dans l exemple, les chiffres utilisés sont et et donc le choix est limité à l un de ces deux chiffres. En binaire, on n a que ces deux chiffres et c est ce qui rend facile l algorithme de division. On supposera que le dividende et le diviseur sont tous deux positifs (donc le quotient et le reste seront positifs). On va donner différentes versions de l algo. de division comme on l avait fait pour celui de la multiplication. Page 28 of 47 Sommaire Quit

29 3: La division 29 h h h Premier algorithme : On imite l algorithme que l on fait à la main. Au départ, on met dans le registre Quotient le diviseur dans la moitié gauche du registre bits Diviseur le dividende dans le registre Reste Le Diviseur est décalé à droite de bit à chaque étape. Page 29 of 47 Sommaire Quit

30 3: La division 30 1 Algorithme1 : 2 begin 3 for!;" to step do 4 Reste " Reste X Diviseur $ 5 if Reste ij then 6 Décaler le registre Quotient à gauche; 7 Quotient " $ 8 else 9 Reste " Reste Diviseur$ 10 Décaler le registre Quotient à gauche; 11 Quotient " $ 12 fi$ 13 Décaler le registre Diviseur à droite de 1 bit; 14 od 15 end$ Pour tester si Reste est positif ou non, on teste juste le bit de signe. Page 30 of 47 Sommaire Quit

31 3: La division 31 Si le Reste est positif, le diviseur tenait dans le dividende, on génère alors un dans le quotient (ligne 7). Si le Reste est négatif, le diviseur ne tenait pas dans le dividende, on génère alors un dans le quotient et on restitue la valeur de Reste (lignes 9 11). Dans la ligne 13, on aligne correctement le diviseur par rapport au dividende pour l étape suivante. Le tout se fait en étapes! Page 31 of 47 Sommaire Quit

32 3: La division 32 Première version du matériel pour la division Diviseur Décaler à droite 64 bits UAL 64 bits Quotient Décaler à gauche 32 bits Reste 64 bits Écrire Contrôle Exercice 5. En utilisant des nombres bits, diviser E C.D( par C.D(. Page 32 of 47 Sommaire Quit

33 3: La division 33 Deuxième algorithme : on remarque que dans le premier algorithme, au plus la moitié du diviseur contient des informations utiles, on peut donc prendre un registre et une UAL bits on décale le diviseur vers la droite pour aligner, on peut avoir le même résultat en décalant le reste vers la gauche. La première étape de l algo. ne peut produire un pour le bit de quotient, sinon le quotient serait trop grand pour le registre dont il dispose. On peut supprimer une itération de l algo. en inversant l ordre des opérations afin de décaler puis de soustraire. Avec ces modifications, on obtient l algorithme suivant : Page 33 of 47 Sommaire Quit

34 3: La division 34 Algorithme2 : begin for!#" to step do Décaler le registre Reste à gauche de bit; Restek " Restek X Diviseur $ if Reste ij then Décaler le registre Quotient à gauche; Quotient " $ else Restek " Restek Diviseur $ Décaler le registre Quotient à gauche; Quotient " $ fi$ od end$ Il faut remarquer que seule la moitié gauche du reste est modifiée. Page 34 of 47 Sommaire Quit

35 3: La division 35 Deuxième version du matériel pour la division Diviseur 32 bits UAL 32 bits Quotient Décaler à gauche 32 bits Décaler à gauche Reste Écrire 64 bits Contrôe Exercice 6. On utilise ce nouvel algorithme pour diviser E C4D- par C.D(. Page 35 of 47 Sommaire Quit

36 3: La division 36 Troisième algorithme : comme pour la multiplication, on remarque que le registre Quotient peut être éliminé en décalant les bits du quotient dans le registre Reste. Le décalage du registre Reste décale à la fois le reste dans la moitié gauche et le quotient dans la moitié droite. Lors de la dernière étape, on ne doit décaler, à droite, que le reste dans la moitié gauche du registre. Page 36 of 47 Sommaire Quit

37 3: La division 37 Algorithme3 : begin Décaler le registre Reste à gauche de bit; for!#" to step do Restek " Restek X Diviseur $ if Reste ij then Décaler le registre Reste à gauche; Reste " $ else Restek " Restek Diviseur $ Décaler le registre Reste à gauche; Reste " $ fi$ od Décaler la moitié gauche du registre Reste à droite de bit; end$ Page 37 of 47 Sommaire Quit

38 3: La division 38 Troisième version du matériel pour la division Diviseur 32 bits UAL 32 bits Décaler à gauche Reste Écrire 64 bits Contrôle Exercice 7. On utilise ce nouvel algorithme pour diviser E C4D- par C.D(. Page 38 of 47 Sommaire Quit

39 4: Division signée Division signée Les algorithmes précédents traitent des nombres positifs. Le plus simple est de se souvenir des signes du diviseur et du dividende, puis de prendre l opposé du quotient si les signes diffèrent. Il faut aussi déterminer le signe du reste. Ci-après toutes les combinaisons possibles : lnm " Quotient= Ao Reste= X lnm " Quotient=X Ao Reste=X lnm X " Quotient=X Ao Reste= X lnm X " Quotient= Ao Reste=X Donc, le signe du reste est le signe du dividende. Page 39 of 47 Sommaire Quit

40 4: Division signée 40 Interface Matériel Logiciel : On remarque que le même matériel peut être utilisé à la fois pour la multiplication et pour la division. Il faut simplement disposer d un registre bits capable de décaler à droite et à gauche, d une UAL bits capable d additionner et de soustraire. Après la division Hi contient le reste et Lo contient le quotient. MIPS utilise la même paire de registres pour la multiplication et pour la division. Il offre deux instructions pour la division : div et divu. Page 40 of 47 Sommaire Quit

41 4: Division signée 41 Solutions Solution 1. p Multiplicateur Multiplicande Produit Page 41 of 47 Sommaire Quit

42 4: Division signée 42 Solution 2. p Multiplicateur Multiplicande Produit Page 42 of 47 Sommaire Quit

43 4: Division signée 43 Solution 3. p Multiplicande Produit Page 43 of 47 Sommaire Quit

44 4: Division signée 44 Solution 4. p Multiplicande Produit Page 44 of 47 Sommaire Quit

45 4: Division signée 45 Solution 5. p Quotient Diviseur Reste Page 45 of 47 Sommaire Quit

46 4: Division signée 46 Solution 6. p Quotient Diviseur Reste Page 46 of 47 Sommaire Quit

47 4: Division signée 47 Solution 7. p Diviseur Reste Page 47 of 47 Sommaire Quit